Обратная задача магнитной гидродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ*)

А. Ю, Чеботарев, В, Е, Цыба

1. Постановка обратной задачи

Рассмотрим течение вязкой несжимаемой и проводящей жидкости в ограниченной односвязной области Л С Rd со связной границей Г = dfi, d = 2,3. В безразмерных переменных течение описывается уравнениями магнитной гидродинамики:

ди

— - г/Ам+ (uV)u = -Vp+ S -rotВ x В, ж G О, t > 0, (1)

дВ \ ( m \

—+rot£ = 0, j = rot В = — [E + uxB + ^2ai(t)Ei\, (2)

dt Vm\ i=i J

divu = 0, divB = 0. (3)

Здесь u, B, E и j — векторные поля скорости, магнитной индукции, электрической напряженности и плотности тока соответственно, p — давление, v = 1/Re, vm = l/Rm, S = M2/Re Rm, где Re — число Рейпольдса, Rm — магнитное число Рейнольдса, M — число Гартмана. Через Ei = ЕДx) обозначены сторонние электродвижущие силы. К уравнениям (1)—(3) добавляют начальные условия

u\t=o = u0(x), B\t=0 = B0(x), x еП, (4)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований — ДВО РАН (код проекта 06-01—96003) и гранта НШ-9004.2006.1.

© 2008 Чеботарев А. Ю., Цыба В. Е.

и условия на границе Г области течения:

u = 0, B ■ п = 0, п х E = 0 (x,t) бГх(0,Т), (5)

где п — единичный вектор внешней нормали к границе Г.

В двумерном случае плотность тока, электрическое поле и выражения rot B, u х B являются скалярами, при этом

OB 0B rot В = ——^ ——!-, и х В = Z(u) ■ В, OXi 0x2

rot B х v = rot BZ(v), rot Е= —Z{VE).

Здесь Z(v) = {-v2,vi} — поворот вектора } па п/2.

Для модели (1)-(5) рассмотрим следующую задачу. Найти функции a.i = аДt), i = \,...,m, и соответствующее им решение y = {u, B} системы (1)-(3), удовлетворяющее условиям (4), (5) и дополнительным соотношениям

аД t) >0, J rotB ■ Ei dx > q^ t), аД t)^j rotB ■ Ei dx — q^ = 0. (6) n n

Здесь функции q^t), Ei (x) считаются заданными так же, как и началь-uB

Заметим, что величина / rot B ■ Ei dx соответствует работе, совер-

Q

шаемой сторонними электродвижущими силами Ei в единицу времени, над токами проводимости j = rotB [1]. Нелокальные граничные условия (6) фактически описывают процесс регулирования мощности сторонних э.д.с. за счет динамического изменения амплитуд сторонних токов при условии ограниченности их снизу.

Математические вопросы для классических краевых задач в модели (1)-(3) изучены в [2]. Постановка (1)-(6) исследуется на основе теории абстрактных эволюционных неравенств Навье — Стокса [3-5], представленной в следующем пункте. Близкие задачи для параболических систем и для уравнений Максвелла рассматривались в [6,7].

2. Субдифференциальная обратная задача для системы типа Навье — Стокса

Пусть V и H — пара вещественных сепарабельных гильбертовых пространств таких, что V плотно в пространстве H, вложение V в H компактно и V С H = H' С V', где H 'и V' — сопряженн ые с H и V. Нормы пространств V и H будем обозначать через || • || и | соответственно; (■, ■) — отношение двойственности между пространствами V' VH

пия.

1. А : V ^ V' — линейный непрерывный оператор такой, что

(.Av,v) > a||v||2, a>0, (Av,w) = (Aw,v) Vv,w e V. (7)

2. PM(u, v) : V x V ^ V' — билинейное непрерывное отображение, удовлетворяющее условию ортогональности (¿$(u,v),v) = 0 "iu,v e V.

3. Квадратичный оператор J?[u] = ?M(u,u) : V ^ V' усиленно непрерывен.

4. Ф : V' ^ — выпуклый полунепрерывный снизу функционал, Ф ^

Рассмотрим эволюционное уравнение

y' + Ay + B[y] + h=f, t e(0,T), (8)

с начальным условием

y(0) = т- (9)

Здесь y' = dy/dt. Предполагается, что правая часть f и начальное значение yo заданы. Функция h : (О, T) ^ V' считается неизвестной, и

yt

y{t) — r{t) e d$(h(t)) на (0,T). (10)

Здесь r(t) e V — известная функция, дФ(Л-) является субдифференци-■

dV(h) = {u e V : Ф(д) — Ф(h) > (g — h, u) Уд e V'}.

На задачу (8)—(10) в дальнейшем будем ссылаться как на задачу I.

2.1. Преобразование задачи I. Существование слабого решения. Обозначим через Ф(^) преобразование поляризации от функции Ф,

Ф(^) = вир{(Н,«) - Ф(Н), Н е V'}. Пусть К — эффективная область функционала Ф, К = {и е V : Ф(«) < + то}.

К

довательно, дФ(-ш) 0 VV е К.

Воспользовавшись соотношением между множествами дФ и дФ [8,с. 61], из условия (10) сразу получаем

Н(г) е дФ(у(г) - г(г)). (11)

Исключив Н(£) из (8), (11), получаем задачу Коши для эволюционного уравнения с многозначным оператором (вариационное неравенство)

f е у' + Лу + Щу] + дФ(у - г), у(0) = у„. (12)

В дальнейшем если X — банахово пространство, то через £8(0,Т;Х), 1 < т < то (соответственно С([0, Т]; X)), обозначается пространство ^ (соответственно класс С) функций, определенных на [0, Т] со значениями в X. Через £'(0, Т) будем обозначать пространство распределений (обобщенных функций) на (0,Т), через Wls — пространство Соболева функций, интегрируемых с в-й степенью вместе с обобщенными производными до порядка I.

Определим функционал

ад = | / ф(*(*)) если Ф(4■)) е Що, Т),

.

Определение 1. Пара {у,Н} е Ь2(0,Т-^) х г3'(0,Т¡V') называется слабым решением задачи I, если

С(у - г)<+ то, Н(г) е дФ(у(£) - г(г))

то

и справедливо неравенство т

I (г' + Ау + Щу] -¡,у-г)сИ + С (у - г) - С(г - г) < Ы ~ ^ (13) о

для всех г таких, что г е Ь2(0, Т; V), х' е Ь2(0, Т; V').

Здесь и далее мы будем предполагать, что выполняются следующие (достаточно слабые) условия регулярности исходных данных:

г е f,г' е £2(0,Т; V')-, ш е Н. (14)

Теорема 1. Пусть билинейный оператор ёё удовлетворяет условию

К \ < Ь |Н|1+0 И1(15)

где в е [0,1), > О —постоянные, не зависящие от V, V е V. Тогда для

любых f, г, удовлетворяющих условиям (14), и произвольного элемента у

Уо — г(0) € К = замыкание К в пространстве Н, (16)

задача I имеет по крайней мере одно слабое решение.

Доказательство теоремы 1, основанное на получении априорных оценок решения задачи вида (12), в которой вместо функционала Ф выбрана его регуляризация [9, с. 25]

ФлИ = 1п£{"-;"^ меУ, Л > 0,

получено в [4, 5].

2.2. Сильное решение задачи I.

Определение 2. Пара {у, Н} е С([0,Т]^) х Ь2(0,Т-^') называется сильным решением задачи I, если

у(0) = уо, у' е £2(0,Т; V) П Ь™(0,Т;Н), С{у - г) < + то,

при этом

М*) = /* - (у'(+ М*) + В[у(т е дФ(у(*) - г*) п. в. на (О, Т).

(17)

Пусть и, Нд являются вещественными сепарабельными гильбертовыми пространствами, и непрерывно и плотно вложено в V, а норма в Н эквивалентна норме в Н. Предположим, что Ах + ¡Щ^ е Н, если

г е и,

¡Ах + Щх] - /0)| < к2 (1 + \\х\\Ь), (18)

где > 0 не зависит от х е и. Теорема 2 [5]. Пусть

I < к3\М\1+0И1 \МРМ1, (19)

где постоянные 0,7 е [О,1/2], к > 0 не зависят от е V. Тогда для любых данных таких, что

дФ(у0 - г(0))п Нф 0, щ - г(0) е и п К, /0) е Н,

/,/' е Ь2(0,Т^0, г е С{[0,Т}-^), Г е Ь2(0,Т^) пЬто(0,ТН,

(20)

задача I имеет ровно одно сильное решение.

2.3. Обратная задача типа управления. Приведем пример обратной задачи I, к которой можно свести постановку (1)-(6). Рассмотрим линейно независимую систему функционалов г = 1, то, из пространства V' и биортогональную с ней систему элементов из V, {¿¿}, г = 1,т, (С}игк) = 5гк. Пусть

т

г =-'Y^qi(t)zi, К = {х е V : (<3г,х) < 0, г = 17т}.

1=1

Здесь (/¿(¿), г = 1, то, — заданные функции. Рассмотрим задачу I, где Ф — опорная функция множества К, Ф(Н) = вир{(Н, х) : х е К}. Па основании условия (10) заключаем [8, с. 60], что

у{г) - г* е К и {к,х - у + г) <0 Ух е К. (21)

Из (21) следует структура неизвестной функции h(t)

m

h(t) = Y, ai(t)Qi, ai(t) = (h(t), Wi),

l

(Qi, y(t)) < -Qi(t), ot-i > о, ((Qi, y(t)) + qi{t))ai{t) = 0, 1=1, то.

3. Разрешимость обратной задачи МГД

В дальнейшем, не нарушая общности, считаем, что параметр S в модели (1)-(3) равен 1, поскольку всегда можно сделать переобозначения: В := VSB, Е := VSE, Ei := л/SEi.

3.1. Пространства и операторы для модели МГД. Пусть П — односвязная область в R со связной границей Г G C2. Рассмотрим линейные многообразия гладких вектор-функций:

Обозначим через V, V замыкания по норме ^^П), через Н,

Н — замыкания Щ по норме Ь2(П), при этом фактически Н = Н2- Скалярное произведение в пространствах Н и Н2 определяется обычным образом:

((u, v)) = (rot u, rot v)o = у (rot u ■ rot v)dx Vu,v £ V_,V2

Q

задает скалярное произведение в V и V, при этом определяемая им норма эквивалентна норме пространства W21(il). Рассмотрим также пространства

% ={ve С°°(П) : divw = 0, хеП, v = 0, х £ Г},

Щ = {ve C°°(tt) : div v = 0, х ей, п ■ v = 0, х G Г}.

Q

Билинейная форма

V = V х V2, Н = Н1 х Н2, V с Н = Н' С V

Указанные вложения являются плотными и непрерывными. Нормы в пространствах V и H соответственно обозначавм через || • ||, | (-, •) — отношение двойственности между V' и V и скалярное произведение H

{y, z) = {и, v)0 + (В, w)0, (y, z)v = ({и, v)) + {{В, w)) Vy= {и, В}, z = {v,w}.

Для сведения постановки (1)-(6) к задаче I определим отображения

A-.V ^ V', PM-.V х V ^ V,

используя соотношения

(Ay, z) = v((u,v)) + vm((B,w)),

(¿МУ,у), z) = ((u ■ V)u — rot В х Bi,v)0 — (u2 х Bi, rot w)o,

которые выполняются для всех y = {и, В}, y\ = {u\, В } Ш = {и2, В} z = {v, w} го пространства V.

A

y, z y y, y

y, z ,z ,

(iM[y],z) = (rot и х u,v)0 — (rot В х B,v)0 — (и х В, rot w)o. Мультипликативное неравенство для области П С Rd

if i^) < к if aiQ № и1-/

приводит к следующей оценке:

(iM(y,z),y) < CHz|| ||y||1+d/iЫ1 -d/i, (22)

где C > 0 те зависит от y, z G V. Если d = 2, то справедливо более сильное неравенство

(iM(y,z),y) < CИ1 /2и1 /2ЦуЦ*/2ы1 /2. (23)

Таким образом, введенное отображение удовлетворяет условию (15), а в двумерном случае условию (19).

Для вектор-функций Ег € (П), п х Ег = 0 на Г, определим функционалы Qi € V',

х) = — (пЛ Ег, т)о = — (Ег, пЛ если х = {у, л} € V.

Определим Ф(у) как индикаторную функцию множества К = {х € V : х) < 0, г = Т~гп}:

( 0, если у € К,

Ф(у) =

[ иначе.

Отметим, что Ф является выпуклым на V функционалом, слабо полунепрерывным снизу.

3.2. Исследование постановки (1)—(6). Пусть у = {и, В} —

достаточно гладкое решение нелокальной односторонней задачи (1)-(6), уо = {и°,В°}. Будем предполагать, что система функций {пЛЕг}

Н

Рассмотрим произвольный элемент х = {у, л} € V, умножим уравнение (1) на (у — и), уравнение (2) на (и> — В) и проинтегрируем по частям по области Л, используя граничные условия для скорости, электрического и магнитного полей, а также для тестовых функций у,ю. Складывая полученные соотношения и учитывая условия (6), получаем неравенство

{у' + Лу + &[у], х — у) + Ф(х — г) — Ф(у — г) > 0, (24)

где г(Ь) € V определяется равенством

Г= {О, — ^ .

Здесь функции {лг} биортогональны с {—rotEj}.

Обратно, пусть у = {и, В} — достаточно гладкое решение вариационного неравенства (24). Положим х = {и ± у, В}, где у € С™(О) —

v

кает, что

(u',v)0 + v(rot u, rot v)0 + ((и ■ V)и — rot В х B,v)0 = 0. (25) и

и' + vAu + (и ■ V)и — rot В х В = —Vp, (26)

для некоторой функции p. Выполнение граничных условий для поля скоростей следует из принадлежности u(-,t) пространству V±. Далее, полагая в (24) z = {и, w} и учитывая структуру функционала Ф, заключаем

(rotEi,В)0 > qi(t), i=l,...,m,

(В', W — B)0 + (vm rot В — и х В, rot(w — В))0 > 0 (27)

для произвольных гладких функций W(-,t) G V2, удовлетворяющих неравенствам (rotEi,w)o ^ q^t), i = l,...,m. Следствием вариационного неравенства (27) является соотношение

m

(В', w)0 + (vm rot В — и х В, rot w)o = ^^ ai(t)(rot Ei, w)0. (28)

l

Здесь ai ^ 0, ((rot Ei, B)o — q^t))a^t) = 0, w — произвольный элемент из пространства V- Для произвольной вектор-функции W G C^(fi) определим скалярную функцию ф такую, что

дф

Аф = divw в Л, —— = 0 на Г.

дп

Тогда w = W — Vф G V, при этом rotw = rot«;, а в силу условия В

(.B,w)0 = (В,ги)0.

Следовательно, соотношение (28) справедливо для любой функции w G C^(tt). Полагая

m

E = vm rot В — и х В — ^^ аДt)Ej,

1

и интегрируя в (28) по частям, получаем уравнения (2). Сравнивая

п х Е

Таким образом, постановка (1)-(6) сводится к абстрактному эволюционному неравенству (12). Слабым (соответственно сильным) решением задачи (1)-(6) будем называть соответственно слабое (сильное) решение задачи I, для которой выше определены соответствующие пространства и операторы.

Следствием теорем 1, 2 является следующий результат.

Теорема 3. Пусть щ € И, В0 € И2, Ег € W21(fi), п х Ег\г = 0, г=1,...,ш, система вихрей {пЛ Ег} линейно независима в иростраистве И2,

Яг € W21(0,T), JmtEi ■ Ва3,х > ^(0), г=1,...,ш. п

Тогда задача (1)-(6) имеет по крайней мере одно слабое решение. Кроме того, если ¿ = 2 и дополнительно

щ € W22(П)пУх, В0 € ^П)пУ2, (пхп*В0)\г = 0, ® € W22(0,T),

(29)

то слабое решение является сильным и при этом единственным.

Доказательство. Проверим выполнение условий теорем 1, 2. Отметим сразу, что операторы Л, В, определенные в п. 3.1, удовлетворяют условиям указанных теорем, а оценки (22) и (23) означают справедливость условий (15), (19). Кроме того, для доказательства существования единственного сильного решения полагаем и = W|(fi) П V. Тогда Щд] € И = Ь2(П) х Ь2(П) для д € и Если х = {у,л} € И, а уо = {щ,Во} удовлетворяет (29), то

(Лу0, х) = —у(Ащ, у)0 — ^т(Д В0, л)0 — !(п х rot В0)л

г

Поэтому из (29) следует выполнение условий (20) теоремы 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Та мм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1974.

2. Sermange М., Temam R. Some mathematical questions related to the MHD equations 11 Comm. Pure App. Math. 1983. V. 36. P. 635-664.

3. Коновалова Д. С. Субдифференциальные краевые задачи для эволюционных уравнений Навье — Стокса // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. С. 792-798.

4. C'bebotarev A. Yu. Subdifferential inverse problems for evolution Navier-Stokes systems // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2000. V. 8, N 3. P. 243-254.

5. Чеботарев А. Ю., Савенкова А. С. Вариационные неравенства в магнитной гидродинамике // Мат. заметки. 2007. Т. 82, вып. 1. С. 135-149.

6. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

7. Беспалова Т. В., Чеботарев А. Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 6. С. 747-753.

8. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. San Diego: Acad. Press, 1993.

9. Aubin J. P. Optima and equilibria. An introduction to nonlinear analysis. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 1993.

г. Владивосток

28 января 2008 г.