CC BY
20
ФИЗИКА PHYSICS
УДК 537.86 ББК 22.386 М 67
Митрофанова Т.Г.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета, Томск, e-mail: mtg@tspu.edu.ru
Эпп В.Я.
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета, Томск, e-mail: ерр@tspu.edu.ru
Асимптотическое приближение обобщенных функций Бесселя и спектр ондуляторного излучения
(Рецензирована)
Аннотация. Методом стационарной фазы получены асимптотические выражения для обобщенных функций Бесселя двух переменных для больших значений индекса и аргументов функций. Полученные выражения использованы для вывода спектрально-углового распределения излучения ондулятора с синусоидальным магнитным полем.
Ключевые слова: функции Бесселя, асимптотика, излучение, ондулятор, спектр, угловое распределение.
Mitrofanova T.G.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department, Tomsk State Pedagogical University, Tomsk, e-mail: mtg@tspu.edu.ru
Epp V.Ya.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Theoretical Physics Department, Tomsk State Pedagogical University, Tomsk, e-mail: ерр@tspu.edu.ru
Asymptotic approximation of generalized Bessel functions and the spectrum of undulator radiation
Abstract. The asymptotic expressions for generalized Bessel functions of two variables for large values of index and arguments of the functions are obtained by the stationary phase method. The expressions obtained are used to derive the spectral-angular distribution of radiation of an undulator with a sinusoidal magnetic field. Keywords: Bessel functions, asymptotic, radiation, undulator, spectrum, angular distribution.
Как известно, спектральные свойства ондуляторного излучения зависят от параметра ондулятора k, прямо пропорционального напряженности магнитного поля в ондуляторе. Излучение релятивистских частиц в пределе сильного поля было изучено в работах [1-4] как излучение с части траектории, на которой угол поворота вектора скорости частицы много
больше величины у~х = -у/ 1 - 01 . Другой способ получить те же формулы состоит в том,
чтобы найти асимптотику точных выражений для спектрально-углового распределения ондуляторного излучения в пределе сильного поля ондулятора. В работе [5] такие формулы были найдены как асимптотический предел для определенных интегралов, возникающих при расчете свойств ондуляторного излучения в синусоидальном магнитном поле, а в статье [6] асимптотика аналогичных функций получена в применении к квантовым процессам в поле плоской электромагнитной волны.
В настоящей работе мы найдем асимптотику обобщенных функций Бесселя (ОФБ) для двух переменных, возникающих при описании различных процессов в электромагнитных полях [7-10] и применим полученные формулы к выражениям для спектрально-углового распределения ондуляторного излучения.
Энергии компонент поляризации излучения в единицу телесного угла и в единичный частотный интервал представлены хорошо известными соотношениями [7, 11, 12]:
d£° - АУ 6 n2!п {v){Oy cos фЬп (nx, ny) -
d Oda c(1 + к2 + /в)2
п-1
- Ln-i (ИХ, ny) + Ln+1 (nx, ny)]}2,
d§T= (1 + +^2 £n2/n(v)L2>x,ny). (1)
dOda c(1 + k + y в ) n=i
В (1) углы в и ф определяют единичный вектор направления излучения n = {со8в,81пвсо8ф,81пв81иф} в сферической системе координат с осью x, направленной вдоль средней скорости частицы, и осью y, лежащей в плоскости траектории,
т , ч sin2 ttvN ®Л0 ,2
In У) = 27-уГ, У = + k в
;г (и-у) 4жеу
2^2кув cos ф
Х (1 + к2 +у2в2У У 2(1 + к2 +х202)'
Ж - число периодов ондулятора, Ьп ( х, у) - обобщенные функции Бесселя, определенные следующим образом [7-10, 13, 14]:
1п(Х, у) = — Г ег((п-хяп'-у51п2')Ж. (2)
Спектрально-угловое распределение, определяемое уравнениями (1), существенно зависит от ондуляторного параметра к. В самом деле, когда к >> 1, основной вклад в суммы (1) вносят члены с большим числом п. Поэтому проблема заключается в получении асимптотического предела функций Ьп(х, у) для больших значений порядка и аргументов.
Асимптотика ОФБ зависит от соотношения между величиной аргументов и порядком функции. Мы исследуем частный случай асимптотики при таком соотношении порядка и аргументов, которое возникает при описании ондуляторного излучения при к >> 1 .
Углы в и ф удобнее выразить через переменные а и ц, которые определим следующим образом:
вуооаф в . ф
а = —-¡=—, ц = ву slnф.
42к
Здесь всоъф - угол между направлением средней скорости частицы и проекцией вектора п на плоскость траектории. Поскольку основная часть энергии испускается в узком конусе по касательной к траектории, диапазон изменения этого угла находится в тех же пределах, что и диапазон угла отклонения скорости частицы. Как следует из уравнений движения [11], максимальный угол отклонения для ондулятора с синусоидальным магнитным полем равен
Таким образом, -1 <а< 1. Исключая пограничные точки а = ±1, будем искать асимптотическое приближение для уравнений (1) в диапазоне -1 < а < 1. Переменная ц не зависит от к и имеет величину порядка единицы.
В новых обозначениях аргументы Х и у принимают вид:
х= 4к2 а =_к_2_
Х 1 + ц2 + к2(1 + 2а2), У 2[1 + ц2 + к2(1 + 2а2)].
Очевидно, что в пределе к значения х и у стремятся к линии
х 2 +16 у + 32 у 2=0. (4)
Как видно из уравнения (3),
х2 +16y + 32y2 < 0 (5)
и можно утверждать, что х и y стремятся к эллипсу (4) изнутри. Кроме того, из условия а2 < 1 следует, что y < -1/6 + o(k-2) . Будем считать, что
У <-1 (6)
6
Таким образом, будем искать асимптотику функций (2) в непосредственной близости от линии (4) с условиями (5) и (6). Точки х = ±3/4, y = -1/6 и их окрестности исключены. В случае больших n интеграл (2) можно оценить с помощью метода стационарной фазы. Обозначим f (t) = t - х sin t - y sin2t, тогда
Ln(nx,ny) = -L\M einf(t)dt. (7)
2ж
Точку стационарной фазы t0 можно определить из уравнения f '(t) = 0. Принимая во внимание соотношение (4), получим cos 10 =- х /(8 y). Рассматривая f (t) для небольшого промежутка t -10 и сохраняя слагаемые до третьего порядка малости, интегрируем (7) в окрестностях двух точек t0 =± arccos(- х /(8 y)) и получаем:
Ln (их, ny) = ^2.(1 + W L cos nA K1 (z). (8)
ж^ 3(1 -а2) 3
Здесь
3
V2n(1+^2)2
z =
3kVi -а2 (1 + 2а2)
и
. 3k2 a 1 -a2
A = arccosa--
1 + y/2 + к 2(1 + 2а2)'
Подобным образом можно найти и асимптотическое приближение для суммы
Ln+1 (их, ny) + Ln j (их, ny) = - Г cos t em(t-xsin'-ysin2t)dt.
ж
В результате имеем:
L„+1(nx, ny) + Ln-1(пХ ny) = 2aLn(пх ny) + —2(1 + ¥ )2 . (9)
жк y 3(1 -а2)
Второе слагаемое в (9) много меньше первого, но пренебрегать им нельзя, поскольку основные члены в уравнении (1) взаимно уничтожаются. Подставляя (8) и (9) в уравнения (1), окончательно получаем:
d£a 8v2e2(1 + w2)2 ^ 2т , ч . - ч
-— = —гЧ- . -^ У n2In (у) sin2 nA K22 (z),
dQda 3 ж ck (1 + 2a )2(1 -a2) t! f
d£w 8y2e2(1 + w2)w2 ^ - ч
-— = —^—-—т^-^X n2In(y)cos2 nAK ?( z ). (10)
dQd® 3ж ck6(1 + 2a )2(1 -a2) tí 3
Полученные выражения являются частным случаем более общей формулы, полученной в работе [2], и совпадают с формулами, указанными в работах [3, 4]. В заключение следует подчеркнуть, что выражения для спектрально-углового распределения энергии (10) неприменимы в случае а = ±1.
Примечания:
1. Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко В.М. Излучение релятивистских частиц при квазипериодическом движении // ЖЭТФ. 1981. Т. 80, вып. 4. С. 1348-1360.
2. Моисеев М.Б., Никитин М.М., Эпп В.Я. Излучение релятивистского электрона в ондуляторе в режиме больших полей // Известия ВУЗов. Физика. 1981. Т. 24, № 9. С. 95-98.
3. Kim K.J. Characteristics of synchrotron radiation // AIP Conf. Proc. 1989. Vol. 184. 565 pp.
4. Epp V.Ya., Razina G.K. Radiation in a wiggler with sinusoidal magnetic field // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. A. 1991. Vol. 307. P. 562-567.
5. Павленко Ю.Г., Петухов В.И., Мусса А.Х. Излучение релятивистских электронов в магнитном ондуляторе // Известия вузов СССР. Сер. Физика. 1973. № 10. С. 88-91.
6. Никишов А.И., Ритус В.И. Квантовые процессы в поле плоской электромагнитной волны и в постоянном поле. I // ЖЭТФ. 1964. Т. 46, вып. 2. С. 776796.
7. Излучение релятивистских электронов в магнитном ондуляторе / А.Н. Диденко, А.В. Кожевников, М.М. Никитин, А.Ф. Медведев, В.Я. Эпп // ЖЭТФ. 1979. Т. 76. С. 1919-1932.
8. Reiss H.R. Effect of an intense electromagnetic field on a weakly bound system // Phys. Rev. A. 1980. Vol. 22, Iss. 5. P. 1786-1813.
9. Leubner C. Uniform asymptotic expansion of a class of generalized Bessel functions occurring in the study of fundamental scattering processes in intense laser fields // Phys. Rev. A. 1981. Vol. 23, Iss. 6. P. 28772890.
10. Nikitin M.M., MuravyatkinV.Yu., Epp V.Ya. Radiation of a charge moving with multiple frequencies in an electromagnetic field // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. A. 1989. Vol. 282, Iss. 2-3. P. 481-485.
11. Корхмазян Н.А., Элбакян С. С. Об одной возможности детектирования быстрых заряженных частиц // ДАН СССР. 1972. Т. 203. 791 с.
12. Алферов Д.Ф., Башмаков Ю.А., Бессонов Е.Г. Теория ондуляторного излучения // ЖЭТФ. 1973. Т. 43, вып. 10. С. 2126-2132.
13. Theory of generalized Bessel functions / G. Dattoli, L. Giannessi, L. Mezi, A. Torre // Nuovo Cimento. B. 1990. Vol. 105, Iss. 3. P. 327-348.
14. Motz H. Applications of the Radiation from Fast Electron Beams // Journal of Applied Physics. 1951. Vol. 22, No 5. P. 527-535.
References:
1. Bayer V.N., Katkov V.M., Strakhovenko V.M. Radiation of relativistic particles moving quasiperiodically // ZhETF. 1981. Vol. 80, Iss. 4. P. 1348-1360.
2. Moiseev M.B., Nikitin M.M., Epp V.Ya. Radiation of a relativistic electron in an undulator in a large-field regime // The News of Higher Schools. Physics. 1981. Vol. 24, No. 9. P. 95-98.
3. Kim K.J. Characteristics of synchrotron radiation // AIP Conf. Proc. 1989. Vol. 184. 565 p.
4. Epp V.Ya., Razina G.K. Radiation in a wiggler with sinusoidal magnetic field // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. A. 1991. Vol. 307. P. 562-567.
5. Pavlenko Yu.G., Petukhov V.I., Mussa A.Kh. Radiation of relativistic electrons in a magnetic undulator // The News of Higher Schools. Ser. Physics. 1973. No. 10. P. 88-91.
6. Nikishov A.I., Ritus V.I. Quantum processes in the field of a plane electromagnetic wave and in a constant field. I // ZhETF. 1964. Vol. 46, Iss. 2. P. 776-796.
7. Radiation of relativistic electrons in a magnetic undu-lator / A.N. Didenko, A.V. Kozhevnikov, M.M. Nikitin, A.F. Medvedev, V.Ya. Epp // ZhETF. 1979. Vol. 76. P. 1919-1932.
8. Reiss H.R. Effect of an intense electromagnetic field on a weakly bound system // Phys. Rev. A. 1980. Vol. 22, Iss. 5. P. 1786-1813.
9. Leubner C. Uniform asymptotic expansion of a class of generalized Bessel functions occurring in the study of fundamental scattering processes in intense laser fields // Phys. Rev. A. 1981. Vol. 23, Iss. 6. P. 28772890.
10. Nikitin M.M., MuravyatkinV.Yu., Epp V.Ya. Radiation of a charge moving with multiple frequencies in an electromagnetic field // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. A. 1989. Vol. 282, Iss. 2-3. P. 481-485.
11. Korkhmazyan N.A., Elbakyan S.S. On one possibility of detecting fast charged particles // The USSR DAN. 1972. Vol. 203. 791 pp.
12. Alferov D.F., Bashmakov Yu.A., Bessonov E.G. Theory of undulator radiation // ZhETF. 1973. Vol. 43, Iss. 10. P. 2126-2132.
13. Theory of generalized Bessel functions / G. Dattoli, L. Giannessi, L. Mezi, A. Torre // Nuovo Cimento. B. 1990. Vol. 105, Iss. 3. P. 327-348.
14. Motz H. Applications of the Radiation from Fast Electron Beams // Journal of Applied Physics. 1951. Vol. 22, No 5. P. 527-535.
