Формирование спектра излучения заданной формы на конечном отрезке частот Текст научной статьи по специальности «Математика»

12. Пестриков В.М. Механика разрушения твёрдых тел/

B.М. Пестриков, Е.М. Морозов. - СПб.: Профессия, 2002. -320 с.

13. Новожилов В.В. Микронапряжения в конструкционных материалах/ В.В. Новожилов, Ю.И. Кадашевич, - Л.: Машиностроение, 1990. — 223 с.

14. Андерсон О. Определение и некоторые применения изотропных упругих постоянных поликристаллических систем. полученных из данных для монокристаллов // Физическая акустика. Динамика решётки. - Т. 3. - Ч. 2. - М.: Мир, 1968. - С. 63-121.

15. Францевич И.Н. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов/ И.Н. Францевич, Ф.Ф. Воронов,

C.А. Бакута. - Киев: Наукова думка, 1982. - 237 с.

16. Останина Т.В. Трёхуровневая иерархическая модель структурной сверхпластичности/Т.В. Останина, П.В. Трусов // физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 4. — №5. — С 55-65.

17. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезо уровне//Физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 5. — №3. -С. 37-51.

18. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. — Книга I. - Механика вязкопластических и не вполне упругих тел / А.Ю. Ишлинский. - М.: Наука, 1986. - 360 с.

19. Костюк А.Г. Пластичность и разрушение кристаллического материала при сложном нагружении / А.Г. Костюк. -М.: Изд-во МЭИ, 2000 - 180 с.

20. Болыианина М.А. Скрытая энергия деформации / М.А. Большанина, В.Е. Панин // Исследования по физике твёрдого тела. - М.: Изд-во АН СССР, 1957 - С 193-233.

21. Лурье А И. Нелинейная теория упругости / ХУ Лурье. — М : Наука. 1980. - 512 с.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент, заведующий кагЬедрой «Сопротивление материалов».

КРУПНИКОВ Иван Владимирович, главный инженер ОАО «С'лбнефтетранспроект».

Д-ч га поступления статьи в редакцию: 06.03.06 г. © Корнеев С.А., Крупников И.В.

УДК 538.561

М. Б. МОИСЕЕВ Б. К. НЕВОРОТОВ

Омский государственный технический университет

Омский аграрный университет

ФОРМИРОВАНИЕ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ ФОРМЫ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ЧАСТОТ

Определены условия разрешимости обратной задачи теории излучения. Найдена функция магнитного поля по каждой заданной функции спектра на конечном отрезке частот.

В настоящее время представляет интерес создание таких источников электромагнитного излучения, которые позволяют генерировать излучение с заданной формой спектра. Такими источниками, например, могут быть ондуляторы [1], свойства излучения заряженных частиц в которых достаточно хорошо изучены [2]. Однако вопрос о формировании спектра ондуляторного излучения (ОИ) заданной формы пока остается открытым. Настоящая работа представляет собой попытку частично ответить на этот вопрос.

Функция внешнего магнитного поля Н(х) вдоль оси ондулятора в ондуляторном режиме [3] (угол отклонения вектора скорости частицы от оси движения меньше угла конуса излучения) связана с функцией спектра (при фиксированных углах наблюдения) уравнением

m\H{x),"°Xdx

ю

(1)

Покажем это.

С этой целью рассмотрим магнитный ондулятор, внешнее поле которого зададим вектором

Н = {ОД W(jc)}. Пусть в ондулятор с начальными условиями

л(о) = 0. Я0)= У0. г(0)= 0, /?(о)= /?{sin a,cosa,О}

влетает релятивистский электрон. $

(Р = — • Э - скорость электрона, с-скорость света

с

в вакууме). Его координаты вдоль ондулятора в каждой точке х будут описываться функциями [4]

dx

сР J COS(í/(.v)

. X = X, V = vn +

г = о (2)

t-время, а угол ^¡/(.х) отклонения вектора скорости заряда от продольной оси х связан с внешнем полем Неравенством

л

sin i//(.y) = sin а - q JH(x)dx. g = —— 0

Е-знергия электрона.

Для того, чтобы электрон мог совершить дрейф вдоль всего ондулятора, должно выполняться естественное условие

вша

-4\н{х)сЬ

<1,

ограничивающие амплитуду магнитного поля в ондуляторе при фиксировании энергии электрона.

Вследствие движения электрона во внешнем магнитном поле будетизлучена электромагнитная

ае

энергия, спектрально-угловое распределение ^ , ^ которой, согласно [5], можно представить в форме

¿Е

£&» <К1 2 л с

I [2

(3)

ё9Р

ЫР Р\

= (,-ЯД)2

-/

ФЬ

пг(х)

О

¿X ,

ёвР

ирр]

х(а>'):

42л ;

(1-П0?

п, ёв>^<р ~ °РТЫ сферической системы координат, Д р — векторы относительной скорости и ускорения частицы. Наибольший интерес с точки зрения практического приложения ОИ представляет ультрарелятивистский случай. Основная часть энергии излучения сконцентрирована в узком конусе излучения [6]. При этом в ондуляторном режиме излучения в уравнениях траектории (2) можем устремить ц/{х) = 0. Тогда вместо (3) получим равенства

Р1; ьтср

{\-Pcosdf 42л

\н{х)1

¡--(\-ficose) с/3

/?■<?• (сое 0-/0) 1

(\-0cosef 4ъ*

I—(1-/>С

\н{х)1

■ах, (4)

Здесь мы, не умаляя общности, фиксируем начало действия внешнего поля в точке х=0. Это определяет нижний предел в интегралах выражений (3,4). Поскольку длина ондулятора, простирающаяся вдоль оси х может быть произвольной, то верхний предел мы оставляем равным бесконечности.

Введем обозначения

5Ц =

2 л с с1е

е2 ¿ФсЮ.

'^(1 -0{со50)У 4 {\~Pcosef

-2

(5)

О) = РсОБв)

сР

¿Е

Если задана функция ^ ^ при фиксированных

углах наблюдения 9, ф, то, следовательно, задана и функция Б(а>). С учетом обозначений (5) первое равенство в (3) запишется в форме (1).

Таким образом, если задано распределение поля Н(х) вдоль оси ондулятора, то выражение (1)

позволяет вычислить спектрально-угловое распределение, а вслед за ним и все остальные характеристики излучения. Так и поступают в решении прямых задач ОИ [4].

На основании всего вышесказанного следует, что

спектр 5(й>) ОИ в ондуляторном режиме в выделенном направлении (фиксированы углы наблюдения) определяется распределением магнитного поля Н(х) вдоль оси ондулятора. Полагая различные функции н(х) мы, согласно равенству (1), будем

получать спектральные функции ¿'(¿у).

Предположим обратное. Пусть нам задана спектральная функция 5'(а), а требуется найти из уравнения (1) функцию Н(х). Такую задачу назовем обратной задачей ондуляторного излучения (ОЗОИ). Равенство (1) из элементарного указателя порядка

действий над н(х) превращается в довольно сложное уравнение относительно н(х) при известном

• Действительно, положим п\\х) ~ 1 д х <0 и рассмотрим уравнение (1) относительно (х)

1 ]иШ

4Ьт

хсЬ

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства и учитывая знак модуля, получим

Н ,1

+СО

(х) = ' \4Щ ■ г'4»М*>)). ¿т

Ч/{со) -произвольная действительная функция. Среди этого бесчисленного множества формальных решений возможно содержится и физически, реализуемое, но нет критерия по которому его можно было бы выделить. Поэтому этот путь решения не составляет никаких надежд на какой-либо успех.

Теорема. Если действительная нечетная функция 5(гу) отличная от нуля на всем отрезке частот £ = [<г>1, л>2 ] за исключением быть может его концов удовлетворяет условию Гельдера и условию раз-

решимости

®2

\

л>,

уЦсо - (щ)(а2 ~ а)

<1со = 0, то уравнение

4гп

ах

= 5(о>) (1) разрешимо относитель-

но ограниченной функции н(х). Доказательство.

Преобразуем уравнение (1) к виду

V 0 Д -ж; ,

Введем обозначения

1 1:0

Ф»= ' \н{х)1Шх<1х

= Б{а>) (6)

Уравнение (6) запишется в форме

ф+(й>)-ф-(й>) = 5(4 соеЬ (8) Выясним смысл символов, входящих в (8). Для этого от интегралов, Фурье (7) перейдем к интегралам типа Коши [7]

ф»= * \H{x)lia,xdx = О

1 "г , , ,

=- , doj. 1шй)>0, 1пш->0,

2ni 1 со - со

-со

О)

здесь

аналогично

\н{х)-Гах<Ь (Ю)

со + i ) \ m + i )

(15)

Так, например, многозначная функция

СО — I

co + i.

на

интервале [-œ,^] имеет свое главное значение

m-1

co + i

а после прохождения точки со\ (на ин-

тервале ](И],оо[ ) получают значение равное У\

(0-1

j-izxyi

' . Скачок функции в точке равен

-¡2л J 2лi 1 со -со , ,

(И)

Im со < 0, 1ша> -» 0.

В правых частях выражений (9,11) мы видим предельные значения при 1т со -» 0 интегралов типа Коши от аналитической функции h(co), следовательно, сами функции ф1^) являются ограниченными аналитическими функциями, представляющими предельные значения аналитической функции в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости с осями Reco,\mw .

Правая часть равенства (8) представлена действительной функцией S(co) отличной от нуля на всем

интервале L, следовательно, функция 1п5(<и) определена и удовлетворяет условию Гельдера [7]. Логарифмируя уравнение (8), получим

1пФ+(<у) = (- 1)|пФ~(л))+ lnS(<a), coeL (12)

Равентство (12) определяет краевую задачу Рима-на с заданными на отрезке L действительной оси го коэффициентом задачи равным (-1) и свободным членом [7].

Следуя [7], сведем задачу (12) к задаче на всей действительной оси, доопределив коэффициент задачи и свободный член, т.е.

1пФ+(<у)= G(co)' 1пФ-(й>)+ g(co) (13)

, ч Г-1, сое. L , ч Г|п5(йД coeL 1, coiL \ 0, coeL'

Получим задачу с разрывным коэффициентом G{co) в точках щ и coj- Для устранения разрыва коэффициента сделаем замену

.пф+н=Г^ГГ^Т2ф?И, (и)

\ û)±i ) \ со±i ) после которой уравнение (13) примет вид

1 CO+lJ \û) + lj

/-'2л7| . Если скачок функции 0(<у) в точке будет равен , то это будет означать непрерывность

(со- : У"'1

произведения -| С(<ы) в этой точке. Следовательно, ги _)тветствующим подбором У] мы можем устранить разрыв в коэффициента С{со) в точках щ и с;2. Положим

Г:

]

1

2 Л1

In

g(wj - о)

G(coj + О)

2 л-К,

(j=1.2)

(16)

здесь сЦ -о) оЦ + о). предельные значения коэффициента соответственно слева и справа от точки целые числа. Сумма целых чисел К| и

К2 определяет индекс к задачи, т.е. К = Х]+Х2, а набор целых чисел Ку определяет функции, в классе которых отыскивается решение [7].

В нашем случае, имеет физический смысл лишь класс ограниченных функций. Действительно, положим обратное, допустив решение задачи (15), удовлетворяющие в окрестностях точек соу условию

\0) - СО i

-, с = const, 0 < Л < 1

(17)

тогда, учитывая замену (14), получим оценку

Ф±{т)<ГШ^ с,= const, 0 < Я, < 1 (18)

согласно которой функция ф1^) экспоненциально расходятся в окрестностях точек (Oj , но это противоречит равенствам (8,9,11). Таким образом, единственно возможным классом физически реализуемых решений является класс ограниченных функций.

Таким образом, единственно возможным классом физически реализуемых решений является класс ограниченных функций.

1 о

В этом классе из (16) найдем У\ = Уг = j' = ■

N2 = 0 индекс задачи (15) К=-1 С учетом найденных величин Yj, N,, N задача (15) запишется в виде

фГИ =

й) + I

■Ф, (й>)+л(й>)

(19)

В (15) все функции, указанные в круглых скобках, согласно их определению [7], при переходе через точки «у ( /= 1,2) получают множитель /,2я7/ .

/ \ [' и . ln^ffei), сое L

[ 0, со i L

Соответствующая ей однородная задача

ФГ(®)=

СО + I

■ ®1 (ш) (20)

имеет лишь нулевое значение [7], а неоднородная задача (19) разрешима однозначно, если выполнено условие разрешимости

й>2 I

<В,

|п£(й>)

^(т-еоу)-^-^)

<1а) = О,

(21)

которое с физической точки зрения означает то, что в ондуляторном режиме излучения можно получить спектральную функцию 5(«у), заданную на конечном отрезке [щ, а^ ].

С учетом условия (21) решение задачи (19) можно представить в интегралах типа Коши

Ф

(„)„_!_ г ^г

2л1 •> а! -

О)

(22)

т-Ц 1 " или в интегралах Фурье

\а) + 1) 2 Л1 ■> (о - а

Ф [(ф-^ШГ^

42л I

(23)

Ф, (й>) =

й>-г го + /

4ъг

*сЬс

со —от

Учитывая замену (14) и вводя функции

(24)

ж н=-

Т2тг

для которых справедливо равенство Сохоцкого найдем функции

ф»=/гМ Ф»=/ГИ

(26)

¿»=

+ I

.Ло)-щ){о>2-о)) , г 1 -^^-® £ <а2

^/(й) - <2>! )(й> - й>;)

С0 + 1

X {со\ а)е[щ,Ю2\

-е \ Г 1

I—-^^--X (Щ

В (25) на отрезке [щ, щ ] справедливо равенство fM.iL Ы = 4»), (27)

соответствующее исходному равенству (8).

Итак, с одной стороны, в (26) определены правые части равенств через заданную спектральную функцию с другой - функции ф±(сэ) связаны с искомой функцией н(х) (9,11), следовательно,

-00

(28)

Переходя в (28) к обратному преобразованию Фурье, найдем функцию распределения магнитного поля н(х) вдоль оси ондулятора через заданную спектральную функцию 5(<а), т.е.

00

//(,)=' \к(р)-Г1хв>Ыа (29)

—СО

В равенство (29) нужно взять действительную нечетную часть.

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Матвеев А.Н. Об оптимальной длине ондулятора. ЖЭТФ, 1955. т. 28. с.760.

2. Никитин М.М., Энн В.Я. Ондуляторное излучение. М.: Энергоатомиэдат., 1988. 152с.

3. Моисеев М.Б. Никитин М.М., Федосов Н.И. Движение и излучение релятивистских электронов в ондуляторе специального вида. Изд. вузов. Сер.физ. 1978. №4. с.14-17.

4. Моисеев М.Б. Никитин М.М., Федосов Н.И. Излучение релятивистского электрона в конечном ондуляторе с произвольным магнитным полем. Изд. вузов. Сер.физ. 1980,№1381-80.

5. Багров В,Г., Моисеев М.Б. Никитин М.М., Федосов Н.И. Излучение заряда в магнитных системах. Изд. вузов. Сер.физ. 1980.№ 1380-80.

6. Никитин М.М., Медведев А.Ф., Моисеев М.Б., Энн В.Я. Экспериментальное исследование ондуляторного излучения релятивистских электронов. 1. Ж.Т.Ф., 1981. с584-591.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. 3-е. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.

ф + 1

МОИСЕЕВ Михаил Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.

НЕВОРОТОВ Борис Константинович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики.

Дата поступления статьи а редакцию: 19.05.06 г. © Моисеев М.Б., Неворотов Б.К.