CC BY
40
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 157, кн. 1 Физико-математические науки
2015
УДК 517.957
О РЕШЕНИИ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
И.Б. Бадриев, Г.З. Гарипова,
М.В. Макаров, В.Н. Паймушин, Р.Ф. Хабибуллин
Аннотация
Дана обобщенная постановка для задачи об определении напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем при наличии ограничений и проведено исследование ее корректности. Обобщенная постановка сформулирована в виде задачи об отыскании седловой точки некоторого функционала. Доказана теорема существования и единственности решения. Предложен итерационный метод решения задачи и исследована его сходимость.
Ключевые слова: трехслойная пластина, трансверсально-мягкий заполнитель, седловая точка, теорема разрешимости, теорема единственности, итерационный метод.
Введение
Задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем при наличии ограничений на уровень формирующихся в заполнителе поперечных касательных напряжений представляет особый интерес, поскольку, как отмечается в [1], трехслойные панели с тонкими прочными композитными обшивками и легким заполнителем, благодаря своим уникальным свойствам, широко используются во многих отраслях техники. Главной особенностью таких конструкций является сочетание высокой изгибной жесткости и прочности с небольшой массой и хорошей способностью поглощать энергию при ударных воздействиях. Кроме того, трехслойные конструкции позволяют обеспечить хорошие звуко- и теплоизолирующие свойства [2], а также обладают высокой технологичностью и вибростойкостью. Это и определяет их широкое применение в аэрокосмической технике, судостроении, транспортном машиностроении, а также в строительстве.
В настоящей работе рассматривается физически нелинейная и геометрически линейная задача о равновесии трехслойной пластины, составленной из двух несущих слоев и расположенного между ними трансверсально-мягким заполнителя, связанного с несущими слоями клеевым соединением. Для описания напряженнодеформированного состояния в несущих слоях используются уравнения линейной модели Кирхгофа - Лява, в заполнителе - уравнения теории упругости, упрощенные в рамках принятой модели трансверсально-мягкого слоя и проинтегрированных по толщине с удовлетворением условий сопряжения слоев по перемещениям в поперечном направлении. Кроме того, задача рассматривается при ограничении, соответствующем идеальной упруго-пластической модели для заполнителя. Обобщенная постановка формулируется в виде задачи об отыскании седловой точки некоторого функционала. Исследуются свойства этого функционала - слабая полунепрерывность снизу, выпуклость и коэрцитивность относительно перемещений,
15
16
И.Б. БАДРИЕВ И ДР.
а
Рис. 1. Трехслойная пластина
слабая полунепрерывность сверху, вогнутость и антикоэрцитивность относительно касательного напряжения в заполнителе. Доказывается также слабая замкнутость множества ограничений на касательного напряжения в заполнителе. На основе этих свойств доказывается теорема разрешимости с использованием общих результатов о существовании седловых точек [3]. Для решения задачи предложен итерационный метод и исследована его сходимость. На каждом шаге процесса необходимо решить линейную задачу теории упругости и найти проекцию на выпуклое замкнутое множество.
Отметим, что при отсутствии ограничений задача о равновесии трехслойной оболочки с трансверсально-мягким заполнителем в геометрически как линейной, так и нелинейной, постановке была рассмотрена в [4]. Задача формулировалась в форме отыскания стационарных точек некоторого функционала, исследована ее разрешимость и построены сеточные аппроксимации. В [5] рассматривалась задача о равновесии трехслойной пластины, где был предложен двухслойный алгоритм ее решения, основанный на опускании нелинейности на нижний слой, приведены и проанализированы результаты численных экспериментов. В работах [6-9] исследованы обобщенные постановки задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии ограничений, а также методы их численного решения.
1. Постановка задачи
Рассматривается одномерная по пространственным координатам задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины, состоящей из двух внешних несущих слоев и расположенного между ними трансверсально-мягкого заполнителя, связанного с несущими слоями при помощи клеевого соединения (см. рис. 1). Для описания задачи используются соотношения [10, 11], основанные на применении к несущим слоям уравнений модели Кирхгофа - Лява, к заполнителю - уравнений теории упругости, упрощенных в рамках принятой модели трансверсально-мягкого слоя и проинтегрированных по толщине с удовлетворением условий сопряжения слоев по перемещениям в поперечном направлении.
Пусть a - длина пластины, 2h, 2h(k) - толщины заполнителя и к-го слоя соответственно (здесь и всюду в дальнейшем предполагаем, что к = 1, 2), Х., -
компоненты поверхностной нагрузки, приведенной к срединной поверхности к -го слоя, w(k) и п(к) - прогибы и осевые перемещения точек срединной поверхности к-го слоя соответственно, T., М. - мембранные усилия и внутренние изгибающие моменты в к-м слое соответственно, H. = h + h. .
Края несущих слоев пластины предполагаем жестко закрепленными, так что выполняются условия
u(k)(x) = 0, w(k)(x)=0, dw(k)/dx(x)=0, x = 0, x = a.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН 17
Задача рассматривается в геометрически линейной постановке, то есть предполагаем, что
du(k) „ d?w(k)
T
11
(k)
B
(k)
dx
M,
11
(k)
D,
(k)
dx2
к = 1,2,
где B(k) = 2h(k)E(k)/(1 — ГЧГ - жесткость к-го слоя на растяжение-сжатие, E(k) и v(2), - модуль упругости первого рода и коэффициенты Пуассона ма-
териала к -го несущего слоя, D(k) = B(k)h2k)/3 - изгибная жесткость к-го слоя.
Обозначим через U = (w(1),w(2),u(1),п(2)^ вектор перемещений точек срединной поверхности к-го слоя. Введем в рассмотрение функционалы
Ф (U)
a i-
0 L
du(k)
dx
2
+ D(k)
d2w(k)
dx2
2
dx
Xk)u(k) + Xfk)w(k) + Mh
dw(k) \
(k) ~x ) dx’
a
к
1, 2,
где M1k) - поверхностный момент внешних сил, приведенный к срединной поверхности к-го слоя.
В силу вариационного принципа Лагранжа положение равновесия изолированных пластин характеризуется точкой минимума функционала Ф1 и Ф2. Рассматривая исследуемую задачу в контактной постановке, в соответствии с результатами [10-13] введем в рассмотрение контактные реактивные усилия взаимодействия q1, представляющие собой касательные напряжения в заполнителе, постоянные по его толщине. Это требует введения дополнительных функционалов, учитывающих потенциальную энергию деформации заполнителя (поперечного сдвига и обжатия), а также работу неуравновешенных контактных усилий q1:
Ф1
a
)(U) = 2 J с3 (w(2) — w(1)j dx
a
$3(U,q1) = I 0 a
^(q1) = 2 I
2 dw(k)
+ (u(2' — u(‘>)
0
a г
k = 1
q1 dx,
^ <q‘>2+Г 0Г
G13 3 E3 у dx
dx,
где G13, E3 - модули поперечного сдвига и обжатия заполнителя, сз = Ез/(2К). Для q1 предполагаем выполненными граничные условия
q1(0) = q1(a) = 0.
Считая, что зависимость между касательным напряжением q1 и деформацией поперечного сдвига соответствует идеальной упруго-пластической модели, задачу рассмотрим при ограничении
| q1 (x) I < ql, 0 <x < a,
где ql - заданное предельное значение напряжения в заполнителе. Условие (1) означает недопущение разрушения конструкции.
(1)
18
И.Б. БАДРИЕВ И ДР.
Обозначим через Vk изведениями
W
(к)
2
(0, а) - пространства Соболева со скалярными про-
(u,v)k
J dku(x) dkv(x) d
J ~dkr ~1хкГ dx,
через Vq - пространство Соболева функций, имеющих компактный носитель на (0, а) и первую обобщенную производную, суммируемую с квадратом, со скалярным произведением
(u, v)q
2h
G3
a
1Ф) v(x) d+
0
h3
3E3
a
i
du(x) dv(x) dx dx
dx;
0
положим V = V2 x V2 x Vi x Vi, K = {q1 G Vq : | q1(x) \ < ql, 0 < x < a}.
Введем в рассмотрение функционал L : V x Vq ^ Ri по формуле
L(U, q1) = Ф0(U) + $i(U) + Ф2(U) + Ф3(U, q1) - Ф4(q1)•
(2)
Нетрудно видеть, что функционалы Фо, Ф1, Ф2 корректно определены на V, функционалы Ф3 , L - на V x Vq , функционал Ф4 - на Vq . Скалярное произведение в V будем обозначать через ( ■, - )у .
Под обобщенным решением задачи об определении напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем будем понимать такую функцию (U,q1) G V x K, что
L(U,q1) = inf sup L(U,q^ (3)
UqleK
2. Исследование разрешимости задачи
Исследование разрешимости задачи будем проводить на основе общих результатов о существовании седловых точек [3]. Предварительно установим ряд свойств функционалов, входящих в определение (2) функционала L .
Лемма 1. Функционалы Ф^-, j = 0,1, 2, 4, являются выпуклыми и слабо полунепрерывными снизу, функционалы Ф^-, j = 1, 2, 4, - строго выпуклыми.
Доказательство. Введем в рассмотрение функции ц, j = 1, 2, 3, определяемые формулами ^1(^1) = £2, ^2(^1) = -£1, Цз(£ь£2) = (6. - £2)2. Эти функции являются непрерывными, функция Ц2 - выпуклой, а функция ц - строго выпуклой.
Проверим, что цз также является выпуклой функцией. Действительно, пусть £ = (£ъ£2) , П = (П1 ,П2), £ = (СъС2) - произвольные вектора из R2, a G (0,1). В силу очевидного неравенства b2 — d2 > 2d(b — d) имеем
(£1 — £2)2 — (£1 — £2)2 > 2(£1 — £2)(£1 — £2 — (£1 — £2)) = 2(£1 — £2)(£1 — £1 — (£2 — £2))
и
(П1 — П2)2 — (£1 — £2)2 > 2 (£1 — £2) (П1 — £1 — (П2 — £2)) •
Отсюда
a (£1 — £2)2 + (1 — а) (П1 — П2)2 > (£1 — £2)2 +
+ 2 (£1 — £2) (а (£1 — £1) — a (£2 — £2) + (1 — а) (П1 — £1) — (1 — а) (П2 — £2)) =
= (£1 — £2)2 + 2 (£1 — £2) (a£1 + (1 — а)П1 — £1 — a£2 — (1 — а)П2 + £2) •
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН 19
Полагая Q = aCi + (1 — а)щ, получим, что функция ^>3 является выпуклой. Имеем, что
(U)
%) Ф1( dUk!) + М Ф1( dW)
2 к\ dx 2 к\ dx2
+ Ф
,(к)
w(k)
dw(k)
dx
к =1, 2,
где
a
ф1(у) = J ^Pl(y)dx, y е Y2 = L2(0, a), к = 1, ^
0
a
Ф1 (y,v,z) = J (X(k) y(x)+ X(k) v(x) + M(k) z(x)) dx, y, v, z е Y2, к =1, 2. 0
В силу строгой выпуклости функции ^>i функционалы фk также будут строго выпуклыми, функционалы Фk являются линейными. Поэтому функционалы Ф1, Ф2 является строго выпуклым. Кроме того, Ф1, Ф2 непрерывны, а значит, слабо полунепрерывны снизу [3].
Далее,
a
Фо(и) = 1 J С3 ¥3 (w(i),w(2)) dx,
0
в силу выпуклости и непрерывности ^3 функционал Фо будет выпуклым и слабо полунепрерывным снизу.
Наконец,
12
Ф4(^)=2 h% , (4)
поэтому функционал Ф4 будет строго выпуклым и слабо полунепрерывным снизу.
□
Лемма 2. Функционал Ф3 является билинейным и непрерывным по обоим аргументам.
Доказательство. Справедливость утверждения леммы вытекает непосредственно из определения функционала Ф3 . При этом в силу теоремы Рисса-Фишера существует линейный непрерывный оператор C : V ^ Vq такой, что
Фз(и^1 ) = (CU,qi)q = (U,C* qi)v, (5)
где C* : Vq ^ V - сопряженный к C линейный непрерывный оператор. При этом оператор C - липшиц-непрерывный оператор с постоянной y > 0, определяемой неравенствами вложения V2 в Vi, V2 и Vi в Y2. □
Обозначим Ф = Фо + Ф1 + Ф2. При этом с учетом (4) и (5) определяемый формулой (1) функционал L запишется в виде
12
L(U,q1) = Ф(U) + (CU,qi)q — - ||qi|q . (6)
Лемма 3. Множество K является слабо замкнутым.
Доказательство. Пусть {qП} С K, qgt ^ qg в Vi при n ^ . Тогда
qn ^ qig в Y2, а значит, существует подпоследовательность {qg }, сходящаяся к qg почти всюду на (0,a) (см. [14, с. 157]). Поэтому |qg(x)| < qg почти всюду на (0,a) и qg е K, то есть K - замкнутое множество. Кроме того, очевидно, что K выпукло, а значит, оно слабо замкнуто [3]. □
20
И.Б. БАДРИЕВ И ДР.
Напомним, что функционал F называется коэрцитивным [3], если F(z) ^ +те при ||z|| ^ +те .
Лемма 4. Функционалы Ф и Ф4 являются коэрцитивными в V и Vq соответственно.
Доказательство. Имеем, что Фо > 0,
Фг(и ) + Ф2(и) = ]Г
2 М \\и^\\2 + £Dti \\w(k)|2+
k=1
2
2 u(k
dw(k
k = 1 1
) > 2 min {B(1), B(2), D(1), B(2) } \\U\\V-
+ ^Фк > dx ) 2
■ d max { ||Х(11)|у2 , , ||Х(31)Уу2 , 11Х(32)Уу2 , 11^(1) Уу2 , ll^)!^} \\U\\v ,
где d > 0 - постоянная, определяемая неравенствами вложения V2 в V1, V2 и V1 в У2 . Поэтому Ф = Фо + Ф1 + Ф2 - коэрцитивный функционал.
Поскольку Ф4(^) = Ik1!;)/2, то функционал Ф4 также коэрцитивен. □
Теорема 1. Задача (3) имеет единственную седловую точку (U, q 1) G V х K .
Доказательство. Заметим, во-первых, что 0 G K. Из лемм 1, 2, 4 вытекает, что функционал L удовлетворяет следующим условиям:
V U G V функционал q1 ^ L(U, q1) является вогнутым и полунепрерывным сверху,
V q1 G K функционал U ^ L(U,q1) является выпуклым и полунепрерывным снизу,
lim L(U, 0)= lim [Фо(U)+Фl(U) + Ф2(U)] =+те,
||U || v —||U || v ——+^>
lim L(0, q1)= lim —Ф,^1)] = —те.
II q1 \ q —+ TO II q1 \ q —+ TO
Поэтому из предложения VI.2.2 [3] вытекает существование по крайней мере одной седловой точки (U,'q1) G V х K функционала L, причем
L(U, q1) = min max L(U, q1) = max min L(U, q1).
иev q1eк q1eK иev
Единственность седловой точки следует из того, что для любого U G V функционал q1 ^ L(U,q1) является строго вогнутым, а для любого q1 G K функционал U ^ L(U,q1) является строго выпуклым. □
3. Итерационный метод
Если (U, q1) G V х K - седловая точка L на V х K, то
L(U, q1) < L(U,q1) < L(U,q1) V U G V, V q1 G K, или с учетом (6)
1 ll„ 1 \2
1 II - 11|2
Ф(и) + (CU, q1)q — - \q1\q < Ф(и) + (CU, q1)q — - \| <
2q
2q
1
< Ф(U ) + (CU,q1)q — 2 \\ 4% V U G V, V q1 G K. (7)
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН 21
Расписывая левое неравенство в (7), получаем, что U - решение задачи минимизации
1 9 ^ 1 2 ^
21И12 - (си, qU>q > 2II ?1И2 - (си, U1)q Vq1 е K
1 ___________ 2 1 _________________ 2
-llq1 - CUI >- I q1 - CUI Vq1 е K,
\q- 2
или
то есть U1 = Pk (CU), где Pk - оператор проектирования в Vq на замкнутое, выпуклое множество K. Из свойств оператора проектирования (см. [15, с. 20]) вытекает, что U1 является решением вариационного неравенства
(q1 - CU,q1 - U1) > 0 V q1 е K,
а значит,
(u1 - (u1 - t(V - Cq)) ,q1 - U1) > 0 V q1 е K, V T > 0, откуда так же, как и выше, имеем, что
U1 = Pk (u1 - t(u1 - CUJ) . (8)
Расписывая теперь правое неравенство в (7), получаем, что UU - решение задачи минимизации
Ф(и) + (CU, U1)q > ф(и) + (CU, U1)q VU е V,
которая эквивалентна (см. [15, с. 84]) вариационному неравенству
(Ф'Д),U - U)v + (CU - CU,U1)q > 0 VU е V, (9)
где Ф' - производная Гато функционала Ф.
Таким образом, (U, q1) е V х K - седловая точка L на V х K тогда и только тогда, когда выполнены (8), (9).
Нетрудно проверить, что Ф' - сильно монотонный оператор, то есть
(Ф'^) - Ф'(^),U - W)V > a \\U - W||V > 0 VU,W е V, (10)
где a = min{B(1), B(2), DW,D(2) }.
Напомним [17], что оператор A : V ^ V называется жестко нерастягивающим, если
(A(U) - A(W),U - W)V >\\AU - AW||V2 V U,W е V. (11)
Известно (см., например, [15, с. 63]), что оператор проектирования на замкнутое, выпуклое множество является жестко нерастягивающим (а значит, и нерастягивающим).
Для решения задачи (3), исходя из (8), (9), рассмотрим следующий итерационный процесс.
Пусть qg е K - произвольный элемент. Для n = 0, \ ,... найдем Un как решение задачи
(Ф'(Un),U - Un )v + (CU - CUn, q^n )q > 0 V U е V. (12)
Полагаем затем
qn+1 = рк (qln - T(qi - CUn)) .
(13)
22
И.Б. БАДРИЕВ И ДР.
Теорема 2. Пусть выполнено условие
0 <т< 2 а/(2 а + y) (14)
(y - постоянная липшиц-непрерывности оператора C), (U, q1) G УхХ -решение задачи (3), итерационная последовательность {(Un, )}^=0 построена согласно
(12), (13). Тогда Un сходится сильно в V к U при n ^ .
Доказательство. По аналогии с [16], полагая U = Un в неравенстве (9), U = = U в неравенстве (12) и складывая полученные неравенства, имеем
-(ф'(Un) - Ф'(Ц/), Un - U)v + (CU - cUn, q1 - qn)q > 0,
следовательно, с учетом (10)
a \\Un - U\\V < (Ф'(Un) - Ф'(Ц/), Un - U )v < (cU - CUn, q1 - qn )q . (15)
В силу нерастягиваемости оператора Pk из (8), (13), принимая во внимание (15) и липшиц-непрерывность C с постоянной y , получаем
qn+i- q1\2 < qn- т(яП- CUn) - q1 + т (q1 - CU)
2
q
(1 - т) (яП - q1) + т (CUn - CU) q = (1 - т)2 \\qn - q1\2+
+ 2т(1 - т) (яП - q1, CUn - CU} + т2 \\CUn - Cq\2 <
< (1 - т)2 \\яП - U1!2 + (-2т(1 - т)а + т2y) \\Un - U |
v
Из условия (14) вытекает, что |1 - т| < 1, в = т (2(1 - т)а - TY) > 0. Поэтому 1 1 \ 2 \ 1 1 \ 2 \ U \ 2
1 2 1 1 2 2 1 qn+1 - q \\q < \\qn+1 - q \\q + p\\Un - U\\V < \\яп - q
1\ 2. q.
(16)
Из (16) следует, что ограниченная снизу (нулем) числовая последовательность Г 11 112 'l
п\яП - q1 \\ г сходится к некоторому пределу a. Переходя к пределу при
I q) п=1
n ^ в (16) получим, что
a < a + lim \\Un - U \\V < a,
то есть в последнем соотношении всюду должны стоять равенства, а значит, lim \\Un - U\\V =0. □
п—11
IV
2
Работа выполнена в рамках договора № 02.G25.31.0122 между НПО ОАО «ОКБ им. М.П. Симонова» и Министерством образования и науки РФ по реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, выполняемого с участием ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ», а также за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности, и при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты 15-01-05686, 15-08-06018).
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН 23
Summary
I.B. Badriev, G.Z. Garipova, M.V. Makarov, V.N. Paimushin, R.F. Chabibullin. On Solving Physically Nonlinear Equilibrium Problems for Sandwich Plates with a Transversely Soft Filler.
The generalized statement for the problem of determining the stress-strain state of sandwich plates with a transversely soft filler in the presence of constraints is given. Its correctness is discussed. This statement is formulated in the form of finding a saddle point of some functional. The existence and uniqueness theorems are proved. An iterative method for solving the problem is proposed. Its convergence is investigated.
Keywords: sandwich plate, transversely soft filler, saddle point, existence theorem, uniqueness theorem, iterative method.
Литература
1. Угримов С.В. Расчет трехслойных пластин с композитными обшивками // Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: Сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт». -Харьков, 2014. - Вып. 3 (79). - С. 47-56.
2. Badriev I.B., Makarov M.V., Paimushin V.N. On the interaction of composite plate having a vibration-absorbing covering with incident acoustic wave // Russ. Math. - 2015. -V. 59, No 3. - P. 66-71.
3. Ekeland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems. - Amsterdam: North-Holland, 1976. - 402 p.
4. Карчевский М.М., Паймушин В.Н. О вариационных задачах теории трехслойных пологих оболочек // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30, № 7. - С. 1217-1221.
5. Бадриев И.Б., Желтухин В.С., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Численное решение задачи о равновесии трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем в геометрически нелинейной постановке // Вестн. Казан. технол. ун-та. - 2014. -Т. 17, № 23. - С. 393-396.
6. Badriev I.B., Banderov V.V. Iterative Methods for Solving Variational Inequalities of the Theory of Soft Shells // Lobachevskii J. Math. - 2014. - V. 35, No 4. - P. 354-365.
7. Badriev I.B., Banderov V.V. Numerical method for solving variation problems in mathematical physics // Appl. Mech. Mater. - 2014. - V. 668-669. - P. 1094-1097.
8. Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. On the solving of equilibrium problem for the soft network shell with a load concentrated at the point // PNRPU Mechanics Bulletin. - 2013. - No 3. - P. 17-35.
9. Badriev I.B., Shagidullin R.R. A study of the convergence of a recursive process for solving a stationary problem of the theory of soft shells // J. Math. Sci. - 1995. - V. 73, No 5. - P. 519-525.
10. Paimushin V.N. Nonlinear theory of the central bending of three-layer shells with defects in the form of sections of bonding failure // Soviet Appl. Mechanics. - 1987. - V. 23, No. 11. - P. 1038-1043.
11. Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms // Mech. Composite Mater. - 2000. - V. 36, No 1. - P. 59-66.
12. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 273, № 5. -С. 1083-1086.
24
И.Б. БАДРИЕВ И ДР.
13. Паймушин В.Н. Обобщенный вариационный принцип Рейсснера в нелинейной механике пространственных составных тел с приложениями к теории многослойных оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. - № 2. - С. 171-180.
14. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974. -480 с.
15. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2007. - 152 с.
16. Badriev I.B., Karchevskii M.M. Convergence of the iterative Uzawa method for the solution of the stationary problem of seepage theory with a limit gradient // J. Sov. Math. - 1989. - V. 45, No 4. - P. 1302-1309.
17. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings // Bull. Am. Math. Soc. - 1967. - V. 73, No 4. - P. 591-597.
Поступила в редакцию 15.11.14
Бадриев Ильдар Бурханович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Ildar.Badriev1@mail.ru
Гарипова Гульназ Зуфаровна - студент, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: gulnazgarif@gmail.com
Макаров Максим Викторович - младший научный сотрудник, Казанский (Приволжский) федеральный университет; аспирант кафедры прочности конструкций, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань, Россия.
E-mail: makarovmaksim@mail.ru
Паймушин Виталий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прочности конструкций, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева; главный научный сотрудник, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: vpajmushin@mail.ru
Хабибуллин Рустэм Фарукович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системного анализа и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
