Обратная задача теории электромагнитного излучения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

УДК 535.2

М. Б. МОИСЕЕВ Б. К. НЕВОРОТОВ

Омский государственный университет путей сообщения

Финансовый университет при Правительстве РФ, филиал в г. Омске

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

По заданной на отрезке частот функции спектра излучения определяется электромагнитное поле, создающее этот спектр.

Ключевые слова: функция спектра излучения; электромагнитное поле.

Исследованию излучения электромагнитных волн посвящено большое количество работ [1 — 11]. Излучение исследуется в различных средах и от различных источников. При этом, как правило, изучаются спектральное распределение и другие характеристики излучения.

Если под прямой задачей теории излучения электромагнитных волн понимать определение спектра излучения 8(ю) по изменению во времени 1 функции электромагнитного поля Е(1), где функция Е(Ц может быть известной непосредственно или же определена через другие величины. То в обратной задаче теории излучения электромагнитных волн, напротив, известна функция спектра Б(ю), а необходимо определить функцию распределения электромагнитного поля Е(1;).

В данной работе авторами предпринята попытка решить обратную задачу в максимально возможном общем виде относительно предположений о поле излучения. Попытки решить задачу для специального вида полей были предприняты в работах [12, 13].

С точностью до соответствующих констант, прямая задача излучения сводится к равенству:

1

| Е(1).

е1Ш‘й

: Я(Ю) ,

(1)

начало и электромагнитное поле, образующее этот спектр. Совместим начало действия этого поля с моментом времени 1, равным нулю. Например, сказанное реализуется в установках под названием ондуляторы [4, 5]. Тогда Фурье-образ этого поля будет представляться односторонним интегралом Фурье:

(2)

Смысл именно такого обозначения Фурье-образа (равенство (2)) прояснится несколько позже.

Спектр есть квадрат модуля Фурье-образа, т. е. справедливо равенство:

ЗД =Ф+ (ю) -(ф+ (ю))*,

(3)

где звездочкой сверху обозначено комплексное сопряжение.

Преобразуем второй множитель правой части равенства (3), получим:

(Ф»)‘ =^1Е(Ч • е1“‘й11 =

1 0

= -^1 Е(1) • Є-М1 = Ф-(ю).

в котором Е(1;) — известная функция.

В общем случае, без каких-либо ограничений относительно функций Е(1;) и Б(ю), уравнение (1) не разрешимо относительно функции Е(1;). Действительно, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (1) и учитывая знак модуля, получим:

Е(1) = -^2= | л/Щ • е-1‘(ш+у(ш))аю ,

(4)

Здесь предполагается нечетное отображение функции Е(1;) на отрицательную ось. Если же продолжение на отрицательную ось организовано четным образом, то возникает равенство:

(ф+(ш|)* -ШЕ|,|е“,и 1 -

где у(ю) — произвольная действительная функция. Среди этого бесчисленного множества формальных решений, возможно, содержатся и физически ре-алзуемые, но нет критерия, по которому их можно было бы выделить.

Однако для неизвестной функции Е (,) существуют физические ограничения. Первое естественное предположение позволяет считать функцию Е (,) заданной на промежутке от нуля до бесконечности. Действительно, всякий физически наблюдаемый спектр имеет своё начало, то, следовательно, имеет

е1т1<Л = -Ф-(ю).

(5)

На отрицательной оси в (4) и (5) рассматриваются образы функции Е(,), но не сама функция, которая определена лишь для положительной оси. В свою очередь, образы функции Е(,) определены лишь для отрицательной оси и не имеют места (равны нулю) на положительной части оси. Так что равенства (4) и (5) представляют собой односторонние интегралы Фурье, заданные на отрицательной полуоси.

0

2

0

Далее, потребуем интегрируемости функции поля по модулю в квадрате, т. е. того, что Е(,) принадлежит к классу Ц [14, с. 12] и что функция Е(,) удовлетворяет условию Гельдера [15, с. 52]. При принятых ограничениях, равенства (2), (4), (5) являются предельными значениями односторонних интегралов Фурье [14, с. 24].

Функции Ф + (ю), Ф-(ю) удовлетворяют условию Гельдера [ 15, с. 20] (принадлежат классу Н).

Односторонние интегралы Фурье связаны с интегралом типа Коши [14, с. 20].

Вышеуказанные ограничения, приводят обратную задачу теории излучения к равенству:

Ф + (ю) -Ф-(ю) = S(w),

(6)

если функция Е(,) на отрицательную полуось имеет нечетное продолжение, и равенству:

Ф+ (ю) -(-Ф-(ю))= S(w),

(7)

С(ю) =

- 1, ю є L, 1, ю ї L,

(10)

где L=(w1; ю2) — интервал. И свободного члена fln S(w), ю є L,

д(ю) =

0, ю ї L .

(11)

После введенных обозначений (10), (11) её можно записать в виде:

ln Ф+(ю) = G(ro) - ln(± Ф (ю)) + д(ю).

(12)

Знаки плюс и минус перед функцией Ф-(ю) означают нечетное (четное) продолжение функции Е(,) на отрицательную ось. Коэффициент задачи С(ю) имеет разрывы первого рода в точках ю1 и ю2. Для устранения разрывов коэффициента С(ю) следуя [15, с. 442], сделаем замену

ln(± Ф± (ю)) =

ю ± i ) v ю ± i после которой задача (12) примет вид:

-Ф±(ю) (13)

Ф+ =

- С(ю)Ф- +

- д(ю).

(14)

если функция Е(,) на отрицательную полуось имеет четное продолжение.

Из условия того, что функции Ф + (ю), Ф-(ю) принадлежат классу Н, то и их произведение также удовлетворяет этому же классу [15, с. 20] и справедливы равенства (6), (7), вытекает необходимость потребовать от заданной функции Б(ю), удовлетворение условию Гёльдера. С другой стороны, достаточно потребовать удовлетворение условию Гёльдера функцию спектра Б(ю), тогда согласно равенствам (6), (7) функции Ф+(ю), Ф-(ю) будут удовлетворять условию Гёльдера и, следовательно, функция электромагнитного поля Е (,) также будет удовлетворять этому условию.

Предположим, что заданная функция Б(ю) определена на отрезке [ ю 1; ю2] и обращается в ноль лишь в точках ю1 и ю2, тогда на интервале (ю1; ю2) определены логарифмы левых и правых частей равенств (6), (7). Прологарифмируем равенства (6), (7), полу-

1п ф+ (га) - (- 1)- 1п ф (га) + 1п8(ю), гае (га1; ю2), (8)

1п ф+ (га) - (-1)- 1п(- ф-(га)) + 1п8(га), гае (га1; га2). (9)

Равенства (8), (9) соответствуют нечетному и четному продолжению функции Е(,) на отрицательную ось. Эти равенства, при сделанных выше предположениях, можно рассматривать в качестве краевой задачи Римана [14, с. 27; 15, с. 106] на действительной оси ю для разрывного коэффициента

В (14) все функции, указанные в круглых скобках, согласно их определению [15, с. 25], при переходе через точки ю. Ц = 1,2) получат множитель е-12ру|. Так, например, многозначная функция [(ю — 1)/(ю + 1)]-у., на интервале (-¥ ю1) имеет свое главное значение [(ю — 1)/(ю + 1)]-У|, а после прохождения точки ю1 (на интервале (ю1; ¥)) получит значение равное [(ю — 1)/ (ю + 1)ГУ,е-а1у|. Скачок функции в точке ю1 равен е-12ру|. Если же скачек функции С(ю) в точке ю1 равен е-ар™, то это будет означать непрерывность произведения е-ару С(ю) в этой точке. Следовательно, соответствующим подбором у. мы можем устранить разрыв коэффициента С(ю) в точках ю1 и ю2. Положим,

2яі

(, G(«j - 0) ,2 1

ln —7- - і2рюj

G(®j + 0)

j = 1, 2,

(15)

здесь С(ю. — 0), С(ю. + 0) — предельные значения коэффициента соответственно слева и справа от точки ю., ж. — целые числа. Сумма целых чисел ж 1 и ж 2 определяет индекс ж задачи, т.е. ж = ж 1+ ж 2, а набор целых чисел у. определяет функции, в классе которых отыскивается решение [15, с. 101].

В нашем случае, имеет физический смысл лишь класс ограниченных функций. Действительно, положим обратное, допустив решение задачи (14), удов-

летворяющие в окрестностях точек ю. условию

С

(16)

Тогда, учитывая замену (14), получим оценку

С,

I ill1,

|ф±(га| < el, C, = const, 0 < 1, < 1, (17)

согласно которой функции Ф±(ю) экспоненциально расходятся в окрестностях точек ю., но это противоречит равенствам (3 — 7). Таким образом, единственно возможным классом физически реализуемых решений является класс ограниченных функций. В этом классе из (15) найдем у,=у2=1/2, ж ,= — 1, ж 2 = 0. индекс задачи (14) ж = — 1. С учетом найденных величин у., ж., ж задача (14) запишется в виде:

-1

Ф+(ю) = |ю—i I Ф-(ю) + R(ra),

\<ю + і)

[ (1 - ію) •lnS(C0) , ює L,

R(|») = i л/(ю-ю1)(ю2 - ю)

[0, ю ї L.

Соответствующая ей однородная задача

Ф+(ю) =

Ф-(ю)

(18)

(19)

(20)

имеет лишь нулевое решение [15, с. 433], а неоднородная задача (18) разрешима однозначно, если выполнено условие разрешимости:

g

g

со — со

со — со

2

ю - ю

ю - ю

ю + і

ю + і

ю-ю

ю-ю

2

+

ю + і

ю + і

1

со - со

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

I

1п 8(ю)

,л/(®-®1)(®2 -Ю)

dю = 0,

(21)

г(х) = -ті= | Щш) • е 1шМш.

V2р - ¥

Учитывая замену (13) и вводя функции:

Х»--^} г(х) • е^х, л/2р 0

1 0

Х-(“) - —] г(х) • е““Мх,

■\/2Р -¥

(24)

(25)

(26)

для которых справедливо равенство Сохоцкого [15, с. 37]

х+Ы-х-Ы =

(27)

найдем решение задачи (8), (9) при нечетном (четном) продолжении Е (1) на отрицательную ось соответственно:

ф+(ш) = еЬ(ш) Ф-(ш) = ±е

Ь- (ш)

(28)

(29)

Ь±(ш) =

.^(ш - ш1)(ш - ш2) ±

С±(ш).

(30)

= еЬ+(ш) - еЬ- (ш) = К(ш),

(31)

при четном продолжении, учитывая равенства (2), (5), (28), (29), получим

-¿= ]Е2(1) • е^1 - ф+(ю) + ф-(ю) -V

:еЬ+ (Ш) + еЬ- (Ш) = Р(Ш),

(32)

Из равенств (31), (32) найдем обратные Фурье преобразования:

которое с физической точки зрения означает, что электромагнитное поле, выраженное ограниченной функцией 1(1), может создать спектр, задаваемый функцией Б(ю) на интервале (ю 1; ю2).

Решение задачи (18) при выполненном условии (21) в односторонних интегралах Фурье запишется в виде:

ф+(ю)-^ ]г(х) • eiшxdx, (22)

л/2р 0

ф-(ю)-Й77 Н"^1г(х)-е“Н' (23)

здесь функция г(х) представляет собой оригинал Фурье преобразования функции Щю) и имеет вид:

Е2(Ч ^;/2р|Р(ш) • е-

Мш,

Мш,.

(33)

(34)

В равенстве (33), согласно исходным предположениям, для всех неотрицательных 1 необходимо взять действительную нечетную часть функции Е1(1), а в равенстве (34) для функции Е2(1) необходимо для всех неотрицательных 1 выбрать действительную четную часть. Тогда искомое электромагнитное поле Е(1) при заданной функции спектра Б(ю) на отрезке [ю1; ю2] и выполнении условия (21) определится равенством:

вд = ад + Б2(1).

(35)

где минус в (29) после знака равенства соответствует четному продолжению,

Согласно равенствам (2), (4), (28), (29) полное Фурье преобразование электромагнитного поля Е (1) при нечетном продолжении на отрицательную полуось можно записать в виде:

-щ] Е1(1) • е^1 - ф+(ю) - ф-(ю) -

Таким образом, по заданному квадрату модуля Фурье-образа функции на отрезке и не обращающимся на интервале в ноль, возможно определить сам Фурье-образ для достаточно широкого класса функций, удовлетворяющих условию Гёльдера.

Библиографический список

1. Ландау, Л Д. Теория поля / Л Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.-Л. : Огиз, 1948. - 502 с.

2. Соколов, А. А. Релятивистский электрон / А. А. Соколов, И. М. Тернов. — М. : Наука, 1983. — 304 с.

3. Тернов, И. М. Синхротронное излучение / И. М Тернов // Успехи физических наук. — 1995. — № 4 (165). — С. 429 — 456.

4. Изменение вида поляризации ондуляторного излучения / М. Б. Моисеев [и др.] // Изв. вузов. Физика. — 1978. — № 3. — С. 76 — 80.

5. Движение и излучение релятивистских электронов в ондуляторе специального вида / М. Б. Моисеев [и др.] // Изв. вузов. Физика. — 1978. — № 4. — С. 14—17

6. Интерференция синхротронного излучения / М. М. Никитин [и др.] // Письма в журнал технической физики. — 1979. — Том 5, вып. 14. — С. 843 — 848.

7. Интерференция синхротронного излучения / М. М. Никитин [и др.] // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1980. — Том 79, вып. 3. — С. 763 — 774.

8. Экспериментальное исследование ондуляторного излучения релятивистских электронов. Ч. ! / М. М. Никитин [и др.] // Журнал технической физики. — 1981. — Том 51, вып. 3. — С. 584 — 591.

9. Экспериментальное исследование ондуляторного излучения релятивистских электронов. Ч. П / М. М. Никитин [и др.] // Журнал технической физики. — 1981. — Том 51, вып. 3. — С. 592 — 600.

10. Моисеев, М. Б. Излучение релятивистского электрона при плоскостном каналировании в кристалле / М. Б. Моисеев, М. М. Никитин // Изв. вузов. Физика. — 1981. — № 3. —

С. 23 — 26.

11. Излучение релятивистского электрона в режиме больших полей / М. Б. Моисеев [и др.] // Изв. вузов. Физика. — 1981. — № 9. — С. 95 — 98.

12. Моисеев, М. Б. Формирование спектра излучения заданной формы на конечном отрезке частот / М. Б. Моисеев, Б. К. Неворотов // Омский научный вестник. — 2006. — № 3 (36).— С. 71—74.

13. Моисеев, М. Б. Формирование спектра излучения заданной формы на конечной системе отрезков частот / М. Б. Моисеев, Б. К. Неворотов // Омский научный вестник. — 2006. — № 4 (38).— С. 71—74.

14. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И Черский. — М. : Главная редакция физико-математической литературы «Наука», 1978. — 295 с.

ш +1

15. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — 3-е изд. — М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977. — 640 с.

МОИСЕЕВ Михаил Борисович, кандидат физикоматематических наук, доцент (Россия), доцент кафедры высшей математики Омского государственного университета путей сообщения.

НЕВОРОТОВ Борис Константинович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Математика и информатика» Финансового университета при Правительстве РФ, филиал в г. Омске.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 22.01.2013 г.

© М. Б. Моисеев, Б. К. Неворотов

уДК 537.52:621.6.033 Н. Г. ЭЙСМОНТ

ВАЛ. И. СУРИКОВ ВАД. И. СУРИКОВ О. В. ЛЯХ

Омский государственный технический университет

РОЛЬ

МОЛЕКУЛЯРНОЙ ПОДВИЖНОСТИ В ФОРМИРОВАНИИ ФИЗИКОМЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МОДИФИЦИРОВАННОГО ПОЛИТЕТРАФТОРЭТИЛЕНА____________________________________

Анализируются особенности влияния молекулярной подвижности на вязкоупругие свойства, в том числе на динамический модуль упругости, политетрафторэтилена, модифицированного структурно активным и неактивным наполнителем. Показана определяющая роль молекулярной подвижности в формировании температурных и концентрационных зависимостей динамического модуля сдвига и фактора механических потерь в рассматриваемых материалах. Характер изменения подвижности цепей ПТФЭ, а следовательно, и вязкоупругих свойств при модифицировании теми или иными наполнителями определяется действием двух факторов: энергетическим и энтропийным.

Ключевые слова: композиты, политетрафторэтилен, модифицирование, углерод, бронза, модуль упругости, вязкоупругие свойства.

Введение. В последние годы широкое распространение в качестве конструкционных и антифрикционных полимерных материалов получили политетрафторэтилен (ПТФЭ) и композиты на его основе. Экспериментальные результаты изучения вязкоупругих свойств политетрафторэтилена, приведенные в ряде работ [1, 2], указывают на заметное влияние наполнителей, вводимых в матрицу ПТФЭ, на молекулярную подвижность цепей полимера. Учитывая важную роль молекулярной подвижности в формировании физико-механических свойств полимерных композитов, представляет интерес рассмотреть особенности влияния наполнителей разного типа на молекулярную подвижность макроцепей ПТФЭ и ее связь с вязкоупругими свойствами композиционных материалов на основе этого полимера.

Наиболее информативным с точки зрения молекулярной подвижности в ПТФЭ является а-переход, связанный с основным релаксационным а-процес-сом, ответственный за стеклование полимера. Температура структурного стеклования Тс представляет собой фундаментальную характеристику полимерного материала и может рассматриваться как верх-

ний предел температурного диапазона эксплуатации изделий в высокоэластическом состоянии. Температуру структурного стеклования определяют либо дилатометрическим методом, либо по температурным зависимостям теплоемкости, получаемым в режиме нагрева и т.д. Механические же испытания позволяют получить данные о температуре механического стеклования Та. Однако между структурным и механическим стеклованием существует взаимосвязь, что дает возможность проанализировать влияние наполнителей на процесс стеклования методами динамических механических испытаний.

Важным показателем молекулярной подвижности участков цепей, расположенных в аморфной фазе полимера, является степень релаксации АС или связанная с ней интенсивность максимума а-пере-хода 1д8т. С учетом физического смысла фактора потерь вполне очевидно, что увеличение или уменьшение интенсивности сегментальной подвижности макромолекул должно сопровождаться соответственно ростом или снижением максимума потерь.

Эксперимент. Объектами исследования являлись двух- и многокомпонентные композиты на основе

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ