Математическое моделирование и оптимизация формы в одной плоской задаче термоупругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.940

С.П. Павлов, М.В. Жигалов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ В ОДНОЙ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Построена математическая модель для оптимизации формы бесконечного тоннеля находящегося под действием тепловых и механических нагрузок. Приведены оптимальные формы внутренней границы туннеля при различных сочетаниях механических и тепловых нагрузок. Численные результаты получены с использованием метода граничных элементов и метода проекции градиента.

Анализ чувствительности, оптимизация формы, термоупругость

S.P. Pavlov, M.V. Zhigalov

MATHEMATICAL MODELING AND OPTIMIZATION OF THE CAVITY SHAPE IN A PLANE PROBLEM OF THERMOELASTICITY

A mathematical model of an infinite tunnel under thermal and mechanical loadings has been created for shape optimization. Optimal forms of the tunnel internal boundary under various combinations of mechanical and thermal loads are listed. The numerical results are obtained using the boundary-element method and the gradient projection method.

Sensitivity analysis, shape optimization, thermoelasticity

Введение. Современная техника использует все более сложные механические конструкции, обеспечение прочности, надежности и высокой экономичности которых имеет первостепенное значение. Оптимальное и оперативное проектирование таких конструкций невозможно без создания математических моделей, позволяющих учитывать максимально возможное количество факторов, влияющих на их работоспособность. При этом достигается значительное снижение веса, улучшение механических и тепловых характеристик летательных аппаратов и строительных сооружений.

Традиционно при математическом моделировании механических конструкций априори форма (конфигурация) конструкции считалась заданной и неизменной. Однако в последние годы все большее значение стали предавать поиску наилучшей конфигурации. Эти задачи требуют не только новых методов, но и новых понятий.

Данное направление получило принципиально новое развитие благодаря научным школам

Н.В. Баничука [1], Ю.В. Немировского [2], В.А. Троицкого, Л.В. Петухова [3] и др.

Задача оптимизации режимов нагружения конструкции при совместном воздействии механической нагрузки и температуры рассматривали Э.Л. Григолюк [4], В. Прагер [5], Meric R.A. [6], Boo Youn Lee [7], R.A. Bialecki and other [8].

Долгое время считалось, что изменение формы в процессе оптимизации не влияет на распределение самого температурного поля. Для термоупругих конструкций чаще рассматривалось лишь управление источниками нагрева (правыми частями дифференциальных уравнений). Задачам оптимизации формы термоупругих тел уделялось существенно меньше внимания.

Постановка задачи. Рассмотрим конструкцию в виде прямоугольного тоннеля бесконечной длины. На перекрытие тоннеля могут действовать различные нагрузки, а внутренняя граница полости свободна от нагрузок. Кроме этого, на внешней и внутренней границе могут быть заданы различные условия теплообмена. Нижний край конструкции закреплен к грунту.

Требуется минимизировать величину максимального касательного напряжения

~СТ22)2 + 2о[ (1)

за счет изменения формы полости при условии, что площадь поперечного сечения конструкции не превосходит заданной величины. За исходную выбрана конструкция, показанная на рис. 1.

Функционал цели может быть взят в том же виде, что и в [1]

(г')= |Схйй.

О'

Изопараметрическое ограничение имеет вид

| йО-А < 0,

(2)

(3)

где А - площадь поперечного сечения исходной конструкции.

Конструкция находится в плоском деформированном состоянии и функции отклика должны удовлетворять соотношениям Коши, уравнениям состояния и равновесия

еу = 2(и^ + иУ .<);

Е Е1

®11 = * ^(^11 +^1^22) «Г1 0 ,

1 -у2 1 -у1 1

(4)

а

Е, Е,

22 = * 2 (^22 +^1^11) «Г1 0 ;

1 -у2 1 -у1 1

Е1

а>2 1 -у2 ^

ау, у = 0,

а,п\ = 0, а..и.и\ =-Р, а,п.т.| = 0

у J | Г3 у J 11 г у J 11 ц

у 1 г I ц и = 0 на Г2,

(5)

(6) (7)

где

Е V т т

Е1 =----- , v1 = —, < = ат (1 + V),

1 1 -V2 1 1 -V 1

0 - температура, и - перемещения, £у - деформации, ау - напряжения, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, а - температурный коэффициент линейного расширения.

Температура 0, входящая в (4), удовлетворяет соотношениям:

(8)

Здесь X - коэффициент теплопроводности, ч - полные потоки тепла, которые удовлетворяют следующей краевой задаче

Чи = 0, (9)

0|г =00 , чп |г = й, (- ч+ Л = ч°.

(10)

Здесь ц, - коэффициент теплоотдачи, 00 - заданная температура, й - заданные потоки тепла, ч - заданная функция, г0, Г , г0 - произвольная комбинация границ г1, г2, гз.

Алгоритм решения. Общее выражение для анализа чувствительности функционалов цели и ограничений, основанное на слабой формулировке задачи термоупругости и позволяющее учитывать одновременное изменение в процессе оптимизации как температурных, так и деформационных полей, получено в [9]. Оно позволяет получать значения производных для функционалов общего вида в более широких функциональных пространствах, когда все решения соответствующих краевых задач удовлетворяют лишь вариационным уравнениям или неравенствам.

Для поставленной выше задачи выражение для производной функционала общего вида [9] можно упростить. Теперь производная функционала (2) по параметру трансформирования области ' имеет вид

•&р (Г*) = | (^ + а,е* + ,ф *} + | {(б 0* )>в - (б 0* )к}^ +

р \ ! 2 I тах г, г,

г* Г,

+1{(ч0*1 + ч*(0-00),п+ I [(ц00‘),в-Й0*к ],

г0 г0,

где К - кривизна оптимизируемой границы и г' = Т0 и г? и г0 ч .

В этом выражении обозначено

(11)

е* = (и* у + и). )/ 2, (12)

Е

а*1 —-----2 (е^ +v е*-) + а*1, (13)

1 - V Е

* / * * \ . * I

а22 = 1 772 (е — + V еп) + а — ,

1 - V

Е

* Л* *1

а12 = ~2 е12 + а12 .

1 - V

При этом а* должно удовлетворять уравнению

а, у = 0 (14)

с граничными условиями:

и*| = 0, =а]п\ = 0. (15)

> 1г1 > ч у 1г2+гз

Аналогичные соотношения для тепловой задачи определяются равенствами:

Ф* = -0* , ч* =Хф*, (16)

д* . -ата* = 0. (17)

Граничные условия задаются теперь в виде

0*1 = 0, д = чП = 0, (- д + ц0*) = 0. (18)

0 гд 0 д

В частности, если г' = г0, то получаем следующие условия оптимальности:

а2

р

+ атХ-Х0‘0,„

= СОШІ. (19)

Г*

Если же Г* = Г, и бп = 0 , то производная (11) преобразуется в локальной системе координат

п, т к виду

р\ ' -ТІ 0

г* IV 2 J

Условие оптимальности

•&Р(Г*)= Я +аттЄ;+Х0*т0,т-Кб0*1 Уя&. (20)

(а їр

+ аХ + Жт0т- Кб 0*

V 2

= соші, (21)

Г*

таким образом, теперь зависит еще и от кривизны границы.

Для условий конвективного теплообмена, когда Г = Г9?, (11) преобразуется к похожему на (20) виду

v 2 У

+ аттв; + ад ,т- K0 q* \ Vnds

•&,(г')=I

г'

и отсюда следует необходимое условие оптимальности

+ С£* +Ж9 - ^9 9

ТТ ТТ ,Т ,Т 1

2

= const

(22)

(23)

при ограничении на площадь поперечного сечения конструкции (3).

Заметим, что для всех трех случаев в выражениях для необходимого условия оптимальности (19), (21) и (23) все слагаемые, кроме первых двух, появляются за счет учета влияния и изменяемости в процессе трансформации границы температурных полей.

Для оптимизации формы полости Г3 использовался метод проекции градиента. Прямые и сопряженные задачи теплопроводности и термоупругости решались методом граничных элементов. Для вычисления градиента функционала цели (11) необходимо решить четыре краевые задачи. Сначала необходимо решить прямую задачу теплопроводности (8)-(10). Затем решается прямая задача термоупругости (4)-(6), в которую в качестве параметра входит полученное распределение температуры. После этого, используя полученные значения £у, по соотношениям

:Ї „2 p-2

а11 = pTmax

:Ї 2 p-2

а22 = pTmax

V1+ V ) Є22 ^

(t+V)(єп-Є22^

E 1 + V

<2 = 4 рт

2 p-2 max

£,0 в Q,

(24)

находятся с*7 и с учетом соотношений (12)-(13) решается краевая задача (14), (15). В последнюю

очередь находится сопряженная температура 9* из решения задачи (16)-( 18).

Примеры оптимизации. Для расчетов были взяты следующие безразмерные значения: внешние размеры 3x1,5; внутренние размеры - 1x0,5. Площадь сечения в процессе поиска ограничена площадью исходного поперечного сечения тоннеля А = 4.

Материал считается однородным и изотропным. Так как сечение симметрично относительно оси О У, при численном расчете методом граничных элементов рассматривалась только правая половина. Для дискретизации области использовались линейные граничные элементы, количество которых выбиралось из условий необходимой точности. В расчетах использовались 100 граничных элементов для внутренней границы Г3, 20 для закрепленной границы Г2 и 60 для внешней границы Г1. На рис. 2 показано расположение узлов граничноэлементной сетки. Ниже приводятся численные результаты для ряда задач оптимизации внутренней границы полости при различных видах термомеханического нагружения конструкции тоннеля.

Задача 1. Чисто упругая задача - на границе Г1 задано внешнее давление с интенсивностью р = 0,4, на границе Г 2 определены условия жесткой заделки и = 0, V = 0, граница Г3 - свободна от нагрузки, температурное поле отсутствует.

На рис. 3 показано распределение величины максимального касательного напряжения Ттах от номера узла п вдоль границы конструкции до (пунктирная линия) и после (сплошная) оптимизации. В левом верхнем углу показан вид границы до (пунктирная линия) и после (сплошная) оптимизации.

Выигрыш от оптимизации, то есть уменьшение максимального значения касательного напряжения, по сравнению с исходной прямоугольной формой достигает в этой задаче 74,56%.

Напряжения вдоль границы для оптимальной ее конфигурации практически выравниваются, то есть оптимальной является равнонапряженная конструкция.

LV 181 151

Vx

1 51

Г3

101 Г2 121 S

Рис. 2. Расположение границ и номера узлов гранично-элементной сетки

*

Г'

2

О 20 40 60 ВО 100 120 140 160 ц 130

Рис. 3. Оптимальная форма полости и распределение Ттах вдоль границы для задачи 1

Вид границ до и после оптимизации

В таблице приведены вид границ до и после оптимизации для следующих задач.

Задача 2. Задана только тепловая нагрузка - граница Г и граница Г3 свободны от механической нагрузки, на границе Г2 определены условия жесткой заделки и = 0, V = 0. На границах Гь Г2 0о = 0 и на границе Г3 0О = 1,6. Выигрыш от оптимизации для задачи 2 составляет 61%.

Задача 3. Задана только тепловая нагрузка - граница Г1 и граница Г3 свободны от механической нагрузки, на границе Г2 определено условия жесткой заделки и = 0, V = 0. На границах Г1, Г2 задана температура 00 = 0, на внутренней границе задан поток тепла 2 = 3,4. Выигрыш от оптимизации в этом случае 44,7%.

Задача 4. Комбинированное термомеханическое нагружение - на границе Г1 задано давление с интенсивностью р = 0,4, на границе Г2 определено условия жесткой заделки и = 0, V = 0, граница Г3 - свободна от нагрузки. На границах Г1 и Г2 задана температура 00 = 0, на границе Г3 00 = 1,6. Максимальные значения касательных напряжений в конструкции с оптимальной формой полости по сравнению с ее первоначальной прямоугольной формой уменьшились на 57%.

Задача 5. Комбинированное термомеханическое нагружение - на границе Г1 задано давление с интенсивностью р = 0,4, на границе Г2 определены условия жесткой заделки и = 0, V = 0, граница Г3 свободна от нагрузки. На границах Г1 и Г2 задана температура 00 = 0, на границе Г3 - поток тепла 2 = 3,4. Выигрыш от оптимизации составляет 58,2%.

Задача 6. Задана только тепловая нагрузка - граница Г1 и граница Г3 свободны от механической нагрузки, на границе Г2 определены условия жесткой заделки и = 0, V = 0. На границах Г1 и Г2 задано условие конвективного теплообмена 9 = -0,59+3, на границе Г3 - температура 9 = 2. Выигрыш от оптимизации составляет 58,3%.

Задача 7. Задана только тепловая нагрузка - граница Г1 и граница Г3 свободны от механической нагрузки, на границе Г2 определены условия жесткой заделки и = 0, V = 0. На границах Г1 и Г2 задано условие конвективного теплообмена 9 = -0,59+3, на границе Г3 - поток 2 = 1,8. Выигрыш от оптимизации составляет 47,2%

Для выяснения пригодности оптимального решения, полученного для чисто упругой задачи 1 (рис. 3), были рассчитаны значения Ттах для полученной оптимальной формы полости в задаче 1 при условиях нагружения задачи 2. Максимальные значения Ттах (сплошная линия) оказались ниже на 26,2 соответствующих значений для исходной прямоугольной полости.

Таким образом, оптимальная форма для чисто упругого нагружения (выигрыш 74,56%), не является уже глобально оптимальной (выигрыш всего 26,2%) для чисто теплового нагружения, хотя она все равно более выгодна, чем исходная прямоугольная форма полости.

Если же взять оптимальную форму полости, полученную для температурной нагрузки в задаче 2 (табл. 1), в условиях чисто механического нагружения задачи 1, то ситуация становится совсем другой. Максимальные значения Ттах в этом случае даже увеличиваются на 13,8% по сравнению с исходной прямоугольной формой. Таким образом, оптимальная для температурной нагрузки форма полости становится даже менее выгодной, чем исходная прямоугольная форма из-за более высоких уровней напряжений в конструкции.

Анализ результатов и выводы. Анализ полученных результатов показывает наличие существенной разницы как формы оптимальной границы полости, так и полученных выигрышей в зависимости от вида нагружения, то есть от наличия или отсутствия температурного поля и от соотношения интенсивностей механической и тепловой нагрузки. По-видимому, можно считать, что не существует какой-либо оптимальной формы полости для всех видов нагружения и поэтому в конкретных задачах необходимо всякий раз оптимизировать форму для заданного класса нагрузок или проектировать ее конфигурацию по наихудшему варианту нагружения.

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. При учете изменяемости температурного поля в процессе оптимизации границ тел, даже если за исходную модель взята модель несвязной термоупругости, то есть решается задача о температурных напряжениях, при анализе чувствительности механические и температурные поля неизбежно становятся связанными через сопряженную задачу. Этот факт связан с перераспределением энтропии в системе, которая изменяется за счет трансформирования формы тела.

2. Полученные на основе построенной математической модели новые критерии оптимальности отличаются от известных критериев, таких как равнонапряженность конструкции или постоянство потока тепла на границе области. Они совпадают с ними лишь в частных случаях отсутствия нагружения или определенного типа распределения поля температур.

3. Разработанные алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимизации формы тел подверженных одновременному воздействию как механических, так и температурных нагрузок с ограничениями, наложенными на механические и температурные поля, показали высокую эффективность для различных классов статических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.

4. Во всех перечисленных задачах отмечается существенная разница оптимальных проектов, получаемых с учетом и без учета влияния температурного поля. Эта разница обусловлена эффектом взаимодействия температурных и механических полей при изменении формы тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел / Н.В. Баничук. М.: Наука, 1980. 255 с.

2. Немировский Ю.В Прочность элементов конструкций из композитных материалов / Ю.В. Немировский, Б.С. Резников.М.: Наука, 1986.

3. Троицкий В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий, Л.В. Петухов. М.: Наука, 1982. 432 с.

4. Григолюк Э.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин / Э.И. Григолюк, Я.С. Подстригач, Я.И. Бурак. Киев: Наукова Думка, 1979. 364 с.

5. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций / В. Прагер. М.: Мир, 1977. 109 с.

6. Meric R.A. Coupled Optimization in Steady State Thermoelacticity / R.A. Meric // J. Therm. Stress. 1985. № 8. P. 333-347.

7. Boo Youn Lee Design sensitivity analysis and optimization of interface shape for zoned-inhomogeneous thermal conduction problems using boundary integral formulation / Engineering Analysis with Boundary Elements. Vol. 34. Issue 10. October 2010. P. 825-833.

8. Evolutionary shape optimization of thermoelastic bodies exchanging heat by convection and radiation / R.A. Bialecki, T. Burczynski, A. Dlugosz, W. Kus, Z. Ostrowski // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Vol. 194. Issue 17. 29 April 2005. P. 1839-1859.

9. Павлов С.П. Оптимизация формы термоупругих тел / С.П. Павлов, В.А. Крысько. Саратов: СГТУ, 2000. 160 с.

Павлов Сергей Петрович -

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Математика и моделирование»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Жигалов Максим Викторович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 25.10.11, принята к опубликованию 15.11.11

Sergei P. Pavlov -

Dr. Sc., Associate Professor, Professor Department of Mathematics and modeling,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Maksim V. Zhigalov -

PhD, Associate Professor

Department of Mathematics and modeling,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University