CC BY
161
Денисов С.В., Сидельников К.А., Исмагилов Р.Н. ОБРАБОТКА КРИВЫХ ПАДЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ПРИМЕРЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТА
Рассмотрены основные проблемы, с которыми часто сталкиваются при обработке данных реальных гидродинамических исследований скважин (ГДИС). Приведены результаты проверки применимости метода последовательного прогнозирования вероятностей (МППВ) к идентификации корректной модель пласта на основе смоделированных данных ГДИС.
В течение ГДИС осуществляется мониторинг реагирования пласта на изменение условий добычи (нагнетания). Поскольку эта реакция в той или иной степени характеризует свойства пласта, то последние во многих случаях можно, так или иначе, оценить. Таким образом, интерпретация результатов ГДИС представляет собой обратную задачу, при которой параметры модели определяются путем анализа отклика модели на входное воздействие.
В большинстве случаях ГДИС под реагированием пласта понимают изменение давление в скважине. Поэтому ГДИС часто называют анализом неустановившихся режимов работы скважины (испытанием скважины с переменным давлением). Давление меняется вследствие изменений в добыче (нагнетании) флюидов, поэтому мы далее рассматриваем переменный расход как входное воздействие, а переменное давление как выходное.
При интерпретации ГДИС используется математическая модель, которая связывает неустановившееся давление с историей изменения расхода. Если история изменения расхода в модели совпадает с таковой для месторождения, тогда можно предположить, что значения параметров пласта и модели равны между собой. Конечно, это возможно при условии, что давление на выходе модели соответствует реальному измеренному давлению в скважине. Однако очевидно, что такому подходу свойственны определенные недостатки, т.к. модель может хорошо имитировать пласт-коллектор, даже если сделанные при ее выводе физические предположения совершенно неверны. Подобная неопределенность является неотъемлемой частью всех обратных задач, которые встречаются на практике нефтепромыслового дела (адаптация по истории разработки математической модели пластовой системы, анализ кривых падения добычи, исследование пластов на материальный баланс и т.п.) Тем не менее, эти трудности преодолимы за счет такого выбора метода проведения ГДИС, чтобы отклик наиболее точно отражал исследуемые параметры пласта. Поэтому способ проведения и интерпретации ГДИС во многом зависит от преследуемых целей, которые в общем случае можно подразделить на следующие категории: 1) оценка запасов и
свойств коллектора; 2) управление разработкой месторождения; 3) описание пласта.
При выводе фундаментального диффузионного уравнения подразумеваются следующие упрощения: при-
меняется закон Дарси; течение через пористую среду является радиальным без учета гравитационных сил; исследуется изотермический однофазный поток; пористая среда однородна и изотропна с постоянной мощностью пласта; скважина вскрыта по всей глубине пласта; рассматривается слабо-сжимаемый флюид с постоянной вязкостью; общая сжимаемость системы невелика и постоянна; считается, что градиенты давления всюду малы; между флюидом и породой не происходит никаких химических реакций.
При таких допущениях фильтрация флюида в пласте подчиняется диффузионному уравнению
д2Р 1 дР фце, дР
—Г +---------------------= , (0.1)
дг г дг к д(
где Р - давление; г - расстояние по радиусу от ствола скважины; t - время; ф - пористость; Ц - вязкость; с - общая сжимаемость системы; к - абсолютная проницаемость.
Математические модели пласта-коллектора создаются путем решения диффузионного уравнения при различных граничных условиях. Модели определяются тремя различными компонентами, которые характеризуют пласт, скважину и ее окрестности (внутренние граничные условия) и внешние границы пласта (внешние граничные условия). В общем случае изменение давления сначала обусловлено влиянием внутренних границ, затем в промежуточные моменты времени изменение давления соответствует основному поведению продуктивного пласта, и, наконец, по прошествии еще достаточно продолжительного времени изменение давления определяется главным образом внешними граничными условиями.
Модель пластов с двойной пористостью (пустотностью) используется для описания естественнотрещиноватых пластов [1]. Такие пласты можно рассматривать как первоначально однородные системы,
чьи физические свойства изменились в процессе отложения. В модели двойной пористости различаются
две сообщающиеся среды с различной пористостью, которые представляют собой систему соединяющихся трещин, обладающей малой вместимостью и высокой проницаемостью, и низкопроницаемый скелет горной породы (матрицу). Для характеристики влияния двойной пористости используются два важных парамет-
ра: коэффициенты упругоемкости Ф и пропускания X.
Коэффициент упругоемкости определяется как отношение емкостных свойств трещин к общей вместимости:
(фct ^
ю = ,, : , . (0.2)
(фС 4 )г +(фс 4 )т
Коэффициент пропускания - это параметр, который применяется для описания межпорового потока:
Л = актг2, (0.3)
где X - коэффициент формы межпорового потока, который зависит от геометрии межпорового потока между матрицей, обозначенной нижним индексом т, и трещиной, обозначенной нижним индексом г^ -радиус ствола скважины.
Одной из форм пластовой неоднородности, которая особенно заметно влияет на изменение давления, является граница пласта. Обычно рассматриваются четыре основных типа внешних границ: 1) бесконечно удаленная внешняя граница; 2) прямолинейная непроницаемая внешняя граница (непроводящий сброс); 3) непроницаемая (закрытая) внешняя граница; 4) внешняя граница с постоянным давлением.
При условии бесконечно удаленной внешней границы граничные эффекты не проявляются. Для случая конечного расстояния до внешней границы типичные граничные эффекты фиксируются через определенное время в зависимости от типа этой границы.
При наличии непроводящего сброса скважина - не изолированная полностью со всех сторон, а находится вблизи прямолинейной непроницаемой внешней границы. Граничный эффект учитывается с помощью метода суперпозиции, а изменение давления через достаточно продолжительный интервал времени есть
результат работы двух идентичных скважин: реальной и отображенной. Наклон прямой линии в полулогарифмическом масштабе графика давления удваивается.
В случае непроницаемой внешней границы в пласте по прошествии достаточно продолжительного времени устанавливается псевдо-стационарный режим фильтрации. Такой режим характеризуется единичным наклоном прямой линии на графике безразмерной производной функции давления.
Для внешней границы с постоянным давлением пласту соответствует стационарный режим фильтрации. На графике производной функции давления данный режим приводит к нулевому значению производной.
В работе исследовались следующие восемь фундаментальных моделей в соответствии с основным поведением пласта и внешними граничными условиями, которые являются базовыми и часто используются при анализе реальных ГДИС:
- модель радиального течения в бесконечном пласте-коллекторе (три параметра: к , Б и С );
- модель пласта-коллектора с непроводящим сбросом (четыре параметра: к , Б , С и г );
- модель пласта-коллектора с непроницаемой внешней границей (четыре параметра: к , Б , С и ге
);
- модель пласта-коллектора с постоянным давлением на внешней границе (четыре параметра: к , Б
, С и ге);
- модель пласта-коллектора с двойной пористостью и псевдо-стационарным межпоровым потоком
(пять параметров: к , Б , С , Ф и X );
- модель пласта-коллектора с двойной пористостью, псевдо-стационарным межпоровым потоком и непроводящим сбросом (шесть параметров: к , Б , С , Ф , X и ге );
- модель пласта-коллектора с двойной пористостью, псевдо-стационарным межпоровым потоком и
непроницаемой внешней границей (шесть параметров: к , Б , С , Ф , X и г );
|= 10
л 1 к
о
§ 0 9 1— с*:
о 0 8
оз
(С
с 0.7 го
о. 0 6 со
о ё 0-* X
го 0,3 00
0
3 02
го
1 0.1
/ \ :
• Смоделированные данные ГДИС
Модель 1
Модель 2
Модель 3
10
Время, ч
а)
Модель 1 |
/ ... Модель 2
у Модель 3 ' :
’ ,у\
10
Время, ч 6)
Модель 1
Модель 2 /у
Модель 3 / / / /
10
Время, ч в)
Рис. 1. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт), Рис. 2. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт),
Модели 2 (пласт с непроводящим сбросом) и Модели 3 Модели 2 (пласт с непроводящим сбросом) и Модели 3
(пласт с непроницаемой внешней границей) по данным (пласт с непроницаемой внешней границей) по данным
ГДИС Модели 2 ГДИС Модели 3
- модель пласта-коллектора с двойной пористостью, псевдо-стационарным межпоровым потоком и постоянным давлением на внешней границе (шесть параметров: к , Б , С , Ф , X и г )•
Данные о пласте и насыщающем его флюиде взяты из [2]. Для имитации случайных ошибок, распреде-
ленных по нормальному закону, использовался генератор случайных чисел с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией 2,5 *10 5 МПа2 . Общее число точек за период времени от 0,01 до 100 часов составило 81. В качестве начальной точки была выбрана точка, соответствующая 1 часу, т.е. моменту окончания влияния ствола скважины.
Как показано на рис. 1а и 2а обе модели пласта с непроводящим сбросом и пласта с непроницаемой внешней границей демонстрируют рост кривой производной изменения давления в конце ГДИС. Поэтому при наличии тенденции производной к возрастанию требуется, в первую очередь, провести дискриминантный анализ между моделями бесконечного пласта, пласта с непроводящим сбросом и пласта с непроницаемой внешней границей. Для простоты обозначим эти модели как Модель 1, Модель 2 и Модель
3. Модель 1 содержит три параметра к , Б и С , тогда как Модель 2 и 3 - четыре параметра к , Б , С и г . Данные ГДИС методом понижения уровня были получены с использованием Модели 2 и 3 с добавлением случайных ошибок. Истинные значения параметров следующие: к = 0,05 мкм2 , Б = 10 ,
С = 0,2 м3/МП а и г =600м. Момент времени, когда влияние границы на результаты ГДИС становится значительным, соответствует примерно 20 часам. Начальное значение нормализованной суммарной вероятности для всех трех моделей равнялось 1/3 .
На рис. 1а приведены смоделированные на базе Модели 2 данные ГДИС, на рис. 1б - графики нормализованных суммарных вероятностей, а на рис. 1в - изменение оценок дисперсии, рассчитанных МППВ в
процессе последовательных нелинейных регрессий. Аналогично на рис. 2 приведены результаты дискриминантного анализа для случая, когда данных ГДИС были смоделированы на базе Модели 3. Во всех двух случаях МППВ оказался способным на конечных стадиях идентифицировать корректную модель пласта.
Как следует из рис. 1б, величина нормализованной суммарной вероятности для Модели 2 после 80 часов практически равна единице. Это значит, что когда корректной моделью является модель пласта с непроводящим сбросом, вероятность выбора модели пласта с непроницаемой внешней границей будет низкой. С другой стороны, на рис. 2б видно, что во втором случае величина нормализованной суммарной вероятности для Модели 3 принимает единичное значение после 4 0 часов. Интересно, что и в том и в другом случае граничные эффекты начинают проявляться в одно и то же время (около 20 часов). Однако обнаружение непроводящего сброса требует больше точек данных, чем обнаружение непроницаемой внешней границы.
Из практики анализа данных ГДИС известно, что наличие у пласта либо внешней границы с постоянным давлением, либо двойной пористости приводит к спаду кривой производной функции изменения давления соответственно либо в конце, либо в промежуточные моменты времени ГДИС (см. рис. 3а и 4а). Поэтому в тех случаях, когда график производной демонстрирует тенденцию к снижению, требуется, в первую очередь, провести дискриминантный анализ между моделями бесконечного пласта, пласта с двойной пористостью и пласта с постоянным давлением на внешней границе. Эти модели далее были обозначены как Модель 1, Модель 2 и Модель 3. Модель 1 содержит три параметра к , Б и С , Модель 2 -четыре параметра к , Б , С и ге , Модель 3 - пять параметров к , Б , С , Ф и X . Истинные значения для к , Б , С и ге такие же как и в предыдущих случаях. Кроме того, для Модели 3 Ф = 0,1 и X = 1,0 • 10~9 .
Результаты ГДИС методом понижения уровня для двух случаев представлены на рис. 3 и 4. Во всех случаях МППВ оказался способным на конечных стадиях идентифицировать корректную модель пласта.
Рис. 3. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт), Модели 2 (пласт с постоянным давлением на границе) и Модели 3 (пласт с двойной пористостью) по данным ГДИС Модели 2
Рис. 4. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт), Модели 2 (пласт с постоянным давлением на границе) и Модели 3 (пласт с двойной пористостью) по данным ГДИС Модели 3
Как следует из рис. 3б, величина нормализованной суммарной вероятности для Модели 2 после 40 часов практически равна единице. С другой стороны, на рис. 4 б видно, что величина нормализованной суммарной вероятности для Модели 3 принимает значение близкое к единице уже после 2 0 часов. Однако во втором случае существует период времени от 10 до 15 часов, когда Моделям 1 и 3 соответствуют нормализованные суммарные вероятности, колеблющиеся около значения 0,5. Другими словами, если бы ГДИС продолжалось всего 10-15 часов, то с точки зрения МППВ обе модели примерно с одинаковой вероятностью можно считать подходящими к имеющимся данным.
На основании проведенных исследований МППВ можно считать достаточно надежным инструментом проведения различий между простыми моделями-кандидатами пласта в процессе их дискриминантного анализа.
Рис. 5. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт), Модели 2 (пласт с непроводящим сбросом), Модели 3 (пласт с непроницаемой внешней границей), Модели 4 (пласт с двойной пористостью), Модели 5 (пласт с двойной пористостью и непроводящим сбросом) и Модели 6 (пласт с двойной пористостью и непроницаемой внешней границей) по данным ГДИС Модели 5
Рис. 6. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт), Модели 2 (пласт с непроводящим сбросом), Модели 3 (пласт с непроницаемой внешней границей), Модели 4 (пласт с двойной пористостью), Модели 5 (пласт с двойной пористостью и непроводящим сбросом) и Модели 6 (пласт с двойной пористостью и непроницаемой внешней границей) по данным ГДИС Модели 6
В статье рассматриваются ситуации, возникающие при дискриминантном анализе сложных моделей пласта по результатам ГДИС. Как показано в [3], величина gTН ^ обычно увеличивается с ростом сложности модели. Другими словами, неопределенность, связанная со сложной моделью, выше, чем для простой модели. В [ 4 ] указано, что МППВ может использоваться для любого числа моделей-кандидатов при условии, что они линейны (хотя бы приближенно) относительно параметров пласта. Поэтому интерес представляет исследование того, сможет ли МППВ правильно выбрать сложную модель пласта в условиях ограниченного числа данных.
К сложным моделям можно отнести модель пласта с двойной пористостью и непроводящим сбросом, модель пласта с двойной пористостью и непроницаемой внешней границей, а также модель пласта с двойной пористостью и постоянным давлением на внешней границе [ 4 ], поскольку они включают шесть параметров пласта ( к , Б , С , г , О и X ) и учитывают влияние двух видов пустотности и граничные эффекты.
Информация о пласте и насыщающем его флюиде взята из [2]. Для имитации случайных ошибок, распределенных по нормальному закону, использовался генератор случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2,5 *10 5 МПа2 . Общее число точек за период времени от 0,01 до 1000
часов составило 101. В качестве начальной точки была выбрана точка, соответствующая 1 часу, т.е. моменту окончания влияния ствола скважины. Истинные значения параметров для всех моделей были
следующими: к = 0, 05 мкм2 , Б = 10 , С = 0,2 м3/МПа , г = 1200 м , о = 0,1 и Х= 1.0• 10~8 . При этом гра-
ничные эффекты проявлялись только после окончания влияния на результаты ГДИС наличия у пласта двойной пористости.
Сначала данные ГДИС формировались на базе модели пласта с двойной пористостью и непроводящим сбросом (рис. 5а). Сравнивались шесть моделей: модель бесконечного пласта (Модель 1), модель пласта с непроводящим сбросом (Модель 2), модель пласта с непроницаемой внешней границей (Модель 3), модель пласта с двойной пористостью (Модель 4), модель пласта с двойной пористостью и непроводящим сбросом (Модель 5) и модель пласта с двойной пористостью и непроницаемой внешней границей (Модель 6). Начальное значение нормализованной суммарной вероятности для всех моделей равнялось 1/6. Результаты сравнения представлены на рис. 5б и 5в.
Как видно из рис. 5б, в период времени от 9 до 200 часов Модель 4 имеет максимальное значение
нормализованной суммарной вероятности. Это связано с тем, что в этот период наибольшее влияние
имеет наличие у пласта двойной пористости. Затем примерно после 400 часов, когда проявляются граничные эффекты, нормализованная суммарная вероятность достигает единицы теперь уже для Модели 5.
Поэтому на момент окончания ГДИС эта модель с точки зрения МППВ лучше всего подходит к имеющимся данным.
Следующий случай, когда данные ГДИС формировались на базе модели пласта с двойной пористостью и непроницаемой внешней границей, показан на рис. 6а. Сравнивались те же шесть моделей. Результаты приведены на рис. 6б и 6в.
Из рис. 6б видно, что в разные периоды времени наиболее вероятными принимались Модели 1, 4 и 6.
Так для Модели 4 значение нормализованной суммарной вероятности было около единицы в интервале от 2 0 до 70 часов. Причины здесь такие же, что в предыдущем случае. Далее примерно после 150 часов вследствие граничных эффектов нормализованная суммарная вероятность для Модели 6 принимает единичное значение и остается таковой до конца ГДИС.
Если сопоставить рис. 5б и 6б, то в первом случае МППВ выбрал корректную модель после 4 00 часов, тогда как во втором - после 150 часов. То есть, не зависимо от типа пластовой пористости, обнаружение непроводящего сброса требует большего количества точек данных, чем обнаружение непроницаемой внешней границы.
Рис. 7. Сравнение Модели 1 (бесконечный пласт),
Модели 2 (пласт с непроницаемой внешней границей), Модели 3 (пласт с двойной пористостью) и Модели 4 (пласт с двойной пористостью и непроницаемой внешней границей) по данным ГДИС Модели 4
Последним рассматривался случай, когда данные ГДИС формировались на базе модели пласта с двойной пористостью и постоянным давлением на внешней границе (рис. 7а) . Сравнивались четыре модели: модель бесконечного пласта (Модель 1), модель пласта с непроницаемой внешней границей (Модель 2), модель пласта с двойной пористостью (Модель 3) и модель пласта с двойной пористостью и внешней границей (Модель 4). Начальное значение нормализованной суммарной вероятности для всех моделей равнялось 1/4 . Результаты сравнения представлены на рис. 7б и 7в.
Из рис. 7б видно, что в различные интервалы времени все из четырех моделей принимались МППВ как наиболее вероятные кандидаты. Однако примерно после 50 часов и до окончания ГДИС Модели 4 соответствует максимальное значение нормализованной суммарной вероятности.
На основании проведенных исследований МППВ можно считать достаточно надежным инструментом проведения различий между сложными моделями-кандидатами пласта в процессе их дискриминантного анализа. Кроме того, МППВ предоставляет возможность количественной верификации процесса идентификации моделей. Например, рис. 6б наглядно показывает периоды времени, в течение которых преобладает тот или иной режим фильтрации: сначала радиальное течение в бесконечном пласте, затем фильтрация в
пласте с двойной пористостью и, наконец, режим псевдо-стационарной фильтрации вследствие непроницаемой внешней границы.
Литература
1. Голф-Рахт Т.Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов: Пер. с англ. / Под ред. А.Г. Ковалева. - М.: «Недра», 1986. - 608 с.
2. Сидельников К.А., Денисов С.В. Метод последовательного прогнозирования вероятностей для дискриминатного анализа моделей пласта по данным ГДИС // Искусственный интеллект. Интеллектуальные системы. Материалы IX международной научно-технической конференции. В 2-х т. - Донецк: ИПИИ «Наука i осв^а», 2008. - Т. 2. - С. 74-83.
3. Лялин В.Е., Денисов С.В., Исмагилов Р.Н. Исследование возможности проведения различий между
моделями пласта на основе прогнозной дисперсии параметров коллектора // Вестник Московской академии рынка труда и информационных технологий. - 2004. - № 3 (11). - С. 34-52.
4. Anraku, T., Discrimination between reservoir models in well test analysis, Ph.D. Thesis, Stanford University, 1993.
