CC BY
31
УДК 519.244
Лялин В.Е., Григорьев И.М.
ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М.Т. Калашникова», Ижевск, Россия
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ПРОГНОЗА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА МОДЕЛЕЙ ПЛАСТА-КОЛЛЕКТОРА
В работах [1,2] предложен метод последовательного прогнозирования вероятностей (МППВ) для дискриминантного анализа моделей пласта по результатам ГДИС. Данный подход является относительно эффективным средством идентификации оптимальной модели коллектора путем сравнения всех моделей-кандидатов пласта и последующего вычисления вероятности того, что каждая из них корректно предскажет реакцию на изменение давления. При этом модели-кандидаты и начальные оценки их параметров должны быть определены заранее.
Главным недостатком обычного МППВ являются достаточно высокие вычислительные затраты для его реализации. В частности, на каждом шаге последовательной процедуры МППВ необходимо производить оценку параметров с помощью нелинейной регрессии. Для получения оптимальных значений параметров нелинейная регрессия требует итераций. В целом, вычислительные затраты увеличиваются пропорционально количеству последовательных шагов МППВ, хотя, надо заметить, что число итераций может оказаться невелико, поскольку на каждом новом шаге используются оценки параметров, полученных на предыдущем шаге.
Модификация МППВ нацелена, главным образом, на снижение вычислительных затрат. Это достигается за счет объединения метода последовательной регрессии и теории вероятностей. Метод последовательной регрессии - это частный случай методов нелинейной регрессии. Он используется в тех случаях, когда оптимальные значения параметров могут быть получены на основе „ точек данных. Когда становится доступной
n +1 -я точка данных, оптимальные значения параметров для n +1 точек данных определяются непосредственно из оптимальных значений параметров и матрицы Гессе для n точек данных. Данный метод не требует итераций и в сравнении с нелинейной регрессией может заметно уменьшить количество вычислений. Применительно к гидродинамическим исследованиям скважин (ГДИС) метод последовательной регрессии для оценки параметров исследовался, например, в [3, 4].
Из определения условной вероятности следует, что
( I \ P (yr-,yn,yn +1)
(yn+1 yi>->yn)= PTTy—Л- ’
(1)
P (Уі’-’Уп)
Это приводит к следующему выражению: P (Уп+2іУі,---, Уп,У„+і )p (Уп+і|Уl,•••, Уп) =
= P ( Уі’-, Уп , У„+1, Уп+ 2 ) .P ( Уі,к P ( Уі,-, Уп , У„+і ) Р ( Уі
Уравнение (2) показывает,
У„, У„+і) = P (Уі, — , Уп, У„+1’ у„+ 2) (2)
-, Уп ) P ( Уі,к, Уп ) '
что произведение условных вероятностей численно эквивалентно суммар-
ной вероятности. Так если стали известны данные о давлении в точках x„+i и х„+2
произведение
P ( У„+2і Уі, —, Уп , Уп+1 )P ( У„+і| Уі, —, Уп ) может быть получено с использованием значений P ( Уі,—, y„) и P (Уі,—, y„, у„+1, у„+2) . Данное обстоятельство позволяет существенно снизить вычислительные затраты.
Для начала необходимо определить P ( Уі,—, y„) и P ( Уі, —, y„, У„+і, Уп+2 ) . P ( Уі,—, У„) можно вычислить, используя для параметров локально равномерное априорное распределение вероятностей (неинформативное априорное распределение вероятностей):
P (Уl,—, Уп ) = J L (в| Уі,к, Уп )'P (в) de = J L (в| Уі,к, Уп ) d^ (3)
где
L (в|Уі,к, Уп ) =
exp
(VPs)„ ( s
S ( R„TR„ + (e - в (n)f H„ (в - в(n))
(4)
Уі -F (в(n), X) v -F ^(n)
(5)
x„) J
S( Ш r 9F
9qi J " ( 9qm
4f | §(£ ( 9F
Kqi J " ( 9вт
(6)
_ e(n)
Компоненты вектора R„ и матрицы H„ рассчитываются на основе оценок параметров по результатам „ измерений ( в(n) ) .
По определению для многомерного нормального распределения
■к ..................
в -
H12 I і т \
f^L!---exp I-т (в - в) H (в - в )| йв = 1. (7)
m (jp*? I 2s2' > \ >)
Jp<T)m
Поэтому (3) упрощается до
R„ =
n
H„ =
(sflpff) 1 f 1
P (Уі’к, y„ )=\4 |1/2 , п eXP I _SRT R» I- (8)
вычисляется как
Hnr [42s)n V s
АналогичНо P (Уі,..., Уп, Уп+1)
P (Уl,к, Уп, Уп+1 ) =
= JL(0|У1,.к Уп, Уп+1 )'P (0)d _ JL(e|У1,.к Уп, Уп+1)dв,
(9)
m
где
L (0|У1,-к Уп, Уп+1 )_
"Фп exp V_iS ( r-ir-i+(e _ ё,п*“>т h-i (e _ 0,~") J) (10)
Компоненты вектора Rn+l и матрицы Нп+і рассчитываются на основе оценок параметров по результаті) -
там п +1 измерения ( 0^ ; ).
Уравнение (9) упрощается до
P (У1,K, Уп, Уп+1 )_
(VPsf
Нп+1Г2 (,ЯРа)п+^ V s
(8), получим
........... 1 |Н„12 f_J_
P (У1,K, Уп) -JiPs |нп+1Г^£Ч is2
1 п+гехРfRnT+lRn+l I- (11)
Поделив (11) на (8), получим
12
P (У1,^^^, Уп, Уп+1) _ 1 |Нп| exp (______У (rT r _ rTr )) (12)
P (У У ) |1/2 eXp I S2 (Rn+lRn+1 Rn Rn Л- (12)
Нас интересует связь между Нп и Нп+1 и между Rn и Rn+l , которую можно установить с помощью метода последовательной регрессии.
Целевая функция имеет следующий вид п 2
Еп (0)_ £ (У _ F (0, к))- (13)
і _1
Тогда произведения RTRn и Rт+lRn+l можно выразить как
RX _ Еп (0(п)) (14)
RT+X +1 _ Еп +1 (0(п+1))_ Еп (0(п+1)) + Л+1 (0(п+1)), (15)
где
Є+1 (0 (п+1))_ Уп+1 _ F (0 (п+1), Хп+1). (16)
еп+1 \
Предположим, что в области пространства параметров достаточно близкой к оценкам параметров целевые функции можно представить в следующем виде:
\Т
Еп (0)_ Еп (0(п)) + (0 _ 0(п)) Нп (0 _ 0(п)) (17)
Еп+1 (0) _ Еп+1 (0(п+1)) + (0 _ 0(п+1)) Нп+1 (0 _ 0(п+1}) - (18)
Также будем считать, что для области пространства параметров (размерности т ) достаточно близкой к оценкам параметров 0(п) функцию, описывающая модель, можно выразить как F (0, Хп+1)_ F (0(п), Хп+1) + g„T+1 (0 _ 0(п)), (19)
іп+1
(20)
9F (0, Хп+1) ^
aF (є, хп+1)
V ^qm J 0 _0(п)
Тогда
Л+1 (0)_(Уп+1 _ F (0, Хп+1 )) _
(0(п)) _ 2Єп+1 (0(п)) g„T+1 (0 _ 0(п)) + (0 _ 0(п)) іпХ+1 (0 _ 0(п)),
где
(21)
Єп+1 (0(п))_ Уп+1 _ F (0(п), Хп+1)- (22)
Объединяя уравнения (17) и (21), получим Еп+1 (0) _ Еп (0) + X (0) _ Еп (0(п)) + (0 _ 0(п) )Т Нп (0 _ 0(п)) +
(23)
+Л+1 (0(п)) _ 2Єп+1 (0(п)) g„T+1 (0 _ 0(п)) + (0 _ 0(п)) Шп+1ШТ+1 (0 _ 0(п)) -
Минимизация Еп+1 (0) требует, чтобы ее производная относительно 0 равнялась нулю в точке экс-
m
где
тремума :
= в (n)+ A-1g„+1e„+1 (в(n)), (25)
эе„+, (в)
"+U ' _ 0. (24)
Эв
Подстановка (23) в (24) дает
в(„+!) _ в(„.
где
A = Н„ + g„+igl+i. (26)
Для определителей Н„ и Н„+, будет выполняться следующее равенство:
lH»+i I=|Н» + g„+i§n+1=IH„ I (1+§T+iH-1g„+i). (27)
Из (27) следует, что
Н,
12
1
Нп +iP V1 + gl+iH-'g,
(28)
пТ п _п Ли+1Ли+1 г'-'
*„+iR„+i определяется как
v2
X И ---------------(Уп+1 -F(вМ, х„+1)) . (29)
1 + g„+iH„ g„+, V ' "
1 + g„+iHn g„+i
Воспользовавшись соотношениями (28) и (29), уравнение (12) примет вид р (Уі,-,У„, y„+, ) _
P (Уі,-, У„)
( 2 ^ (30)
^2ш2(1 + g„T+1H-1g„+i20(i+ gT+iH-1g„+i)^„+1 ^ ’Х„+1))
Предположим, что число данных на начальной стадии составило „ , а на конечной стадии - „ + к .
Считается, что „ + к точек данных известны заранее.
Из уравнения (2) вытекает, что
р (у„+к|уъ--У„,У„+1>--У„+к-1 )'-'р (y„+i\Уl,-, У„) =
_ р (Уl,^^^, У„, У„+l,-, У„+к) , ,р (У1.-. У„, У„+1) _ (31) р (у,,-, У„, У„+1,-, У„+к-1) ”' р (у,,-, у„ )
_ р (y,.-. У„, У„+l,-, У„+к) р (Уі,-, У„) .
В данном случае произведение условных вероятностей требует вычислений к условных вероятностей, тогда как суммарная вероятность - только два вычисления: P (у,,-, у„) и P (у,,-, у„, у„+,,-, у„+к) . С увеличением к снижение вычислительных затрат становится особенно заметным.
Если дисперсия о2 известна, то в соответствии с (12) получим р (Уі,--У„, У^!,-, У„+к) _ р (Уі, -, У„)
1
Н,
,2
exp
-о (RT+ к R„+к- rTr„ ) )
(32)
(4тло) |Н„+к Г2 V 2о2
В ином случае, при условии, что „-m>30 , уравнение (32) видоизменится: р (Уі,-, У„, У^!,-, У„+к).
P (Уі,- K , У„ )
(VP„ )„- m H„ Г2 (
( ГГ— \„+к-m ІН №™„+к) ІН„+кІ V 2 s»-
где
,2 _ (34)
„ - m
ssar„ _ RX _ Z (У - F (в(„), /_1 )f.
Аналогично вычисляются 2 5„+к
б+к R„ +
2s2
*Х
(33)
(35)
В результате, уравнение (33) принимает вид
р (Уі,-, У„, У„+1,-, У„+к) ('fcps„)
Н,
Г 2
р (у,,-, у„) (V2P„+к)„+к-т |Н„+кf
(36)
Нормализованная суммарная вероятность, соответствующая j -й модели, для обычного МППВ определяется как в главе 2:
P„P „+1
P„+1 _ P rj
j „m
(37)
Z n„P.
j=1
„п „+1
„ „
err
к
2
где Pj
прогнозная вероятность п +1-го наблюдения для j -й модели, вычисленной на базе п
п+1
наблюдений.
Для модифицированного МППВ суммарная вероятность вается в соответствии с (37) следующим образом:
pn+k ^pn P (Уи" — Уп
Уп +1’Уп+к )
P ( У1.....Уп )
(38)
для
j -й модели на конечной стадии рассчиты-
Нормализованная суммарная вероятность для j -й модели получают путем деления (38) на результат
суммирования (38) по всем j .
Для сравнения обычного МППВ и его модифицированной версии проводился дискриминантный анализ двух моделей пласта-коллектора: модели радиального течения в бесконечном пласте и модели пласта с непроницаемой внешней границей, которые далее обозначены как Модель 1 и Модель 2 соответственно. Данные об изменении давления были получены на основе модели пласта с непроницаемой внешней границей, к которым добавлялись случайные ошибки, распределенные по нормальному закону с дисперсией
2,510-3 МПа2 . Информация о пласте и насыщающем его флюиде взята из [1] . Общее количество данных
составило 81 точку. Результаты, полученные обычным МППВ, приведены в табл. 1, из которой видно, что общее число итераций для Моделей 1 и 2 составило 230 и 361 соответственно.
Таблица 1.
Результаты расчетов с помощью обычного МППВ
i Время, ч Модель i Время, ч Модель
Число итераций Нормализованная суммарная вероятность Число итераций Нормализованная суммарная вероятность
1 2 1 2 1 2 1 2
42 1,1220 8 8 0,8249 0,1751 62 11,2202 6 19 1,0000 0,0000
43 1,2589 7 7 0,9657 0,0343 63 12,5893 5 5 1,0000 0,0000
44 1,4125 7 7 0,9810 0,0190 64 14,1254 5 5 1,0000 0,0000
45 1,5849 8 8 0,9897 0,0103 65 15,8489 5 5 1,0000 0,0000
46 1,7783 7 7 0,9903 0,0097 66 17,7828 5 20 1,0000 0,0000
47 1,9953 7 7 0,9945 0,0055 67 19,9526 5 9 1,0000 0,0000
48 2,2387 7 7 0,9932 0,0068 68 22,3872 5 9 1,0000 0,0000
49 2,5119 7 7 0,9919 0,0081 69 25,1189 5 9 1,0000 0,0000
50 2,8184 6 6 0,9969 0,0031 70 28,1838 5 8 1,0000 0,0000
51 3,1623 5 5 0,9964 0,0036 71 31,6228 5 9 1,0000 0,0000
52 3,5481 6 6 0,9978 0,0022 72 35,4813 5 8 1,0000 0,0000
53 3,9811 6 20 0,9990 0,0010 73 39,8107 5 9 1,0000 0,0000
54 4,4668 7 18 0,9998 0,0002 74 44,6684 5 8 0,9999 0,0001
55 5,0119 6 6 0,9999 0,0000 75 50,1187 5 8 0,9994 0,0006
56 5,6234 6 16 1,0000 0,0000 76 56,2341 5 8 0,9985 0,0015
57 6,3096 6 6 1,0000 0,0000 77 63,0957 5 7 0,9802 0,0198
58 7,0795 6 6 1,0000 0,0000 78 70,7946 5 7 0,7687 0,2313
59 7,9433 6 6 1,0000 0,0000 79 79,4328 5 7 0,2896 0,7104
60 8,9125 6 23 1,0000 0,0000 80 89,1251 5 7 0,0329 0,9671
61 10,0000 5 11 1,0000 0,0000 81 100,0000 5 7 0,0030 0,9970
Таблица 2.
Информация, необходимая для модифицированного МППВ
Модель m к п + к s HI
0 41 0,0493 1,8514 103
Модель 1 3 26 67 0,0496 1,3451 • 108
40 81 0,2800 3,0655 -1010
0 41 0,0500 3,2647 -10-23
Модель 2 4 26 67 0,0475 1,0567 -102
40 81 0,0523 5,1822 -104
Далее рассматривались два случая. В первом искалось значение нормализованной суммарной вероятности на момент времени х67 _ 19,9520 ч , во втором случае имелся весь объем данных ГДИС. Считалось,
что дисперсия ошибок не известна, поэтому для расчета условной вероятности использовалось уравнение (36) . Вся необходимая этой формуле информация для двух случаев представлена в табл. 2. Так, например, в первом случае для Модели 1 по формуле (38) значение суммарной вероятности будет равно
П
67
1
p41 _ P (y1, —, y41 ’ y42’ — 1 P (У1’ —’ У41 )
У 67 )
_ 0,5 •
(л/2Р- 0,0493)
(У2Р • 0,0496)
(1,8514 103 б
7--------^12exP
(1,3451 • 108)
26
2
_ 1,1642 1015.
Для Модели 2 это значение составило 4,2395-106 . После нормализации получим соответственно
1,0000 и 3,641510-9 , что практически совпадает с результатами, полученными обычным МППВ (см. табл. 1) . Модифицированному МППВ потребовалось всего 5 (для Модели 1) и 9 (для Модели 2) итера-
ций .
Во втором случае нормализованная суммарная вероятность, вычисленная с помощью модифицированного МППВ, для Модели 1 составила 8,6271-10-48 , для Модели 2 - 1,0000, что также хорошо согласуется с
результатами в табл. 1. Теперь модифицированному МППВ потребовалось уже 8 итераций, как для Модели 1, так и для Модели 2.
Таким образом, предлагаемые модификации МППВ позволяют, с одной стороны, получать схожие с изначальным методом результаты вычислений нормализованной суммарной вероятности, а с другой, - значительно уменьшить вычислительные затраты. Кроме того, вычисление условной вероятности по формуле (33) или (36) позволяет избежать необходимости в обращении матрицы Гессе. Тем не менее, следует заметить, что модифицированный МППВ не дает всей картины поведения нормализованной суммарной вероятности в процессе дискриминантного анализа. В ряде случаев это имеет даже большее значение, чем само значение суммарной вероятности. Поэтому дальнейшим развитием метода является создание некоторого гибридного варианта, объединяющего достоинства обычного и модифицированного МППВ.
ЛИТЕРАТУРА
1. И.М. Григорьев, К.А. Сидельников. Дискриминантный анализ моделей нефтяного пласта на основе прогноза вероятностей изменения давления // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности - М.: Изд-во ВНИИОЭНГ. - № 6. - 2013. - С. 30-36.
2. Григорьев. И.М. Дискриминантный анализ моделей нефтяного пласта-коллектора // «Актуальные
вопросы науки»: Материалы VII Международной научно-практической конференции. - М.: Издательство
«Спутник +», 2012. - С. 230-240.
3. Padmanabhan, L. WELLTEST - A program for computer-aided analysis of pressure transient data from well tests // SPE Annual Technical Conference and Exhibition - Las Vegas, 1979.
4. Padmanabhan, L. Woo P.T., A new approach to parameter estimation in Well Testing // SPE Symposium on Reservoir Simulation - Los Angeles, 1976.
