Обратная субдифференциальная задача для стационарных уравнений Максвелла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

ОБРАТНАЯ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Т.В. Беспалова, Дальрыбвтуз, Владивосток

Рассмотрены прямые и обратные краевые задачи для стационарных уравнений Максвелла, возникающие при рассмотрении субдифференциальных определяющих соотношений.

Данная статья является продолжением исследования, начатого в работах [1], где была изучена нестационарная модель для поляризуемой среды, а также работ [2, 3], в которых рассматривалась задача о гармонических электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде.

Отметим, что изучение введенных в работе вариационных неравенств позволяет рассмотреть широкий класс физически интересных постановок краевых задач для уравнений Максвелла, причем задачи с классическими краевыми условиями для системы уравнений Максвелла являются частными случаями рассматриваемой задачи. В качестве приложения полученных результатов рассмотрена задача об определении областей постоянной проводимости по пороговым значениям поля. Кроме того, рассмотрена обратная субдифференциальная задача для уравнений Максвелла в

гармоническом режиме.

1. Постановка субдифференциальной задачи. Рассмотрим распространение электромагнитных волн в однородной изотропной среде в R3 с диэлектрической постоянной е, магнитной

проницаемостью и и проводимостью г . Электромагнитные колебания с частотой о будем описывать векторами напряженности

электрического поля и магнитной индукции

Е(х,?) = Ке{Е(х)ехр(-/ю?)}. (1)

В(х, О = Не{В(х) ехр (-Ш)} ,

где Е( х), В( х) - комплексные амплитуды напряженности

электрического поля и магнитной индукции соответственно.

Обозначим через / = Ре{_/(х)ехр(-/0/)} плотность тока,

определяемого полями (1), а через /в = Ке{д(х)ехр(-оО)} плотность тока, обусловленного сторонними ЭДС.

Из уравнений Максвелла с произвольной зависимостью от времени для комплексных амплитуд Е,В,},д получаем следующие соотношения:

г&Е = /ОВ, г&В = и( У - /оеЕ + д),

(2)

где е,и,г,о - известные положительные постоянные.

Пусть О - область в R3 с ограниченной границей Г класса С2, при этом считаем границу Г области О идеально проводящей. Тогда

Ет = Е - (Е ■ п)п = 0, х еГ.

(3)

Здесь п - единичный вектор внешней нормали к Г . Условие (3) означает равенство нулю касательных компонент вектора Е на границе Г . Предположим также, что вектор у удовлетворяет субдифференциальному соотношению

У е Эр(Е),

(4)

которое понимается поточечно, т.е. выражает связь между у(х) и Е(х) в каждой точке х еО. Здесь р: С3 ^ (-да;+да] - выпуклая

полунепрерывная снизу (п.н.сн.) функция (С3 - пространство векторов

V = (V Уг V) с комплексными компонентами), рфда. Через Эре С3 обозначен субдифференциал функции р на элементе Е , т.е. множество

Эр(Е) = {У е С3 : р(у) - р(Е) > Ре(]к ■ (V - Е)к ^ е С3}.

Здесь и далее считается, что по повторяющимся индексам проводится суммирование от 1 до 3.

Таким образом, субдифференциальная краевая задача для системы уравнений Максвелла заключается в отыскании решения системы (2) при заданной функции д , удовлетворяющего граничному условию (3) и

соотношению (4).

Для определения обобщенного решения краевой задачи (2) - (4) распространим поточечное субдифференциальное соотношение (4) на функциональное комплексное пространство и(О). Для этого введем

функционал Ф , заданный на ^ (О) формулой

р(Е(х))бх, если р(Е) е 11(О),

Ф(Е) = |О (5)

[ +да, иначе.

Тогда аналогично [4, с. 133] можно показать, что функционал Ф является выпуклым п.н.сн. собственным на (О) (

Ф(Е) е (-да;+да], Ф(Е) ^+да). Условие у е ЭФ(Е) эквивалентно

неравенству Ф^) -Ф(Е) > Ре{(- Е)}*^ е (О), причем условие у еЭФ(Е), где у,Е е £2(О), выполняется тогда и только тогда, когда для у(х), Е(х) е С3 выполняется включение у(х) е Эр(Е(х)) п.в. в О . Здесь и далее через V и (иу) будем обозначать норму и скалярное произведение в комплексном пространстве

1г (О),(и,у) = | икукс1х.

О

Определим гильбертово пространство

V = {V е 1г(О): гоУ е 1г(О), V = 0,х е Г}

над полем комплексных чисел С как замыкание множества гладких комплекснозначных вектор-функций с нулевыми касательными

составляющими на границе Г по норме ||у|| = (|у|2 + \гоЫ\2)/2. Отметим,

что в силу определения пространства V для любых у,^ е V справедливо равенство [1, а 316]

(го1му) = (\wjotv). (6)

В пространстве V рассмотрим эффективную область функционала Ф: К = {V е V : Ф(у) < +да}. В силу выпуклости и полунепрерывности

снизу функционала Ф множество К является выпуклым и замкнутым в V.

2. Вывод вариационного неравенства. Для вывода вариационного неравенства, соответствующего задаче (2) - (4), умножим второе уравнение в (2) скалярно на Е - v,v е V и воспользуемся тождеством (6). Тогда получим

(В,О(Е - V)) = (4,Е - V) + 4(д - ЬЕ),Е - V). (7)

Используя определение субдифференциала

Ф^) - Ф(Е) > Re{(у, V - Е)}Vv е V ,

имеем

Re{(B, rot(Е - V)) - 4(д - /ЬЕ), Е - V)} > > 4(Ф(Е) - Ф(v))Vv е V.

(8)

В определенном смысле справедливо и обратное, т.е. для достаточно гладких комплексных вектор-функций Е и В , удовлетворяющих (2), справедливо соотношение (4). В частности, если предположить, что rotB е Ц2 (О), то из (8) и (6) получаем

Re{((l / 4)^В + '/юеЕ - д, Е - V)} - Ф(Е) + Ф^) > 0Vv е V.

Это означает, что величина у = (1 / 4)^В + 'ьеЕ - д удовлетворяет соотношению Re{(/‘,E-V)} > Ф(Е)-Ф^), т е. у е дФ(Е) тогда и только тогда, когда у(х) едр(Е(х)) п.в. в О .

Таким образом, на основании неравенства (8), учитывая первое из уравнений (2), приходим к следующей постановке.

З а д а ч а 1. Найти элемент Е е V такой, что

Здесь а(и^) = (гои,гоЫ), f = '/ю/д.

3. Корректность задачи 1. Пусть функционал Ф имеет представление

Ф = 1к + Фо, где

т.е. /к есть индикаторная функция множества К. Предположим, что функционал Ф0 дифференцируем по Гато в каждой точке V е V, т.е.

Im{ а(Е,Е - V) - 4ю2еЕ + f ,Е - V)}

- 4»(Ф(Е) - Ф^)) > 0Vv е V.

(9)

/к (V)

0, еслuv е К, + ю, иначе,

предел lim(Ф0(w + ©h)-Ф0(w))/© = Re{(Ф' (w),h)} существует для

©^+0 ' '

любого h eV, причем Ф'0 (w) eV' , где через V' обозначаем

пространство сопряжено-линейных непрерывных функционалов,

определенных на V,(Ф0 (w), h) - значение функционала Ф0 на элементе h e V.

Будем предполагать, что градиент Ф0 удовлетворяет следующим условиям:

а) Vu,v,w eV функция

Л^ Re{(Ф0 (u + Av), w)} (10)

непрерывна как функция из R в R (свойство семинепрерывности);

б) функционал Ф0 является сильно монотонным в следующем смысле:

Re{(Ф0(w,) -Ф0(w2),w, - w2)} >

■ 2 (11)

>^% - w2| Vwt ,w2 eV,a = const > 0.

По определению субдифференциала

Ф^) - Ф(£) > Re{( j, w - £)}Vw e K.

Положим w = E + ©h, где h = v - E для любых v e K,©> 0,

разделим на © и перейдем к пределу при © ^ +да.

Тогда lim (Ф(Е + ©h)-Ф(Е))/©> Re{(j,h)} Так как на множестве K

©^+0

функционал Ф совпадает с Ф0, то последнее неравенство

эквивалентно соотношению Re{^0(E),E-v)} < Re{(j,E-v)}Vv e K , используя которое, на основании (7), получаем неравенство

Im{a(E,E - v) - {/uw2eE + f,E - v)} -

- jucoRe{(Ф0 (E),E - v)} > 0Vv e K. (12)

Т е о р е м а 1. Пусть функционал Ф удовлетворяет свойствам (10), (11). Кроме того, предположим, что существует элемент v0 e V такой,

что 5Ф(^) ф 0. Тогда для произвольной комплексной вектор-функции

g e L2(Q) существует единственное решение задачи 1.

Доказательство данной теоремы было получено в [9].

4. Субдифференциальная обратная задача, связанная со стационарными уравнениями Максвелла. Рассмотрим систему уравнений (2) с граничными условиями (3). Пусть значения плотности токов, обусловленных действиями сторонних ЭДС д , неизвестны.

Задача заключается в отыскании д , а также соответствующих Е и В , удовлетворяющих системе (2), граничному условию (3) и дополнительному субдифференциальному условию

где ср(д) - выпуклая п.н.сн. собственная функция на С3. Задачу (2),

(3), (13) можно рассматривать как субдифференциальную обратную задачу для уравнений Максвелла в гармоническом режиме с неизвестной правой частью д .

Изучение поставленной задачи также сводится к исследованию некоэрцитивного вариационного неравенства. Определим функционал

Таким образом, функционал Т выпуклый п.н.сн. собственный на ^ (О), причем Е е дТ(д), где Е,д е (О) тогда и только тогда, когда для Е(х),д(х) е С3 выполняется включение Е(х) едр(д(х)) п.в. в О [4, а 133].

Отметим [8, а 61], что условие Е е дТ(д) эквивалентно условию

д е дФ(Е), где функционал Ф: V ^ V,Ф = Т*, т.е. Ф является сопряженным к Т, Ф = sup{(Л,у) -Т(Л),h е V'}.

Кроме того, функционал Ф также является выпуклым п.н.сн. собственным на и (О).

Таким образом, приходим к следующей постановке.

З а д а ч а 2. Найти элемент Е е V такой, что

Е е др(д),

(13)

И а(Е, Е - V) - (к2Е,Е - V)} - /ию(Ф(Е) - Ф(у)) > 0У V е V,

где к2 = /итг (е + 1а/ ю)

Единственность и разрешимость задачи 2 вытекает из теоремы 1, если в постановке задачи 1 функционал Ф заменить на

(ст / 2)|\Е\2бх + Ф(Е).

Таким образом, имеет место

Т е о р е м а 2. Пусть существует элемент Е е V такой, что 5Ф(Е) ^

0. Тогда существует единственное решение задачи 2.

Рассмотрим частный случай постановки субдифференциальной

обратной задачи для уравнений (2) при условии, что задана

информация о решении Е и «структуре» вектора д .

Пусть вектор д ограничен, т.е. |д| < |д0|, кроме того, заданы условия

Iе < |Е»| ^ д = о;

| , | | {д = с(Е - Ео X |с(Е - Ео) < |до |, (14)

Щ > Ео1 ^ [ д = до, |°(е - Ео) > |до|,

где Е - некоторое пороговое значение поля, с > о - известная константа.

Если функционал ф = р задать формулой

ф(Е) =

о,\Е\ < |Ео |,

(с / 2)Е - Ео|2,|с(Е - Ео )| < |до |, \Е\ > |Е01, (15)

Re{(E, д)}, |с(Е - Ео )| > |до |, |Е| > |Ео |,

то субдифференциальное соотношение (13) будет соответствовать условиям (14). Соответствующая вариационная задача является частным случаем задачи 2, если функционал Ф определяется при помощи (15). Корректность соответствующей вариационной постановки вытекает из теоремы 2.

Библиографический список

1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М., 1980.

2. Беспалова Т.В.,

Чеботарев А. Ю. Моделирование электромагнитных

колебаний в поляризуемой среде и вариационные неравенства. Владивосток, 1993. (Препринт / ИПМ ДВО РАН).

О

3. Чеботарев А.Ю. Корректность задачи об электромагнитных колебаниях в поляризуемой среде // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1993. Вып. 107.

4. Панагиотопуло с П. Неравенства в механике и их приложения. М., 1989.

5. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., 1972.

6. Барфут Ж., ТейлорДж. Полярные диэлектрики и их применение. М., 1981.

7. Райзер Ю.П. Основы современной физики газоразрядных процессов. М., 1980.

8. Barbu V. Analysis and Control of Nonlinear Infinite Dimensional Systems. 1993.

9. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // Дифф. уравнения, 2000. Т. 36. № 6.