CC BY
33
УДК 539.3
С.П. Павлов, М.В. Жигалов, Т.В. Бабенкова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ КОНСОЛИ ПО КРИТЕРИЮ ЖЕСТКОСТИ
Получены необходимые условия оптимальности формы внешней границы консоли по критерию жесткости при одновременном воздействии как механических, так и тепловых нагрузок. В результате численного эксперимента получен ряд оптимальных форм консоли.
Оптимизация формы, термоупругость, анализ чувствительности, критерий оптимальности
S.P. Pavlov, M.V. Zhigalov, T.V. Babenkova
MATHEMATICAL MODELING AND OPTIMIZATION OF THE CONSOLE SHAPE USING RIGIDITY CRITERION
The necessary conditions for optimal forms of the outer console boundary have been obtained using rigidity criterion under simultaneous impact of both mechanical and
thermal loads. A number of optimal console forms have been developed as a results of a series of experiments.
Shape optimization, thermoelasticity, sensitivity analysis, optimal criterion
Рассматривается задача оптимизации однородной области, находящейся в плоском деформированном состоянии, которая подвержена как механическим, так и температурным нагрузкам. При этом считается, что температурное поле при изменении формы в процессе оптимизации границы упругой области также изменяется за счет изменения условий теплообмена. В результате изначально несвязанная задача термоупругости становится связанной через условия оптимальности.
Учет влияния этого фактора является одной из основных целей данной работы.
Рассмотрим консоль, находящуюся в плоском деформированном состоянии (рис. 1) и изгибаемую силой P , которая приложена в точке A. Требуется найти оптимальную форму внешней границы по критерию прочности. Верхняя и нижняя границы консоли свободны от механической нагрузки, но могут быть подвержены тепловой нагрузке. Левый край консоли защемлен. Требуется минимизировать величину перемещения u2 вдоль оси OY для точки A посредством оптимизации границы Г2 + Г3 при условии, что площадь поперечного сечения не превосходит заданной величины.
Функционал цели в этом случае принимает вид
J (гt )= j u2(x)S(x - x0)ds , (1)
Гt
где х0 — радиус вектор точки А и 3(х — х0) - функция Дирака. Выражение для градиента функционала (1) при изменении формы внешней границы получим с использованием методики анализа чувствительности, подробно описанной в [1].
Рис. 1. Поперечное сечение консоли в плоском деформированном состоянии Функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия
% = 2 к1 + 1 (2)
С = сцш (£кI — а1 в) С = 1 еи, (3)
где в - температура;
= 0, (4)
с7цп\ = 0, (Г1п\ = 0 а2 ■и\ = Р3(х — х0), (5)
1 1 1г2 +Г4 11 1 1г3 211 1г3 4 и/
и = 0 на Г1. (6) Температура в, входящая в (3), удовлетворяет соотношениям:
Ф =—в,I , =ЛцР] . (7)
Здесь д^ — полные потоки тепла, которые удовлетворяют следующей краевой задаче
4м = 0, (8)
дп IГ1 = ^ вГ4 = 0' вГ2,Г3 = 1. (9)
Для сопряженной задачи получаем следующие соотношения [1]:
ej = (<; + uj,i)2 , ^ = c^ . (10)
-ij - уч,¡^ и j,i;/ ^ ' ^ij - ^ijk^kl ■ При этом u*j удовлетворяет тому же уравнению, что и а.
aij•j
= 0. (11)
v • J
Граничные условия принимают вид
= 0, а\ n. = -S(x - Xo), (12)
*
aJnj
= o, а ¡п.
Г +Г 1J J
Гз
и* = 0 на Ц. (13)
Аналогичные соотношения получаем для тепловой задачи:
* л* * л *
Р = , д, = , (14)
Уи — сцыаы£1 = 0- (15) Граничные условия задаются теперь в виде
д* = д*щ = 0 на Г1 и в = 0 на Г2 +Г3 +Г4 . (16) С учетом этих замечаний выражение производной для функционала (1) принимает вид
J (Гг )= \ j + qWI + q 0 + qn} Vnds •
(17)
Здесь для общности все соотношения записаны через тензоры сщ , атк1, Л и учтено, что на границе Г2 + Г3 + Г4 сопряженная температура в* = 0, а оптимизируемая граница Г' = Г2 + Г3 совпадает с границами Го и Гв.
Интегралы по границе Г' могут быть упрощены. Действительно, дв*п = дЩ = —др*- Кроме
Г
,п
того, как следует из задач (2)-(6) и (10)-(13), сопряженные деформации £ связаны с истинными деформациями £ соотношением £ = — £ц/Р - Поэтому окончательно получаем
& (Г' )={ {— Р о£ + д в п У^. (18)
В частности, при отсутствии температурной нагрузки
& (г )=— р Ь е упа* - (19)
Р Г'
Выражения (18) и (19) можно упростить дополнительно за счет того, что искомая граница не нагружена. Если ввести локальную систему координат п,т , то
01= 0пп£пп + 0пт£пт + 0тт£тт .
Однако опп = 0, Опт = 0 согласно граничным условиям. В результате
°ц£ц = о£ . (20)
Более того, £тт легко вычисляются в методе граничных элементов через узловые значения
перемещений, а напряжения в изотропном случае определяются для плоского деформированного состояния соотношением
отт = 20етт/{1 — у) — 20атв/(1 — у)2 (21)
Таким образом, окончательно из (18) следует
& (г' )= | {— (20еЛ — V)— 2Сатв! (1 — у)2 )етт/р — ЛвЩ. ^. (22)
Г'
Отсюда при ограничении на площадь поперечного сечения получаем необходимое условие оптимальности
' тацл / г>+1а*.
(,GeJ(1 -v)- 2GaT0(1 - v)2 )ejp + Ав;пвп\г = const • (23)
Для чисто упругой задачи при отсутствии температуры
7 (г )=- G а Vnds
1-V ¡аТ Vnds (24)
2GPГt Т n
и критерий оптимальности принимает вид
3
г
( = const. (25)
То есть оптимальная конструкция должна быть равно напряженной. Этот результат согласуется, в частности с результатами [2].
При других условиях теплообмена, когда на границе заданы потоки тепла, необходимое условие оптимальности будет отличаться от (22). Так, если на границе Г2 + Г3 задан поток тепла, то есть qn I = -1, то граничные условия в сопряженной задаче изменяются на следующие:
1 г' Г 2>Г 3
q* = q*ni = 0 на Г1 +Г2 +Г4 и 0* = 0 на Г4. (26)
Теперь оптимизируемая граница Г = Г2 + Г3 в выражении (22) совпадает с границами Г( и rq.
С учетом этих замечаний из выражения (22) получаем следующее значение производной функционала цели (1):
J(Г)= J j + q^*+ K0}Vnds , (27)
г'
где K - кривизна границы; Vn - скорость перемещения границы Гt в направлении нормали.
Это выражение необходимо привести к виду удобному для вычислений по методу граничных элементов. Из равенства q=-q0*n -qT0*т, следует, что, так как 0*п = 0 то для изотропного случая
1*п - qтв Т, следует, что, так как в*п qiф *= -Хв тв Т. Первое слагаемое в (27) преобразуется аналогично (20). Поэтому окончательно получаем
J (г )= J 1(2Q£J(1 -v)-2GaT0(l-v)2 )£Jp+ K?}vnds. (28)
Гt
Значения 0*r, 0 легко вычисляются в методе граничных элементов через узловые значения температур в локальной системе координат n, т.
Заметим, что в отличие от (22) в это выражение уже входит значение кривизны границы. Критерий оптимальности теперь принимает вид
(2GeJ(l - v) - 2GaT0(l - v)2 )</P + X00 - K0\t = const. (29)
Для поиска оптимальной формы границы методом проекции градиента необходимо решить три задачи: задачу (7)-(9) о распределении истинного температурного поля 0; задачу о напряженно-деформированном состоянии тела (2)-(6); задачу о распределении сопряженного температурного поля (14)-(16), или (14), (15) и (26), где ej = -jP.
Основная и сопряженная задача теплопроводности решались МГЭ. Задача о напряженно-деформированном термоупругом состоянии тела решалась также МГЭ.
Управление границей области производилось по следующему алгоритму.
Если уравнение границы Г имеет вид у = у(х), и точка A зафиксирована, то неизвестной
является лишь функция у(х), и поэтому Qt =Qy, J(Г )= J(у). В этом случае, очевидно, у(х) принадлежит бесконечномерному пространству.
Введем параметр t и определим
yt (х )= Уо (х) +1 j (х ), (30)
где jt (х) - возмущение границы. Теперь j(t ) = J (yt (х)) и необходимо вычислить производную j(t) в этом конкретном случае.
Предположим, что существует скорость преобразования границы Г2 такая, что v = 0 на границах Г1, Г3, Г4. Тогда вектор скорости v имеет координаты {0, jut (х)}, х е [0, l]. На границе Гt = Г2 легко находятся координаты нормального вектора nt внешнего по отношению к области, которые выражаются через функцию у(х):
nt = . 1 =■ {- у'. ,1} .
t тмУТ
Теперь нормальная составляющая скорости трансформирования области Vn определяется соотношением
V =
Согласно (22) или (28) с учётом (31) получим
j(t ) = J {- (2GeJ(l -v)- 20атв/ (1 - v)2 )ejp - Жп9п} ^ (x) dx
(31)
(32)
или
j(t) = J{- (2GeJ(l -v)- 2GaTe/(l - v)2)етт/Р - Лв;вт + K0*}Ml(x)dx.
(33)
Здесь учтено, что ds = ijl+(y\fdx.
На основании этих алгоритмов был создан комплекс программ на языке FORTRAN, который и используется далее для решения различных примеров.
Для задачи оптимизации формы рассмотрены три вида термомеханического нагружения:
а) чисто упругая задача - температурное поле отсутствует;
б) комбинированное термомеханическое нагружение - на границах Г1 - Г4 заданы следующие
да
граничные условия_
дп
=а = о, а = i;
Г4 \гг, Гз
в) комбинированное термомеханическое нагружение - на границах Г1, Г4 заданы те же гранич-
ные условия
да
дп
, да
= а = 0, на границах Г, Г3 задан поток тепла _
|Г4 2 3 дп
= 1.
Ниже, на рис. 2-4 приведены формы нижней границы консоли для различных типов теплового нагружения до (пунктирная линия) и после (сплошная линия) оптимизации при длине I = 2. Полученный выигрыш в уменьшении прогиба по сравнению с исходной конструкцией подсчитывался по формуле |(/0 - ]ор1 у ]0 -100%, где ]0 - значение функции цели (1) до оптимизации, ] ор1 - значение
функции цели, полученное после оптимизации.
о
о
Г
Г
Г„, Г
2>* 3
Рис. 2. Оптимальная форма нижней границы в отсутствии температуры (случай а). Выигрыш составляет 80,7%
Рис. 3. Оптимальная форма нижней границы при комбинированной нагрузке (случай б). Выигрыш составляет 98,5%
0 -Г -0,2 --0,4 --0,6 --0,8 --1 --1,2 --1.4 --1,6 -
Рис. 4. Оптимальная форма нижней границы при комбинированной нагрузке (случай в)
Выигрыш составляет 98,7%
Как видно, при комбинированном нагружении за счет оптимизации формы можно достичь большего, почти на 20%, увеличения жесткости конструкции по сравнению с исходной прямоугольной формой.
Проанализируем выполнение необходимых условий оптимальности (25). На рис. 5 показано распределение величины стт вдоль оптимизируемой границы. Сплошная линия соответствует оптимальной форме, пунктирная - исходной форме консоли.
2 -|
1,5 - ;
1 -
-0,5 -I-1-1-1-1
0 0,5 1 1,5 2
Рис. 5. Поведение вдоль нижней границы консоли Как видно, условие постоянства стт нарушается лишь вблизи правого конца консоли. Это объясняется действием дополнительных геометрических ограничений в виде неисчезновения толщины консоли при I = 2, которое дополнительно было использовано в этих задачах.
В случае б (соотношение (23)) наблюдается тот же эффект. Необходимое условие оптимальности нарушается только на правом конце. Аналогично выглядит поведение величины (29) при комбинированном нагружении в случае в.
Приведенные результаты показывают, что учет изменяемости температурного поля при оптимизации границы существенно меняет ее форму по сравнению с упругой задачей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Павлов С.П. Оптимизация формы термоупругих тел / С.П. Павлов, В. А.Крысько. Саратов : СГТУ, 2000. 160 с.
2. Баничук Н.В. Оптимизация в задачах теории упругости с неизвестными границами / Н.В. Баничук, В.Г. Бельский, В.В. Кобелев // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1984. № 3. С. 46-52.
Павлов Сергей Петрович -
доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Жигалов Максим Викторович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Бабенкова Татьяна Валентиновна -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного техничес университета имени Гагарина Ю.А.
Sergey P. Pavlov -
Dr. Sc., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Maksim V. Zhigalov -
Ph. D., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Tatyana V. Babenkova -
Ph. D., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 24.10.11, принята к опубликованию 01.12.11
