Еще одно доказательство теоремы Наймарка и фреймы в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

П. А. Терехин

УДК 517.5

ЕЩЕ ОДНО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ НАЙМАРКА И ФРЕЙМЫ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ*

В функциональном анализе и квантовой теории информации хорошо известна следующая теорема Наймарка [ 1 ] 1940 года.

ТЕОРЕМА (Наймарк). Пусть {ф„}* i - система ненулевых элементов гильбертова пространства Н такая, что для любого вектора g е // вы-

СО 2

полняется равенство Парсеваля £ | (g,<p„)\2 = flg | .

п= 1

Тогда существуют объемлющее гильбертово пространство //' id н и ортонормированный базис {е„}°Ц=] пространства Н' такие, что ф„ =ле„, п = 1,2,..., где л : Н' —> Н' - ортогональный проектор из Я' на Я

Сформулированная теорема Наймарка является, по-видимому, первым структурным результатом так называемой теории фреймов. Понятие фрейма было предложено Даффином и Шеффером [2] в 1952 году.

Определение (Даффин, Шеффер). Система {ф„}"=| ненулевых элементов гильбертова пространства Н называется фреймом, если для любого вектора g е Н выполняются неравенства

Я = 1

где постоянные А, В > 0 не зависят от g.

Аналог теоремы Наймарка для фреймов общего вида был установлен в 2002 году в статье Кашина и Куликовой [3]. Заметим, что вопрос о «проекционном» описании фреймов ставился в книге Хана и Ларсона [4] в 2000 году, где он был решён для случая А = В = 1, то есть фактически была переоткрыта теорема Наймарка (к сожалению, при отсутствии должных ссылок).

ТЕОРЕМА (Кашин, Куликова, Casazza, Han, Larson). Пусть (фя}^=] -фрейм в гильбертовом пространстве Н - Тогда существуют объемлющее гильбертово пространство Н' и Н и базис Рисса пространства

Н' такие, что ф„ = k\\iп, п - 1,2,..., где л : Н' —»//'- ортогональный проектор из Н' на Н .

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01-00390), гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.040).

Последняя теорема является обобщением теоремы Наймарка. При этом, как отмечается в [3], известные доказательства теоремы Наймарка сложны. Поэтому методы работ [3, 4] дают, в частности, простые доказательства этой, теоремы. В данной статье даётся еще одно доказательство теоремы Наймарка. Наш метод доказательства позволяет получить аналог теоремы Наймарка для фреймов в банаховом пространстве и основывается на следующем элементарном факте учебного характера из функционального анализа. Предварительно напомним, что оператор 5": £, —> Е2 называется проекцией оператора J : Е^ —> Е'2 , если Е2 с Е'2 и 5 = PJ для некоторого непрерывного линейного проектора Р: Е2 —> Е'2 из Е'2 на Е2 (здесь и далее Е]г Е2 и Е'2 - банаховы пространства).

ЛЕММА, Пусть 5 : Ех —» Е2 - сюръекция. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) оператор 5 является проекцией некоторого изоморфизма;

2) ядро Кег(Б) дополняемо в пространстве £,.

Доказательство. 1) => 2). Пусть N = Кег(Р). Тогда Е'2 = Е2® N , Так как J : Ех —> Е2 - изоморфизм, то Е, = Гх{Е2)®Г\Щ. Осталось заметить, что , поскольку

Бх = 0 <=> РЗх = 0 <=> & е N <=> х б У"1 (АО.

2)=> 1). Пусть N = Кег(Б). Положим Е2 = Е2 х N - декартово произведение и Р: Е'2 —> Е2 - естественная проекция на первый множитель. По условию = М © N . Определим оператор J : Е1 —> Е'2 равенством Л = (Бхм,хл,), где х = хм+хм, хмеМ, xNeN. Сразу заметим, что 5л- = Бхм . Возьмём (>',«) е Е2 . Тогда в силу сюръективности оператора 5 существует т е М такой, что Бт = у. Отсюда, для вектора х = т + п будем иметь ■/*:=(у,п). Это означает, что построенный оператор J отображает пространство Е, на Е'2. Имеем Кег{3) = {0}, так что J - изоморфизм. При этом Б = PJ . Лемма доказана.

Используя лемму, можно следующим образом провести Доказательство теорем Наймарка и Кашина - Куликовой. Пусть {ф«}п=1 ~ фрейм в гильбертовом пространстве Я Рассмотрим синтези-

оо

рующий оператор Б:12 —> Н , определяемый равенством Бх = , и

Я = 1

сопряжённый к нему анализирующий оператор Б : Н —» 12, для которого

* 2 м » ||2 2

Б^ = {(я,Ф„)}"=1-По условию ЛЦ^Ц <!|5' < Д^Ц . Это означает, что

оператор 5 является инъекцией. Следовательно, (см., напр., [5, с. 20]), оператор 5 является сюръекцией. По лемме и с учётом того факта, что в

138

гильбертовом пространстве всякое подпространство дополняемо, получаем, что оператор 5 является проекцией изоморфизма 3 :12 -->//' Выберем норму в декартовом произведении Н' = Нх.М следующим образом: ]|(Я)х)||2=||§|2+||>||2, где у : А1N - произвольный изоморфизм со

свойством Ф12 ¿¡[/хЦ2 <Я||*!2• Тогда согласно построению изоморфизма 7 при доказательстве леммы будем иметь Л|!х||2 <||7х||" < х||2 . Итак, если - каноническая система ортов пространства /2, то = 7е„,

п = 1,2,..., - искомый базис Рисса пространства Н' Причём в случае А = В = 1 этот базис ортонормированный.

Установленные теоремами Наймарка и Кашина - Куликовой «проекционные» характеристики фреймов в гильбертовом пространстве были положены Ханом и Ларсоном [4] в основу определения понятия фрейма в банаховом пространстве.

Определение (Хан, Ларсон). Система {ф„}"=1 ненулевых элементов банахова пространства Р называется фреймом (далее, фреймом Хана - Лар-сона), если существуют объемлющее банахово пространство Р' :э и безусловный базис пространства Р' такие, что ф„ =Р\\1П, п = 1,2,...,

где Р: F' -> F' - непрерывный линейный проектор из Р' на Р.

По аналогии с приведённым доказательством теорем Наймарка и Кашина - Куликовой, можно получить следующее утверждение.

ТЕОРЕМА. Система {ф„}^=] ненулевых элементов банахова пространства Р является фреймом Хана — Ларсона тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) {фл}д_, - система представления в пространстве V безусловно

сходящимися рядами;

2) пространство коэффициентов нуль-рядов

ОС

ДГ(ф) = {х = {хп}: = 0 - сходимость безусловная}

П—\

дополняемо в пространстве всех коэффициентов системы

ос

Х(ф) = {х = {хп} :ряд ХхпФп безусловно сходится}

В работе автора [6] предложено другое более общее определение фрейма в банаховом пространстве.

Определение. Система {ф„ }"=, ненулевых элементов банахова пространства Р называется фреймом относительно пространства последовательностей X, если для любого функционала g е Р его коэффициенты Фурье по элементам системы удовлетворяют неравенствам

Asi- Ф^ф„)}:=4.

где постоянные А, В > 0 не зависят от g.

Можно' показать, что фреймы Хана — Ларсона - это в точности фреймы в банаховом пространстве F относительно пространств последовательностей X с безусловным базисом из канонических ортов, пространства коэффициентов нуль-рядов которых дополняемы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1940. Т. 4, № 3. С. 277-318.

2. Duffin R., Schaeffer A. A class of nonharmonic Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 72, № 2. P. 341 - 366.

3. Кашин Б. С., Куликова Т. Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Мат. заметки. 2002. Т. 72, № 6. С. 941 - 945.

4. Han D., Larson D. Frames, bases and group representation // Memoirs AMS. Providence, Rhode Island, 2000. № 697.

5. Пич А. Операторные идеалы. M.: Мир, 1982.

6. Терехин П. А. Системы представления и проекции базисов // Мат. заметки. 2004 (принято к печати).

УДК 517.51

Г. В. Хромова

ОБ ОЦЕНКЕ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Задача вычисления модулей непрерывности - одна из известных задач теории приближения функций. Она тесно связана с определением точных констант в неравенствах типа Колмогорова, где в качестве неограниченных операторов фигурируют операторы дифференцирования различных порядков, рассматриваемые на оси или полуоси [1]. С другой стороны, в теории уравнений первого рода исследование вопроса об оценке погрешности приближённого решения очень часто сводится к получению оценок для величины, характеризующей погрешность на некотором классе решений, через модуль непрерывности обратного неограниченного оператора [2], и тогда актуальной становится задача о величине порядка этого модуля непрерывности.

В данной статье предлагается метод получения двусторонних, точных по порядку оценок модуля непрерывности неограниченного оператора

'Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

140