CC BY
6
УДК 517.929.7
В. П. ЛЯШЕНКО, Т. А. ГРИГОРОВА
Кременчуцький нацюнальний ушверситет iMeHi МихайлаОстроградського
ЗАГАЛЬНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕС1В ОБРОБКИ ВИРОБ1В У ПОРОШКОВ1Й
МЕТАЛУРГП
С единой точки зрения рассмотрены математические модели тепловых процессов, которые протекают во время спекания, прессования, отжигов и производства проволоки методами порошковой металлургии. В основе математических моделей рассматриваются нелинейные начально-краевые задачи для линейного или нелинейного уравнения теплопроводности. При решении задач для определения параметров управления нагревом рассматривается нелокальное интегральное условие. Предложены алгоритмы решения сформулированных задач.
V. P. LYSHENKO, Т. А. HRYHOROVA
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University
THE GENERAL MODEL OF PROCESSING PRODUCTS IN POWDER METALLURGY
Annotation
From the single point of view the mathematical models of thermal processes, which flow during sintering, pressing, annealing and wire production the methods of powder metallurgy, are considered. In basis of mathematical models nonlinear initially boundary problems are examined for linear or nonlinear equation of heat conductivity. At the problems for determination of actuating error heating a nonlocal integral condition is examined. The algorithms of solution of the formulated problems are offered.
Основт технолопчт процеси у порошковш металургп пов'язат 3i стканням, пресуванням та терм1чною обробкою. Шд час формування виробу при тдвищених температурах ввдбуваеться штенсивна дифузiя домшок та пластифiкатора, що значно впливае на фiзико-механiчнi властивостi готово! продукцп. Для багатьох технологiчних процесiв характерною особливютю е обробка рухомих об'екпв, наприклад виробництво дроту. Термiчна обробка у цьому випадку може використовуватися в комплекс з пластичною деформащею [1-5]. Окрiм звичайних методiв термiчно! обробки застосовуеться термоциклiчна та iмпульсна обробка, яка особливо ефективна тд час отримання надтонкого дроту i3 застосуванням технологи електропластичного деформування [4,7]. Одержати повну необхiдну iнформацiю про температурний розподiл та розподiл концентрацп речовини за допомогою вимiрiв шд час технологiчного процесу бувае досить складно, а iнодi неможливо. Дослщжуючи вiдповiднi математичнi моделi, аналiзуючи отримаш результати та порiвнюючи !х з натурними експериментами дозволяе побiчно контролювати температурнi розподiли i керувати технолопчними процесами. У багатьох випадках математичш моделi краще ввдображають процеси названия та змiну концентрацп домiшок тж натурнi замiрювання температури.
У якосп математичних моделей розглядаються початково-крайовi задачi для лiнiйного та квазiлiнiйного рiвняння теплопровiдностi у цилiндричнiй системi координат (r, z, р, t). Особливостями
таких моделей е те, що задач^ як1 лежать у !х основi, описують тепловi процеси рухомого та нерухомого середовища за допомогою рiзних видiв рiвняння теплопровiдностi.
В основу математичних моделей процеСв термодифузи покладенi лiнiйнi та нелшшш крайовi та нелокальнi задачi для рiвняння теплопровiдностi та дифузп з нелiнiйними крайовими умовами на межах область
Оскiльки бiльшiсть температерних розподшв, що виникають пiд час названия виробiв цилшдрично! форми не залежать вщ координати р, то частинною похвдною у рiвняннi по цш змiннiй
можна знехтувати. Дргг та iншi вироби цилшдрично! форми розглядаються у виглядi рухомого або нерухомого цилiндричного iзотропного середовища зi сталими теплофiзичними характеристиками та параметрами з довжиною зони нагрiвання L. Дослвджуються математичнi моделi температурних полiв у яких дiють як зовшшш так i внутрiшнi джерела тепла. Внутрiшнi джерела, як1 вщображаються у виглядi фiнiтноl функцil тепла W(z, t,T) у рiвняннi, спричиненi дiею електричного струму, що пропускаеться через середовище або iндукуеться у ньому. Зовнiшнi спричиняються теплообмiном з навколишнiм середовищем за законами Ньютона та Стефана-Больцмана i представленi у виглядi граничних умов першого, другого або третього роду.
Метою дослвдження е узагальнення математичних моделей, що описують технолопчш процеси сткання, пресування та рiзнi види термiчноl обробки виробiв з порошкових матерiалiв. Це досягаеться за рахунок представлення !х у виглядi едино! моделi термодифузi!, яка включае в себе початково-крайовi задачi для рiвнянь теплопровiдностi та дифузi! з дшчими внутрiшнiми або зовнiшнiми джерелами тепла
та вадповадними краиовими умовами, що дозволить знаити единии розв язок для подальшого комп'ютерного моделювання.
Математична модель теплових процес1в та дифузп речовини тд час в1дпал1в та сткання вироб1в 1з порошкових матер1ал1в розглянута як розв'язок системи диференщальних р1внянь теплопровщносп та дифузи з вщповвдними краИовими умовами, що пов'язують мгж собою щ два р1вняння [5].
срТ -ЛАТ + е2р2йНгПр) = Ж(Т,Р,г), Р еО, г > 0,
шС( -шБАС + Шу(Сур) = -/(С,Р), Р е О, г > 0. (1)
У найб1лъш повнш постановщ щ задач пов'язаш граничними умовами та сшввщношенням мгж град1ентами концентрацп та температури
3(С,Т) = -ВХ\УС + ^УТ I,
(2)
де О, ш, сI р^ Л, х, кт - стал1 величини, зокрема 0 < х < 1,0, Р - координата.
Математична модель термодифузп температурного поля цилшдрично! обласп Ох г: {0 < г < г0, 0 < г < Ь, г > 0} нестацюнарного нелшшного р1вняння
1 д( дТ | д I
мае вигляд одн1е1 1з краиових задач для наступного неоднорщного
Л(Т)г — | + —\ Л(Т)дТV V(г) — -ерп — = -Ж(Т,Р, г). Г дг 1К V ' дг ) д1 У V ' д2 ) д2 Рп Ы К '
(3)
У математичних моделях температурного поля нерухомо! цил1ндрично! обласп р1вняння (3) у(г) = 0 . Якщо коефщент теплопроввдносп Л(Т) лшшно залежить в1д температури, то нел1ншне р1вняння (1) перетворенням Кирхгофа [4] можна звести до лшшного. Подальше спрощення р1вняння, шляхом застосування штегрального перетворення (усереднення по рад1усу), можна проводити коли температурне поле не залежить ввд змши рад1уса г та розглядаеться друга або третя краИова задача по рад1усу [3-7]. Таке штегральне перетворення дозволяе зменшити розм1ршсть р1вняння. Якщо задача стацюнарна або кваз1стацюнарна, то ми приходимо до лшшно! або нелшшно! краИово! задач1 для звичаИного диференщального р1вняння другого порядку.
В залежносл в1д типу обробки 1 джерел тепла, як1 дшть на заготовку, змшюеться функщя джерела тепла Ж(Т, Р, г). Якщо розглядаються внутршне джерело тепла вона мае наступниИ вигляд
Ж(т,г) = /{(г)/2(Т), якщо зовшшне Ж(Т,Р, г) = 0 [3-7]. Для кожного типу обробки змшюеться
представления функцш (г) та /2(Т). У випадку нерухомо! заготовки для процес1в пресування,
12Р0 (1 + рТ)
сткання та вщпалу У2 (Т) = -
2 4 Л Г0
а Л (г) = 1. У випадку, якщо у якост1 заготовки
розглядаеться надтонкиИ дргг тд час електропластично!' обробки [7] (г) мають вигляд
// (' ) =
г ( 1 |
т--тп, пго < г < I п +— I го;
г0 { т)
0, (п + — ^ ^ < г <(п + 1)^, г < 0.
(4)
Якщо розглядаеться термоциктчна обробка нерухомо! заготовки [4,7] у пресформ1 окр1м одноциклових в1дпал1в, тод1 функцЦ (г) мають наступниИ вигляд
/г (г) = 0,5
У13(г) Ч
(
\
1 - соб -
1о )
--2п,
г
/г (г) = Б1П 2п% < г < (2п + 1)^;
Г1Л V го )
(5)
--+ 2(п +1), (2п +1)^ < г < (2п + 2)^,
де ^ - час одного термоциклу.
<
t
о
Якщо дослвджуеться температурне поле для нерухомого або рухомого середовища, що розир1ваеться постшно дшчими внутршшми джерелами тепла, то до р1вняння (3) додаються крайов1 умови, що вщображають взаемодш поверхш цил1ндра з навколишшм середовищем
T (г, z,0) = Г ; (6)
Г (г,0, t ) = T1(t), Г (г, L, t ) = Г2 ^). (7)
дГ_ дг
г=0
= 0, Л(Г)дГ
дг
= +
а/{ (; \ГС - Г )+о/{ (; )г4 - Г4)
(8)
г=г0
де а, г, о - коефщент тепловщдач1, стешнь чорноти та постшна Стефана-Больцмана, щ - радус, Гс > Г0. Коли б1чна поверхня цил1ндра втрачае тепло з поверхш, то у правш частиш умови (8) сл1д розглядати перед квадратними дужками знак мшус. Коли цил1ндрична поверхня роз1гр1ваеться за рахунок теплообмшу через б1чну поверхню в умов1 (8), у правш частиш сл1д поставити знак плюс. Коли середовище розир1ваеться одночасно постшно дшчими внутршшми та зовшшшми джерелами тепла, то в умов1 (8) перед квадратними дужками сл1д розглядати знак плюс.
Б1льш ширша математична модель термодифузи температурного поля гарячого пресування та сшкання приводить до розв'язання крайово! задач1 для двошарового цил1ндра. Зовшшнш цилшдр це металева або графггова прес-форма, яка може роз1гр1ватися як внутршшми так 1 зовшшшми джерелами тепла, а внутршнш цил1ндр - це порошок або холодно спресований вир1б, який роз1гр1ваеться за рахунок передач1 тепла теплопровщшстю або конвективного теплообм1ну ввд зовшшнього цилшдра [5]. Для цилшдрично! обласп Ох t: {0 < г < г0 ,0 < 7 < L, t > 0}, вона мае вигляд системи, де перше р1вняння
описуе температурне поле цил1ндрично! прес-форми, а друге - температурне поле холодно спресованого виробу.
дТ
1 д дТ12 д 2Т12 г дг дг —е д1
1 2
12р0(1 + РР2)
52
0,
г - А < г < г0;
0 < г < г - А ,
(9)
де £ - площа шльця.
Крайов1 умови визначаються законом теплово! взаемоди м1ж навколишшм середовищем та поверхнею прес-форми або виробу
0 < 7 < I, Г12 > 0,
Г1,2(г, 7,0) = Гс, Г1,2(г,0, t) = Г0, Г1,2(г, I, ^ = Г,
А
дГ1 дг
г=г0 +а1 (Г1 - Гс ) + г1о(Г14 - Г4) = 0,
а Г
дг
дг
г=г0 - А-0 +а2 (Г1 - Гс ) + г2о(Г14 - Гс) = 0,
дТ
-а-(Т- -Тл)-гоТ -Т1) = 0, —2
дг
= 0.
(10) (11)
(12)
(13)
(14)
Математична модель термодифузи, що описуе зм1ну концентрацп пластифжатора 1 легкоплавких домшок у вироб1 мае вигляд
Л1 д ( дС Л д2СЛ Б--1 г— +—-
г дг ^ дг ) —е
дС дС дС -V —с-у —с-—с = Г(Т С,Р), д2 дг д
(15)
де /(Г, С, Р) = уГ(г, г, t), 0 < у < 1,0.
Крайов1 умови е умовами змши концентрацп пластифжатора та легкоплавких домшок у вироб1, що сшкаеться.
Б
—с
дг
г=г0 +А-0
= -Х-\РС + к-1Б ^(Г2 - Гс!) +е-° (Г24 - Гс4!)
Я
А
—с
дг
= 0,
г=0
б
&
д С
-РС = 0, —С-
дг
+ РС = 0.
(16) (17)
Крайова умова (16) визначае вплив температури на змшу концентрацп домшок.
2
Розв'язки крайових задач, що моделюють процеси термоциктчно! обробки, навггь тсля застосування iнтегрaльного перетворення по однш i3 координат можна отримати лише чисельними методами. Нaйбiльш ефективним чисельним методом розв'язку таких задач е застосування неявних рiзницевих схем, зокрема схеми Кранка-Школсон i схему змшних нaпрямiв Дугласа-Ганна [8].
Розглянемо розв'язок зaдaчi термодифузй' для двошарового цилiндрa. Вiн складаеться з шлькох етaпiв. Спочатку знаходимо температурний розподш у зовнiшньому цилiндрi, а дaлi переходимо до розв'язання зaдaчi у внутршньому цилiндрi. Таким чином маемо двi почaтково-крaйовi зaдaчi:
- одновишрну ввдносно температури T(z, t) для визначення температурного поля на границ зовнiшнього i внутрiшнього цилiндрiв
¥§ - ^ + %+" [Т - ^Т"*)]+ (Ш
(18)
+ Л£_ д% - с2р2S1dT = 0 2 5z2 25t '
v(0, t) = v(l,0) = T0, v(l, t) = T (19)
2
де S1 = n(r0 - A) ;
- двовимiрну щодо визначення температурного розподiлу та концентрацп плaстифiкaторa у внутрiшньому цилiндрi
„1 5 t 5T2 ч „ 62T2 5T2 п
+ Ä2 - c2P2 —2 = 0, (20)
r 5r 5r -z 2 5t
0 < r < r0 -A, 0 < z < l, t > 0;
D
f-1 + 5 C
r 5r ^ 5r ) 5Z2
5C 5C
- vz 5C-5C = /(T,C,P), (21)
5z 5t
Г2(г, 2,0) = То, (22)
т2(г,о, г) = то, тг(т, I, г) = т. (23)
Крайовi задачi (18)-(19) i (20)-(23) е нелiнiйними завдяки нелшшносл у граничних умовах, але початковi функци - е гладкими, тому ввддаеться перевага використанню рiзницево! схема Кранка-Николсон, яка мае другий порядок точностi. Але з точки зору комп'ютерного моделювання використання рiзницево! схеми Кранка-Нiколсон для крайових задач (18)-(19) i (20)-(23) не е дощльним, тому що задача (18)-(19) е одновимiрною, а (20)-(23) двовимiрною. Для розв'язку задачi (20)-(23) обираемо загальну неявну схему змiнних напрямiв Дугласа-Ганна, алгоритм яко! можна описати за
+1 1
допомогою послвдовносп рiшень, що апроксимуються и , и i т.д. рiвняння Кранка-Николсон [6] та на кожному крощ розщеплювання, задача зводиться до розв'язку системи лшшних алгебра!чних рiвнянь з трьохдiагональною матрицею. Лiнiарiзацiю нелшшно! гранично! умови виконуемо зпдно методу Ньютона - Рафсона - Канторовича [9].
Кшцево^зницева схема Кранка-Школсон для задачi (18)-(19) в обласп Ох£ {0 < 2 < I, £ > 0} з штервалами: к = I / М, & = ¿0 / 70 мае вигляд
uJ+1 - uJ uj+-,1 - 2uJ+1 + u J+1 + uj, - 2uJ + uj
a
де
^-^ = »г-1 ^ ^ ^ ^^^+1 + +1 + 1)4 -
A t 2h2 ' г
f T2„ n ^
A =
2r0 so
' Poß , 2r0a 1 a2 = C1PS +c2p2S1 C v S(¿1S + ¿2S1 ) (¿S + ¿S1)J' (¿S + ^) ' " (¿S + A2S1)
12 Po 2r0(aTc +soT4)
B =--1lpo-+ .2'0(
S (¿S + ¿2S1) (¿S + ¿2S1) Кiнцево-рiзницевa схема Дугласа-Ганна для розв'язку зaдaчi (20)-(23) в облaстi
Пх t {0 < r < ro -A, 0 < z < l, t > 0} з iнтервaлaми h- = (ro -A)/N, ^2 = l / M, At = to / jo мае вигляд
.3+1/2 _,.} 3 „>+1/2 - „3 +1/2 +1/2 -2мУ+1/2 + 7+1/2
1п,ш „п,т _ А „П +1,т „п,т А „п-1,т 2„п,т + „п+1,т
Аt /2 гс2Р2 2^1 с 2 ^2 к2
А2 „П,т-1 - 2„п,т + „П,т +1
+
с2Р2 ¿2
¿+1-,,3+1/2 „7+1/2- „3+1/2 „у+1/2-2„у+1/2 + „>+1/2
„п,т „п,т _ А2 „п+1,т „п,т „п-1,т 2„п,т + „п +1,т
Аt /2 гс2Р2 2Й1 с2Р2 к2
„ 7+1 2„ 7+1 + „ 7+1
А2 „п,т-1 п,т + „п,т +1
с2Р2 ¿2
-„> +1 + 4п{ +}-3„1+1
• 2,т 1,т 0,т п р.
на границях област1 ------— = 0, для п = 0,
2^1
для п = N поставляемо значения з матриц температурного розпод1лу на границ внутршнього цилшдру.
„3+1/2-2„>+1/2 + +1/2
Гп-1т п,т + „п +1,т
3+1/2 _ > 1 3+1/2 7+1/2
„п,т „п,т _д„п+1,т „п,т ^
Аt/2
2к
■ +,
+ Б-
„
3
п,т-1
1
2^17 т + .
ы
к2
„3 +1 3+1/2 п„3'+1/2 -„3 +1/2
„п,т „п,т Б „п +1,т „п,т
п,т + „п,т +1 _ Т) +1 уГт
Аt/2
г0
+ Б-
2к
+ Б-
.3 +1/2-2„3 +1/2 + +1/2 п-1,т п,т + „п+1,т
3+1 -2„3 +1 + „3 +1 п,т-1 п,т + „п,т +1 Т] +1 . о уГп
¿2
+
на границях обласп
-„3+1 + 4„/ +}-3ы1+1
2,т
1,т
0,т
2к
= 0 для п = 0,
- „3+1 + 4„3 +1 - 3„3+1 uN ,ш + N-1,т 3uN-2
2,т
2к
= -Х
рс +
( 02
кГБ А
т3'+1 1N + V г2оБ
А
Л Л
(Г +1)4-(Г^+1)4)
для п = N .
) )
У роботах [4-7] проведет чисельш розрахунки температурних розподшв для одноциклово! та термоциктчно! обробки вироб1в цил1ндрично! форми.
Запропонована узагальнена математична модель описуе широке коло процеСв обробки вироб1в з порошкових матер1ал1в 1 дозволяе знайти единий шдхвд для розв'язку крайових задач, якими вона представлена. Н можна застосовувати для виконання розрахуншв у зош нагрiваиня рухомих та нерухомих осесиметричних середовищ. Аналiз отриманих моделей дозволяе визначати параметри керування температурними полями та проектувати системи управлшня ними.
Лiтература
1. Кипарисов С. С. Порошковая металлургия / С. С. Кипарисов, Г. А. Либенсон. - М.: Металлургия, 1972. - 527 с.
2. Федюкин В. К. Термоциклическая обработка металлов и деталей машин / В. К. Федюкин, М. Е. Смагоринский. - Л.: Машиностроение. Ленинград. отд-ние, 1989. - 255 с.
3. Березовский А. А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики Ч.1,2 / А. А. Березовский - К.: Наукова думка, 1976. - 292 с.
2
к
1
„
4. Ляшенко В. П. Моделювання процеав пресування та сткання порошкових MaTepianiB / В.П. Ляшенко, Т.А. Григорова // Вюник Зaпоpiзького державного ушверситету. Сер. Фiз.-мaт. Науки - 2008. - №1. - С. 124-130.
5. Ляшенко В. П. Математична модель високотемпературно! дифузп у замкненш облaстi / В. П. Ляшенко, Т. А. Григорова // Вюник Кременчуцького державного ушверситету iм. М. Остроградського. - 2010. - №5/(64), частина 1. - С. 65-68.
6. Григорова Т.А. Комп'ютерне моделювання процеав високотемпературно! дифузи / Т.А. Григорова // Вюник Кременчуцького нацюнального ушверситету iмeнi Михайла Остроградського. - 2013. - Вип. 2/(79). - С. 46-50.
7. Ляшенко В. П. Математична модель температурного поля рухомого iзотpопного середовища / В. П. Ляшенко, О. Б. Кобильська // Вюник Зaпоpiзького державного ушверситету. Сер. Фiз.-мaт. Науки. - 2008. - №1. - С. 130-136.
8. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2 т. / Д.Андерсон , Дж. Таннехилл, Р. Плетчер ; пер. с англ. С.В. Сенина, Е.Ю. Шальмана - М. : Мир, 1990. - 384 с.
9. Richtmyer R.D. Difference methods for initial value problems. / Richtmyer R.D. - New York: Intercience. - 1957. - 377 p.
