CC BY
38
ИЗВЕСТИЯ
Ф
ПГПУ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
IMENI V.G. BELINSKOGO
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№26 2011
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
№26 2011
УДК: 517.946
ФУНКЦИИ ЭРМИТА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Яремко Н.Н. — Функции Эрмита с разрывными коэффициентами и их применения для решения обратных задач теплопроводности // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 326—330. — В статье предложено точное решение обратной ретроспективной задачи для кусочно - однородного стержня. Решение ищется разложением в ряд по системе соответствующих аналогов функций Эрмита.
Ключевые слова: обратная ретроспективная задача, функции Эрмита, задача Штурма-Лиувилля
Yaremko N.N. — Hermite’s functions with explosive coefficients and their applications for the solving of reverse problems of heat conduction // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Be-linskogo. 2011. № 26. P. 326-330. — In article the exact solution of the reverse retrospective problem for piece - homogeneous bar is offered. The solution is searched by expansion abreast on system of appropriate analogs of Hermite’s functions.
Keywords: the reverse retrospective problem, Hermite’s functions, Sturm-Liouville problem
В работе исследуется ретроспективная обратная задача, состоящая в восстановлении априори неизвестного начального состояния динамической системы по ее известному финальному состоянию. Прямая задача теплопроводности является корректно поставленной, обратная же задача некорректна. Подобные задачи часто встречаются при описании различных физических явлений. Однако, до сравнительно недавнего времени большинство математиков считали эти задачи неинтересными. Необходимость рассмотрения некорректных задач математической физики и правильная их постановка была впервые приведена А.Н.Тихоновым в 1943 году [6] . Решение прямой задачи связано с отысканием следствия некоторого процесса по его известной причине. В отличие от прямых задач трудности решения обратных задач связаны с тем, что один и тот же эффект может быть порожден разными причинами. Например, известно, что если нагреть воду при атмосферном давлении до температуры 100° C, то она закипит. Однако из того факта, что вода кипит, вовсе не следует, что она нагрета до температуры 100° C.
В математике хорошо известно, что подавляющее большинство обратных задач являются некорректно поставленными - малым возмущениям исходных данных (данных наблюдений) могут соответствовать сколь угодно большие возмущения решения. Как отмечено французским ученым Ж. Адамаром в 1939 году, задача называется корректной или корректно поставленной , если:
1. ее решение существует,
2. решение единственно,
3. решение непрерывно зависит от входных данных, то есть устойчиво по отношению к малым возмущениям (ошибкам) данных наблюдений.
Если хотя бы одно из этих трех условий не выполняется, задача называется некорректной или некорректно поставленной. Наиболее часто в случае обратных задач нарушается условие 3, то есть условие устойчивости решения. В этом случае возникает парадоксальная ситуация: несмотря на то, что задача математически сформирована, ее решение невозможно получить обычными методами. В настоящей статье приводится формальное решение ретроспективной задачи. Третий аспект определения корректности не учитывается. Приводится теорема существования и единственности решения.
1. Для решения задачи применяется метод операторов преобразования. Приведем необходимые определения. Прямой J : / ^ / и обратный J-1 : / ^ / операторы преобразования задаются равенствами:
/ (ж) = [ V (ж А) Г I е гЛе /(£) ¿Л,
Л—Ж —ж /
/ (ж)
еіЛ£
рк (£,Л) / (Є) ¿Є ¿Л.
Здесь р (ж,Л) и рк (ж,Л)- собственные функции прямой и сопряженной задач Штурма-Лиувилля для оператора Фурье на кусочно-однородной оси, т.о. собственная функция
V (
Еп
й_2 в (ж - Ік—і) в (ік - ж) рк (ж, Л) +
+ в (Іі - ж) рі (ж, Л) + в (ж - Іп) р„+1 (ж, Л) есть решение системы сепаратных дифференциальных уравнений
¿ж2 + Л рт (ж,Л) 0 ж Є (іт, Іт+1 ) ; т 1, ..., п + 1,
по условиями сопряжения
«ті +вт
аж
Рк
<2 ¿ж+вт
¿ж
Рк + 1,
ж = Ік, к =1,...,п; т = 1, 2,
по краевым условиям
Р1ІХ
О , рп+1|ж = с
Аналогично собственная функция
V
Еп
,=2 в (е - їй—1) в (ік - е) рк (є,л) +
+в (І1 - Є) (Є, Л) + в (Є - іп) рП+1 (Є, Л)
есть решение системы сепаратных дифференциальных уравнений
¿2
2
^ + Л ) р*т (ж, Л) = 0, ж Є (Іт,Іт+1); т = 1,..., п + 1,
с условиями сопряжения 1
А
1,к
“т1 + вт 1
Рк =
А
2,к
<2 ¿ж+вт
* 7
рк+1, ж = Ік
ОО
оо
1
2
О
1
где
А г. = det I
акі вкі
Аік = det | кі в^і І к = 1,..., п; і, т = 1, 2,
по краевым условиям
Нх=-ТО =0 , ^п+1|ж=то =0
Пусть при некотором Л рассматриваемые краевые задачи имеют нетривиальные решения V (ж, Л), V* (ж,Л), в этом случае число Л называется собственным значением, а соответствующие решения V (ж, Л), V* (ж,Л) - собственными функциями прямой и сопряженной задач Штурма- Лиувилля, соответственно. В дальнейшем будем придерживаться следующей нормировки собственных функций: ^+1 (ж, Л) = е“-+1жЛ. ^+1 (ж, Л) = е-“-+!жЛ.
Определим аналоги системы функций Эрмита на кусочно-однородной действительной оси:
(ж) = У V (ж Л) 2;-^
/Ж
Рк (ж, Л) н (2-ТЛ) ¿Л.
-ОО
здесь Н- система классических ортогональных функции Эрмита [6].
Лемма 1. Функции Н',п (ж) Н*п (ж) образуют биортогональную систему функций на кусочно-однородной действительной оси.
Доказательство. Имеем равенство:
/ОО
Н,п (ж) Я*,„ (ж) ¿ж =
-ОО
= / ( [ V (ж, Л) Н (Л) ¿Л^ Г / V* (ж, в) Н (в) ¿в^^ж.
«/ —ОО \ «/— ОО / \ «/— ОО /
Переставляя интегралы местами, получим:
/ОО
(ж) Нк,п (ж) ¿ж =
-оо
= [ Н (Л) ( Г V (ж, Л) Г / V* (ж, в) Н (в) ¿в ^ ¿ж ^ ¿Л.
«/— оо \ Л—ОО \ «/— оо / /
По теореме разложения имеем:
Нк (Л) = / V (ж, Л) Г / V* (ж,в) Н (в) ¿в ^ ¿ж.
«/— оо \ «/ —оо /
Следовательно,
/оо /*оо
(ж) Нк,п (ж) ¿ж = Н (Л) Нк (Л) ¿Л = .
—
2. В обратной задачи теплопроводности неизвестным является первоначальное распределение источников, порождающее заданное распределение температуры в бесконечном кусочно-однородном стержне /„. Математическая постановка указанной задачи состоит в поиске решения сепаратной системы (п+1) уравнений параболического типа
( д д2 \
( д^ - дж^) и (^, ж) = 0, ¿> 0,ж € /„, (1)
по начальным условиям
по краевым условиям
и условиям сопряжения
uj (t, x) L=0 fj (x) , x (z /no
u1|x
«midx +emi
0 , un+1|æ=œ — 0
ufc — ^2 dX + em2
ufc+1,
(2)
(3)
(4)
x — lfc, k — 1,...,n; m — 1, 2, здесь u(t,x) - неизвестная функция, f (x) - заданная функция,
En
k=2 ° (x - lfc-i) ° (lfc - x) Mfc (t, x) +
+ ° (li - x) ui (t, x) + ° (x - l„) M„+1 (t, x),
En
, „ ° (x - lfc-i) ° (lfc - x) fk (x) + ° (li - x) fi (x) + ° (x - l„) fn+1 (x)
k=2
ami, вт®, Ymi, ^mi - заданные действительные числа, при которых выполнено условие неограниченной разрешимости задачи (1)-(4).
Решение задачи (1)-(4) имеет вид:
Mfc (t, x) — ^
n+1 i's +1
s=1
Hfcs (t,x,e) • fs (e) de,
(5)
где
r 00 2
Hfcs (t, x, e) — / Vfc (x, A) • V* (e, A) e-A 4dA, k, s — 1,..., n + 1,
0
Пусть теперь неизвестным является / (ж)- первоначальное распределение источников, порождающее заданное распределение температуры в момент времени £ = т: и (т, ж), тогда для определения / (ж) имеем сепаратную систему интегральных уравнений:
Hfcs (t, x, e) • fs (e) de — Wfc (t, x) .k — 1,...,n + 1.
Заметим, что в однородном случае система уравнений (6) принимает вид:
0 1 exp (- • f (e) de — u (t,x) .
J-00 2^~^\ 4т /
Как следует из [6], решение уравнения (7) выражается формулой:
f (x) — -1= Е°° U<j> (0), H )
v^^j=0 (2—T)n j ! V2—t/
(6)
(7)
(8)
Для решения сепаратной системы интегральных уравнений (6) применим метод операторов преобразования.
Теорема 1. Если функция и (т, ж) € 5/ (Д) и для нее выполнено условие
ет2л (1 + Л2)“/2 и (т, Л) € ¿2 (Д),
то система сепаратных интегральных уравнений (6) имеет единственное решение / (ж) € Н? (/п) (определение На (1п)см.[6]), которое находится по формуле:
где
f (x)—-п Е0=о j я„ (x),
1 г00
Dn (u) — — (iA)j u (t, A) dA.
2п
(9)
Доказательство.Применим оператор преобразования Л 1 к системе сепаратных интегральных уравне-
ний (6). В результате придем к модельному интегральному уравнению (7). Подействуем оператором Т на обе части полученного равенства (9); в итоге, учитывая непрерывность оператора Т, найдем неизвестное распределение температуры:
1. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена ,-изд.”Мир”,-М,1988 г.-279 с.
2. Алифанов О. М., Артюхин Б. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
3. Бек Дж., Блэкуэлл В., Сент-Клер Ч., мл. Некоторые обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.
4. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
5. Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 92 с.
6. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
Вычислим числа (0). Имеем:
из определения оператора преобразования Т следует равенство:
Таким образом,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
