Непланарность в структурных аналогах механических систем с межкоординатными связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

иркутским государственный университет путей сообщения

УДК 621.534

Елисеев Сергей Викторович,

профессор, д. т. н., директор НИИ СТСАМ ИрГУПС, Хоменко Андрей Павлович,

профессор, д. т. н., ректор ИрГУПС

НЕПЛАНАРНОСТЬ В СТРУКТУРНЫХ АНАЛОГАХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МЕЖКООРДИНАТНЫМИ СВЯЗЯМИ

S. V. Eliseev, A.P. Khomenko

NONPLANE TIES IN MECHANICAL OSCILLATION SYSTEMS CALCULATION OF INTERCOORDINATE CONNECTIONS

Аннотация. Рассматриваются механические колебательные системы с несколькими степенями свободы и их структурные аналоги в виде механических цепей. Предлагается метод исключения непланарных связей и преобразование системы к обычному виду. Показано, что непланар-ность формируется особенностями связей между парциальными системами. В частности, такие особенности имеют твердые плоские тела в структуре механических колебательных систем.

Ключевые слова: непланарность, механические цепи, дуальные элементы, передаточные функции.

Abstract. Mechanical oscillation systems with several degrees of freedom and their structural analogies as mechanical chains are considered. The method of exception of nonplane ties and transformation of system to ordinary form are offered. Nonplane properties are explained as connection between parcial systems. For example such ties are formatting when rigid bodies are using in structures of mechanical oscillation systems.

Keywords: nonplane ties mechanical chains, dual elements of chains, transfer functions.

Введение

Динамические взаимодействия в механических системах, имеющих в структуре замкнутые контуры, обладают особенностями работы. В [1, 2] рассматривается ряд вопросов, однако проблема требует учета взаимодействия в системах элементов, которые по своим параметрам и структуре отличаются от простых элементов. Такими элементами механических систем могут быть звенья в виде твердого тела, совершающего плоское (не элементарное) движение. Динамика такого элемента определяется двумя координатами, что представляет более сложную схему взаимодействий. Теория механических цепей может быть распространена и на системы с твердыми телами. Вместе с тем, при всех возможных совпадениях имеются и некоторые принципиальные отличия. Можно полагать, что характерные особенности проявляются в рычажных связях, точнее в их физических формах реализации. Частично, эти вопросы затрагивались в работах [3, 4, 5].

I. В предлагаемой работе рассматриваются характерные свойства динамических связей в системах различного типа. На рис. 1, а, б представлены расчетные схемы цепной (рис. 1 , а) и смешан-

Рис. 1. Расчетные схемы механических систем цепного (а) и смешанного (б) типов

ной (рис. 1, б) механических систем. Для описания движения используются координаты у, у, у и у, у2, Ф в неподвижной системе отсчета; точка (0) - центр тяжести твердого тела с массой М и моментом инерции /; щ, щ, щ - массы, а К, К, К, К, К - коэффициенты жесткости отдельных элементов.

На рис. 1, а через К обозначена межкоординатная связь между щ и щ . Для твердого тела на рис. 1, б межкоординатная связь (между у и у) обеспечивается рычажными свойствами твердого тела в плоском движении [5].

Для расчетной схемы на рис. 1 выражения для кинетической и потенциальной энергии имеют вид

m2v2 + у2{К2 + К3)~К2уг -K3v3 = О,

(4)

ЩУз + Уз (Кз +к4+к5)~ К}ух = К4г3. (5) Для механической системы на рис. 1 , б выражения для кинетической и потенциальной энергии принимает вид

Т = -т]У; +-Му2 +-.J<p\

(6)

2 2" 2

П = 1 K1(y1 - z )2 +1K2 (y2 - y) Д K3 (Уз - y )2. (7)

Система уравнений движения для системы (рис. 1, б) может быть записана:

ЩУ1 + >1 (к> +к2+кз)~К2у2 -К3у3 = K]z], (8) {Ма2 + Je2)v2 + v2K2 + {Mab - Je2 ).v3 -K2y,= 0, (9) СMb2 + Je2 + угКг + {Mab - Je2 )у2 - Кгуг =0, (10)

Т ^ -2.1 -2.1 -2

Т = +~т2У2 + ~тзУз ,

где a = -

l

2 b = —L

1

(1)

п = - Кх(ух - х-) + - К2{у2 - у) + - Кз(Уз - у2) + 2 2 2 (2)

1 о 1

+-К4(Уз -2з) +-К5(Уз -у) .

Система уравнений для механической системы (рис. 1, а) принимает вид

т\У\ + 3', (Кх +К2+К3)~К2у2 -К5у3 = Кхгх, (3)

с =-. На рис. 2, а, б

I, +/2' А+к' А+4

приведены структурные схемы системы, движение которых описывается уравнениями (3)-(5) -рис. 2, а, а также уравнениями (8)-(10) - рис. 2, б. В структурных схемах введен ряд соотношений: у = ау2 + Ъу3 ,ф= ( - у2)с, у2 = у - А <p, у3 = у + 1ф. (11)

В табл. 1 приведены для сравнения значения коэффициентов уравнений (3)-(5) и (8)-(10).

иркутским государственный университет путей сообщения

------N ----

у 2

/

1/ ¿з|

/

Уз

Йух

:*1

\\\\ \

б)

г1 ^

Сопоставление показывает, что система смешанного типа (рис. 2, б) отличается от цепной системы (рис. 2, а) тем, что межкоординатная связь между у2 и у разная. Если в системе цепного типа связь имеет упругий характер, то для системы смешанного типа (рис. 2, б) связь носит инерционный характер. Принимая во внимание предложения [4] по расширению системы типовых звеньев механических колебательных систем, можно полагать, что в системах смешанного типа используются обобщенные пружины в виде типовых элементов с передаточной функцией звена дифференцирования второго порядка. Отметим при этом, что демпфер может рассматриваться в такой ситуации как дифференцирующее звено первого порядка.

Схему на рис. 1 , а можно преобразовать, как показано на рис. 3, а, б. а)

можно отнести к уравнению (10); в свою очередь Отметим, что элемент тт вы-

тш = МаЬ - Ле

полняет в системе смешанного типа (рис. 3 , б) ту же функцию, что и К3 в схеме на рис. 3, а. Однако эти связи имеют различную физическую природу. В схеме на рис. 3, б эта связь является инерционной, а на рис. 3, а такая связь является упругой. Сравнение дает основание в силу тождества функций (силовое взаимодействие) полагать, что инерционная связь может быть отнесена к классу обобщенных пружин [3].

Таким образом, механические системы, имеющие в своем составе звенья в виде твердых тел, могут рассматриваться как особые элементы, выполняющие те же функции, что и обычные упругие элементы, то есть обеспечивающие соединение. Однако это не совсем так, поскольку эти инерционные элементы привносят определенные особенности через присущие им рычажные связи.

II. Рассмотрим особенности динамических взаимодействий в механической системе, представленной на рис. 1, б. Используя (8)-(10), запишем, что

_ К2у + уз(Ле2 - МаЬ)р2

У2 ' (Ма2 + Л2)р2 -где р = ]ю . Тогда

К

К

Ь =

(Ма2 + Ле2) р2 + К2' (Ле2 - МаЬ)р2

(Ма2 + Ле2) р2 + К2

= ау + Ьуз, (12)

(13)

(14)

Система уравнений (8)-(10) с учетом (12) может быть приведена к виду

УМр2 + К + к2 + Кз -кл)-Уз(к2ь + Кз)=кл, (15)

Уз [(МЬ2 + Ле2) р2 + К - (Ле2 - МаЬ) р\] -- у [(-Ле2 + МаЬ)а + К3) = 0.

(16)

Уравнениям (15), (16) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 4.

Рис. 3. Расчетные схемы системы цепного (а) и смешанного (б) типов, преобразованные для демонстрации замкнутого контура на элементах щ

Если на рис. 3, а полагать, что К = 0, то упругий элемент К по сравнению со схемой на рис. 3, б выполняет такую же функцию, как и упругий элемент К . Примем, что блок I на рис. 3, б

соответствует элементу с массой щ = Ма2 + Ле2

в уравнении (9), а щ = МЬ2 + Ле2, соответственно,

¿2Ьг + kз

1 (1е2 - МаЬ) х х р2а + ¿3 1

ш1 p 2 + ¿[ + + ¿2 + ¿3 - ¿2^1 X -о- (МЬ2 + 1с2) р2 + + ¿з - (1с2 -- МаЬ)р2Ь

У

I

Уз

Рис. 4. Структурная схема, соответствующая системе уравнений (15), (16)

к

5

к

2

m

I

а =

z

W (Р) = Kb + К =■

1( Р) 21 3 (Ma2 Аналогично получим, что

-Ja2) p2

К

tri иг/Л 2 KJJc2 - Mab) p2

(Jc -Mab)Р a + K3 = 2\ 2, 2 \

(Ma + Jc ) p + K2

+

mp2 + k + K2 + к3 -

K.

(Ma2 1

Jc2) p2 + K2

(K2 + K)(Ma2 + Jc2)p2 -K2K3

mp2+к +

(Ma2 + Jc2) p2 + K2

Введем в знаменатель (18) выражение

K (Jc2 - Mab) p2 K (Jc2 - Mab) p2

(Ma2 + Jc2) p2 + K2

(Ma2 + Jc2) + K

тогда

1

к (Ma2 + Jc2)p2 + K (Ma2 + Jc2 )p2 +

mp + к +

(Ma2 + Jc2) p2 + K 1

+KK - К (Jc - Mab) p2 + K (Jc - Mab) p2 (Ma2 + Jc2) p2 + K

1

mp2 + к + K +

K (Ma2 + Jc2) p2 + K 2Map (Ma2 + Jc2) p2 + K

Перекрестные связи в системе имеют передаточную функцию

K (Jc2 - Mab)p2

1

(Mb1 + Jc2)p2 + K -

+ K3. (17)

(Jc2 - Mab)2 p4 + K2 (Jc2 - Mab) p2 - K2 (Jc2 - Mab) p2 (20)

(Ma2 + Jc2) p2 + K

1

(Mb2 + Jc2) p2 + K +

+К = кь + К3.

Рассмотрим отдельно блоки парциальных подсистем на структурной схеме (рис. 4): 1

(18)

(19)

Знаменатель (19) определяет структуру парциальной системы по координате у. Рассмотрим парциальную систему по координате у3:

К2 (Jc2 - Mab) p2 - (Mab + Jc2) p2[(Jc2 - Mab) p2) + K2 ] + (Ma2 + Jc2) p2 + К

Структурная схема для системы (рис. 4) может быть преобразована, как показано на рис. 5.

Полученная структурная модель исходной системы (рис. 1, б) в координатах у у имеет форму математической модели системы с двумя степенями свободы у и у . Внешнее воздействие проводится через массоинерционный элемент m (в данном случае - это кинематическое возмущение Zj), при этом координата у исключается в результате преобразований, как это было показано выше. Исключение у приводит к появлению дополнительных связей, физический смысл которых связан с реализацией функций упругих элементов с параметрами, зависящими от частоты. Такие дополнительные элементы могут быть названы, как и ранее, обобщенными пружинами. Однако эти элементы отличаются между собой по функциональному назначению. Приведем для сравнения структурную модель из простых дуальных элементов [5], отражающую динамические свойства механической системы с двумя степенями свободы и состоящей из двух массоинерцион-ных элементов M и M , как показано на рис. 6, а-д.

При сравнении математических моделей на рис. 5 и 6, б видны детали их совпадений. Это касается элементов К и К на рис. 6, б и элементов

2

г 1

Рис. 5. Структурная схема для системы на рис. 4 с использованием представлений об обобщенных дуальных элементах

иркутским государственный университет путей сообщения

а)

х-

м 2 к2=

Mi й 4 :

У2

б)

и

\\\Ч\ЧЧЧ\\'

Mt p:

M 2 ,Р:

га

-Q2

г;

д)

к2 1 Z1 1 т У1 к2 1

—о- m0 + к30 + к10 к, Mlp1 + к + к2 M2p2 + к2

У 2

Рис. 6. Варианты структурных представлений системы с двумя степенями свободы

с передаточными функциями К, К3

W * (p ) =

К2 (Jc2 - Mab) p2 (Ma2 + Jc2) p2 + К

(21)

Что касается элемента с передаточной функцией Ш* {р), то при р = 0 - Ш* {р) = 0, при

p ^ 0 - W* (p) ^

К (Jc2 - Mab) Ma2 + Jc2

, что отражает ры-

чажные взаимодействия между движениями по координатам у и у3. Если МаЪ = Л2, то действие рычажных связей разрушается. Отмеченное обстоятельство является важным в том плане, что наличие твердого тела, как более сложного звена (по сравнению с материальной точкой), изменяет представления о пространстве движения системы, поскольку движение по координатам у и у геометрически разнесены. Связь между движениями носит инерционный характер и отражается через силы, формируемые рычагом. Поэтому в передаточной функции Ш* {р) присутствует жесткость пружины К и безразмерный коэффициент Лс2 - МаЪ

темы с двумя степенями свободы и координатами

у1 и у2 •

Отметим, что (Jc - Mab) p представляет силу, которая действует только между массоинер-ционными элементами (Ma2 - Jc2) и (Mb2 + Jc2), что соответствует взаимодействиям в равноплечем рычаге. Такой рычаг обеспечивает разнесение сил в пространстве, однако сама сила инерционной связи зависит от частоты. Расчетная схема на рис. 7 может быть приведена к виду, показанному на рис. 8.

Рассмотрим структуру инерционной силы

(Jc2 - Mab) p2. Так как а = ^ ; b = -

1

l1 + l2

то (Jc2 - Mab)p2 = p1

J-

1

l1 + l2 MJ2

l1 +12

(¡1 + IJ (¡1 + ¡2f

(Ic2 - Mab)p2

Ma2 + Jc2

III. Если ограничиться рассмотрением связей только между координатами у и у, то связь между парциальными системами отображается, как показано на рис. 7, на примере обычной сис-

1

(Ma2 + Ic2) p2 + кг т (Ic2 - Mab)p2

У2

Я

Рис. 7. Структурная схема блока системы (рис. 1, б) в координатах у, у

к

к

к

к

2

1

(Mb1 + Ic1) pl + къ

(Ic2 - Mab) p2

г >- 1 t (Ic2 - Mab)p2 -O- 1

(Map2 + (Ic2 -- Mab)p 2 + k2 (Mbp2 + (Ic2 - . - Mab) p2 + къ

\

У2

К

у3 массу, m2 = M

4 + /2

ненты силы инерции, определяемой массой Мь перенести параллельно самим себе в центр тяжести и определить возникающий момент от пары сил. Если этот момент пары сил отнести к длине 4 + /2, то реакция на силу инерции по координате

у\ (рис. 8) будет равен MJ'2

или Mab . То есть

(¡1 + 12т

существующий в твердом теле рычаг, что связано с представлениями о пространственных или геометрических формах твердого тела, обеспечивает связь в силовых взаимодействиях элементов. Аналогично обеспечивается динамическое взаимодействие по координате у[ (рис. 8). Приведенный пример на системе с двумя степенями свободы

Рис. 8. Приведенная структурная схема по отношению к инерционной силе взаимодействия между массоинерционными элементами

Если параметр ^ + /2 рассматривать по отношению

к стержню (или рычагу), то параметр —Л—

(11 + 12)

в физическом смысле можно соотносить с вращательным движением относительно центра тяжести (Л) и, в конечном итоге, перейти к рассмотрению инерционных свойств материальной точки с мас-

Л

сой -, отнесенной на конец рычага длиной

(А + 12) р

4 + /2. В этом случае вращательное движение формирует динамическое взаимодействие, возникающее при вращательном движении стержня с двумя материальными точками по концам (возникает часть динамической реакции равная Ле2 р2 ). Поступательная компонента движения твердого тела обеспечивается силой инерции, которая приложена в центре тяжести. Часть инерционной силы, приходящейся на координату у[, в частности, определяется из условия М12 = М1 (I + /2) , откуда

М1 = М——. Здесь М1 означает приведенную

А + 12

массу к координате у ,

в частности, М1 = Ма (рис. 8). Для того, чтобы определить реакцию на приведенную к координате 1 -=МЬ, необходимо из компо-

дает представление о том, как формируются динамические взаимодействия в соответствии с законами механики.

IV. Более сложными формами взаимодействия отличаются (рис. 5) те элементы, которые представлены в парциальных системах. Если с элементами К, К и * (р) не возникает особых сложностей и их наличие имеет аналогии с обычными системами (рис. 7, 8), то другие элементы, имеющие передаточные функции

К2аМр2

W (p) = 7л^ 2 т 2\ 2 „ ' (Ma + Jc) p + К

(22)

_ p2(Ma2 + Jc2)[(Jc2 - Mab) p2 + K2] W2(p) = (Ma2 + Jc2)p2 + К '( )

представляют собой обобщенные пружины, которые, также как пружина K , взаимно действуют с массоинерционными элементами парциальной системы. Обобщенная пружина с жесткостью W* (p)| в физическом плане отражает динамическое воздействие приведенной массы Ма, относящейся к координате у, на элемент массой щ . Последнее связано со свойством массоинерцион-ных элементов формировать взаимодействия не только между собой, но и с основанием. Что касается элемента W2* (p) в структуре, то парциальной системы по у это также обобщенная пружина, которая формирует реакцию от массоинерционно-го элемента по координате у2. Его особенностью является то обстоятельство, что при р = 0 это пружина, жесткость которой зависит от частоты, имеет нулевое значение. В этом отношении (22) и (23) совпадают, однако при р их свойства будут различны. При частоте

®2 =-

К

Jc - Mab

(24)

обобщенная пружина будет иметь нулевую жесткость. Если разложить (24) на составные части, то можно получить:

p 4 (-Mab + Jc2)( Jc2 - Mab)

W2 (p) = -'

(Ma2 + Jc2) p2 + К p 4( Jc2 - Mab)2 (Ma2 + Jc2)p2 + К '

W2" (p) = -

K2 (-Mab + Jc2) p2 (Ma2 + Jc2) p2 + К

(25)

(26)

Что касается элемента, жесткость которого определяется (26), то его появление определяется теми же причинами, что и (22). Обобщенная пружина (22) формирует то же влияние со стороны

иркутским государственный университет путей сообщения

массоинерционного элемента по координате у на элемент по координате у , как и на элемент щ по координате у.

Пружина (25) отражает влияние на массои-нерционный элемент по координате у с учетом инерционных связей. Поскольку координата у исключена при преобразовании из прямого контакта с элементом щ , то влияние на парциальную систему по координате у носит несимметричный характер. Отметим, что такая несимметричность характерна для непланарных систем.

V. Рассмотрим исходную систему (рис. 1 б), но вместо координат у и у используем координаты у и р. Введем ряд соотношений:

у - у п

у 2 = у - ¡Ф, уз = у + ¡РР, р= , . , = ср,

\ +¡2

с =-

\ +12

и

у = а2 у 2 + Ъ2 уз,

(27)

Ъ2 =-

А

¡1 + ¡2 А— +12 Выражение для кинетической и потенциальной энергии в этом случае принимает вид

Т = \т1У21+\му2+Ьф\

1 9

п = - К( у— - ^)2 +

1 2 1 2

+ 2 К2(у - ¡Ф-у—) +2Кз(у + 12Р-у—)

(28)

(29)

После некоторых вспомогательных преобразований система уравнений примет вид

ЩУ+У^К.+^+К,)-

-у(К2 + К,) + (р(К-11] - К-]-, ) = Кхгх, Му + у(К2 +К3)~ у (К2 + К3) + +<р(К312 -К211) = 0, .1ф+<р(К21; + к 2Г;) + +у1(К211 -Къ12) + у(К^2-К^) = о.

(30)

(31)

(32)

Полагая, что р = а3ух + Ъ3у3,

где

К312 - К211

Ъ =

Лр + К2Ц + КЦ

КА -Кз4 Лр2 + К211 + КЦ

(33)

(34)

Преобразуем (30)-(32) к виду

(Кз1 2 - К211 )2

у1

щр + К + К + К -

Лр1 + к2 ¡2 + Къ12

К2 + К3 -

(К211 - К3 2 )2

Лр2 + К2 ¡2 + К3А22

= КХ2,

(35)

(

у

Мр2 + к + К -

(Кз12 - К211 )2

Лр2 + к ¡2 + кЦ

- (36)

■л

К

Кз -

(Кз1 2 - К211 )2

"К211

"К312

= 0.

Структурная схема системы в соответствии с (35), (36) примет вид, показанной на рис. 9.

При выбранных координатах структурная модель с дуальными элементами принимает вид (рис. 10), позволяющий оценить жесткости вводимых связей.

При выборе координат у и у схема имеет

более простой вид. Взаимодействие между парциальными системами осуществляется через упругие элементы К и К , что определяет динамические свойства поступательного движения. Что касается обобщенной пружины с передаточной функцией:

ш " {р) = - (К32 - КА)

Лр2

' К211

Кзк

(37)

то этот элемент отражает динамическое взаимодействие элементов системы при вращательном движении твердого тела. Произведем преобразование с использованием (37); запишем

Л

Рис. 9. Структурная схема системы в координатах у1, у

1

2

21

Рис. 10 Структурная модель системы в координатах у и ус использованием дуальных элементов

(к2 + к)(Лр2 + К42х + к£) - (К4 - кд)

Лр- + к2 ¡2 + кц

что приводит к выражению

Лр2 (к2 + к)+к3к2 (I + ¡2 )2 _

ж *'(р) = ■

Лр2 + к2 ¡2 + къ12

Лр \к2 + Кз) 1 К3К2 (¡1 + ¡2 )2

Лр2 + к£ + кЛр2 + к£ + к£

Лр2и к 2 + К3)

, 1

Лр — + К2 + К3\

¡л

+

КзК2 {¡1 + ¡2 )(А + ¡2 )

Л

I

2р2 + к 2 + К42

щ р2(К2 + Кз) + КзК2 (1 +1)(1 +1)

где

щ* р + К2 + К3/ т* р + К2 + К3г

ляется передаточным отношением рычага. Вопрос заключается в том, каким образом можно было бы определиться со статусом рычага по отношению к набору типовых элементарных звеньев механических колебательных систем и виброзащитных систем в частности. В окончательном виде после преобразований структурная схема на рис. 10 может быть представлена, как показано на рис. 11.

Обобщенная пружина с передаточной функцией

Лр2( к2 + к)

Ж (Р)=- 2 лР

■К2¡1

(40)

(38)

(39)

(¡1 + к)2

Из (38) достаточно очевидным в формировании динамической связи является наличие рычага с плечами и и точкой опоры в точке, совпадающей с центром тяжести. При этом / = — яв-

д

является в физическом плане динамической реакцией элемента с массой щ*, определяемой из (40). В этом случае используется расчетная схема с одной степенью свободы (рис. 12) с помощью которой определяется динамическая реакция на основание. В свою очередь основанием является элемент с массой щ, а также элемент массой М , но при определении динамической реакции учитываются особенности схемы внешнего возмущения.

Обобщенная пружина с передаточной функцией

77777777

Мр2

П

и

1р 2(к2 + ¿3)

1р2 + к212 + ¿¿2

¿ткъ (А + )

1р2 + к1112 + къ12

У1

У

Т777777

\

\

\

\ \

К

Рис. 11. Упрощенная структурная схема, соответствующая схеме на рис. 10

z

иркутский государственный университет путей сообщения

w; (p)=-

К2 Кз

— (41)

т*р2 + КЪ + К3с2 У '

обеспечивает взаимодействие между элементами с массами т* и щ и М в соответствии с аналогичной схемой, как на рис. 12, но с внешним воздействием кинематического вида, в отличие от случая с обобщенной пружиной (41), где определялась динамическая реакция. Детали, затронутых в выше приведенных преобразованиях, более детально рассматриваются в работе [2].

вязки» определенных усилий, в частности, исключения одной из переменных. Вместе с тем твердое тело привносит в динамические взаимодействия рычажные связи. Параметры рычага зависят от соотношения массы М и момента инерции Л твердого тела и положения центра тяжести. Опора рычага предопределяет свойства рычага, зависящие от характера расположения опоры на твердом теле.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

{M

|у(к2+кз)

Рис. 12. Вспомогательная схема для расчета динамических взаимодействий между элементами с массами щ и М

VI. Таким образом, твердое тело, включенной в механическую колебательную систему, как особый элемент системы, отличается от дуальных типовых элементов, используемых в теории механических систем. Однако может быть предложена некоторая методологическая основа, связанная с исключением одной из переменных, что упрощает структуру системы и делает достаточно прозрачными процедуры оценки динамических свойств. Отметим, что твердое тело как звено привносит в системы непланарные связи, что требует для «раз-

1. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л. Переходные процессы в линейных системах. - М. : Физматгиз. 1961. - 442 с.

2. Дружинский И.А. Механические цепи. - Ленинград : Машиностроение. 1977. - 242 с.

3. Елисеев С.В. Обобщенная пружина в задачах машин и оборудования / С.В. Елисеев, С.В. Бе-локобыльский, Р.Ю. Упырь // Зб1рник наукових праць (галузеве машинобудування, буд1вництво): Полтавський нацюнальний техшчний ушверситет ¡меш Юр1я Кондратюка. Т.1 - Полтава : ПолтНТУ, 2009. - Вып. 3 (25). -С. 79-89.

4. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., За-сядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск : ИГУ. 2008. -523 с.

5. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. - Новосибирск : Наука. 2011. - 394 с.

*

m