CC BY
84
Дзюба Сергей Михайлович, Тверской государственный технический университет, г. Тверь, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем, e-mail: sdzyuba@mail.ru
Dzyuba Sergei Mikhailovich, Tver State Technical University, Tver, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Information Systems Department, e-mail: sdzyuba@mail.ru
Емельянова Ирина Игоревна, Тверской государственный технический университет, г. Тверь, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры информационных систем, e-mail: emelyanova-123@yandex.ru
Emelyanova Irina Igorevna, Tver State Technical University, Tver, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Information Systems Department, e-mail: emelyanova-123@yandex.ru
УДК 517.958
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ
© И.Б. Бадриев, В.В. Бандеров, Г.З. Гарипова, М.В. Макаров
Ключевые слова: трехслойная пластина; седловая точка; трансверсально-мягкий заполнитель; теорема существования.
Рассмотрена одномерная геометрически линейная задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем при наличии ограничений на уровень формирующихся в заполнителе поперечных касательных напряжений. Обобщенная постановка сформулирована в виде задачи об отыскании седловой точки некоторого функционала. Доказана теорема существования седловой точки.
Трехслойные панели с тонкими прочными композитными обшивками и легким заполнителем благодаря своим уникальным свойствам широко используются во многих отраслях техники. Главной особенностью таких конструкций является сочетание высокой изгибной жесткости и прочности с небольшой массой и хорошей способностью поглощать энергию при ударных воздействиях. Кроме того, трехслойные конструкции позволяют обеспечить хорошие звуко- и теплоизолирующие свойства [1], а также обладают высокой технологичностью и вибростойкостью. Это и определяет их широкое применение в аэрокосмической технике, судостроении, транспортном машиностроении, а также в строительстве.
В настоящей работе рассматривается физически нелинейная и геометрически линейная задача о равновесии трехслойной пластины, составленной из двух несущих слоев и расположенным между ними трансверсально-мягким заполнителем, связанным с несущими слоями клеевым соединением. Для описания напряженно-деформированного состояния в несущих слоях используются уравнения линейной модели Кирхгофа-Лява, в заполнителе — уравнения теории упругости, упрощенные в рамках принятой модели трансверсально-мягкого слоя и проинтегрированных по толщине с удовлетворением условий сопряжения слоев по перемещениям в поперечном направлении. Кроме того, задача рассматривается при ограничении, соответствующем идеальной упруго-пластической модели для заполнителя. Обобщенная постановка задачи формулируется в виде задачи об отыскании седловой точки некоторого функционала. Отметим, что в работах [2-6] рассматривались задачи теории мягких оболочек, а также методы их решения. В [7] предлагается приближенный метод нахождения
критической силы и формы прогиба стержня, сжатого осевой силой и имеющего начальный прогиб, в [8] проведено численное решение геометрически нелинейной задачи об изгибе трехслойной оболочки.
Пусть а — длина пластины, 2Л, 2Л(к) — толщины заполнителя и к -го слоя соответ-
Х,3М — компо-
ственно (здесь и всюду в дальнейшем предполагаем, что к = 1, 2), Х1^ ,
ненты поверхностной нагрузки, приведенной к срединной поверхности к -го слоя, -ш(к) и
и(к) — прогибы и осевые перемещения точек срединной поверхности к -го слоя соответственно, ТМ , МД1) — мембранные усилия и внутренние изгибающие моменты в к -м слое
соответственно, Н(к) = Л + Л(к) . Края несущих слоев пластины предполагаем жестко за-
Щ
крепленными, так что выполняются условия и(к) (ж) = 0, -ш(к)(ж) = 0, й-ш(к)/йж(ж) = 0 при ж = 0, ж = а. Задача рассматривается в геометрически линейной постановке, то есть предполагаем, что ТМ = В(к)йи(к)/йж, МДЯ = Д(к)й2-ш(к)/йж2 , где В(к) = 2 Л(к) Е(к)/(1 -
— ^12) ^2Д)) — жесткость к -го слоя на растяжение-сжатие, Е(к) и
(к)
^2/ — модуль
упругости первого рода и коэффициенты Пуассона материала к -го несущего слоя, Д(к) =
и
(2)
= В(к) Л|к)/3 — изгибная жесткость к -го слоя. Обозначим через и = (-ш(1), -ш(2), и(1), вектор перемещений точек срединной поверхности к -го слоя. Введем в рассмотрение функционалы
фк(и)=2/
В,
+ д
(к) I
¿ж—
Х(к) и
(к)
+ Х(к) ™
(к)
+ М
(к)
йш(к) \
¿ж
¿ж,
к = 1, 2,
а а
Фо(и) = 21С3 (™(2) — ¿ж, Фэ(и,51) = ^
Е Н(к) ^ +
к=1
¿ж
и(2)- и(1)
д^ж,
Ф4
•Ч
2Л , п 2 Л3 /йд1 ^ (Я ) + 3Е ( лж
13
3 Ез
йж,
где М^к) — поверхностный момент внешних сил, приведенный к срединной поверхности к -го слоя, С13 , Е3 — модули поперечного сдвига и обжатия заполнителя, с3 = Е3/(2Л) . Для д1 предполагаем выполнеными граничные условия д1(0) = д1(а) = 0. Считая, что зависимость между касательным напряжением д1 и деформацией поперечного сдвига соответствует идеальной упруго-пластической модели, задачу рассмотрим при ограничении | д1 (ж) | ^ д1, 0 < ж < а, где д1 — заданное предельное значение напряжения в заполнителе. Это условие означает недопущение разрушения конструкции. Обозначим через Ук = = № 2к)(0,а) - пространства Соболева, положим К = {д1 € V : | д1(ж) | ^ д1, 0 < ж < а} , V = У2 х У2 х V х V . Введем в рассмотрение функционал Ь : V х У1 ^ по формуле £(и, д1) = Ф0(и) + Ф1(и) + Ф2(и) + Ф3(и, д1) — Ф4(д1). Под обобщенным решением задачи будем понимать такую функцию (II, д1) € V х К , что [9-11]
Ь0, д1 )= 1п| вир Ь(и,д1).
(1)
Справедливы следующие результаты.
Л е м м а 1. Функционалы Ф^ , ] = 1, 2, 4, являются строго выпуклыми, функционал Ф0 - выпуклым.
2
а
1
а
2
Л е м м а 2. Функционалы Фj , j = 0,1, 2, 3, 4, являются слабо полунепрерывными снизу.
Л е м м а 3. Функционалы Фо + Ф1 + Ф2 , Ф4 являются коэрцитивными.
Л е м м а 4. Множество K является выпуклым, слабо замкнутоым.
Из лемм 1-4 вытекает, что имеет место
Теорема1. Задача (1) имеет единственное решение.
Доказательство теоремы проводится на основе общих результатов о существовании сед-ловых точек (см., например, [12]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бадриев И.Б., Макаров М.В., Паймушин В.Н. О взаимодействии композитной пластины, имеющей вибропоглощающее покрытие, с падающей звуковой волной // Известия ВУЗов. Математика. 2015. № 3. С. 75-82.
2. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов О.А. Обобщенная постановка задачи о равновесии мягкой биологической оболочки // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5-2. С. 2447-2449.
3. Badriev I.E., Zadvornov O.A., Saddek A.M. Convergence analysis of iterative methods for some variational inequalities with pseudomonotone operators // Differential Equations. 2001. Т. 37. № 7. С. 934-942.
4. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 8. С. 1115-1122.
5. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости осесимметричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения // Известия высших учебных заведений. Математика. 2005. № 1. С. 25-30.
6. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 7. С. 898-901.
7. Шарафутдинова Г.Г. Приближенные методы решения задачи о формах потери устойчивости стержня, имеющего начальный прогиб // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5-2. С. 2743-2745.
8. Бадриев И.Б., Желтухин В. С., Макаров М.В., Паймушин В.Н. Численное решение задачи о равновесии трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем в геометрически нелинейной постановке // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17. № 23. С. 393-396.
9. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2001. № 2. С. 148-162.
10. Paimushin V.N. Nonlinear theory of the central bending of three-layer shells with defects in the form of sections of bonding failure // Soviet Applied Mechanics. 1987. V. 23. № 11. P. 1038-1043.
11. Paimushin V.N., Bobrov S.N. Refined geometric nonlinear theory of sandwich shells with a transversely soft core of medium thickness for investigation of mixed buckling forms // Mechanics of composite materials. 2000. V. 36. № 1. P. 59-66.
12. Ekeland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems. Amsterdam: North-Holland, 1976. 402 p.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена за счёт средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности и при финансовой поддержке РФФИ (проекты 14-01-00755, 15-41-02569, 15-38-21099).
Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.
Badriev I.B., Banderov V.V., Garipova G.Z., Makarov M.V. ON THE SOLVABILITY OF A NONLINEAR EQUILIBRIUM PROBLEM FOR SANDWICH PLATES
A one-dimensional geometrically linear problem of determining the stress-strain state of the sandwich plate with a transversely soft filler in the presence of constraints on the level of formed in the filler the transverse shear stresses is considered. The generalized statement is formulated as a problem of determining a saddle point of some functional. Existence theorem of a saddle point is proved.
Key words: sandwich plate, saddle point, transversely soft filler existence theorem.
Бадриев Ильдар Бурханович, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики, e-mail: ildar.badriev@kpfu.ru
Badriev Ildar Burkhanovich, Kazan Federal University, Kazan, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Computing Mathematics Department, e-mail: ildar.badriev@kpfu.ru
Бандеров Виктор Викторович, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, заместитель директора Института вычислительной математики и технологий, e-mail: Victor.Banderov@kpfu.ru
Banderov Viktor Viktorovich, Kazan Federal University, Kazan, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Deputy Director of the Institute of Computer Mathematics and Information Technologies, e-mail: Victor.Banderov@kpfu.ru
Гарипова Гульназ Зуфаровна, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Российская Федерация, студент, e-mail: gulnazgarif@gmail.com
Garipova Gulnaz Zufarovna, Kazan Federal University, Kazan, the Russian Federation, Student, e-mail: gulnazgarif@gmail.com
Макаров Максим Викторович, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева (КНИТУ-КАИ), г. Казань, Российская Федерация, аспирант кафедры прочности конструкций, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Российская Федерация, младший научный сотрудник, e-mail: makarovmaksim@mail.ru
Makarov Maksim Viktorovich, Kazan Federal University, Kazan, the Russian Federation, Junior Researcher, e-mail: makarovmaksim@mail.ru
УДК 517.958
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ И КВАЗИВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ ТЕОРИИ МЯГКИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК
© И. Б. Бадриев, В. В. Бандеров, Н. В. Калачева
Ключевые слова: мягкая оболочка; вариационное неравенство; квазивариационное неравенство; теорема существования; итерационный метод; теорема сходимости. Рассмотрены задачи о напряженно-деформированном состоянии мягких оболочек, находящихся под воздействием массовой и поверхностной нагрузки. Допускается также, что оболочка может быть ограничена в перемещении препятствием. Обобщенные постановки сформулированы в виде вариационных и квазивариационных неравенств. Исследована разрешимость задач. Для решения вариационных и квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых и гильбертовых пространствах рассматриваются итерационные методы. Исследована сходимость методов. Рассмотрены особенности применения предложенных итерационных методов к задачам теории мягких сетчатых оболочек.
Рассматриваются задачи об определении положения равновесия мягких (не воспринимающих сжимающих усилий) оболочек [1-4], закрепленных по краям, находящихся под воздействием массовой и поверхностной нагрузки, для плоского (бесконечно длинная цилиндрическая оболочка) случая. Деформации и перемещения оболочек допускаются конечными.
