Формирование спектра излучения заданной формы на конечном отрезке частот. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

каждой дуге е = (к

10 + Чуе)+Муь),

/) е Е определяются функцией если ее£>Д^£>л;

если е е Dh, е = (/ -> г) е Dr; если eeDe,e=(r-+l)eDb.

В сети б всего имеется 25 путей возможной транспортировки.

При реализации алгоритма для решения оптимизационной задачи использовался метод отделяющих плоскостей [7]. Результатчисленных экспериментов демонстрирует преимущественно линейный характер сходимости алгоритма, однако на начальном и, что особенно важно, на конечном этапах наблюдается существенное ускорение, близкое к квадратичной сходимости (рис. 2).

Заключение

Известно, что транспортные задачи ценового равновесия сводятся к решению вариационных неравенств [2]. Вместе с тем вместо вариационных можно использовать вариационно-подобные неравенства меньшей размерности и с более простой допустимой областью. Для их решения рекомендуется применить метод локальных выпуклых мажорант. На модельном примере показана работа алгоритма. В результате получено решение, весьма близкое к равновесному.

Библиографический список

1. Васильева Е.М., Левит Б.Ю., Лившиц В.Н. Нелинейные транспортные задачи на сетях. - М.: Финансы и статистика, 1981.

2. Nagumey A. Network Economics: A Variational Inequality Approach (second revised edition). - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

3. Parida J., Sahoo M., Kumar A. A variational-like inequality problem // Bulletin of the Australian Mathematical Society. 1989. V. 39. P. 225-231.

4. Patriksson M. A Class of Gap Functions for Variational Inequalities // Mathematical Programming. 1994. V. 64. № 1-3 P. 53-79.

5. Bertsekas D., Gafni E. Projection methods for variational inequalities with application to the traffic assignment problem // Mathematical Programming Study. 1982. № 17. P. 139-159.

6. Нурминский E. А. Численные методы выпуклой оптимизации. - М.: Наука, 1991.

ШАМРАЙ Наталья Борисовна, старший преподаватель кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Дата поступления статьи в редакцию: 27.03.2006 г. © Шамрай Н.Б.

УДК 538.561 М.Б. МОИСЕЕВ,

Б.К. НЕВОРОТОВ

Омский государственный технический университет Омский аграрный университет

ФОРМИРОВАНИЕ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ЧАСТОТ

Рассматривается обратная задача теории излучения по каждой заданной функции спектра на конечном отрезке частот.

После большого цикла работ [1-5], посвященных излучению свойств заряженных частиц во внешних электромагнитных полях и после выяснения того, что это излучение послано определенными порциями частотного спектра на объекты микробиологии и микро-электроники имеют определенную ценность [6-8], встал вопрос о решении обратных задач теории излучения заряженных частиц. Если прямые задачи, по известным характеристикам внешних электромагнитных полей, позволяют судить о спектральной функции, то в обратных задачах последовательность суждений прямо противоположная.

В данной работе (часть 1) была рассмотрена задача о формировании спектра излучения заданной формы на некотором частном отрезке, полученного от релятивистской заряженной частицы, движущейся во

внешнем магнитном поле, Определена функциональная зависимость этого внешнего магнитного поля, в котором движется релятивистская заряженная частица, от функции спектра. Выяснилось, что существенную роль при решении подобных задач играют нули задаваемой спектральной функции. Это и определило то обстоятельство, что функция спектра в данной работе (часть 1) задана на отрезке, внутри которого она не обращается в ноль. В реальных же излучательных устройствах, например в ондуляторах, устанавливаемых в накопительных кольцах циклических ускорителей заряженных частиц, спектральная функция может иметь счетное количество нулей.

Прежде чем переходить к анализу задачи о возможности формирования спектральной функции с бесконечным количеством нулей, необходимо провести ис-

Часть 2. Начало в № 2(36)

следования в данной работе. С этой целью определим контур Ь, состоящий из п отрезков положительной оси частот т , расстояние сок+\ - еок между концами каждого к-го и начальном следующего (к-И-го) отрезками равно нулю или некоторой конечной величине.

На данной системе отрезков (контуре Ь) задается неотрицательная, действительная функция 5(<в), удовлетворяющая условию Гельдера с показателем X е [0; 1] [9] и обращающаяся, быть может, в ноль лишь на концах отрезков.

Учитывая, что по заданному полю излучения £(?) восстанавливается траектория движения заряда [3], обратная задача сводится к решению уравнения вида:

■Л

= 5(в)

(1)

Однако в этой постановке уравнение (1) неразрешимо. Необходимо сделать некоторые предварительные предложения о функции £(<). Предположим, что Е(() - действительная функция, удовлетворяющая условию Гельдера с показателем Л е [0;1] определена на положительной полуоси, т.е. / е [0;°о].

На отрицательную же полуось будем продолжать функцию £([) нечетным образом. В этих предположениях уравнение (1) запишется:

о

Обозначим:

Ж

= 5Н

(2)

ной, отличной от нуля для всех а е I, функции 5,(&>). Логарифмируя равенство (4), получаем краевую задачу Римана с разрывным коэффициентом [9]:

1пФ+(а>)=0(©)-1пФ"(й>)+£(®), (5)

-1- й)еЬ Л„Л=/1п5Й

о, о) г ь

где ФН",/

Сведем задачу (5) к задаче с непрерывным коэффициентом на действительной оси, сделав замену:

(6)

к=I

Получим:

Ф+ (со) = б, (ш) • Ф[" (<и) + g^ (<а), где

(7)

•■V*

к=\

п

(0 + 1

о

-00

Ф+(<ц), ф~(о) - означают собой предельные значения

00

Фурье-образа ^Е{1)-1"°'Ж поля излуче-

—00

ния £(<), заданного в верхней (нижней) полуплоскостях. Действительно, приходя в равенствах (3) к интегралам типа Коши, получим:

фЧа)= 1 ']Е(1)-1ш'Ж = = _!_ Г-^М^', 1ш Й > 0, 1та» -» О,

2x1 ¡со'-ш -00

и аналогично

= — с1о)', 1т <и < О, 1т л» ->0,

2я1 3<о'-а

—со

С учетом обозначенной (3), получим равенство

ф+(а>)-ф-(й>)=$(й>)- <4'

правая часть которого представлена действитель-

0)-<3)к

В классе ограниченных функций задача (7) имеет отрицательный индекс, численно равный числу отрезков контура Ь [9] .

Однородная задача, соответствующая задаче (7), неразрешима (имеет лишь нулевые решения), а сама задача (7) разрешима при выполнении п условий:

Г1п5(<а) Я(а)

р^аМ^О, М,2,.....я),

(8)

¿

где

Ф)=П *= 1

о)-а>к

V а> + 1 '

Итак, если условия (8) выполнены, то решение задачи (6), выраженное в интегралах Фурье, имеет вид:

л/2я- >

(10)

где

w J 4»)

оо

Ф+(с>)-Ф»=^== |£(/)/,в"Л.

Следовательно,

Из данного равенства необходимо взять действительную нечетную часть.

Разность функций Ф+(<а) и Ф"(<»), с одной стороны, согласно 910_, равна

Ф+(ш)-Ф~(о)== к(а>). с ДРУГОЙ стороны, согласно (3), имеем равенство:

(11)

Библиографический список

1. Багров В.Г., Соколов A.A., Тернов И.М., Халилов В.Р. Об излучении электронов, движущихся в ондуляторе. Изд. вузов. Сер.физ. 1973. №10. с.50-56.

2. Багров В.Г.,Бородовицин В.А.,Журавлев А.Ф. Излучение заряда, движущегося в неоднородном магнитном поле. Вестник МГУ. 1968. №3, с. 107-109.

3. Никитин М.М., Энн В.Я. Ондуляторное излучение. М.: Энергоатомиздат., 1988.152с.

4. Моисеев М.Б. Никитин М.М Излучение релятивистского электрона при плоском каналировании в кристалле. Изд. вузов. Сер.физ. 19В1. №3, с.23-26.

5. Байер В.Н., Катков В.М. , Страховенко В.М. Излучение релятивистских частиц в периодических структурах. Ж.Т.Ф., 1972,т. 63. Вып. 6(12), с. 2121-2128.

6. Синхротронное излучение в исследовании твердых тел: Сб. ст.: Пер. с англ, и нем./Под ред. A.A. Соколова. М.: Мир, 1970.

7. Кулипанов Г.Н., Скринский А.Н. Исследование синхрот-ронного излучения: состояние и перспективы // УФН. 1977 т. 122. Вып. 3, с. 369-418.

8. Тернов И.М., Михайлин В.В., Халилов В.Р. Синхротронное излучение и его применение. М.: Изд-воМГУ. 1980.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. 3-е. Главная редакция физико-математической литературы, издательство «Наука», 1977.

МОИСЕЕВ Михаил Борисович, к.ф.-м.н., доцент,кафедры высшей математики Омского государственного технического университета. НЕВОРОТОВ Борис Константинович, к.п.н., доцент кафедры высшей математики Омского аграрного университета.

Дата поступления статьи в редакцию: 26.05.2006 г. © Моисеев М.Б., Неворотов Б.К.

Книжная полка

Виленкин И.В., Гробер В.М. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей вузов. Учебное пособие. - 3-е изд. - Ростов н-Д.: Феникс, 2005. - 415 с.

Пособие предназначено для студентов, специализирующихся в области математики, основных вопросов линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Большое число детально разобранных задач поможет студентам усваивать важнейшие идеи и методы решения примеров, данных мя самостоятельной работы. Этот же набор примеров может быть использован преподавателями вузов как задачник.

Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов / Кремер Н.Ш., ред. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2006. -479 с.

Эта книга - не только учебник, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.).

Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.

Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум. Учебник для вузов. В 2-х ч. / Кремер Н.Ш., ред. - М.: Высшее образование, 2005. - 486 с.

Эта книга не только учебник, но и полноценное руководство к решению задач. Основные положения учебного материала дополняются задачами с решениями для самостоятельной работы, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения математики в экономике. Существенным отличием книги является наличие в ней наряду с традиционными контрольными заданиями (60 вариантов, более 400 задач) тестовых заданий (более 250). Это позволяет эффективно использовать учебник при проведении контрольных работ, тестировании студентов, приеме зачетов и экзаменов, а также при самоконтроле. В части I учебника рассматриваются разделы: линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, введение в анализ, дифференциальное исчисление. В части II рассматриваются разделы: функции нескольких переменных, интегральное исчисление и дифференциальные уравнения, ряды.

Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие: В 2-х ч. - 6-е изд. - М.: Оникс 21 век, 2005. - 415 с.

Содержание первой части охватывает следующие разделы программы: аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной переменной, элементы линейного программирования. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Содержание второй части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.