Обоснование возможностей расширения элементной базы колебательных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Буйнявичюс В.-А. В., Карпицкайте В.-З. Ф., Пятрикис С.-Р. С. Статистические методы в радиоизмерениях. М. : Радио и связь, 1985. 240 с.

3. Губарев В. В. Алгоритмы спектрального анализа случайных сигналов : моногр. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2005. 660 с.

4. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем : пер. с англ. М. : Мир, 1989. 376 с.

5. Лазарев Е. А. Вострецов А. Г. Оценивание напряжения с помощью аналого-цифровых систем с добавочным шумом // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск, 2005. Вып. 3(41). С.145-148.

6. Гнатек Ю. Р. Справочник по цифро-аналоговым и аналого-цифровым преобразователям : пер. с англ. / под ред. Ю. А. Южина. М. : Радио и связь, 1982. 552 с.

7. Пат. 44436 Российская Федерация. МПК7 и 1 Н 03 М 1/10, 1/26. Двухступенчатый АЦП с коррекцией погрешностей / Антошкин С. Б., Мухопад Ю. Ф. ; заявл. 17.08.84, №

200041255330/22 ; опубл. 10.03.2005, Бюл. № 7. 2 с.

8. Мухопад Ю. Ф. Микроэлектронные информационно-управляющие системы. Иркутск : Ир-ГУПС, 2004. 404 с.

9. Пунсык-Намжилов Д. Ц. Динамически перестраиваемые аналого-цифровые преобразователи информации для автоматизации технологических процессов : автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук / Томск. ин-т авто-матизир. сист. упр. и радиоэлектроники. Томск, 1986. 23 с.

10. Мухопад Ю. Ф., Пуртов А. В. Использование принципов и элементов СВЧ техники для построения быстродействующих АЦП // Автометрия. 1978. № 11.

11. Пуртов А. В., Мухопад Ю. Ф. Аналого-цифровой преобразователь. АС СССР № 1290305 БИ N17, 1987.

12. Молодкин В. А. Мухопад Ю. Ф. Следящие аналого-цифровые преобразователи на основе реверсивных счетчиков // Радиотехника. 1976. № 31. С. 76-80.

Упырь Р.Ю.

УДК 531.3

ОБОСНОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ РАСШИРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Если введение дополнительных связей в механические колебательные системы цепного типа достаточно подробно рассмотрены в работах [1, 2], то системы балочного типа изучались в несколько иных направлениях [3, 4]. Пусть расчетная схема виброзащитной системы имеет вид как показано на рис.1, а; при этом внешнее воздействие носит кинематический характер.

к \

т

_—— т С 1

Мл Г <

"777777

/7777Г

Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы балочного типа

I. Составим систему дифференциальных уравнений движения, используя уравнение Ла-гранжа 2-го рода, тогда

1 2 1 2

Т = - Му2 + - Зр>2, 2 с 2

(1)

П = 1 * (1 - у)2 + 2к2 (2 - У' )2. (2)

Для дальнейших расчетов примем соотношения:

у2 - у у/2 + у2/1

=йэ; Ус =,2 , = а1 у+а2Уг;

11 +12

11 +12

1/1/2

а3 =-; а2 =—1—; а, =—2—; у = ус - /р ;

3 /1 + /2 2 /1 + /2 1 /1 + /2 Л ^

у2= у с + /(Р-

(3)

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(/а22 -Ма,а2)р1

(/а32 -Ма,а2)р1

\

(Ма,2 + /а'2) р1

((а2 + /а2 ))

ж, (р )=4=

-0

Рис. 2. Структурная схема виброзащитной системы балочного типа при кинематическом возмущении

Передаточные функции виброзащитной системы (ВЗС) определяются (при у = у ) на основе правил структурных преобразований [5]:

к, [(Ма\ + /а22 ) рг + к2 ] + к2р2 [(/а22 -Ма,а2 )] '(6)

У [(Ма,2 + /а22 )р2 + к, ][((Ма22 + /а22 )р2 + к2 ]-(( -Ма,а2 ) р4 у2 к2 [((Ма,2 + /а32 )р2 + к, ] + к,р2[(/а22 -Ма,а2 )] '(7)

2 ^ у [(Ма,2 + /а22)р2 + к,][(Ма22 + /¿. )р2 + к2]-(/а22 -Ма,а2)2 р4

ж ( ) = У2 = к2 [(Ма? + /аз2) р2 + к, ] + к,р2 [(( -Ма1аг )] (8)

У, к, [((а2 + /а22 )) + к2 ] + к2р2 [(/а22 -Ма,а2 )]

Анализ выражений (6), (7) позволяет придать структурной схема на рис.2 иной вид, используя правила введения типовых звеньев с передаточной функцией (/а3 • р2) (рис. 2).

Производя ряд обычных операций дифференцирования, получим:

дТ ,,2 • , г • г 2 - г 2 - дТ — = Ма, у, + Ма,а2,у2 + /а3у, -/а3у2,— =

дУ1 ду2

= Ма^у2 + Ма,а2у, + /а3у2 - /а^у,

дП . . дП к . / — = к,у, - А,у , — = к2у2 - к2у ,

ду, ду2

откуда найдем дифференциальные уравнения движения, используя формализм Лагранжа

у, (Ма,2 + /а22) + (Ма,а2 - /а22) у2 + к,у, = к,у ; (4)

у 2 (Ма1 + /а') + (Маа - /аз2) у, + к2у2 = к2^ . (5)

Структурная схема, соответствующая расчетной схеме на рис.,, имеет вид, как показано на рис. 2.

//////

//////

/а22 р

/а32 р

Г

/а32 р 2

>1 //////

//777/ I У

Рис. 4. Расчетная схема ВЗС балочного типа с введенными типовыми звеньями

Однако, взаимодействие между массами Ма,2 и Ма2 носит иной характер - здесь участвует рычажное звено. Помимо обычной связи, вводимой дифференцирующим звеном второго порядка (/а22 • р2) между массами действует перекрестная связь Жпер (р)= Ма,а2 • р2. Эта связь вводится новым типовым звеном - рычагом, которое отражает действие инерционной силы, вызванной движением по координате у,, на движение по координате у2. В свою очередь, инерционная сила, возникающая при движении по координате 2 , через рычажное звено действует на движение по координате , .

Проводя ряд преобразований, расчетную схему на рис. 4, можно представить так, как показано на рис. 5. Используя (6), запишем -

у =_к, [(Ма22 + /а' ) р2 + к2 ]_

Ж, (р ) = 4т 2

у [(Ма, + /а22 ) р2 + к, ] [((а22 + /а22 ) р2 + к2 ] - (/а22 -Ма,а2 ) р

или

ж (р)=у

(9)

/1/2 , 2\ 2 , (/а32 "Ма,а2) р4 (Ма,2 + /а2 ) р + к, --

1 , , [(Ма22 + /аз2) р2 + к2

-ЕЗ-

Рис. 3. Структурная схема ВЗС при перестановке типовых звеньев

Соответствующие изменения можно ввести в исходную (рис.,) расчетную схему, которая принимает вид, как показано на рис.4.

Сравнение расчетных схем на рис., и рис. 4 показывает, что система балочного типа может быть отображена комбинацией систем с одной степенью свободы.

ч Ма2 И

И

///У//////////////////

Рис. 5. Расчетная схема исходной ВЗС при введении дополнительных типовых звеньев и рычажной связи

Колебательные процессы в соответствии с расчетной схемой на рис. 5 будут развиваться с учетом того, что параллельно пружине к, присоединяется обобщенная пружина с жесткостью

I

т.Ц.Т

к

к

2

к

к

коб (р )=■

(Ма1а2 - /а32 ) р4

(10)

(Ма2 + /а32 )р2 + к2

При а = 0 |Коб (р) = 0 , а коэффициент передачи амплитуды колебаний со стороны основания (при у1 = 0), будет равен 1 (см.выражение (9)). Модуль передаточной функции обобщенной пружины имеет вид

(4 ((Ма1а2 - /а^ )

Коб (р)| =

При частоте

к2 -а2 ((Ма2 + /а32)

(11)

а =

' Ма2 + /а32

(12)

жесткость обобщенной пружины становится равной бесконечности, а амплитуда колебаний по у1

будет равна нулю. (см. выражение (10)) (то есть реализуется режим динамического гашения колебаний).

При частоте колебаний, равной

а =

V

к

Ма{ + /а32

(13)

(16) (17)

редачей инерционной силы на массу Ма^ со стороны координаты у2 через рычаг, имеющий плечи /1 и /2, закрепленный в центре тяжести. Тогда из Ма^ • у2 • /2 = ¥ • /1, найдем

¥ =

Ма2 • у2 • /2 = М2 • у2 • /2

I

=Ма1а2 у2. (18)

коэффициент передачи амплитуды колебаний по у1 имеет значение

у к (Ма12 + /а32) [к2 (Ма^ + /а32) - к1 (Ма^ + /а32 )] (14)

^^(р) — 2 12 \2 у -к;2 (/а32 - Ма1а2)

Если

к2 (Ма2 + /а32) = к1 (Ма2 + /а32), (15)

то (р)| = 0, что в физическом плане соответствует режиму динамического гашения.

II. Проведем проверку правомерности введения рычажной связи, используя расчетную схему на рис. 5. При принятых на рис. 5 обозначениях можно вывести уравнение движения двумя способами.

Первый - заключается в том, чтобы использовать принцип Даламбера первого рода, составляя условие кинетостатического равновесия для массоинерционных элементов Ма12 и Ма^ , тогда:

Ма12у1 = -к1 (у - у) + /а32 (у1 -уу2 ) -

-Ма1а2 у2 = 0;

Ма22 у = -к2 у - /а32 (у1 - у 2 ) --Ма1а2 у = 0. Что касается последних членов уравнений

(16), (17) - Ма1а

12 '

то их появление связано с пе-

Ч (/1 + /2) /1

Сила ¥ прикладывается к массоинерцион-ному элементу по координате у1 и, в силу рычажных взаимодействий, направлена в сторону противоположную движению по координате у1. Аналогично может быть получен последний член второго уравнения (17). В таком виде система уравнений (16), (17) совпадает с полученными уравнениями при у1 = 0.

Особенность рассмотренного подхода заключается в том, что расчетная схема на рис. 1 представлена двумя парциальными блоками (или системами, которые совершают поступательное прямолинейное движение, то есть оба блока совершают один и тот же вид движения. Масса объекта защиты разнесена по координатам движения.

Важным для нас является то обстоятельство, что в расчетной схеме ВЗС в виде балочной структуры (балка на двух упругих опорах) присутствует рычажное звено, которое реализует перекрестные связи инерционного типа.

Второй подход связан с рассмотрением такого разбиения исходной системы на парциальные блоки, когда один из них совершает прямолинейное движение, а второй - вращательное. Последнее связано с выбором системы координат, связанных с прямолинейным движением центра тяжести объекта защиты, в котором сосредоточена масса объекта и вращательного движения вокруг центра масс.

Используя расчетную схему на рис. 1и выражения для кинетической и потенциальной энергии (1), (2), тогда с учетом соотношений (3), можно получить систему дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах ус и р:

Мус + ус (к + к2) + р (к2/2 - к/1) = к2 у/ + к у,

/р + р ( + к2/2) + ус (2/2 - к/1) = к2/2у/ + ¿1/1 у.

Соответствующая системе уравнений (19) структурная схема эквивалентной в динамическом отклонении системы автоматического управления представлена на рис. 6.

Отметим, что в данном случае системе состоит из двух парциальных блоков, отражающих соответственно прямолинейное и вращательное

(19)

движение объекта защиты. В системе имеются также и перекрестные связи, которыми между собой связаны парциальные блоки. Эти связи отражают силовые взаимодействия и называются упругими перекрестными связями [6].

ж (р ) —^ =

Ж (р ) —4т

(к, + к2 У ( .2

у (/р

-к,/,2

Л /2)

У

Мр1 + к, + к2

(kl/l - к2/2 )

ка вращательного движения.

Схема внешнего нагружения, в целом, имеет большое значение, так как определяет детализированные представления о передаточных функциях ВЗС, которые образуют некоторое множество частотных характеристик. Если полагать, что у1 — 0, то схема внешнего нагружения изменится и выражения (20) и (2,) примут вид

к, (/рг + к,/,2 + к2/22)2

Ж(р)-у Ж ( р ) = ^

у (р + к,/,2 + к2/22)(Мр2 + к, + к2)-(к,/, -к2/2 ф к, (к,/, - к2/2)- к,/, (Мр2 + к, + к2)

(22) (24)

Рис. 6. Структурная схема ВЗС (соответствует расчетной схеме на рис. 1) в обобщенных координатах ус и ф

Передаточные функции ВЗС при у1 — у имеют вид

у (/р2 + к/ + к2/22)(Мр2 + к, + к2) - (к,/, - к2/2

Сравнивая (20) и (2,) с выражениями (22), (24), найдем, что передаточная функция обобщенной пружины

(к,/, - к2/2)

Кб (р ) =

/р2

к2/22

(25)

(к + к2 )(/р2 + kl/l2 + к2/22 ) - (кЛ - к2/2 )2 ; (20) у (/р2 + к/ + к2/22 )((2 + к, + к2) - (к,/, - к2/2 )2

) ф (к, + к2 )(¥, - кг/г) +(кг4 - кА )(Мр2 + к, + к2 ) . (2,)

2 (р) у (/р2 + к,/,2 + к2/22 )((р2 + к, + к2) - (к,/, - к2/2 )2

Рассмотрим знаменатель (20) или частотное уравнение, откуда получим

(к,/, - к2/2 )2

(22)

(/р2 + к,/,2 + к2/22)

что позволяет трансформировать расчетную схему, приведенную на рис. 5, трансформировать к виду, как показано на рис. 7, где введена обобщенная пружина Коб (р) , отражающего динамическое воздействие со стороны парциального бло-

не изменится, тогда как передаточная функция ВЗС Ж1 (р) — ус / у . претерпевает изменения. Последнее связано с тем, что обобщенна пружина формирует «скрытые» силы по координате ф, вызванные действием кинематического возмущения у при у/ — 0. Методика учета действия «скрытых» сил была рассмотрена автором статьи в работе [7]. Выбор системы обобщенных координат (в данном случае ус и ф) предопределяет возможности составления дифференциальных уравнений движения ВЗС с использованием принципа Да-ламбера, а расчетная схема ВЗС может быть трансформирована к виду, как показано на рис. 8.

////////////////// Рис. 7. Расчетная схема ВЗС как системы с одной степенью свободы по координате ус с введенной обобщенной

пружиной Коб (р)

Отметим, что в данном случае введение обобщенной пружины происходит в соответствии с правилами введения дополнительной обратной связи по относительному отклонению.

Рис. 8. Расчетная схема ВЗС для вывода дифференциальных уравнений в обобщенных координатах ус и ф

Будем полагать, что структурная схема ВЗС с использованием обобщенных координат ус и ф

имеет вид, как показано на рис. 6. В этом случае можно рассматривать два парциальных блока. Первый - состоит из массоинерционного элемента массой М (точнее материальной точки массой М ), который опирается на пружины с жесткостя-ми к, и к2 соответственно, то есть элемент дви-

жется прямолинейно, имея суммарную жесткость к1 + к2'

Второй элемент можно представить себе в виде рычага с моментом инерции, имеющего в центре тяжести подвижное соединение (вращательную кинематическую пару) с массоинерцион-ными элементами. Если вращательное движение «занулить», то парциальный блок массой М будет колебаться на пружине с жесткостью к1 + к2. При занулении прямолинейного движения возможен поворот рычага с моментом инерции / вокруг точки А. Принципиально важным для нас обстоятельством является то, что при рассмотрении движения ВЗС с расчетной схемой (рис. 1.) балочного типа как при выборе обобщенных координат в виде у1 и у2, так и при выборе ус и р, в

расчетные и соо тветствующие структурные схемы должны вводиться и учитываться рычажные взаимодействия.

Воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода, чтобы найти уравнения движения ВЗС (рис. 1) в координатах ус и р. Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергии имеют вид

т=2 Му2с + 2/Ф2,

1 2 1 2

П = 2 к1 (с - /1р) + 2 к2 (с + /2р) .

Получив

дТ »Г- dT Т- = МУс , = J(P , дус др

^ = k Ус - Уф + k2Ус + к2^Ф ,

дЯ дф

= к^ф - kill Jc + ^2/22^ + к/Ус ,

Рис. 9. Расчетные схемы для ВЗС с приведением парциального вращательного блока к поступательному - (а) и поступательного к вращательному- (б)

Для случая на рис. 9, а передаточная функция обобщенной пружины имеет вид

(/1 - к2/2 )

K'ое (р) = -

Jp 2

"ki/i

к 2/2

а для случая на рис. 9, б соответственно -

K"е (р) = -

(к1/1 к2/2) Mp2 + к1 + к2

(27)

(28)

запишем систему дифференциальных уравнений:

Мус + ус (1 + к2 ) + (К12 - ) р = 0,

/ ч (26)

/ф + р(к^12 + к2/22) + (к2/2 - к1/1 )ус = 0.

В этих уравнениях не учтены внешние воздействия, однако их введение производится обычным способом, через выражения для потенциальной энергии ВЗС (вводятся у и у/). Используя понятие обобщенной пружины можно построить соответственно две расчетные схемы, как показано на рис. 9, а, б.

к + к2

Уравнения движения могут быть получены и на основе принципа Даламбера. Взяв точку центр тяжести балки (рис. ), запишем условие ки-нетостатического равновесия

Myc + Ус (k + к2 ) + ф(к2/2 - ki/i ) = 0. (29) Составив сумму моментов всех сил относительно центра тяжести, найдем

J(p + ф(У2 + к2/2) + (к2/2 - к/ ) Ус = 0. (30) Внешние силы в виде кинематического и силового возмущения в данном случае не учитывались. Последние члены в уравнениях (29) и (30) отражают свойства силового (упругого) взаимодействия между парциальными системами.

Таким образом, при рассмотрении ВЗС более сложной природы, чем простые цепные системы, к числу типовых элементов механических колебательных систем необходимо добавить как минимум еще одно специальное звено, передаточная функция которого отражает физические свойства

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

масштабирования параметров сигнала (для связей в виде рычага первого или второго рода) или масштабирования с одновременным изменением направления движения точек закрепления рычага с типовыми элементами ВЗС.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Вейц В. Л., Кочура А. Е. Динамика машинных агрегатов двигателями внутреннего сгорания. Л. : Машиностроение, 1976. 314 с.

2. Мямлин С. В. Моделирование динамики рельсовых экипажей. Днепропетровск: Новая идеология, 2002.240с.

3. Соколов М. М., Хусидов В. Д., Минкин Ю. Г. Динамическая нагруженность вагона. М. : Транспорт, 1981. 208 с._

4. Соколов М. М., Варавва В. И., Левит Г. М. Гасители колебаний подвижного состава : справ. М. : Транспорт, ,985. 2,6 с.

5. Математическое моделирование колебаний рельсовых транспортных средств / под ред. В. Ф. Ушкалова. - Киев : Наук. думка, ,989. 240 с.

6. Коган А. Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом. М. : Транспорт, ,997. 226 с.

7. Елисеев С. В., Упырь Р. Ю. Мехатронные подходы в задачах вибрационной защиты машин и оборудования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Вып. 4 (20). С. 8-!6.

Chunhua Li

УДК 519.6

ON FAZZY CONGRUENCES OF ABUNDANT SEMIGROUPS

Introduction. The concepts of fuzzy equivalent relations on a set were introduced by Murali [ 10 ] and Nemitz [ 11], respectively. Samhan [ 8 ] defined fuzzy congruence relations on semigroups. In 2001, Tan [15] studied fuzzy congruences on a regular semigroups. As a generalization of regular semigroups in the range of abundant semigroups, El-Qallali and Fountain [ 1 ] introduced abundant semigroups. After that, various classes of abundant semigroups are researched (see, [ 2, 12-14 ]). In this paper, we shall study fuzzy congruence classes on abundant semi-

7"*

groups which preserve the Green's*-relation L and R* with respect to the binary operation "*" (see, [7]). We call them fuzzy-* congruences. We shall proceed as follows: section 1 provides some known results. In section 2, we define fuzzy-* congruences on abundant semigroups and give some characterizations of fuzzy* congruences on such semigroups. The last section we consider fuzzy-* congruences on the satisfying regularity condition semigroups, and give homomor-phism theorems.

1. Preliminaries. Throughout this paper we shall use the notions and notations of [1,3-7]. Other undefined terms can be found in [ 9 ]. We provide some known results used repeatedly, as well as some notations.

Let X be a non-empty set. A fuzzy subset f of X is a function of X into the closed interval [0,1]. A fuzzy relation / on X is a map from X x X to [0,1]. For all x g X, f (x) can be thought of as the degree of membership ofx in f.

Definition 1.1[7]. Let / and v be fuzzy relations on a semigroup S . Then the product /i°v of / and vis defined by /u°v(a,b) = vxeS {/(a,x) av(x,b)} for all x, y g S, and /çv is defined by /(x, y) < v(x, y) for all x, y g S.

Definition 1.2[7]. A fuzzy relation / on a semigroup S is called a fuzzy equivalence relation on S if

(1) /(a, a) = 1 for all a g S ;

(2) /(a, b) =/(b, a) for all a, b g S ;

(3) / o / ç

Definition 1.3[7]. A fuzzy relation / on a semigroup S is called left compatible if /(xa, xb) >/(a,b), for all a, b, x g S. Dually, we can define right compatible.

Let / be a fuzzy equivalence relation on a semigroup S. For each a g S , we define a fuzzy sub-