Оптимальная термоизоляция плоской области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 517.940

М.В. Жигалов, С.П. Павлов ОПТИМАЛЬНАЯ ТЕРМОИЗОЛЯЦИЯ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

Доказывается существование оптимального распределения толщины термоизоляционного слоя по части границы плоской области. Приводятся алгоритм решения этой задачи и численные результаты.

M.V. Zhigalov, S.P. Pavlov OPTIMUM THERMAL INSULATION OF FLAT AREA

Existence of optimum distribution of thickness thermal insulation a layer in connection with border of flat area is proved. The algorithm of the decision of this problem and numerical results are presented here.

Введение

Задача оптимальной термоизоляции в более узкой постановке, когда отсутствует изменение относительного расположения поверхностей с различными типами граничных условий, была рассмотрена в [1]. Однако до сих пор отсутствовало доказательство существования оптимального решения.

В данной работе этот пробел устранен. Кроме того, задача теперь рассматривается в более общей постановке, когда отыскивается не только оптимальное распределение теплоизолирующего слоя, но и граница его расположения. Для этой задачи с использованием техники сопряженных переменных в слабой форме [2] проведен анализ чувствительности. В частном случае, когда границы поверхностей неподвижны, результат совпадает с полученным в [1] значением градиента функционала цели.

Отметим, что техника введения сопряженных переменных в слабой форме, разработанная в [2], позволяет применять метод сопряженных переменных для анализа чувствительности в более широких функциональных пространствах, когда все решения соответствующих краевых задач удовлетворяют лишь вариационным уравнениям или неравенствам.

1. Постановка задачи

Пусть граница Г односвязного изотропного плоского твердого тела Q состоит из четырех частей: Г1, Г2, Г3, Г4 (рис. 1). На поверхности Г1 задана температура. На поверхности Г4 - нулевой поток тепла. На поверхностях Г2 и Г3 распределяются тонкие слои термоизоля-

Рис. 1

с краевыми условиями:

Л ,= т- -х

д Т

д п

ции и, следовательно, граничное условие на этих поверхностях может быть задано в виде линейной комбинации температуры и потока тепла.

Отыскивается такое распределение неизвестной толщины на Г3, чтобы суммарные потери тепла через поверхности Г2, Г3 были минимальными. Общая площадь изолирующего материала на Г3 задана. При этих условиях задача представляет не только практический, но и математический интерес [2].

При отсутствии источников тепла в однородной области О температурное поле определяется уравнением Лапласа

V2 Т = 0 в О,

= тг (т - т.), -^

И2 д п

= 0,

(1)

(2)

здесь А, А° - теплопроводности материалов области О и теплоизолирующих слоев соответственно; Т0 - температура окружающей среды; К2, К3 -неизвестная и заданная толщины слоев изоляции на границах Г2, Г3. На границе Г4 толщина изоляции предполагается неограниченно большой и тепло через Г4 не передается.

По предположению общая площадь изолирующего материала на Г2 задана - пусть она равна А. Обозначим

Л = |К - А ^ °) , (3)

где А - параметр задачи.

Так как в теле отсутствуют источники тепла, то суммарный поток тепла через полную границу тела должен быть равен нулю. Поэтому минимум потока тепла через границы Г2, Г3 равен максимуму потока через границу Г1 или минимуму функционала

• = И д Т Й1 • = -|х^_<^1 .

г, д п

(4)

Для удобства в дальнейшем перейдем к безразмерным параметрам по следующим соотношениям:

— /т - /т 0 Т - ТО 0 Т - Т0 50 Ь° дТ

х = х/Ь°, у = у/Ь° , 0 =-------^ , 0 = ^-----0 — --------0-----

Т - Т

-М

Т - Т. д п Т -т. д п

8 = •

3 Ь0 И2 X А

— у = 0 2 , а =-----------

У =

• т = А

ХЬо (7, - Т„У ' А ,

(5)

где Ь0 - характеристический размер и Т, - сравнительная температура (можно взять Т1=Т0, если это константа). Перепишем (1)-(4) в безразмерных переменных:

V 9 = 0 в О

с краевыми условиями

9г, =9",

эе

д п

+ у( х) 9

= 0.

д9 д п

+ И 9

= 0.

д9 д п

= 0

(6)

(7)

г

г

г

2

3

4

2

г

г

г

4

2

3

где И = в-1, у(х) = (а у(х))-1 и в - заданная, а у(х) - искомая безразмерные толщины на границах Г2 и Г3 соответственно.

Задача оптимизации теперь ставится таким образом: найти распределение у(х) - нормированной толщины изоляции на Г2 и положение точек а, Ь, с, ё, разделяющих границы областей Г1, Г2, Г3, Г4, так, чтобы функция цели

J (у) = |у(х) 0 ё1 +| И 0 ё1 (8)

Г2 Гз

была наименьшей при условии, что выполняются соотношения (6)-(7) и ограничение

J1 = | а у(х) ё1 -1 < 0, (у(х) > 0) . (9)

Г2

2. Существование решения

Для доказательства существования такой функции у(х) задачу (6), (7) поставим более точно. Пусть О - ограниченное открытое множество с регулярной границей Г, и пусть

ид = {у|у е Г;0 < р < ^о(х) < у(х) < ^(х), почти всюду на Г2; £о, ^еГ"^)} . (10)

Определим множество

Е = {уерш(°)| у|Г1 = 0 } , (11)

где р”(О) - множество функций, бесконечно дифференцируемых на Ое Я2. Замыкание множества (11) в норме

II у \1 Нк1я1(о)+с11 у|г о,с >0 , (12)

является банаховым пространством К(О)и подпространством пространства Н1(О) [2]. Очевидно

V = {у|уе Н1 (О); у|Г1 = 0, у|Ге Г (Г)}. (13)

На V определим билинейную форму а^ф,у) выражением

ау (ф,у)=|УфУу ds +| И фу ё1 +| V фу ё1 . (14)

о Гз Г2

Очевидно, эта билинейная форма является коэрцитивной на V в силу предположения (10). Теперь требуется найти решение 0^) вариационного уравнения

av (0^), у) = 0, Ууе V, (15)

при условии, что 0^)-00е V.

Теорема 1. Если множество и задано соотношением (10), то для любого фиксированного элемента vе и уравнение (14) имеет единственное решение.

Доказательство. Фактически это утверждение представляет собой частный случай теории монотонных операторов. Из (14) следует, что

аV ( ф1 -ф2 )-аV (ф 2 , ф1 -ф2 )= / ^(ф1 -ф2 )У(ф1 -ф2 ) ^ +

+ | И (ф1 -ф2 )2ё1 +| V (ф1 -ф2 )2 ё1 Уф1 ф2 е V. ( )

Гз Г2

Так как правая часть в (16) неотрицательна, то

ау (ф^ ф1 -ф2) - ау (ф 2 , ф1 -ф2) ^ 0 . (17)

Последнее неравенство означает монотонность оператора, порождаемого формой ау(ф,у) и отображающего V^V.

На самом деле справедливо даже более сильное утверждение (строгая монотонность)

av (ф^ Ф1 -ф2) - av (Ф 2 , Ф1 -Ф2) — а|ф1 -ф^| V . (18)

Неравенство (17) и свойство коэрцитивности, означающее, что

°\ (ф||ф) ^ ^ при ^ ФIV ^ ^ , (19)

влекут за собой существование элемента 0(v), удовлетворяющего уравнению (15).

Наконец единственность такого элемента 0(v) непосредственно следует из (17). Теорема 2. Пусть множество Ud задано соотношением (10), а 0(v) - решение уравнения (14). Если функционал цели задан соотношением (8), то существует по крайней мере одно оптимальное управление ge Us.

Доказательство. Пусть {vn} - минимизирующая последовательность, а 0„=0(v„). Так

как av(ф,ф) — а || ф ||V, где а>0 - константа, не зависящая от v, то || 0n ||V < const.

Поскольку множество Ud ограничено и замкнуто в смысле * - слабой топологии про-

странства L”(Q) [3], то можно считать, что существует сходящаяся подпоследовательность такая, что 0„^0 слабо в пространстве V, а vn^g * - слабо в пространстве L”(Q) и ge Ud. Таким образом

0n ^ 0 слабо в H^Q); 0n | г ^ 0| г слабо в L2(T) . (20)

Но в силу (20) и теоремы о следах

0n | Г ^ 0| Г слабо в #1/2(Г) . (21)

Кроме того, вложение Н1/2(Г)^^(Г) вполне непрерывно [3, гл.1]. Поэтому из (21) следует, что 0n | Г^0| Г сильно в L2(Г). Из этого утверждения получаем

J h 0n у dl + J vn 0n у dl ^ J h 0y dl + J g 0y dl Vye V . (22)

Гз Г2 Г2 Гз

Итак, ag(0,y)=0Vye V, откуда 0=0(g). Но функция v^-J(v) полунепрерывна снизу в слабой топологии в Ud и, следовательно,

J (g) < lim J(vn) = iiif J(v) , (23)

veUd

то есть g - оптимальное управление.

3. Анализ чувствительности

Пусть 0(g) - температурное поле для

g (х) = (a у(х))-1, h = 1/ s , (24)

где у(х) - искомая толщина термоизоляции на границе Г2; s - заданная толщина термоизоля-

ции на границе Г3.

Температура внутри области 0 удовлетворяет теперь краевой задаче (#=#; n):

qt = -0,,-, Яи = 0, 0|Г1 = 0о , (- я+h0)|Г2 = 0, (- я+g(х)0)Гз = 0, q |Г4 = 0, (25)

а функционалы цели и ограничений определяются, соответственно, соотношениями

J = - J qdl , J1 = J(g )-1dl -1. (26)

На основании результатов, полученных в [2], полную вариацию, для функционала J(g), при изменении переменных состояния g(x), a, b, c, d и границы Г запишем в виде:

J = -Jqd-\{qn -2qKm)vndl-q^

J q dl - j(q,n - 2 q K m )vndl

n “Ч~тР«Ш - qVne\d =

Г1 f Л (27)

da I dd

q — qL — v la dl ld dl J

где Уп - нормальная составляющая скорости изменения границы; У^в - тангенциальная составляющая скорости изменения границы Г1; Кт - средняя кривизна границы Г.

Для получения явной зависимости J от £ исключим неявную зависимость от вариации переменной состояния д. Для этого используем технику введения сопряженных переменных в слабой форме [2].

Опуская промежуточные выкладки, получаем:

J =| а е е* м - ^4 ч’ +ч'е1 + ч,е ^пм/+

+ J{(g e e- )n - 2 (g e e- )Km }v« dl + J {(a e e-),, - 2 (h ee*)Km }v« dl - (28)

г

-(g - h)00-| — + (h ee-) — - q I —

V ’ lb dl V ^Ic dl la dl

ь ё/ 1с ё/ М/

где сопряженная задача удовлетворяет следующим уравнениям

ч' = -е-, ?,* = 0, е-|г= l, (-?*+м*) = 0, (-?*+в(х)е\ = 0, ч-|г= о. (29)

Как видно из (28), приведенная методика позволила получить более общее выражение для градиента функционала, где учтены не только изменение толщины термоизоляции, но и искривление поверхности, а также изменение точек сопряжения поверхности с различными граничными условиями.

В частном случае, когда граница Г2 неподвижна и не меняется положение точек а, Ь, с, М в (30) остается только одно слагаемое:

У = { а ее*М/ . (30)

Г2

Это соответствует полученному ранее в [1] значению градиента функционала J.

4. Описание алгоритма

С точки зрения широкого применения численных методов для решения задач оптимизации огромное значение имеет совместимость метода поиска оптимального распределения термоизоляции с методом решения задачи теплопроводности (1), (2). Например, для областей с криволинейной границей, да еще меняющейся, отыскать аппроксимирующие функции в методе Бубнова вообще невозможно. Применение метода сеток также наталкивается на большие трудности для областей с криволинейной границей. Исключение составляет метод конечных элементов, который хорошо приспособлен к областям сложной формы. Однако и здесь возникают свои проблемы. Во-первых, алгоритм должен быть построен так, чтобы на каждом шаге не производилось переразбиение области на конечные элементы, а использовалась первоначальная топологическая информация. Во-вторых, в процессе деформации области необходимо, чтобы конечные элементы не вырождались в линии, плоскости и т.д., а также, чтобы не происходило их наполза-ние друг на друга, образование разрывов между ними и т.п.

a

3

2

Поэтому наиболее естественным для таких задач является метод граничных элементов [4], который лишен перечисленных выше недостатков и хорошо приспособлен к областям сложной формы. Кроме этого, он позволяет понизить на единицу размерность рассматриваемой задачи, а значит, упростить и ускорить процесс нахождения решения задачи теплопроводности.

Для решения задачи оптимизации использовался метод проекции градиента, подробно описанный в [2]. Для решения прямой (25) и сопряженной (29) задач, применялся метод граничных элементов, с линейной аппроксимацией переменных. Граница исследуемой области разбивалась на 360 элементов. Такое количество разбиений позволило достаточно точно описать изменение границы области даже линейными элементами. Для улучшения сходимости метода проекции градиента была введена дополнительная итерационная процедура, в которой каждый последующий шаг использовал решение, полученное на предыдущем шаге, в качестве начального приближения. Это позволило существенно ускорить процесс нахождения оптимальной толщины. При этом замечено, что ограничение для J1 из (26) во всех случаях выполняется в виде равенства, что говорит о том, что оптимальное решение находится на границе допустимой области.

5. Численные результаты

В качестве примера рассмотрим термоизоляцию двумерной квадратной области: {0<х<1, 0<у<1}. На Г1 задается распределение температуры четырех типов: 1-й тип - 9|г = 1,

при 0<х<1; 2-й тип - 9|г = 2х, при 0<х<1; 3-й тип - 9|г = 4х при 0<х<0,5, 9|г = 4(1 - x), при

0,5<х<0; 4-й тип - 9|г = 4(0,5 - х) при 0<х<0,5, 9|г = 4(х - 0,5), при 0,5<х<0. На границе Г2

расположен оптимизируемый слой термоизоляции, причем площадь термоизоляции, распределенной по одной стороне квадрата, бралась равной 1. На границе Г3 задан слой термоизоляции толщиной 0,1. На границе Г4 задан нулевой тепловой поток. Выигрыш от оптимизации

границы подсчитывался по формуле const-------— -100% . Здесь JcOnst - значение функции цели,

Jconst

при постоянном распределении толщины термоизоляции, на Г2. Jopt - значение функции цели, полученное после оптимизации. Рассматривались различные комбинации границ области. Ниже приведена таблица выигрыша для различных комбинаций (схем) расположения границ, в зависимости от типов температурной нагрузки.

Как видно из таблицы наибольший выигрыш дают схемы, у которых оптимизируемая граница находится вблизи границы с заданной температурой. Для одной и той же схемы наибольший выигрыш дают тепловые нагрузки 2-го и 4-го типов, кроме схем, когда оптимизируемая граница находится напротив границы, с заданной температурой.

На рис. 2-5 приведены графики потоков и толщины изоляции для схемы Г1Г2Г3Г4, для всех типов нагрузки. Графики 2, а-5, а показывают распределение потока на оптимизируемой границе. Пунктирная линия соответствует потоку в конструкции с постоянной толщиной термоизоляции, сплошная линия - потоку в конструкции после оптимизации. Как видно из графиков, после оптимизации поток на границе Г2 становится практически постоянным. Графики 2, б-5, б представляют собой распределение толщины теплоизоляции на оптимизируемой границе.

1 11 21 31 41 51 61 71 81П 91

а

Рис. 2

б

п

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

а

Рис. 3

Л

п

б

Рис. 4

0

-0,5 -1 -1,5 q -2

Рис. 5

При сравнении графиков, для каждого типа тепловой нагрузки, можно сделать вывод о том, что вид оптимизируемой границы зеркально повторяет вид графика потока в исходной конструкции. Это заключение распространяется и на другие схемы. На основании этого можно высказать предположение о моделировании теплоизоляции рассмотренных конструкций, а именно вид оптимизируемой границы можно представить на основании графика потока на ней. Это распределение толщины термоизоляции можно считать начальным приближением для проведения дальнейшего исследования по описанному выше алгоритму. Такой подход, по нашему мнению, существенно ускорит процедуру нахождения оптимального распределения термоизоляционного материала.

Заключение

Обратим внимание, что доказано существование оптимального решения лишь для случая оптимального распределения толщины термоизоляции. В более общей постановке, для которой хотя и получено выражение градиента (29), доказательство существования оптимального решения авторам неизвестно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Meric R.A. Optimal thermal insulation by the boundary element method // Numerical Heat Transfer. 1986. Vol. 9, № 2. P. 163-182.

2. Крысько В.А., Павлов С.П. Оптимизация формы термоупругих тел. Саратов: СГТУ, 2000. 160 с.

3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

4. Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

524 с.

Павлов Сергей Петрович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета

Жигалов Максим Викторович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

n

б

а