CC BY
40
УДК 519.63
В.П. ЛЯШЕНКО, В.П. ЧЕРНЕНКО, ОБ. КОБИЛЬСЬКА, А.В. АН1СКОВ
Кременчуцький нацюнальний ушверситет iMeHi Михайла Остроградського
МОДЕЛЮВАННЯ ТЕРМОПРУЖНОГО СТАНУ П1Д ЧАС ЕЛЕКТРОПЛАСТИЧНО! ДЕФОРМАЦП
Розглядаеться математична модель температурного та напруженого стану рухомого iзотропного осесимметричного середовища з перюдично дЮчим iмпульсним джерелом тепла. Математична модель у виглядi системи крайових задач для диференщальних рiвнянь теплопровiдностi i термопружностi описуе процеси, що вiдбуваються у тонкому рухомому дротi тд час електропластичноi деформацп. Вивчаються особливостi впливу iмпульсних джерел тепла на температурний розподт та розподы напружень i перемщень. До^джуються залежностi мiж мехатчною напругою i нагрiвом зразюв при пропусканы iмпульсiв струму. Отримат чисельт розрахунки для цинку, мiдi та неметалевих сплавiв, побудован графт температурних розподтв та розподтв напружень i перемщень тд час електропластичноi деформацп. Показано, що тд дiею iмпульсного струму пластичтсть збыьшуеться до 40 %.
Ключовi слова: математична модель, температура, напруження, електропластична деформащя, тонкий стержень.
V.P. LYASHENKO, V.P. CHERNENKO, E.B. KOBILSKAYA, A.V. ANISKOV
Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University
MODELING OF THERMOELASTIC STATE DURING ELECTROPLASTIC DEFORMATION
Annotation
In the paper the processes that occur in a thin moving thermoelastic rod during electroplating deformation is described. The purpose of the study was to create the mathematical model of temperature and stress state in the mobile isotropic axisymmetric environment with periodically operating pulse sources of heat. The constructed mathematical model is a system of boundary value problems for differential equations of heat conduction and thermoelasticity. Features of action of pulse sources of heat on temperature distribution, stress and motion distribution are studied. The relationship between stress and heating of samples during the transmission of current pulses is investigated. Numerical calculations for materials zinc, copper and non-metallic alloys are received. Graphs of temperature distributions, stress and motion distribution during electroplastic deformation are built. The obtained numerical calculations have confirmed the fact that at one and the same current density more time pulse causes a decline in mechanical stress. It is shown that under pulsed current ductility increases to 40 %. The results can be used for the calculation of temperature field and stress field by passing current pulses during electroplastic deformation of thin rods. The results that are obtained in this paper can be used in the design of automatic control systems and control of temperature and stress distributions in the production of wire with a given physical and mechanical properties
Keywords: mathematical model, temperature field, stress, electroplastic deformation, thin rod.
Постановка проблеми. Для тдвищення пластичносп тугоплавких та важкодеформ1вних метал1в тд час процесу волочшня дргт, як правило, шд1гр1ваеться до температур 6000-10000С. Ыльш економ1чним, для досягнення ще! мети, е застосування електропластичного ефекту (ЕПЕ) одночасно з процесом пластично! деформацп, який було виявлено при розтягуванн 3i струмом монокристал1в чистих метал1в. Тонш дроти, стрижн та стрiчки i3 металiв i сплавiв знаходять широке застосування у рiзних галузях промисловосп i техтщ. Ввдомо, що у багатьох металах i сплавах тд дiею температур вщбуваеться структурна релаксащя, яка в свою чергу призводить до змши фiзичних властивостей матерiалiв i виробiв iз них, попршуючи експлуатацiйнi характеристики. Найбiльш штенсивно структурна релаксацiя протiкае при нагршант аморфних сплавiв, в тому числ^ викликана проходженням електричного струму. У зв'язку iз цим дослвдження впливу iмпульсних струмiв на структурнi змши е актуальною задачею. При пропусканш iмпульсiв електричного струму вщбуваеться збшьшення температури за рахунок видiлення джоулева тепла. Важливим, з практично! точки зору, е урахування теплово! ди iмпульсного струму, яке включае в себе точне вимiрювання або розрахунок нагрiву зразк1в i оцiнку впливу цього на^ву на !х деформацш.
Аналiз останшх дослiджень i публшацш. Експерименти по дослiдженню впливу iмпульсiв електричного струму були проведенi у [1]. Лазерним вимiрювачем температури проводилось вимiрювання нагрiву зразк1в протягом всього процесу деформацп. Також проводились дослщження по вивченню впливу довжини iмпульса електричного струму на характер спаду механчно! напруги. За результатами проведених експериментiв встановлено, що пропускання iмпульсного струму викликае спад механiчно! напруги бшьший, нiж нагрiв у печ^ Встановлено, що пропускання iмпульсiв електричного струму високо! щiльностi викликае спад механчно! напруги на дiаграмах навантаження,
повязане не лише iз на^вом зразшв, але i зi структурними перетвореннями. Спостерiгаeться лiнiйна залежнiсть спаду напруги вiд температури, характерна для кожного сплаву. Для експериментальних дослвджень впливiв iмпульсiв електричного струму в [1] були обраш стрижнi iз аморфних металiчних сплавiв з рiзним елементним складом. Однак вимiрювання i контроль температури напружень i деформацш може бути проведений i за допомогою математично! моделi процесу iмпульсно! обробки стрiчок i стрижнiв iз металiчних сплавiв, - це дозволяе не лише прогнозувати х1д проведения процесу пластично! деформацп, але i керувати процесом пластично! деформацi!.
В роботах [2-4] побудована математична модель температурного поля рухомого надтонкого дроту, що пiддаеться iмпульснiй дi! електричного струму шд час електропластично! деформацп. Наведенi результати теоретичних дослвджень впливу термiчно! складово! електропластичного ефекту на пластичш властивостi дроту. Теоретичнi дослщжения напруженого стану i перемiщень пвд час iмпульсно! дi! струму не розглядались, а в рядi робгг були отримаиi експериментально [2]. Тому актуальною е задача побудови математично! моделi термонапруженого стану пiд час електропластично! деформацп зразшв.
Мета роботи. Метою роботи е побудова математично! моделi термопружного стану у рухомому iзотропному осесимметричному середовищi iз циктчно дшчим iмпульсним джерелом тепла. На основ1 побудовано! математично! моделi - дослщити залежиостi м1ж спадом мехашчно! напруги i нагрiвом зразк1в при пропусканш iмпульсiв струму та провести чисельш розрахунки iз дослiджения «напруги-перемщения» при впливi iмпульсним струмом.
Матерiали и результати дослiджень. У якосп матерiалiв для дослвджень впливiв iмпульсiв електричного струму були обраш аморфш металiчнi сплави, цинк та мвдь. Струм, що проходить через
8 9 2
дргт мае щшьшсть ввд 10 до 10 А / м . Довжина iмпульсiв складала т ~ 0,625 с. Математична модель процесу дозволяе розраховувати температуру i контролювати !! протягом усього процесу.
Математична модель температурного стану iзотропного осесиметричного середовища з постшними теплофiзичними характеристиками розглядаеться у виглядi крайово! задачi для
нестацюнарного рiвняння теплопровiдностi в областi ОхI = |0 < г < /,0 < г <Гд,0 < I < } з границею -О [2, 3]
„1 д г дГ „ д2Г дТ дТ „„ , ^
я-—(г —) + -уарп — -срп — = -Ж(г,^Т),(г,г) е О, (1)
г дг дг дГ 2 -г дt
Т (г, г,0) = Т0, (2)
Т(г,г,0) = Т», Т(г,г,1) = Т, (3)
-т
дг
г=0
= 0,1— дг
= -а(Т-Тс)-о(Т4 -Т4), (4)
Г=г0
де Я,а - коефiцiенти теплопровiдностi та конвективно! тепловiддачi з поверхнi; 8, о - стутнь чорноти та постiйна Стефана-Больцмана; а гд - радiус; Ж(г, t,T) - функщя джерел тепла, яка мае вигляд
Ж(г, ^Т) = /г)/2(Т), (5)
Ж(г,^Т) = /)/2(Т), (6)
де
12Р0(1 + £Т) /2(Т ) =--,
Р0,Р - питомий опiр i температурний коефiцiент опору. У випадку математично! моделi з постшно
1 2
дшчими джерелами тепла у зош нагрiвания функцi! / (г), / (t) приймаються рiвними одиницi [4], а у
1 2
випадку перюдично дшчих джерел тепла, що залежать ввд часу та координати, функцi! /1 (г), /1 ^) мають вигляд [2-4]
/11(г) =
тг - тп, п10 < г <|п + — 1/0 10 1т,
0,|п + — |/0 <г<(п +1)/0,г<0
/ 1« Ч
t I 1
т--тп,п^ < t <1 п+— lto
to V т)
0,|п+—10 <t<(п +1)t0,t<0
(7)
Тут параметри т, п визначають характер перюдично дiючих джерел тепла. У найпростшому випадку /11 (г) = 1.
Розглянемо задачу (1)-(4). Для термiчно тонкого середовища можна провести усереднения температури уздовж радiуса, урахувавши при цьому умову (4). Задача (1)-(4) трансформуеться у наступну
Л
д2и дг 2
ди
ди
- - срп — = ^1(и, t), 0 < г < /, 0 < I < 10
дг дt
и( г, 0) = Т0, и(0, t) = Т , и(/, t) = Т,
(8)
(9) (10)
де
т?( а А2 Р0 . 2аТс , 2ео 4 4 ,12 р0 /3 2а
Жи, t) = -(—г-т- +-+-(Тс - и ) + (——---)и).
п2 Г(4 г0 г0 п2 г04 г0
Розглянемо наближений розв'язок задачi (8)-(10) в обласл 0 < г < /, 0 < t < to [5]. Введемо рiвномiрну сiтку для рiвнияння теплопроводностi со , таким чином, щоб точки розриву попадали у вузли атки, атковий оператор Лапласа вiдповiдае апроксимацп оператора теплопровiдностi, тобто
АУ = - Угг •
Запишемо для рiвняння i граничних умов рiзницеву схему з вагами. У внутршшх вузлах сигси використовуеться рiзницеве рiвияння з квазшнеаризованою правою частиною
Уп+1т Уп + V (о1 Уп+1 +(1-о1) Уп ) + А (о2 Уп+1 +(1 -о2 ) Уп ) = tn+1, Уп+1),
г ес,п = 0,1„„ У0 (г) = Т0.
При пропусканш iмпульсу електричного струму вiдбувалось збшьшення температури за рахунок видiления джоулева тепла.
Шд дiею тепла твердi тiла розширюються. Цей ефект термiчного розширения враховуеться у рамках теорп пружиостi.
Згiдно [6, 7], коли мехашчш властивостi матерiалiв залежать вщ температури, визначальнi спiввiдношения можиа записати у наступному виглядi, використовуючи температурно-часову аналопю:
" -V ( X, t)
о ( г, t ) = Е Рiвияния руху стрижия мае вигляд:
-X
--Ли
до(г, ^ д2v(г5 ^ Я -Р Л =0.
дг -Г
Нестацiонрнi термопружиi деформацп описуються рiвнянням
д2V „д2V
ди
Р—1г-Е—г- + ЕЛ— = 0, 0 < г </, 0 < t < (л. Р дt2 дг2 -г 0
Початковий стан визначаеться умовами
< ,0) = 0, ^ 0.
(11)
(12)
(13)
(14)
Граничш умови мають вигляд [8-9]
г(0, г) = 0, V (I, г) = Ы. (15)
у формулах (13)—(15) а - напруга, V - перемщення, г - повздовжня координата, I - час, Е - модуль Юнга, р - щiльнiсть матерiалу, X - коефщент теплопровiдностi, I - довжина стрижня.
Розглянемо задачу (13)-(15). Вважаючи температурний розподiл ввдомим. запишемо рiзницеву задачу для перемiщень.
Задачу (13)-(15) будемо розв'язувати сшнчено^зницевим методом. Для цього вводиться рiвномiрна рiзницева сита со . Поставимо у вщповвдшсть рiвнянню (13) iз урахуванням граничних умов наступну систему, неоднорiднi крайовi умови включаються в праву частину
р
й 2v
I--—
Л 2
+ ^ + Си = Е,
х ес.
(16)
де Он = {ЕАи^ |, аппроксимащя початкових умов дае
V0 ( - ) = Щ0 ( - ). На множит сггкових функцш для граничних умов маемо
^ т ду ( 3\
^ = V0 + + Т¥ + °(т).
На розв'язки рiвняння (13) це дае
2
VI = Щ + тщ + -^(Л"Щ + Си -Е(г,0)).
Використовуючи розрахований вище температурний розподш. розв'язуемо задачу (13)-(15) при вщомш температурi за наступною рiзницевою схемою
Р
^ ^ + ^ + Л(а^+! +(1 -а! vn +а2vn_1) = Е + Сип,
г е с,п = 1,2...
Чисельш розрахунки. На рис. 1 зображено залежтсть температури названия зразка в часi. При пропускан iмпульсiв електричного струму вiдбувалось пвдвищення температури за рахунок видiления джоулева тепла.
430
^ 73(0.4,^ щ Т4(04,0
и — —
^ 400
355
^-^^ЛДАДДЛ
О 0.625 1.25 1.375 2.5 5.125 5.75 4.375 5 5.625 «.25 О [ 6.25
Рис. 1. Температурт розподши при ] = 108 А \ т - сущльна крива,
при
] = 0,5 • 10 А \ т - пунктирна крива
4*10 4.5x10
.¡, ш/с"2 , густнна струму
Рис. 2. Залежтсть спаду мехатчно! напруги вiд густини струму
délia Т
Рис. 3. Залежтстъ спаду мехатчно!' напруги в1д змши температури тд час ди" 1мпулъсного струму на зразки
Рис. 3 показуе майже лiнiйну залежнiсть мiж спадом Mexam4Hoï напруги i HarpiBOM зразюв при пропусканш iмпульсiв струму. Найбшьш важливим е врахування тепловоï ди струму, що включае в себе точне вимiрювання або розрахунок на^ву зразкiв i оцiнкy впливу цього на^ву на деформацiю зразкiв. Результати чисельних розрахунюв пiдтверджyють експериментально встановлений факт, що при однш i тш самiй щiльностi струму бшьший час iмпyльсy викликае бiльший спад механiчноï напруги.
Висновки
1. Побудована у po6oTi математична модель дозволяе розраховувати температурне поле, поле напруги i перемщень при пропусканнi iмпульсiв струму пiд час електропластично! деформацй тонких стрижнiв.
2. Чисельнi розрахунки показали, що в аморфних сплавах лшшш дефекти структури, аналогiчнi дислокащям кристалiчноl решiтки, якi вiдповiдають за процес пластично! деформацп, або вщсутш, або достатньо сильно закршлеш внаслщок високо! концентрацп iнших дефектiв, що створюють бiльшi внутрiшнi напруження.
3. Отримаш чисельнi розрахунки пiдтвердили той факт, що при однш i тш самiй щiльностi струму бшьший час iмпульса викликае бiльший спад мехашчно! напруги [9]. При пропусканш iмпульсу електричного струму вiдбуваеться незначне збшьшення температури за рахунок видшення джоулева тепла.
Лтгература
1. Федоров В.А. Изменение свойств и структуры аморфных металлических сплавов под действием импульсного электрического тока : коллективная монография «Влияние внешних энергетических воздействий на структуру, фазовый состав и свойства материалов» / В.А. Федоров, Т.Н. Плужникова, А.М. Кириллов, А.В. Яковлев, С.А. Сидоров / Под. ред. В.Е. Громова. -Новокузнецк : СибГИУ, 2012. - 320 с.
2. Троицкий О.А. Электропластическое волочение и новые технологии создания облегченных проводов / О.А. Троицкий, В. И. Сташенко, В.Г. Рыжков, В.П. Ляшенко, Е.Б. Кобыльская // Вопросы атомной науки и техники (ВАНТ). - Харьков, 2011. - Вып. 4/2011. - С. 111-117.
3. Ляшенко В.П. Электропластическое волочение и новые технологии создания облегченных проводов / В.П. Ляшенко, О.А. Троицкий, В.И. Сташенко, В.Г. Рыжков, Е.Б. Кобыльская // Вопросы атомной науки и техники (ВАНТ). - Харьков, 2011. - Вып. 4/2011. - С. 111-117.
4. Ляшенко В.П. Исследование влияния термической составляющей на свойства проволоки при электропластическом волочении / В.П. Ляшенко Е. Б. Кобыльская, Т.А. Григорова, О.А. Троицкий // Вюник Кременчуцького нацюнального утверситету iменi Михайла Остроградського. - Кременчук, 2011. - Вип. 4/2011 (69), част. 1. - С. 57-62.
5. Самарский А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич - М. : Едиториал УРСС, 2003. - 782 с.
6. Гасанов А.Б. Распространение нестационарных волн в вязкоупругом полупространстве с учетом внутреннего теплообразования и зависимости свойств материала от температуры / А.Б. Гасанов, М.Х. Ильясов, И.А. Кийко // Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1987. - № 1 - С. 124-130.
7. Ильясов М.Х. Нестационарные термовязкоупругие волны / М.Х. Ильясов, А.Б. Гасанов - М : ВИНИТИ, №199-82, Деп., 1982. - 31 с.
8. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко - Киев : Наукова думка, 1970. - 309 с.
9. Боли Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер - М. : Мир, 1964. - 520 с.
