Обратная некорректная задача для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

известия

izvESTIA

пензенского государственного педагогического университета имени в. г. белинского физико-математические и технические науки

№ 13 (17) 2009

ПГПУ

penzenskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta

imeni v. G. BELiNSKOGO

physical, mathematical and technical sciences

№ 13 (17) 2009

УДК 517.946

обратная некорректная задача для уравнения теплопроводности

с разрывными коэффициентами

© н. н. ЯРЕМКО

Яремко И. И. - обратная некорректная задача для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 38-41. - В статье найдено аналитическое решение обратной задачи теплопроводности на кусочно-однородной действительной оси. Автором определены аналоги системы функций Эрмита на кусочно-однородной действительной оси. С их помощью найдено первоначальное распределение источников, порождающее заданное распределение температуры в момент времени t = т .

Ключевые слова: обратная задача теплопроводности, функции Эрмита, условия сопряжения

Yaremko N.N. - Revers ill-posed problem for the equation of heat conductivity with explosive coefficients// izv. Penz. gos. Pedagog. Univ. im. v.G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 38-41 .- The analytical decision of a reverse problem of heat conductivity is found in article on a piece-homogeneous real axis. The author defines analogues of system of Ermit functions on a piece-homogeneous real axis. With their help the initial distribution of the sources generating set distribution of temperature at the moment of time t = т is found.

Key words: reverse problem of heat conductivity, Ermit functions, interface conditions.

В обратной задаче теплопроводности на кусочно-однородной действительной оси неизвестным является первоначальное распределение источников, порождающее заданное распределение температуры в бесконечном кусочно-однородном стержне I :

Математическая постановка указанной задачи состоит в поиске решения сепаратной системы (и+1)-го уравнений параболического типа:

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

(1)

по начальным условиям:

(2)

краевым условиям:

(3)

и условиям сопряжения:

(4)

х = lk ,k = 1,..., n;m = 1,2, здесь u(t, x) - неизвестная функция, f (х) - заданная функция,

u (т , х) = XП=2 0 (Х - lk-1 ) (lk - х)uk (т , х) + 0 (l1 - х)U1 (т , х) + 0 (х - ln )Un+1 (т , х) ,

/ (Х)= Е 1=29 (Х - 1к-1 )0 (1к - Х)/к (Х) + 0 (11 - Х)/1 (Х) + 0 (Х - 1п )/п+1 (Х)

к П к .. к ? к

а р У о . - заданные действительные числа, при которых выполнено условие неограниченной разрешите" ' Ш1~ * Ш1~ Ш1

мости задачи (1)-(4).

Для решения задачи (1)-(4) определим функции Эрмита.

Прямой 3: / ^ / и обратный J_1 : f ^ f операторы преобразования определим равенствами:

/(х) = х,^)(|_"„е<«}(О^)ал, /(*)=£¿«(¡у ({Л)/(ОИ;)ах.

Здесь ф (х, X) и ф *(х, X)- собственные функции прямой и сопряженной задач Штурма-Лиувилля для оператора Фурье на кусочно-однородной оси I,, т.е. функция

х’Л) = Е 120(х~1 -1 М1 -х)Фк (х,Л)+0(1 -х)д>х (х,Л) + 0(х- 1п)^ (х,X)

есть решение системы сепаратных дифференциальных уравнений:

( а2 'А

а2 ^ +Х2

V

т Их2

/

по условиям сопряжения:

И

а , — + в %

т1 1 • т1

ах

Фк =

а к2— + в *

т2 1 • т2

ах

Фк+1, х = I ,к = 1,...,п;т = 1,2,

по краевым условиям:

Ф1

= o, Фп

= 0

Аналогично функция

^*(^)=Е Ще-1 -1 М 1 -ф;(^л)+е{11 -?)<£(?,х)+в(?~ ¡я )^;+1 (#д)

есть решение системы сепаратных дифференциальных уравнений:

т ах2

Фт(х Х )= 0, х е(1т , 1т+1 ); т = п + 1-

с условиями сопряжения:

где

по краевым условиям:

1

А1,к

ак _а_ + вк

т1 » ^ Рт1

ах

Фк =

Аа =

А,

ак _а_ + вк

т2 7 ^ Рт2

ах

Ф^ х = 1к

Г< ви

V а2/ в2/ У

к = 1,..., п; /, т = 1,2,

Ф1 I х=-1 = 0, Фп+1 |.

= 0.

Пусть при некотором X рассматриваемые краевые задачи имеют нетривиальные решения Ф (х, X ), Ф * (х,Х ), в этом случае число X называется собственным значением, а соответствующие решения Ф (х, X ), Ф * (х,Х ) - собственными функциями прямой и сопряженной задач Штурма-Лиувилля, соответственно. В дальнейшем будем придерживаться следующей нормировки собственных функций: Фп+1 (х, X ) = е""1^ ; Ф„+1 (х, X )= е-“"1^.

Определим аналоги системы функций Эрмита на кусочно-однородной действительной оси:

Н>(х)=1-1 ф (х,X) Н V 2^) ^,

И* п (X) = | ф (х,Х) Hj ^2л/гЯ^йХ . здесь - система классических ортогональных функции Эрмита [2].

Лемма. Функции Нj , (х) К, ( х) образуют биортогональную систему функций на кусочно-однородной действительной оси.

х=-СО

х=СО

1

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

Доказательство. Имеем равенство:

ЕН> (х) Кп (х) ^ = £ ( £ Я> (X л) н! (л) ( £ ф (X 0) нк {0) Лру* .

Переставляя интегралы местами, получим:

£ н1,п (х) <и (*) Сх = £ н] (я)( £^( х,л) ( ¡у* (х, р) нк (р) ар} ск) ах.

По теореме разложения имеем:

Нк (Я) = 1„^(Х,Л) ( 1«У (Х’ Нк (^) АХ •

Следовательно,

Е Н : (х Ж. М* = £ Н ^ )Нк ^^ = 0к .

Решение задачи (1)-(4) имеет вид:

ик (, х)=Е „+1£ Нъ (^ x, \ )•/.@ Н, (5)

где

Нь ({, хА ) = /01 Фк (х, X )• Ф* @, X ) е^2 аX, к, 5 = 1,..., п +1,

Пусть теперь неизвестным является / (х) - первоначальное распределение источников, порождающее заданное распределение температуры в момент времени t = т : и(т,х), тогда для определения /(х) имеем сепаратную систему интегральных уравнений:

л п+1

Е п+1 Л”1 Нк5 (т, х ^ )•/* @ )^ = ик (т, х).к=1,...,п+1 (6)

Заметим, что в однородном случае система уравнений (6) принимает вид:

£ жехр й ^х) • (7)

4 т

Как следует из [3] решение уравнения (7) выражается формулой:

'(0)

г М = — У” 11

■> \х) Г~А^¡=о / гу ^ [24т)

■Н,\ I. (8)

(М *) Р-

для решения сепаратной системы интегральных уравнений (6) применим метод операторов преобразования. Теорема. Если функция и (т, х)е 51 (Я ) и для нее выполнено условие:

ет^ (1 + X2) и (т,X)е Ь2 (Я),

то система сепаратных интегральных уравнений (6) имеет единственное решение /(х)е На (1п ) (определение н а (1п) см.[1]), которое находится по формуле:

/ (х ) = Лт Е» [^Н1п (х), (9)

°п(и )= 27 Е(й )« (т, Л )а X.

л/П^-0 2 р.

где

\ (и )= пУ' 2п

Доказательство. Применим оператор преобразования J-1 к системе сепаратных интегральных уравнений (6). В результате придем к модельному интегральному уравнению (7). Подействуем оператором 3 на обе части полученного равенства (8); в итоге, учитывая непрерывность оператора J, найдем неизвестное распределение температуры:

'(1 1 (0)г2

/•/ \ _ 1 V” 11 \0)* н ( \

/ (х)_ ¡— Е 1=о/ г\п+1 Н1’п (х) ■ ^ ( 2уБ) 1

Вычислим числа й ^ ^ ( 0) . имеем:

°)=' (л

ЫУ

из определения оператора преобразования 3 следует равенство:

1-ОЭ е'Цй (^) С*^=\-0У(^’Л) “ (^) а£.

Таким образом,

“('^0 ) = ^ ^ аХ'

список литературы

1. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

3. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: И-Л, 1958.