Математическое моделирование и оптимизация внешней границы цапфы по критерию прочности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

С.П. Павлов, М.В. Жигалов, Т.В. Бабенкова МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ

ВНЕШНЕЙ ГРАНИЦЫ ЦАПФЫ ПО КРИТЕРИЮ ПРОЧНОСТИ

Аппарат сопряженных переменных применяется для анализа чувствительности в задаче оптимизации формы в плоской задаче термоупругости. Получены необходимые условия оптимальности. Приведены численные примеры.

Оптимизация формы, термоупругость, анализ чувствительности, критерий оптимальности

S.P. Pavlov, M.V. Zhigalov, T.V. Babenkova MATHEMATICAL MODELING AND OPTIMIZATION OF THE TRUNNION EXTERNAL BORDERS USING DURABILITY CRITERION

The apparatus of conjugate variables is used to analyze sensitivity for shape optimization in the plane problem of thermoelasticity. The necessary optimal conditions have been obtained. Numerical examples are given.

Shape optimization, thermoelasticity, sensitivity analysis, optimality criterion

Плоское напряженное состояние при плоском температурном поле 0(x, y, t) реализуется в тонкой пластине, срединная поверхность которой расположена в плоскости XOY, а поверхности z = ±h свободны от внешних сил. Без существенной погрешности можно считать, что в такой пластине каждая плоскость, параллельная плоскости XOY , свободна от напряжений.

Рассмотрим пластину, находящуюся в плоском напряженном состоянии (рис. 1). Край AB пластины закреплен, остальные грани свободны от нагрузки. По контуру FE внутри отверстия приложена растягивающая сила в направлении оси ОХ, продольная составляющая которой изменяется по закону Fx(р) = cos2 р при ре \~я/2, я/2]. Внутри отверстия действует поток тепла Q , на внешнем контуре задана температура.

Рис. 1. Исходная форма пластины Требуется минимизировать величину максимального касательного напряжения (критерий Треска)

Tax ==^1-^^, (1)

за счет изменения формы внешней границы при условии, что площадь, занимаемая пластиной, не превосходит заданной величины.

В этой задаче мы имеем дело с локальным критерием:

J = maxTmax (xHUc • (2)

xe^ 11 IIC

Для локальных функционалов такого типа разработаны приближенные методы редукции к задачам с интегральными функционалами. Один из них [1] основан на близости нормы в пространстве

непрерывных функций ||g||C норме на пространстве L функций, интегрируемых с р-й степенью при достаточно больших значениях p . Учитывая это, можно приближенно заменить (2) функционалом

]р =

т( п) И 8\РЛП

V' г(а)Ь

где т(О) - мера множества О , которая в нашем случае является константой в силу ограничения. Функционал цели (1) тогда может быть взят в виде

1 (Г )= ¡т£Ж . (4)

Обозначим границу АВ: Г1, границу ВСБА : Г2 и границу ЕЕ : Г3. Для вывода необходимых

условий оптимальности и анализа чувствительности функционала (4) к изменению формы внешней границы применим аппарат сопряженных переменных, подробно изложенный в [2].

Функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия

4 = 2 к 1 + и14 ); (5)

Е Е Т

о-ц = ----2 (£-11 +У£22) —------------------------------------------aв, (6)

1 -V 1 -V

Е Е

О22 = --2 (£22 +V£ll)----------а в,

1 -V 1-V

(-у2 12

где в - температура;

= 0 (7)

ї 1г2 = 0’ ОЛ'1Г3 = Е Р) Пі |Гз = 0, (8)

иі = 0 на Г(. (9)

Температура в, входящая в (6), удовлетворяет соотношениям:

(рі =-ві, Чі = р■ ((0)

Здесь Чі — полные потоки тепла, которые удовлетворяют следующей краевой задаче

Ч,,= 0, ((()

вг,+г, =0, <Иг, = в ■ ((2)

Как показано в [2], сопряженная нагрузка

/і * = 0 в Пг ((3)

и значения начальных сопряженных напряжений:

Е Л2Ґ ((4)

< = ртта;21 —1 (є,—є

Е 4 2 *! _ 2р—2\ Е

О22 = — Р Ттах | ~^+^ ' £П — £

=4 ртта;21 т~ 1 £,2 в п.

Далее, следует, что

єї = 0 в пг, = 0, Е

= 0. ((5)

Для сопряженных значений тепловой задачи получаем следующие соотношения:

«0 =^4, = о, = о в а, (16)

в; = 0, в"\ = 0.

01 г, +г2 ^ ІГ3

Сопряженные напряжения и деформации при этом связаны соотношениями

£ ' '

"і}

((7)

є’} = (<, + и -і)/ 2, ((8)

О(2 =

*

г+г

2 1 х3

и

E . (19)

* / * * \ . * /

О-ц = "---2 (£>11 +Уе22) + °П ’

1 -V

E

* / * * \ . * /

О22 = ^ 2 (^22 + V + О22 >

1 — V

E

* * * /

О12 = ^ 2 ^12 + О12 •

1 — V

Сопряженные напряжения о*. являются решениями краевой задачи

О* = 0 (20)

Ч • J

с граничными условиями:

*

Ы:

Г,

0. * *

, ti=°JnJ

Г, +Г

= 0. (21)

Аналогичные соотношения для сопряженной тепловой задачи для изотропного тела определяются равенствами:

Я = -в, д, = А?', (22)

"ijkk ij

Граничные условия задаются теперь в виде

* i

Qti — cmaT£j = 0. (23)

в*

Г.+Г?

О* *

. q = Чі ni

'• 0. (24)

Так как гЦ = 0, уравнение (23) может быть записано в виде

д* ,• -атгг, = 0. (25)

С учетом этих замечаний из (4) получаем следующее выражение для производной функционала цели по параметру £ трансформации формы границы

Н= jfe, + J +q'e,}v„dS . (26)

rt

Здесь учтено, что на границе Ц + Г2 сопряженная температура в* = 0, а оптимизируемая граница Г' =Г2 совпадает с границами Гст и Гв. Так как оптимизируемая граница не нагружена, то получаем в локальной системе координат п, т :

J Р (Г )= Н|°Г +°-ЄТ—М’пв.п [ V,ds , (27)

где

Отт = 20є„/(1 — v) — 2Сатв/(1 — v)2 •

Отсюда следует необходимое условие оптимальности при ограничении на неизменность площади пластины

+ °ттКт — Щпв,п

■ const • (28)

Г'

При отсутствии температуры для чисто механической нагрузки сопряженные деформации £*тт линейно связаны с (7ТТ . Это следует из (14), (19). Поэтому критерий оптимальности принимает известный вид

отт = const.

(29)

Для поиска оптимальной формы границы методом проекции градиента необходимо решить четыре задачи: задачу (10)-(12) о распределении истинного температурного поля в; задачу о реальном напряженно-деформированном состоянии тела (5)-(9); задачу о сопряженном напряженно-деформированном состоянии тела (18)-(21) и задачу о распределении сопряженного температурного поля в* (22)-(24). После этого вычисляется градиент (27).

Основная и сопряженная задачи теплопроводности решались по МГЭ. Задача о напряженно-деформированном термоупругом состоянии тела решалась также МГЭ.

Г

Для расчетов была взята пластина с безразмерными значениями: BC = 2, AB = 1,45, R = 0,4. Площадь пластины ограничена площадью исходной области S = 2,9 — 0,16п. Материал пластины считается однородным и изотропным. Пластина симметрична относительно оси OX, поэтому при численном расчете методом граничных элементов рассматривалась только ее нижняя половина. Для дискретизации области использовались линейные граничные элементы, количество которых выбиралось из условий необходимой точности. В расчетах использовались 100 граничных элементов - для внешней границы и 20 - для внутренней границы.

Для оптимизации использовался метод проекции градиента. Градиент вычислялся по соотношению (27), где Vnds = ¡Ut (x)dx, y(x) = ¡Ut (x) - форма нижней границы.

Кроме ограничений на площадь, учитывались дополнительные геометрические ограничения в виде: y(x) — R > 0,1. Эти ограничения гарантируют непересечение внешней границы с границей отверстия.

Перед процедурой оптимизации для исходной конструкции подбиралось значение степени p в функционале цели (4) с таким расчетом, чтобы достичь большего соответствия с критерием (2). В результате выбрано значение p = 6 .

Для этого класса задач решены две задачи для различных типов термомеханического нагружения:

а) чисто упругая задача - на границе Г определены условия жесткой заделки и = 0, v = 0 , граница Г2 свободна от нагрузки, на границе Г3 приложена растягивающая сила в направлении оси ОХ, продольная составляющая которой изменяется по закону Fx (р) = cos2 р, р е [— л/2, л/2], температурное поле отсутствует;

б) комбинированное термомеханическое нагружение - на границе Гх определены условия жесткой заделки и = 0, v = 0 , граница Г2 свободна от нагрузки, на границе Г3 приложена растягивающая сила в направлении оси ОХ, продольная составляющая которой изменяется по закону Fx(р) = cos2р, ре [— л/2, л/2]. На границах Г и Г2 задана температура в0 = 0, на границе Г3 -поток тепла Q.

Для чисто упругой задачи а рассмотрены три случая расположения отверстия: справа - центр отверстия находится в точке с координатами x = 1,4; у = 0, в центре - центр отверстия находится в точке с координатами x = 1; у = 0 и слева - центр отверстия находится в точке с координатами

На рис. 2 приведена форма пластины. Максимальное значение Тшах достигается на нижней

части границы отверстия. Полученный выигрыш в уменьшении максимальных касательных напряжений по сравнению с исходной конструкцией для первого случая расположения отверстия составляет 19,4%.

То же представлено на рис. 3, когда отверстие находится в центре пластины. Выигрыш при этом меньше и составляет 15,2%.

На рис. 4 рассмотрен случай, когда отверстие находится у левого края пластины. Выигрыш в этом случае равен 13,6%.

x = 0,6; у = 0.

-1,2

-1,40

Рис. 2. Оптимальная форма пластины при отсутствии температурного поля

Рис. 3. Оптимальная форма пластины при отсутствии температурного поля

Рис. 4. Оптимальная форма пластины при отсутствии температурного поля

После оптимизации форма пластины становится похожей в зеркальном отображении на форму пластины, полученной в первом случае (отверстие справа).

Отметим, что полного выравнивания напряжений на оптимизируемой границе не наблюдается ни в одном из этих случаев из-за наличия кроме изопараметрического условия дополнительных геометрических ограничений. Для центрального расположения отверстия, когда эти ограничения не нарушены, условие (29) выполняется.

Для задачи б с комбинированным термомеханическим нагружением оптимизация проводилась только для отверстия, расположенного у правого края пластины с центром в точке х = 1,4; у = 0 . Эта конфигурация исходной конструкции была выбрана потому, что у нее получен наибольший выигрыш в отсутствии тепловой нагрузки. Оптимальная форма границы была получена для значения интенсивности нормированного потока тепла Q = 4 на границе Г3.

Рис. 5. Оптимальная форма пластины при наличии температурного поля

На рис. 5 показана форма оптимальной конфигурации границы для комбинированного нагружения при Q = 4 (штрихпунктирная линия), сплошной линией для сравнения показана оптимальная граница при отсутствии температурного поля. Уменьшение максимального касательного напряжения достигается в этом случае на 27,9%.

Как видно, оптимальные формы границы в отсутствии и при наличии температурного поля отличаются. Более того, при комбинированном нагружении максимальные касательные напряжения удается снизить на 8,5% больше по сравнению с упругой задачей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел / Н.В. Баничук. М. : Наука, 1980. 255 с.

2. Павлов С. П. Оптимизация формы термоупругих тел / С.П. Павлов, В.А. Крысько. Саратов: СГТУ, 2000. 160 с.

Павлов Сергей Петрович -

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Sergey P. Pavlov -

Dr. Sc., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University

Жигалов Максим Викторович - Maksim V. Zhigalov -

кандидат технических наук, доцент Ph. D., Associate Professor

кафедры «Математика и моделирование» Department of Mathematics and Modeling

Саратовского государственного технического Gagarin Saratov State Technical University

университета имени Гагарина Ю.А.

Бабенкова Татьяна Валентиновна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 24.10.11, принята к опубликованию 01.12.11

Tatyana V. Babenkova -

Ph. D., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling Gagarin Saratov State Technical University