CC BY
21
УДК 539.3
Влияние теплового воздействия на эффект упрочнения образцов с тонкими усиливающими покрытиями
А.П. Янковский
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
На базе общих представлений линейной теории несвязной термоупругости сформулированы задачи расчета температурных полей и механического поведения образцов с упрочняющими покрытиями. Разработан единый численный метод интегрирования поставленных задач теплопроводности и термоупругости и проведены конкретные расчеты. Выявлено, что при наличии определенных видов температурных полей в образцах может не проявляться эффект резкого упрочнения при нанесении на его поверхности тонких высокомодульных покрытий толщиной порядка 0.1 мм, наблюдаемый, например, в естественных условиях испытаний, когда тепловое воздействие отсутствует.
Ключевые слова: образцы с покрытиями, жесткие покрытия, эффект упрочнения, эффект разупрочнения, несвязанная термоупругость, тепловое воздействие
Effect of thermal action on hardening of specimens with thin hard coatings
A.P. Yankovskii
Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
Problems for calculation of temperature fields and mechanical characteristics of specimens with hard coatings are formulated from general concepts of the linear theory of uncoupled thermoelasticity. A unified numerical method for integration of thermal conductivity and thermoelasticity problems is proposed, and calculations with the method are performed. It is found that with certain types of temperature fields, the specimens with thin hard coatings of thickness -0.1 mm deposited on their surface can escape rapid hardening observed, e.g., in natural test conditions with no thermal action.
Keywords: coated specimens, hard coatings, hardening, softening, uncoupled thermoelasticity, thermal action
1. Введение
Настоящая работа продолжает исследования, опубликованные автором в [1, 2], где была предпринята попытка объяснить с позиции общих представлений теории упругости такие явления, как упрочнение образцов при нанесении на их поверхности высокомодульных покрытий толщиной порядка 0.05-0.2 мм и разупрочнение образцов при нанесении более толстых покрытий. При этом в [1, 2] предполагалось, что образцы находятся в естественном состоянии и влияние теплового воздействия на них не учитывалось. Однако на практике изделия обычно эксплуатируются в условиях, отличных от тех, в которых они были изготовлены, т.е. отличных
от естественного состояния. Это же касается и образцов, так как они, как правило, подвергаются механическим испытаниям в условиях, отличных от тех, в которых изготавливались. Следствием этого, в частности, является то, что температура образца при его испытании может отличаться от температуры естественного состояния. Поэтому при расчетах поведения образцов в условиях механического нагружения нужно учитывать и тепловое воздействие, которое может повлиять на эффекты упрочнения образцов с тонкими жесткими покрытиями, так как температурное поле порождает специфические дополнительные фиктивные массовые и поверхностные нагрузки [3], приложенные к образцу.
© Янковский А.П., 2011
В связи с этим целью настоящей работы является изучение методами теории теплопроводности и механики деформируемого твердого тела влияния теплового воздействия на особенности напряженно-деформированного состояния образцов с покрытиями и эффекты их упрочнения и разупрочнения при нанесении на их поверхности упрочняющих покрытий разной толщины.
2. Постановка задачи
Для большей наглядности и упрощения расчетов, как и в [1, 2], в качестве образца рассмотрим удлиненное в направлении х3 призматическое тело прямоугольного поперечного сечения шириной а и высотой b (рис. 1, а) из базового изотропного однородного конструкционного материала, на лицевые поверхности которого нанесены изотропные однородные покрытия толщиной h(-) = const (на нижней стороне) и h(+) = const (на верхней стороне).
Свяжем с образцом прямоугольную декартову систему координат xjx2х3. Координатную плоскость х1х3 (х2 = 0) совместим с нижней лицевой поверхностью образца (рис. 1, а), а координатную плоскость х2х3 (х1 = 0) — с левой торцевой поверхностью. Тогда точки поперечного сечения образца занимают прямоугольную область
G: 0 < х1 < а, 0 < х2 < H = h(-) + b + h(+), (1)
где H — толщина образца с покрытиями.
Температурное поле, силовое нагружение и закрепление образца в направлении х3 (перпендикулярном плоскости рис. 1) не изменяются. Массовые и поверхностные нагрузки в этом направлении не имеют составляющей. При таких структуре, закреплении и термосиловом нагружении образца в нем реализуется случай плоской деформации [3].
Учитывая возможное наличие переходных слоев, будем рассматривать образец с покрытиями как слоистую конструкцию-пластину. Пусть Hm — ордината плоскости контакта m-го и (m + 1)-го слоев (m = 1, 2, ..., M, где M — количество слоев, которых в общем случае может быть больше трех и меньше, если образец не имеет покрытий или покрытие нанесено только с одной стороны), тогда при M = 3 (рис. 1, а, б)
Н0 = 0, H = h(-), H2 = h(-) + b, 012 (2)
н3 = HM = h(-) + b + h(+) = H,
где х2 = H0, х2 = HM — ординаты нижней и верхней лицевых поверхностей. При этом точки поперечного сечения m-го слоя занимают прямоугольную область
Gm:° < х < a, Hm-1 < х2 < Hm , (3)
m = 1, 2, ..., M.
Как правило, теории расчета таких слоистых пластин базируются на введении упрощающих допущений: неучет обжатия, гипотеза плоских сечений, задание закона распределения касательных напряжений в попе-
речном направлении и т.п., а также априорное задание закона распределения температуры в поперечном направлении х2 (как правило, кусочно-линейное) [4-8]. В рамках таких теорий удается построить с той или иной степенью точности основное температурное поле и основное напряженное состояние в пластине, но нельзя определить температуру и напряженное состояние в пограничных слоях. Поэтому расчеты, проведенные на основе таких приближенных теорий, не позволяют объяснить резкое упрочнение образца с тонким высокомодульным покрытием поверхностей, выявляемое, например, при проведении простейших испытаний образцов на растяжение (сжатие) [9 и др.].
В настоящем исследовании будем исходить из общих стационарных уравнений линейной двумерной теории несвязанной термоупругости без привлечения каких-либо упрощающих гипотез. При сделанных выше предположениях о строении образца, его закреплении и термосиловом нагружении в каждом т-м слое реализуется случай плоской деформации (м3т) = 0) и уравнения равновесия в перемещениях в пределах термоупругого деформирования имеют вид [3]:
Am\,(m)
'и
Я + (B
(m) + G(m)
)u2m2+G^'u,
<m),,(m) = 1,22 _
= _ p(m) f(m) + Q(m)0(jm)
A(m)u<2m2>2 + (B(m) + G(m))Mm) + G(m)um = = _p( m) f(m) + C (m) 0(2m),
1 < m < M,
(4)
Рис. 1. Геометрия образца с покрытиями (ось Х3 ортогональна плоскости рисунка) и способы его нагружения и закрепления при кинематическом (а) и статическом (б) методах испытаний на растяжение (сжатие) и при изгибе (б)
,(И) = 2^т)(1^(т)) п(т) = 2v(m)G(m)
Л 1 - 2v(m) ’ ^ 1 - 2v(m) !
С( т) = «(т) Е(т) ^^(т) = .
1 - 2v(т) ’
г(т)
(5)
(т)
2(1 + v(m))’
где Щ“' — компоненты вектора смещений точек т-го слоя; — компоненты вектора удельной массовой нагрузки, действующей на т-й слой; р(т) — объемная плотность материала т-го слоя; 9(т) — отклонение температуры т-го слоя от температуры естественного состояния образца; у(т), Е(т), а(т) — коэффициент Пуассона, модуль Юнга и коэффициент линейного теплового расширения материала т-го слоя соответственно; нижний индекс после запятой означает частную производную по переменной х1 (г = 1, 2). Здесь и далее все функции зависят только от двух переменных х1, х2.
Напряжения в т-м слое определяются из соотношений Дюамеля-Неймана, записанных в перемещениях
[3]:
о^ = Л{т)и<1) + В(т)м2т2) - С(т)9(т), а2") = В(т)и1(1) + Л(т)и2”) - с(т)9(т),
о<^ = Vм (о^ + о^) -а(т) Е (т)9(т),
(6)
(8)
о{2) = G (т)(и$ + и^), о(3) =о2") = 0, 1 < т < М.
На лицевых поверхностях пластины заданы статические граничные условия, записанные в перемещениях на нижней поверхности:
В(1) иЧ + Л(1)и« = рП-) + С(1) 9(1),
G (1)(и® + и21>) = рТ-), (7)
0 < Х1 < а, Х2 = 0,
и на верхней поверхности:
В(М )и(М) + Л(М )и2М) = р« + С(М )9(М),
G(М Vм + и2^) = рТ+),
0 < Х1 < а, Х2 = Н,
(±) (±)
где рП , рТ — заданные нормальные и касательные напряжения на верхней (+) и нижней (-) лицевых поверхностях пластины соответственно.
Левая торцевая поверхность пластины предполагается жестко закрепленной:
и(т) (0, Х2 ) = и2т) (0, Х2 ) = 0,
Нт-1 < Х2 < Нт -1 < т < М,
на правой торцевой поверхности при кинематическом методе испытаний (жесткое нагружение) задаются перемещения:
и1(т)(а, х2) = и0 (х2), и2т)(а, х2) = и° (х2),
Нт-1 < х2 < Нт -1 < т < М,
а при статическом методе испытаний (мягкое нагру-
(9)
(10)
жение) задаются напряжения (записанные в перемещениях):
(т)ит + В( т)и2”) = р1т)(х2) + С
G (т)(и(т2) + и2д)) = Р12(Х2),
Х1 = а, Нт-1 < х2 < Нт. 1 < т < М>
и
(т)д( т)
(11)
0 0 (т)
где и1, и2, Р11 , Р12 — заданные на правой торцевой поверхности смещения и нормальное и касательное напряжения соответственно, причем функции и0, и20, р12 непрерывны в силу условий сопряжения на грани-12 0 0 цах контакта слоев, кроме того, и1, и2 предполагаются дифференцируемыми внутри каждого слоя (см. ниже).
Предполагается, что на границах между слоями реализуются условия идеального термомеханического контакта, поэтому на поверхностях, соответствующих этим границам, выполняются кинематические
и(т+1)(х1, х2) = и(т) (х1, х2), 0 < х1 < а,
х2 = Нт ,1< т < М-1,
(12)
и статические (записанные в перемещениях)
Б{п)и(П + Л(И)и2П) - с(И)9(п) =
2,2
= В(т)и}т) + Л(т)и2") - С(т)9(т),
G(п) {1$ + ) = G(т) (и^ + и2'1)),
п = т +1, 0 < х1 < а, х2 = Нт, 1 < т < М -1,
(13)
условия сопряжения решения.
Таким образом, при известном отклонении температуры 9(т х2) (1 < т < М) линейная система разре-
шающих уравнений эллиптического типа (4), граничные условия (7)—(11) и условия сопряжения решения (12), (13) образуют граничную задачу расчета рассматриваемого образца с покрытиями в пределах термоупругого деформирования. При этом, как уже отмечалось во введении, температурное поле 9(т )(х1, х2) порождает дополнительные фиктивные массовые нагрузки (см. правые части в (4)), фиктивные поверхностные нагрузки (см. правые части в (7), (8), (11)) и фиктивные контактные нагрузки (см. первое соотношение (13)). Как видно из (4), чем больше градиент температуры, тем больше по модулю фиктивные массовые нагрузки, порожденные тепловым воздействием, а из (7), (8), (11), (13) следует, что чем больше по модулю отклонение температуры 9(т ) от естественного состояния конструкции, тем больше фиктивные поверхностные и контактные нагрузки, вызванные температурным полем. Следовательно, тепловое воздействие сложным образом влияет на термомеханическое поведение образца.
Если в уравнениях и соотношениях (4)—(13) принять 9(т ) = 0 (отсутствие теплового воздействия), то получим соответствующие уравнения и соотношения, приведенные в [1].
Нагружение образца предполагается квазистатичес-ким, поэтому влиянием изменения деформированного
состояния на температурное поле можно пренебречь [3], т.е. температуру в образце можно определить предварительно, независимо от решения граничной задачи, соответствующей системе (4). При этом в каждом т-м слое уравнение теплопроводности имеет вид [10]:
9(т) + 9(т) = -^(т)(х1, х2)Д(т), 1 < т < М, (14)
где А( т) — коэффициент теплопроводности материала т-го слоя; w(т) — плотность мощности внутренних источников тепла в т-м слое.
На нижней (—) и верхней (+) поверхности образца задаются тепловые граничные условия общего вида [10]:
р(-)А(і)6а) = у(-_0Н)+х(-) ^(-)(Х1),
0 < х1 < а, х2 = 0,
(15)
(16)
-р(+)А(М)9(2М) =у(+)ц(М)(9(М) -9^+)) +
+Х(+)^2+)(х1), 0 < х1 < а, х2 = Н, где Ц(1), Ц( М) — коэффициенты теплообмена по закону Ньютона между материалами первого, М-го слоев и окружающей средой ниже и выше образца соответственно; 9^=) — отклонение температуры окружающей среды со стороны верхней и нижней лицевой поверхности пластины от температуры ее естественного со-(±)
стояния; ^2 — проекция на ось х2 вектора теплового
потока, проходящего через верхнюю и нижнюю лицевые поверхности; Р(±), у(±), %(±) — функции переключения, принимающие значения 0 или 1 и позволяющие задавать тот или иной тип тепловых граничных условий на лицевых поверхностях.
На торцевых поверхностях пластины также задаются тепловые граничные условия общего вида: на левой торцевой поверхности
Р0т)я(т)9(1т) = у0т)ц(т)(9(т) -9о) +
+ Х0т)?0т)( х2),
(17)
х1 = 0, Нт-1 < х2 < Нт, 1 < т < М>
на правой торцевой поверхности
-р(ат)А(т)9(1т) = уатУат)(9(т) -9а ) +
+хат)^ат)(х2), (18)
х,=0, Нт-1 < х2 < Нт ,1 < т < М, где ^0т), ц(ат) — коэффициенты теплообмена по закону Ньютона между материалом т-го слоя и окружающей средой со стороны левой и правой торцевой поверхности образца соответственно; 9^, 9~ — отклонение температуры окружающей среды со стороны левой и правой торцевой поверхности от температуры естественного состояния пластины; д^п'), — проекции
на ось х1 векторов тепловых потоков, проходящих через торцевые поверхности образца; Р0т)> Р1т)> У0т), У0*), х0т), хат) — функции переключения, принимающие значения 0 или 1 и позволяющие задавать тот или иной
тип тепловых граничных условий на торцевых поверхностях.
Так как на границах между слоями реализуются условия идеального теплового контакта, то должны выполняться следующие условия сопряжения решения [10]:
по температуре
9(т+1) (х1, х2 ) = 9(т) (х1, х2 ), (19)
0 < х1 < а, х2 = Нт,1 <т< М-1, по тепловому потоку
' ' (20)
^(т+1)0(т+1) = ^(т)0<>О
0 < х1 < а, х2 = Нт,1 <т< М-1.
Таким образом, уравнение Пуассона (14), принадлежащее к эллиптическому типу, граничные условия (15)—( 18) и условия сопряжения решения (19), (20) образуют граничную задачу определения температурного поля 0(т)(х1, х2) в образце с покрытиями. Если эта граничная задача каким-то образом проинтегрирована и функция 0(т)(х1, х2) известна во всех точках пластины, то после этого можно решать и граничную задачу термоупругости (4), (7)-(13).
3. Метод расчета
Для удобства разработки численного метода интегрирования сформулированных граничных задач несвязанной термоупругости введем в рассмотрение новые функции
^(т) = и1(2), 4т) = и2т2), Q(m) = 9(2т), (21)
1< т < М.
Тогда уравнения равновесия (4) можно записать в виде замкнутой системы четырех уравнений, разрешенных относительно производных по переменной х2 :
4?=^(-р(т)гіт)+с (т)0дт) -
<т)
(22)
- А^ЦЦ - (В(т) + &т))^$),
^ = -^(-р^^ + с (т^(т) -
- ^т)и(”) - (В(т) + Gm))v(Д)),
и1(") = ^(т), и(т2) = v2m), 1 < т <М.
Преобразуем граничные условия (7), (8), (11) и усло^ вия стыковки (13) с учетом (21), тогда
В(1) и# + А(1) v21) = р(-) + С(1) 0(1),
G(1)(vl11) + и2*)) = рТ-), 0 < х1 < а, х2 = 0;
В( М Vм) + А( М) v2M) = р(+ + С(М )0( М),
G(М)(v1(м) + и271)) = рТ+), 0 < х1 < а, х2 = Н;
(23)
(24)
А( т)и(т) + В( т) v2m) = р^ (х2 ) + С(т)0( т),
G(m)(Vl(m) + и(т)) = р1((х(), (25)
х1 = а Нт-1 < х2 < Нт. 1 < т < М;
В( п)и,(т + А( п) v2и) = В( т)м,(т + А( т) v2m) +
+ (С(п) - С(т))0(т), (26)
G (n)(v1(n) + и(”)) = G (m)(v1(m) + и(”)), п = т +1, 0 < х1 < а, х2 = Нт ,1 < т < М -1, где учтены соотношения (19) и равенства, вытекающие
из (12):
и(п) = и(т), 0 < х < а, х( = Нт, п = т +1, і = 1, 2, 1 < т < М -1. Продифференцируем по х2 граничные условия (9),
(27)
(10), тогда с учетом (21) получим:
v(m)(0, х2) = v2m)(0, х2) = 0,
Нт-1 < х2 < Нт , 1 < т < М;
v((m) (а, х2) = du(0 /йх2, v2m) (а, х2) = йи° /йх
Нт-1 < х2 < Нт > 1 < т < М.
(28)
'2,
(29)
Разрешим соотношения (23), (25) относительно V} v2m), а (26) относительно V(n), v2n'):
,(т)
(30)
(31)
V(1) = - и(1)
V1 = G(1) и2,1,
v21) = А1Т( рп+ С(1) 0(1) - B(1)Ul1(l)),
0 < х1 < а, х2 = 0;
7.(т) = р12 - и(т)
V1 = £ (т) М2,1 ,
v2m) = _1_ (рт + С(т)0(т) - А(т)и,(д)),
х1 = а Нт-1 < х2 < Нт, 1 < т < М;
£(т)
п) = £_________(7>(т) + ,/(т))-і,(т)
У1 = п(п) (^1 + и2,1 ) и2,1 ,
v2n) = ((В(т) - В(п)^ + А(т)v2m) + (32)
+ (С(п) - С(т))0(т)),
п = т + 1,0 < х1 < а, х2 = Нт ,1 < т < М- 1.
Если 0(т) = 0 и, следовательно, Q(m) = 0 (см. (21)), то уравнения и соотношения (22)-(32) полностью совпадают с уравнениями и соотношениями (15)—(25) в [1]. Поэтому, рассматривая в (22)-(32) внешние силовые нагрузки как возмущенные фиктивными нагрузками, порожденными наличием температурного поля (в случае 0(т) Ф 0), можно при заранее известных функ-
циях 0(т), Q(m) для интегрирования краевой задачи (22)-(32) использовать тот же численный метод, что и в [1] (не будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно).
Прежде чем интегрировать краевую задачу (22)-
(32), нужно определить температурное поле в образце. Так как уравнение теплопроводности (14) принадлежит к тому же типу, что и система уравнений равновесия
(4), — эллиптическому, то для интегрирования граничной задачи, соответствующей уравнению (14), целесообразно использовать тот же метод, что и для решения термоупругой граничной задачи, соответствующей системе (4). Для этого уравнение (14) с учетом (21) перепишем в виде замкнутой системы двух уравнений, разрешенных относительно производных по переменной х2:
ц(2т) =- ^т) (х1, х2 )Д(т) - 0(1^),
0(2т) = Q(m)(xl, х2), 1 <т< М. (33)
Тепловые граничные условия (15), (16) и условия сопряжения решения (20) с учетом (21) примут вид:
р(-)А(^(1)=у(-)ц(1)(0(1)-0Є))+х(-),2-)(х1), х
0 < х1 < а, х2 = 0;
-в(+)^(М)Q(М) = у(+уМ)(0(М) -0(+)) +
+ X(+)q2+)(Xl), (35)
(36)
0 < х1 < а, х2 = Н;
О^т+Х) = ^(т)О(т)^ ^(т+1)
0 < х1 < а, х2 = Нт ,1 < т < М - 1.
Продифференцируем по х2 граничные условия (17), (18), тогда с учетом (21) получим:
Р0т)я(т)От) =у0т)ц(т)(О(т) -d9o (х2)/дх2) +
+ хЕ,т^?Г( х2)!дх2, (37)
х1 = 0, Нт -1 < х2 < Нт , 1 <т< М;
-Р(ат)А(т)О(т) = у<т)ц(т) (в(т) - d9: ^2)^) +
+хатчат)( х2)1дх2, (38)
х1 = а, Нт-1 < х2 < Нт , 1 < т < М.
Условия, в которых испытываются образцы, как правило, таковы, что на лицевых поверхностях пластины задаются тепловые граничные условия II или III рода [10], при наличии которых в (34), (35) следует принять Р(-) = Р(+) = 1. В силу этого обстоятельства с учетом того, что правые части системы разрешающих уравнений
(33) содержат только одну частную производную 9(1'1) (по переменной х1), для интегрирования системы (33) можно предложить следующий метод.
Зададим на нижней лицевой поверхности х2 = 0 допустимую граничными условиями (17), (18) (или (37), (38)) температуру, которую обозначим как 9(-)(х1), тог-
да в силу ) = 1 за счет соотношения (34), где
6(1)(х1,0) = 6(-)(х1), 0 < х1 < а, (39)
можно сформулировать начальные условия для системы
(33) на линии х2 = 0. Если каким-либо способом удастся проинтегрировать начально-краевую задачу (33),
(34), (39), (37), (17), (18), (38) в первом слое (т = 1) пластины, то за счет равенств (19), (36) можно задать на линии х2 = Н1 начальные условия для интегрирования системы (33) во втором слое (т = 2). Если начальнокраевая задача (33), (34), (39), (37), (17), (18), (38) проинтегрирована и во втором слое, то за счет (19), (36) можно сформулировать на линии х2 = Н2 начальные условия для интегрирования системы (33) в третьем слое (т = = 3) и т.д. Если же в последнем М-м слое решена соответствующая начально-краевая задача (известны функции 6(м), Q(M)), то на верхней лицевой поверхности (х2 = Н) можно вычислить левую и правую части в граничном условии (35). При произвольном задании функции 6(-)(х1) в (39) равенство в (35) выполняться не будет. Следовательно, нужно так подобрать начальную функцию в (39), чтобы невязка в (35) обратилась в нуль, после чего будет известно решение исходной граничной задачи стационарной теплопроводности (14)-(20) во всей области (1).
Описанный здесь метод и метод, использованный в [1], по сути, являются методами начальных функций, широко применяемыми при решении граничных задач теории теплопроводности [11] и теории упругости [12] для слоистых тел.
Предложенный метод начальных функций позволяет использовать для численного интегрирования поставленной выше граничной задачи стационарной теплопроводности метод прямых [13] совместно с методом пристрелки [14]. Для расширения границ устойчивости метода пристрелки (при расчетах относительно толстых образцов) целесообразно использовать метод дискретной ортогонализации [14], так как дискретный аналог системы (33) после применения метода прямых образует систему жестких дифференциальных уравнений по переменной х2 [13].
Реализация метода начальных функций (для интегрирования задачи теплопроводности) в дискретном варианте формально полностью совпадает с численным методом, описанным в [1] для интегрирования системы уравнений равновесия типа (22), поэтому не будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно.
Предложенный алгоритм численного решения сформулированных несвязанных граничных задач теории теплопроводности и термоупругости для образца с покрытиями удобен тем, что, сколько бы не содержала слоев конструкция, количество неизвестных начальных узловых значений (после дискретизации по х1 начальных условий (39) и (26) в [1]) остается фиксированным.
4. Обсуждение результатов расчетов
Рассматриваются образцы, поперечное сечение которых, как и в [1], имеет размеры a = 100 мм, b = 9 мм. На верхнюю и нижнюю лицевые поверхности образца нанесены покрытия одинаковой толщины (й(-) = h(+) = = h) и из одного материала. В качестве базового материала образца выберем алюминиевый сплав АДН или магниевый сплав ИМВ-2, покрытия могут быть борными или стальными (марка стали 40Х). Физико-механические характеристики этих материалов приведены в табл. 1.
Для упрощения расчетов температурного поля будем считать, что внутренние источники тепла отсутствуют (w(m) = 0), торцевые поверхности образца (x1 = 0, Xj = = а) термоизолированы, т.е. в0т) = Pim) = x0m) = %!,m) = 1, Yom) = Yim) = ° q0m)(X2) = q(am)(X2) = 0 1 < m < M (см. (17), (18)), а на лицевых поверхностях заданы тепловые граничные условия I рода — постоянные температуры, т.е. р(-) = р(+) = Х(-) = Х(+) = 0, Y(-) = Y (+) = 1 (см. (34),
(35)). При этом из (17), (18), (34), (35) получим частный случай граничных условий:
0(1)(x1, 0) = 0*-) = const,
0(M) (x1, H) = 0^ = const, 0 < x1 < а;
0<jm)(0, X2) = 0, 0(m)(a, X2) = 0,
(40)
Hm _1 й x2 й Hm , 1 й m й M,
(41)
где 6*+), 6*-) — заданная температура верхней и нижней лицевой поверхности соответственно.
Решение граничной задачи (14), (40), (41) (или (33), (40), (41)) можно получить в аналитической форме. Так, при отсутствии внутренних источников тепла температура в т-м слое определяется соотношениями [11]:
6(т)(Х1, Х2) -6(М)(Х2) = 6« -
m_1 H H
_ „ V Hn Hn_1
q2 £< я( n)
-qi
X2 _ Hm _1
Я( m)
qi = (e«_e«) I £ Hn^п_<
(42)
Нт-1 < Х2 < Нт.
т.е. не зависит от переменной х1.
В дальнейших расчетах будем предполагать, что образец испытывается: 1) в естественных условиях
Таблица 1
Физико-механические характеристики материалов компонентов композиции образца [15-19]
Материал E, ГПа ст02, МПа V а - 10б, K-1 Я, Вт/(м • K)
Сплав АДН (Al) 71 100 0.315 24.0 221
Сплав ИМВ-2 (Mg) 44 190 0.31 28.0 134
Бор (B) 420 3 200 0.235 2.4 1.25б
Сталь 40X 210 1200 0.3 13.3 42.7
Рис. 2. Изменение отклонений температуры по толщине образца при одновременном нагреве и охлаждении разных лицевых поверхностей
(6(т) = 6^-) = 6^ = 0, см. (42)); 2) при равномерном нагреве (охлаждении) на 20 К, т.е. 6(т) = 6^ = 6^ = = 20К (6(т) = 6^-) = 6^") = -20 К); 3) при охлаждении нижней лицевой поверхности на 20 К (или 10 К) и нагреве верхней лицевой поверхности на 20 К (или 10 К), т.е. 6^-) = -20 К, 6^ = 20 К (или 6^-) = -10 К, 6^") = 10 К); 4) при нагреве нижней лицевой поверхности на 20 К и охлаждении верхней лицевой поверхности на 20 К, т.е. 6^-) = 20 К, 6^+) = -20 К. В двух последних случаях температурное поле неоднородно по толщине образца и существенно зависит от толщины h покрытий.
На рис. 2 изображены зависимости отклонения температуры 6 от переменной х2, рассчитанные по формулам (42) при 6^") = -20 К, 6^") = 20 К для образца с базовым материалом из магниевого сплава с борными и стальными покрытиями разной толщины. Ломаные 1, 1' соответствуют для Mg-B-композиции, а линии 2,
2 — Mg-40X-композиции. Сплошные линии 1, 2 рассчитаны при толщине покрытий h = 0.02 мм, а пунктирные ломаные Г, 2' — при h = 0.5 мм. Поведение линий 1, Г на левом и правом участках показывает, что в образце с борными покрытиями во внешних упроч-
няющих слоях возникают большие градиенты температуры, причем эти градиенты тем больше, чем тоньше покрытие. Поэтому, согласно второму слагаемому в правой части второго равенства (4), именно при малых толщинах борных покрытий фиктивная объемная нагрузка в этих слоях, порожденная неоднородным температурным полем, будет значительной, что может существенно сказаться на эффекте упрочнения образцов именно при малой толщине покрытий, который наблюдался ранее в [1] при расчетах образцов в естественном состоянии (6( т) = 0). Кроме того, согласно значениям а(т), приведенным в табл. 1 для сплава ИМВ-2 и бора, а также в силу последнего слагаемого в правой части первого соотношения (26) значительными в случае Mg-В-композиции будут и фиктивные нагрузки на поверхностях контакта базового материала и покрытий, порожденные температурным полем и которые могут также существенно повлиять на эффект упрочнения (как при неоднородном, так и при однородном температурном поле).
Замечание. На рис. 3-5 пунктирные кривые 1, 1' относятся к расчетам в естественных условиях 6(т) = 0 (причем на рис. 3, 4 они полностью совпадают с соответствующими линиями, определенными ранее в [1]); сплошные линии 2, 2' получены при равномерном охлаждении 6(т) = -20 К; кривые 3, 3' — при равномерном нагреве 6(т) = 20 К; линии 4, 4' — при 6^-) = -20 К, 6^") = 20 К; кривые 4", наоборот, — при 6^") = = 20 К, 6^ = -20 К; линии 5—при 6^-) = -10 К, 6^+) = = 10 К. (В последних трех случаях, согласно (42), имеет место неоднородное температурное поле по толщине образца.)
Проведем сначала расчеты, соответствующие испытаниям образца на растяжение (сжатие) в направлении х1. При этом, как и в [1], массовыми нагрузками и напряжениями на лицевых поверхностях образца пренебрегаем (/1 = /2 = 0, р(±) = рТ±) = 0, см. (22), (24), (30)). При кинематическом способе испытаний (жесткое нагружение) на правой торцевой поверхности Х[ = а
Рис. 3. Зависимость предельных удлинений образцов (а) и растягивающих погонных усилий (б), необходимых для реализации кинематического метода испытаний, от толщины покрытий
Рис. 4. Зависимость растягивающих погонных усилий при статическом 40Х-композиция (б)
задаются условия жесткого края: м°(х2) = u0 = const, u°(x2) = 0 (см. (10), (29), рис. 1, а), а при статическом способе испытаний (мягкое нагружение) к правой торцевой поверхности приложено равномерное нормальное напряжение (давление): pjm^x2) = p0 = const, p12(x2) = 0 (см. (31), рис. 1, б). Напомним, что левая торцевая поверхность образца жестко закреплена (см. (9)). Предельные уровни нагружения образца будем определять из условия появления начальных пластических деформаций в базовом материале или покрытиях (либо до начала разрушения упругохрупкого материала, например борного покрытия).
На рис. 3, а изображены зависимости предельного удлинения образца u0 от толщины покрытия h на каждой из лицевых поверхностей. Кривые 1-4 на рис. 3 рассчитаны для Mg-B-композиции, а линии 1-4 — для Al-B-композиции. Поведение всех кривых на рис. 3, а показывает, что при малой толщине покрытий (0 < h <
< 0.25 мм) как при наличии, так и в отсутствие теплового воздействия наблюдается увеличение предельного удлинения u0 образца с увеличением толщины покрытия h. После достижения некоторого значения h = hopt (как и в [1], это значение толщины покрытия назовем «оптимальным», ему соответствуют точки излома кривых на рис. 3) увеличение предельного удлинения образца не происходит, наоборот, при h > hopt наблю-
методе испытаний от толщины покрытий: Mg-B-композиция (а) и Mg-
дается даже незначительное уменьшение значений и0 (&и0/&к < 0 при h > ^р(). Значения ^р( свои для каждой композиции, причем, как видно из рис. 3, а, ^р( тем меньше, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала, т.е. чем жестче покрытие. Такие же особенности поведения кривых наблюдались и на рис. 2 в [1]. Однако, согласно рис. 3, а, помимо жесткости покрытий на величину ^р( влияет и наличие температурного поля. Так, при равномерном нагреве значения ^р( уменьшаются (ср. точки изломов на кривых 3, 1 и 3', 1' с учетом сделанного выше замечания), а при равномерном охлаждении, наоборот, увеличиваются (ср. точки изломов на линиях 2, 1 и 2 , 1 рис. 3, а). Такая зависимость поведения ^р((6) наблюдается лишь в случаях, когда коэффициенты линейного теплового расширения а(т) покрытия меньше соответствующей величины базового материала а(2), что и имеет место для рассматриваемых на рис. 3 композиций (см. табл. 1). Зависимость ^р((6) будет противоположной, если окажется а(2) < а(т) (т = 1, 3). Однако для реальных материалов такой случай, по-видимому, является экзотическим.
Если образец не растягивается, а сжимается, то кривые 2, 3 и 2', 3' на рис. 3 меняются местами (2^3, 2'^ 3'), т.е. имеет место обратное влияние равномерного нагрева и охлаждения образца на его предельное укорочение.
0-1------.------1------.-----1-----.------1-----.-----1------.------1-----.-----1------.-----г*-
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 h, мм
Рис. 5. Зависимость предельных значений давления на верхней лицевой поверхности от толщины покрытий при изгибе жестко закрепленных (а) и консольных (б) образцов
Напомним, что существование некоторой оптимальной толщины покрытия для других ситуаций отмечалось в [9, 20].
Кривые 3, 3' на рис. 3, а всюду лежат выше линий 1, 1' соответственно, а кривые 2, 2', наоборот, ниже линий 1, 1' . Следовательно, равномерный нагрев (линии 3, 3') или охлаждение (кривые 2, 2 ) существенно влияют на предельные деформационные свойства образца при его кинематическом методе испытаний на растяжение (сжатие). Напротив, как видно из рис. 3, а, линии 1, 4 и 1', 4' визуально почти не различимы, поэтому можно заключить, что нагрев верхней поверхности образца на 20 K и охлаждение нижней поверхности на 20 K (см. замечание) незначительно сказывается на предельных деформационных свойствах образца, в частности почти не влияет на значения hopt, так как точки изломов кривых 1, 4 и 1', 4' на рис. 3, а практически совпадают.
Таким образом, поведение кривых 1-3 и 1 '-У на рис. 3, а наглядно демонстрирует тот факт, что однородное температурное поле (или, как показывают дополнительные расчеты, близкое к однородному) оказывает значительное влияние на значение предельного удлинения образца и на значение оптимальной толщины покрытия hopt. Следовательно, предельным удлинением образца можно управлять за счет нагрева или охлаждения такой слоистой конструкции. Кроме того, если задана некоторая толщина покрытия h ~ h<°pt (где h(°pt = hopt при 0 = 0), то за счет искусственного нагрева (0 > 0) или охлаждения (0 < 0) такого образца можно добиться, чтобы это значение h стало оптимальным.
Особенности поведения кривых на рис. 3-5 объясняются теми же причинами, что и в [1, 2], а именно особенностями количественного и качественного изменения напряженного состояния в пограничных слоях в окрестности левой и правой кромок образца (x1 ~ 0 и x1 ~ а) при увеличении толщины покрытий h (см. пояснения к рис. 3, 5 в [1]) и при нагреве или охлаждении рассматриваемой слоистой конструкции. В силу ограниченного объема статьи не будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно, а сконцентрируемся на эффектах упрочнения и разупрочнения образцов с покрытиями при наличии теплового воздействия. Отметим лишь, что точки изломов кривых на рис. 3-5 соответствуют изменению положения точек в образце (удаленных на конечное расстояние), в которых возникает начальная пластическая деформация в базовом материале.
Как и в [1], подсчитаем величину погонного усилия P, направленного по оси x1, которое необходимо приложить к правой торцевой поверхности образца для реализации кинематического метода испытаний. Для этого достаточно вычислить в произвольном сечении x1 = = const интеграл
M Hm
P =Ё I °n)dx2. (43)
m=1 Hm-1
На рис. 3, б изображены зависимости Р(К), причем кривые на этом рисунке рассчитаны для тех же образцов и при тех же тепловых условиях, что и линии на рис. 3, а соответственно. Кривые 1, 4 и 1, 4' на рис. 3, б визуально не различимы. Все кривые на рис. 3, б (как и линии на рис. 4 в [1]) имеют два участка: на начальном участке (0 < h < кор() наблюдается резкое увеличение Р с ростом h, а на втором участке (к > кор() — менее интенсивное приращение Р с увеличением Ь Такое поведение кривых на рис. 3, б объясняется теми же причинами, что и в [1] (см. там пояснения к рис. 4).
Поведение точек изломов кривых на рис. 3, б показывает, что при растяжении увеличение температуры образца приводит не только к уменьшению кор(, но и к уменьшению погонной растягивающей нагрузки Р при этом значении h = кор(, т.е. для рассматриваемых типов композиции зависимости кор( (6) и Р(кор( (6)) при растяжении являются монотонно убывающими.
Проанализируем теперь зависимости Р^) при статическом методе испытаний (мягкое нагружение, см. рис. 1, б). В этом случае, согласно принятым граничным условиям на правой торцевой поверхности образца, Р = Нр0. На рис. 4 изображены кривые, характеризующие зависимости Р^) для двух типов образцов с покрытиями из Mg-B- и из Mg-40X-композиции. Кривые 14 на рис. 4 рассчитаны при тех же тепловых условиях, что и линии 1-4 на рис. 3, а кривые 5 — при нагреве верхней лицевой поверхности образца на 10 К и охлаждении нижней поверхности на 10 К.
В отличие от рис. 3, б все кривые на рис. 4 ведут себя немонотонно. На начальных участках кривых 1-3 (однородное температурное поле) наблюдается рост предельно допустимой прикладываемой нагрузки Р с увеличением толщины покрытий h. После достижения некоторого значения к = кор( происходит снижение нагрузки Р с увеличением толщины внешних слоев (кор <
< к < кШп). После достижения некоторого значения h = = кш1п (которому соответствуют локальные минимумы кривых 1-3 на рис. 4) происходит медленное нарастание предельной нагрузки Р с увеличением толщины покрытий (к > кШп). По-прежнему значения кор( (а также и кШп) свои для каждой композиции, причем, как видно из сравнения кривых 1-3 на рис. 4, а и б, кор( тем меньше и снижение Р^) при кор( < к < кШп тем резче, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала, т.е. чем жестче покрытие.
Кроме того, на поведение образцов оказывает влияние и температурное поле. Так, при равномерном охлаждении образцов (см. кривые 2) эффект упрочнения при 0 < к < кор( возрастает, а эффект разупрочнения при кор < к < кШп уменьшается по сравнению с образцами, испытываемыми в естественных условиях (см. линии 1). Наоборот, при равномерном нагреве образцов (см. кривые 3) эффект упрочнения при 0 < к < кор( снижается, а эффект разупрочнения при кор( < к < кШп увеличи-
вается по сравнению с образцами, работающими в естественных условиях (0 = 0).
Если же температурное поле в образце неоднородно по толщине (см. кривые 4, 5), то при малых 0 < h < hOpt (где hOp — оптимальная толщина при 0 = 0, см. пунктирные линии 1) наблюдается разупрочнение образца, причем тем резче, чем жестче покрытие. Затем с увеличением толщины покрытий до точек A и B имеет место эффект упрочнения, а при толщинах h > hA и h > hB может вновь наблюдаться разупрочнение образца (см. кривые 4, 5 на рис. 4, а), причем при h > 0.6 мм кривые
4, 5 на рис. 4 незначительно отличаются от линий 1 (от поведения образцов в естественных условиях).
Таким образом, поведение кривых 4, 5 на рис. 4 при 0 < h < hOpt наглядно демонстрирует тот факт, что при наличии неоднородного температурного поля в образце эффект его упрочнения жесткими тонкими покрытиями при растяжении может и не наблюдаться, а наоборот, может обнаруживаться эффект разупрочнения.
Ординаты точек локальных максимумов на сплошных кривых рис. 4 меньше ординат таких же точек на пунктирных линиях 1. Это означает, что за счет искусственного нагрева или охлаждения образца (по крайней мере, для случаев рассматриваемых температурных полей) не удается повысить для него максимальную предельную нагрузку P по сравнению со значением P(hOp,t), соответствующим естественным условиям. (Этот вывод не относится к случаям больших толщин покрытий h, сопоставимых уже с толщиной базового материала, см., например, правые участки кривых 1, 2 на рис. 4, а при h > 1 мм.)
На экспериментальных установках образцы испытываются не только на растяжение (сжатие), но и на изгиб. В этом случае образцы подвергаются так называемому трехточечному или четырехточечному изгибу, и такой тип испытаний является независимым и равноправным наряду с испытаниями на растяжение (сжатие).
Далее приведем результаты расчетов, соответствующие испытаниям образца из Mg-B-композиции на изгиб под действием равномерно распределенной поперечной поверхностной нагрузки — давления (см. рис. 1, в). При этом, как и ранее, массовыми нагрузками пренебрегаем (f1 = f2 = 0, см. (22)). На нижней лицевой поверхности напряжения отсутствуют (рП-) = р-) = 0, см. (30)), а на верхней лицевой поверхности задано давление рП+') = = -q = const (рТ+) = 0, см. (24)). Расчеты проводились для двух случаев закрепления образца: 1) точки обеих торцевых поверхностей жестко закреплены (см. рис. 1, в и (9), (10), где u° = u° = 0), результаты соответствующих вычислений приведены на рис. 5, а; 2) точки правой торцевой поверхности не закреплены и не нагружены (см. (9), (31), где р12 = p1(m) = 0) — консольная балка-стенка, результаты соответствующих вычислений изображены на рис. 5, б. Предельные уровни нагружения образца давлением q определялись из прежних условий.
Все кривые на рис. 5 монотонно возрастают (исключение составляет лишь линия 4" на рис. 5, б), однако поведение их качественно разное. Так, на рис. 5, а для всех кривых на начальном участке наблюдается резкое увеличение q с ростом h, а затем с увеличением h происходит уменьшение приращения q, причем на некоторых кривых, например 2-4, можно наблюдать отчетливо выраженные точки изломов, абсциссы которых по-прежнему можно трактовать как оптимальные толщины покрытий кор(. На рис. 5, б не наблюдается такого же однозначного поведения всех кривых.
Кривые 2, 3 на рис. 5 визуально почти не различимы и лежат ниже пунктирных линий 1, причем на рис. 5, а — существенно ниже. Следовательно, равномерный нагрев или охлаждение образцов в случае изгиба отрицательно сказывается на их сопротивляемости поперечному нагружению. Неравномерное же температурное поле может сказываться как отрицательно, так и положительно. Например, кривые 4" на рис. 5 лежат всюду ниже пунктирных линий 1, рассчитанных в естественных условиях (6 = 0), а кривые 4 — выше линий 1.
Таким образом, при рассматриваемом типе механического нагружения образца нагрев верхней лицевой поверхности и охлаждение нижней лицевой поверхности (кривые 4) приводят к увеличению сопротивляемости слоистой конструкции поперечному нагружению, а охлаждение верхней поверхности и нагрев нижней (линии 4"), наоборот, — к снижению сопротивляемости такому нагружению. Картина меняется на противоположную, если нагружена давлением будет не верхняя лицевая поверхность, а нижняя.
Следовательно, при поперечном нагружении образца за счет неоднородного по толщине температурного поля можно увеличить предельное значение поперечной нагрузки q, причем в некоторых случаях существенно. Так, при h = 0.1 мм ордината точки на кривой 4 на рис. 5, б почти вдвое больше ординаты соответствующей точки на линии 1. В таких случаях можно говорить об эффективном управлении сопротивляемостью образца поперечному нагружению путем искусственного наведения температурного поля определенной конфигурации.
В отличие от остальных кривых линия 4" на рис. 5, б ведет себя немонотонно: сначала она несколько убывает, затем возрастает, а правее точки излома вновь убывает. Значит, и при поперечном нагружении образца в некоторых случаях теплового воздействия может наблюдаться сначала его разупрочнение с увеличением толщины покрытий в интервале 0 < к < кШт и лишь затем упрочнение при к > кШт, т.е. не при любом тепловом воздействии наблюдается эффект упрочнения.
Проведенные дополнительные расчеты показали, что качественно подобные результаты получаются и при локализованных поперечных нагрузках, моделирующих поведение образцов при трехточечном или четырехточечном изгибе.
5. Заключение
Проведенные расчеты показали, что эффект резкого упрочнения образцов с жесткими покрытиями толщиной порядка 0.1 мм, обнаруживаемый, например, при расчетах таких слоистых конструкций в естественных условиях их испытаний, может и не проявляться при наличии некоторых видов температурных полей. Поэтому оптимальная толщина покрытия, определенная, например, в процессе простейших испытаний образцов на растяжение (сжатие) и изгиб, не гарантирует эффекта упрочнения в реальных изделиях с таким покрытием, если изделие эксплуатируется при тепловых условиях, отличных от тех, в которых испытывались образцы, что, как правило, и имеет место на практике. Следовательно, для обоснованной выдачи рекомендаций по оптимальной толщине и жесткости упрочняющих покрытий целесообразно проводить расчет самого изделия с учетом реальных особенностей его термосилового нагружения в процессе эксплуатации, а не исходить исключительно из результатов простейших испытаний образцов с покрытиями.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01 -90402-Укр_а) и Президиума СО РАН (Постановление № 10 от 15.01.09, проект № 72).
Литература
1. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Об особенностях деформирова-
ния образцов с тонкими упрочняющими покрытиями // Физ. мезо-мех. - 2006. - Т. 9. - № 2. - С. 17-26.
2. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Особенности деформирования
образцов с покрытиями при локализованных нагружениях // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 2. - С. 29-42.
3. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
4. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. -
355 с.
5. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материа-
лов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1967.- 268 с.
7. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Вариант нелинейной теории упругих
многослойных пологих оболочек // Мех. композит. мат. - 1985. -№ 5. - С. 856-860.
8. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. - 287 с.
9. Панин С.В., Коваль А.В., ПочиваловЮ.И. Особенности разрушения
образцов малоуглеродистой стали с боридными слоями различной толщины при одноосном статическом растяжении // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 4. - С. 85-95.
10. ЛыковА.В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. школа, 1967. -599 с.
11. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Теплопроводность однородных и композитных тонкостенных конструкций. - Новосибирск: Арт-Авеню, 2008. - 512 с.
12. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Физматгиз, 1960. - 492 с.
13. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 334 с.
14. БахваловН.С. Численные методы. Т. 1. - М.: Наука, 1973. - 631 с.
15. Композиционныге материалы. Справочник / Под ред. Д.М. Карпи-носа. - Киев: Наук. думка, 1985. - 592 с.
16. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.
17. Самсонов Г.В., Марковский Л.Я., Жигач А.Ф., Валяшко М.Г. Бор, его соединения и сплавы / Под ред. Г.В. Самсонова - Киев: Изд-во АН УССР, 1960. - 256 с.
18. Безухов Н.И., Бажанов В.Л., Гольденблат И.И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Под ред. И.И. Гольденблата. - М.: Машиностроение, 1965.- 434 с.
19. Новицкий Л.А., Кожевников И.Г. Теплофизические свойства материалов при низких температурах. Справочник. - М.: Машиностроение, 1975. - 216 с.
20. Панин В.Е., Витязь П.А. Физическая мезомеханика разрушения и износа на поверхностях трения твердых тел // Физ. мезомех. -2002. - Т. 5. - № 1. - С. 5-13.
Поступила в редакцию 29.10.2010 г.
Сведения об авторе
Янковский Андрей Петрович, д.ф.-м.н., внс ИТПМ СО РАН, nemirov@itam.nsu.ru
