CC BY
20УДК 623.746.-519 ГРНТИ 78.21.47
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ЖИЗНЕННО-ВАЖНЫХ АГРЕГАТОВ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
И.А. ДВУРЕЧЕНСКИХ
ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
Д.В. ГОЦЕВ, доктор физико-математических наук, доцент
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
А.А. ИСПУЛОВ, кандидат технических наук, доцент
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
Обоснован рациональный метод обработки экспериментальных данных для определения площади жизненно-важных агрегатов беспилотного летательного аппарата в зависимости от ее ракурса. С помощью системы трехмерного твердотельного и поверхностного параметрического проектирования Autodesk Inventor построена твердотельная модель беспилотного летательного аппарата с перечнем жизненно-важных агрегатов. Получены экспериментальные данные при измерении площади жизненно-важных агрегатов беспилотного летательного аппарата в зависимости от ее ракурса. С применением интерполяции методами Лагранжа, Ньютона и аппроксимации методом наименьших квадратов экспоненциальной, логарифмической, линейной, квадратичной и кубической функций найдены аналитические зависимости площади жизненно-важных агрегатов беспилотного летательного аппарата от ее ракурса. Для обоснования рационального метода обработки экспериментальных данных проведен сравнительный анализ рассматриваемых методов интерполяции и аппроксимации, результаты которого показали, что рациональным методом при определении площади жизненно-важных агрегатов беспилотного летательного аппарата является метод наименьших квадратов с использованием квадратичной функции. При аппроксимации данной функцией сохраняется точность и достигаются меньшие вычислительные затраты в 2 раза по сравнению с кубической функцией и в 3,5 раза с интерполяцией методами Лагранжа и Ньютона.
Ключевые слова: обработка экспериментальных данных, метод наименьших квадратов, беспилотный летательный аппарат, аппроксимация, интерполяция, жизненно-важный агрегат.
Введение. Опыт военных конфликтов последнего десятилетия показал, что для решения разведывательных и боевых задач по поражению объектов военного и промышленного назначения широко используются беспилотные летательные аппараты (БпЛА), действующие отдельно, а также в составе группы [1].
Основным средством противодействия данной угрозе является ударное оружие (управляемые и неуправляемые ракеты, стрелково-пушечное вооружение). Несмотря на высокую стоимость и большой расход осколочно-фугасных боеприпасов (путем создания осколочного поля при подрыве взрывчатого вещества), оно потенциально способно эффективно поразить любые жизненно-важные агрегаты (ЖВА) БпЛА в целом [2].
К ЖВА БпЛА относятся уязвимые элементы к осколочному действию боеприпасов, а конкретно: планер и несущая конструкция; двигательная установка; топливная система; боевая нагрузка; радиоэлектронные средства; оптико-электронные системы [3].
Результат применения осколочных и осколочно-фугасных боеприпасов зависит от характеристик осколочного поля и от условий встречи боеприпаса с целью (скорости
боеприпаса относительно цели, угла и стороны подхода к ней, характеристик уязвимости цели и т.п.).
Актуальность. В настоящее время при оценке характеристик уязвимости цели в приближенных расчетах обычно условно размещают все поражаемые агрегаты на оси воздушной цели. Совмещение к оси цели таких размещаемых агрегатов не приводит к большим ошибкам, так как при симметричной разнесенности двух одинаковых по уязвимости агрегатов, что всегда имеет место в конструкции цели, математическое ожидание числа осколков, поражающих оба агрегата, размещенные на оси цели, примерно равно сумме математических ожиданий числа осколков, поражающих оба разнесенных агрегата.
Последнее вполне объяснимо, если иметь в виду, что расстояние от точки взрыва до агрегатов, находящихся на оси цели, равно примерно полусумме расстояний от точки взрыва до каждого из разнесенных агрегатов и, следовательно, в агрегаты, расположенные на оси цели, попадают осколки, плотность которых и скорость встречи примерно соответствуют средней плотности и средней скорости встречи осколков, попавших в каждый из разнесенных агрегатов.
Кроме того, в расчетах обычно заменяют реальное распределение уязвимых площадей вдоль оси цели равномерным распределением. Иными словами, вся цель представляется в виде однородного по уязвимости цилиндра, длина которого и положение центра тяжести зависят от действительной картины распределения уязвимых агрегатов по оси цели. Площадь меридионального сечения такого цилиндра равна значению функции уязвимости 5 - средней уязвимой площади всех агрегатов.
Следует отметить, что использование реальной конструкции позволяет избежать ошибок при оценке характеристик уязвимости цели [4]. Для определения функции уязвимости 5 в зависимости от ракурса реальный БпЛА может быть заменен твердотельной моделью с перечнем ЖВА.
При решении задачи обработки экспериментальных данных возникает необходимость получения зависимостей, графиков, таблиц, формул. В случае, когда получены экспериментальные данные или аналитическая зависимость уже известна, но она является сложной, по тем или иным чисто практическим соображениям осуществляют замену более простой и вместе с тем достаточно точной зависимостью.
Примером может послужить задача определения площади ЖВА БпЛА в зависимости от ее ракурса. Вычислительные трудности при решении этой задачи настоятельно требуют замены полученных экспериментальных данных простой функцией.
В работах [5, 6] в качестве методов обработки экспериментальных данных рассмотрены методы интерполяции и аппроксимации. Данные методы имеют свои преимущества и недостатки, связанные с особенностями полученных экспериментальных данных. Кроме того, в представленных работах [5, 6] отсутствует сравнение методов обработки экспериментальных данных для решения задачи определения ЖВА БпЛА.
Цель работы - обоснование метода обработки экспериментальных данных для определения площади ЖВА БпЛА с учетом ее ракурса по критериям максимальной корреляции между экспериментальными и теоретическими значениями и минимальных вычислительных затрат.
Для достижения поставленной цели необходимо последовательно решить следующие четыре задачи:
первая задача - создать базу данных объектов исследования, а именно построить твердотельные модели БпЛА, включающие перечень ЖВА;
вторая задача - измерить площади ЖВА цели в зависимости от условий встречи боеприпаса с целью (ее ракурса) в картинной плоскости;
третья задача - получить таблицу экспериментальных данных зависимости площади ЖВА от ее ракурса;
четвертая задача - обосновать метод обработки экспериментальных данных для определения площади ЖВА БпЛА от ее ракурса.
В интересах решения первой задачи для разработки базы данных твердотельных моделей БпЛА с перечнем ЖВА использовалась система трёхмерного твердотельного и поверхностного параметрического проектирования Autodesk Inventor. При этом следует отметить, что база данных является открытой, т.е. существует возможность пополнения современными образцами БпЛА. В качестве примера выбрана воздушная цель типа зарубежного БпЛА BG-201 и взяты уязвимые агрегаты, попадание поражающих элементов в которых приводит к поражению цели, а именно боевая часть, блок аккумуляторов и винт [7]. Результаты данного моделирования представлены на рисунке 1.
а) б)
Рисунок 1 - Твердотельная модель зарубежного БпЛА BG-201, общий вид (а), ЖВА БпЛА (б)
Для решения второй задачи осуществлялся поворот модели от 0° до 90° через каждые 5° по курсовому углу цели относительно картинной плоскости. На каждом шаге поворота модели по курсовому углу осуществлялся по крену от 0° до 90° через каждые 5° и на каждой итерации создавался эскиз проекции ЖВА БпЛА на картинную плоскость и осуществлялось измерение полученных данных. Общая совокупность курсового угла цели и крена составляет ракурс цели. При решении данной задачи использовалось допущение о том, что каждому шагу поворота модели по курсовому углу цели соответствует среднее значение площади ЖВА БпЛА по всему диапазону углов крена. На рисунке 2 слева представлен этап измерения площади ЖВА цели при курсовом угле 90° и при угле крена 0°, справа - при курсовом угле цели 65° и угле крена 45°.
а)
б)
Рисунок 2 - Этап измерения площади ЖВА БпЛА при курсовом угле 35° и угле крена 0° (а), курсовом угле 65° и
угле крена 45° (б)
ы
В интересах решения третьей задачи по экспериментальным данным полученным при измерении площади ЖВА БпЛА по ее ракурсу, в частности, от курсового угла сформирована таблица 1.
Таблица 1 - Экспериментальные данные, полученные при измерении площади ЖВА БпЛА по ее ракурсу
д, град 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
00 <М 00 ич <М 5 8 7
_ ю 00 00 о ю СП о сл СП 7 <м 7
5 (а) м о 00 ю ю ю ^ СП ел <м
о о о о о о о о О о о 0 0 0 0 0 0 0
О О о о о о о о о о о 0 0 0 0 0 0 0
Для решения четвертой задачи проведена обработка экспериментальных данных с помощью интерполяции методами Лагранжа и Ньютона, а также аппроксимации методом наименьших квадратов.
Интерполяционная формула Лагранжа. С использованием интерполяции по методу Лагранжа можно найти аналитическую зависимость, которую легко использовать в целях определения площади ЖВА БпЛА. Интерполяционная формула Лагранжа представлена в виде [6]
N
Р- (*) = £ у
(х - Хг )...(х - ! )(х - +! )...(х - Хы )
Г 4х , -х1 )...(х , -Х,-1)(х , -Х,+1 )...(х , XN )
(1)
где Р^ 1 (х) полином степени (N -1), который в N точках совпадает с N значениями неизвестной функции у = /(х), заданной только ее значениями ух,...,yN в точках х1,...,xN. Для представления (1) в более простой форме используется вспомогательная функция
N N
П (х)=£П (* - **)
(2)
У=1 к=1
(к *1)
Если умножить и разделить каждое слагаемое выражения (1) на (х - х}-), а затем заменить в числителе функцией вида П (х), можно получить полином Лагранжа
PN -1 (х ) = £ У.
П (х)
1 ' (х - х )П (х] )
(3)
или
N у
р^-1 (х)=П (х) £ т—^Л—
;=!(х - х )П (х;)
В случае, когда узлы интерполяции являются равноотстоящими
х2 - х1 = хз - х4 = ... = XN - XN-1 = к ,
тогда интерполяционная формула Лагранжа будет иметь вид [6]
Л (-1)м-] у.
рм! (х)=Ры , (х+а - 1)и)=а - 1)(г - 2)...(г - N )£ ———^—,
^^ А ) у ^ ({- ли- 1)!(N - у)!'
где ( является зависимой переменной и получена вследствие замены х = х1 + (t -1)к .
(4)
(5)
(6)
ы
э
и
Согласно формуле (6) интерполяционный полином Лагранжа для функции уязвимости £ по исходным данным из таблицы 1 определяется в виде
£(д) = 1.49•Ю-27 • -1.21-10 24 • д17 + 4.53 • 10-22 • д16 -
-1.03 10-19 • д15 +1.63 -10- 17 • д14 -1.8540 25 д13 +
+1.58 10 -13 • д12 -1.03 •Ю- 11 • д11 + 5.21 • 10- -10 д10-
-2.04 10-8 д9 + 6.16 •Ю-7 • д8-1.42 •Ю-5 д +
+2.48 10-4 дб -3.17•Ю-3 • д5 + 2.86 •Ю-2 д4 -
-1.69 10-1 д3 + 0.58• д2 - 0.86 • д + 0.07.
(7)
В точках д значения этого полинома равны экспериментальным данным. Результаты
расчета показали, что интерполяция с помощью полиномов Лагранжа является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число N является весьма малым.
Интерполяционная формула Ньютона. В целях обработки экспериментальных данных часто используется метод интерполяции полиномом Ньютона. Данный полином можно ввести с использованием разделенных разностей различных порядков, которые могут быть найдены по значениям функции у1з...,yN в точках Х1з...,xN.
Чтобы найти разделенные разности 1-го порядка, необходимо представить функции в виде отношений
/ (Х2 > Х1 ) =
У2- У1
Х2 Х1
/(х-> х--1) =
Уг-Уг-1
Х1 х1-1
(8)
I(ХN , ХN-1 ) =
УN УN-1
ХN ХN-1
Для нахождения разностей 2-го порядка необходимо использовать разности 1-го порядка, при этом на основании (8) имеем
1( Х Х Х )_ 1 (Х3 , Х2 ) /(Х2 , Х1) I( Х Х Х )_ /(ХN, ХN-1) /(ХN-1, ХN-2 ) (9)
J \Л3>Л2>Л1) ~ \ЛN>ЛN-1> N-2) \У/
ХN Х^2
При условии, что известны разности (п -1) -го порядка, разности п -го порядка будут представлены в виде
1 (Хп+1, Хп+1 -1, ..., Хг+1, Х1 ) =
1 (Хп+1, ..., Х1+1) У (Хп+1 -1, ..., Х1 )
Хп+г-Х,
(10)
Чтобы представить разделенные разности в специальной таблице, необходимо использовать схему (11).
Каждое из чисел данной таблицы будет равно частному от деления двух смежных разностей с ним чисел в столбце слева, на разность Х, соответствующих только тем у- , которые будут лежать на диагоналях, проходящих через это число.
ы
х1 У1 / (х2 , х1 )
х2 У 2 / (х3 , х2 )
х3 У3 / (х4, х3 )
х4 У 4 / (х5 , х4 )
х5 У 5
/ (х3 , х2 , Х1) / (х4, х3 , Х2 ) у (х5 , х4, х3 )
/(х4, х3 , х2 , х1 ) у (х5 , х4, х3 , х2 )
у (х5 , х4, х3 , х2 , х1 ).
(11)
Исходя из вышесказанного, разделенные разности п -го порядка представляются в виде
У (Хп+г , Хп+i-1, ..., Х+1, Х ) =
У ]+i
(12)
] =1 (хi+] х )(х + ] х+1 )...( х + ] х+]-1 )(х+] х + ] -1 )...( х+] х+п )
Если все узлы интерполяции являются равноотстоящими, т.е. х = хх + (/ — 1)И, то разделенные разности будут представлены в форме
А-1 у!
у (Х1,..., Хк) =
(к — 1)! к
к—1 '
к = 2,..., т,
(13)
где
р р!
Ару1 = У (— 1)р—] СРу ,, СР =---.
7=0 Р*+1 Р 7!(Р —7)!
(14)
Тогда интерполяционный полином Ньютона будет представлен в следующей форме [6]
Рм—1 (Х) = У1 +Ау1 (Х — Х) + а2у^ (Х — Х)(Х—Х2) + И 2!И
А3 у, 3! И3
(Х — х )(Х —Х2)(Х —Х3) +... +
Ам—1 *
(15)
(М — 1)! к1
-1 (х х1 )...(х ХМ—1 ).
Согласно формуле (15), интерполяционный полином Ньютона для функции уязвимости £ имеет вид
£(д) = 1.49• 10—27 • д18 —1.21 • 10—224 • д11 + 4.53 • 10—22 • д16 — —1.03 • 10—19 • д15 +1.63 • 10—17 • д14 —1.85 • 10—25 • д13 +
+1.58 —2.04 +2.48 —1.69
10—13 • д12 —1.03 • 10—11 • д11 + 5.21-10—10 • д10 — 10—8 • д9 + 6.16 ^10—7 • д8—1.42 •10—5 • д7 + 10—4 • д6—3.17 •Ш3 • д5 + 2.86 •Ю2 • д4 — 10—1 • д3 + 0.58 • д2 —0.86 • д + 0.07.
(16)
Результаты интерполяции экспериментальных данных методами Лагранжа и Ньютона дают одинаковые результаты и представлены на рисунке 3.
Рисунок 3 - Интерполяция с помощью методов Лагранжа и Ньютона
Расчет показывает, что интерполяция с помощью полиномов Ньютона дает схожие значения полиномов с методом Лагранжа и также является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число N является малым.
Аппроксимация методом наименьших квадратов. Согласно принципу наименьших квадратов, который гласит о том, что сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений должна быть минимальной находятся коэффициенты (параметры) аппроксимирующей функции а{, г = 1,2,3,... [8]. Чтобы найти параметры а,, г = 1,2,3,..., необходимо из таблицы
экспериментальных данных площади ЖВА БпЛА (таблица 1) выбрать вид аппроксимирующей функции у = ((х) из соображений, которые связаны с сущностью исследуемого явления или с внешним видом зависимости. Общий вид данной функции зависит от нескольких числовых коэффициентов.
Представим функцию у = ((х) от аргумента Х и параметров аппроксимации ai, где г = 1,2,3,... ,
у=(( Х а).
(17)
Необходимо выбрать коэффициенты а,, где г = 1,2,3,..., для выполнения условия
у, (Хг, а) ]2 =
(18)
Для нахождения коэффициентов а,, где , = 1,2,3,..., которые обращают левую часть формулы (18) в минимум, продифференцируем ее по а,,, = 1,2,3,..., и затем приравняем производные к нулю
г=1
£[ у -р(, а)]
==1
п
У -р х, а)]
==1 п
у* -р х, а')]
Чда1 у Чда2 Л удаз л
= 0,
= 0,
= 0,
(19)
где
Vдаl л
= р1а{,) - значение частной производной функции р по параметру а1 в точке х=;
гдр Г^л.
да.
др
да.
,... - находим аналогично.
V 2 Л= V ^ 3 Л'
В данной системе уравнений (19) одинаковое количество уравнений, а также неизвестных коэффициентов ,' = 1,2,3,.... Чтобы решить систему (19) в общем виде, необходимо задать конкретный видом функции р .
В качестве примера рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных (таблица 1) методом наименьших квадратов полиномом 3-й степени (кубической функцией). Представим коэффициенты а=,' = 1,2,3,..., как а = а, а2 = Ь, а3 = с, а4 = ё, тогда
у = р( х; а, Ь, с, ё) = ах3 + Ьх2 + сх + ё. Продифференцируем выражение (20) по а, Ь, с, ё
Ё( = ((\ = х3-да V да
( = ((\ х2. дЬ I дЬ
(20)
др (др
(21)
дс V дс
= х;
др = (р\ =1 дё V дё
Полученные производные подставим в выражение (19) и получим систему уравнений
Я У' г=1 - (axi 3 + Ьх=2 + сх{ + ё) ]х3= = 0,
п £ [ У '=1 - (ах=3 + Ьxi 2 + cxi + ё) ]х 2г = 0,
п £ [ У '=1 - (ах=3 + Ьxi 2 + сх= + ё) ^ = 0,
п £ [ У= - (ах=3 + Ьх=2 + cxi + ё) ] = 0.
'=1
(22)
Ы
г=1
Далее раскрывая скобки, просуммируем и разделим на п и получим систему данных уравнений
г=1
п
г=1
п
X хб X х.5 X х,4 X х*
г=1 ь г=1 с г=1 й г=1
п п п п
п ИХ п ^х; п 2Х п
, г=1 Ь г=1 с г=1 й г=1
п п п п
п XX4 п ^хг3 п п Тх,
г=1 Ь г=1 с г=1 ■ й г=1
п п п п
>3 п ^х2 п X*
п
—--а—--Ь —--с-.=-
п п п п
— й = 0.
(23)
Коэффициенты системы уравнений (23) можно представить в виде статистических
*
моментов аг , двух величин x и у
X х> X У' X х>
= т* = а* [X]; ^ = т* = а* [У] = <> [X,У]; ^ = а [X];
п
п
п
X Хг3 X х," X Хг5 X Хг6
= а*2 [X]; = а*2 [X]; а** [X] = 1; = а [X]; = а [X];
п
п
п
п
(24)
X ХгУг X У г X Х У.
= 0,1 [ X, У ]; л-= *д [ X, У ]; -= «¡,1 [ X, У ],
п
п
п
где т*, ту - математическое ожидание по X и У.
Используя выражения (24), можно привести систему (19) к более компактному виду, и если перенести члены, которые не содержат неизвестных, в правую часть, система уравнений (24) будет представлена в общем виде
а* [ X ] а + а« [ X ] Ь + а* [ X ] с + а* [ X ] й = а3*д [ X, У ], а5* [ X ] а + а4* [ X ] Ь + а3* [ X ] с + а* [ X ] й = а**д [ X, У ], а * [ X ] а + а3* [ X ] Ь + а * [ X ] с + а* [ X ] й = а* [ X, У ], а3* [ X ] а + а* [ X ] Ь + а** [ X ] с + а* [ X ] й = а0* д [ X, У ].
(25)
Используя полученные экспериментальные данные (таблица 1), представим, что курсовой угол д это X, а функция уязвимости Я(д) - У, число точек п = 19, и найдем значения статистических моментов
а* [X] = 45; а* [Y] = * [X, Y] = 0,064; а* [X] = 2,775 • 103; а* [X] = 1,924 • 105; а* [X] = 1,422 • 107; а* [X] = 1,095 • 109; а6* [X] = 8,669 • 1010; а* [X, Y] = 2,437; а*л [X,Y] = 133,577; а* [X] = 1; с* [X, Y] = 8,473 -103.
Подставив полученные значения (26) в систему уравнений (25), получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с расширенной матрицей вида
8,669 • 1010 1,095 • 109 1,095 • 109 1,422 • 107 1,422 • 107 1,924 • 105
ч 1,924 • 105
2,775 • 103
1,422 • 107 1,924 • 105 2,775 • 103 0,064
1,924 • 105 2,775 • 103 45 1
8,473 • 10 133,577 2,437 0,064
3
(27)
Данную матрицу СЛАУ (27) можно решить методом Гаусса, но ее решение в общем виде не приводим, так как оно слишком громоздко, а представим лишь результат решения данным методом
(10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1
4,722 -10 -1,6 •Ю 5 5,069 •Ю-4 0,076
,-8 л
(28)
у
То есть коэффициенты аппроксимации равны a = 4,722 *10 , c = 5,069•Ю-4, d = 0,076, и полученная функция уязвимости £ примет вид
Ь = -1,6 40
-5
5(д) = 4,722•Ю-8 д3 -1,6•Ю-5 д2 + 5,069 •Ю-4 д + 0,076.
(29)
Рассмотрим следующие случаи, когда функция линейная, экспоненциальная, логарифмическая и выраженная полиномом второй степени. Результаты аппроксимации экспериментальных данных аналитическими функциями различных видов представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Результаты аппроксимации экспе] риментальных данных аналитическими функциями различных видов
Вид функции аппроксимации Функция 5 (д)
Линейная -5,831 •Ю-4 д + 0,09
Экспоненциальная 0,96 в"0,053 д
Логарифмическая -0,00761п (д) + 0,0975
Полином 2-ой степени -9,629•Ю-6 д2 + 2,835•Ю-4д + 0,0778
Полином 3-ей степени 4,722•Ю-8 д3 -1,6•Ю-5 д2 + 5,069 •Ю-4 д + 0,076
В целях сравнения полученных теоретических и экспериментальных данных использованы линейная и экспоненциальная, логарифмическая и полиномиальная функции 2-го и 3-го порядка при аппроксимации методом наименьших квадратов и методы интерполяции Лагранжа и Ньютона. Результаты аппроксимации экспериментальных данных представлены на рисунке 4.
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 q, ГрЯД
Рисунок 4 - Аппроксимация экспериментальных данных методом наименьших квадратов
Сравнительный анализ методов обработки экспериментальных данных. Показателем эффективности метода обработки экспериментальных данных принят коэффициент корреляции экспериментальных и теоретических данных г, а в качестве критерия максимум этой корреляции - тах г .
Для достижения цели исследования проведен расчет, необходимый для определения рационального метода обработки экспериментальных данных [9], вычисления проводились на персональном компьютере с системными характеристиками: 6-ти ядерный процессор АМО Ryzen 5 5600G 3.89 ГГц, 16 ГБ оперативной памяти.
Результаты сравнительного анализа представлены в таблице 3. Вычисления будут отличаться при выполнении расчетов на электронной вычислительной машине с другими системными характеристиками, но результат анализа не изменится.
Таблица 3 - Результаты обработки экспериментальных данных функциями различных видов
№ п/п Сравнительные характеристики Аппроксимация методом наименьших квадратов Интерполяция
Экспон. Логариф. Линейн. Полин. 2 степени Полин. 3 степени Лагранжа Ньютона
1 Коэффициент корреляции г 0,798 0,547 0,859 0,998 0,999 0,999 0,999
2 Время вычислений ?, с 0,006 0,006 0,004 0,006 0,012 0,021 0,021
Анализ полученных данных, представленных в таблице 3 и на рисунках 3 и 4, показывает,
что:
существующие методы обработки экспериментальных данных позволяют определять площадь ЖВА БпЛА от ее ракурса;
рациональным методом обработки экспериментальных данных при определении площади ЖВА БпЛА является метод наименьших квадратов с применением квадратичной функции, а менее рациональным - логарифмической функции;
высокую точность при обработке экспериментальных данных показали методы интерполяции Лагранжа и Ньютона, но в целях исследования они не эффективны по причине большой степени полинома и относительно высоких вычислительных затрат по сравнению с другими методами;
при сравнении полиномиальных функций метода наименьших квадратов установлено, что полином 2-й степени показал наилучшие результаты по точности относительно линейной, экспоненциальной и логарифмической функций и по экономии вычислительных задач относительно полинома 3-й степени.
Выводы. Результаты обработки экспериментальных данных показали, что рациональным методом при определении площади ЖВА БпЛА является полиномиальная функция 2-го порядка при аппроксимации методом наименьших квадратов, так как она имеет меньшие вычислительные затраты в 2 и 3,5 раза по сравнению с полиномом 3-й степени и интерполяции методами Лагранжа и Ньютона соответственно. Следует отметить, что увеличение степени полинома при аппроксимации и интерполяции приведет к усложнению аналитической функции, а следовательно увеличению времени на выполнение расчетов.
Направления дальнейших исследований связаны с созданием базы аналитических функций для определения площади ЖВА зарубежных БпЛА различных классов и типов. Полученная база данных и знаний может быть использована в автоматизированных системах управления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ананьев А.В., Рыбалко А.Г., Петренко С.П., Ильинов Е.В. Способ совместного применения беспилотных летательных аппаратов малого класса и многофункциональных бомбардировщиков при поражении средств противовоздушной обороны на маршруте полета // Воздушно-космические силы. Теория и практика. 2021. № 19. С. 10-28. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://vva.mil.ru/upload/site21/B7st1fUZlu.pdf (дата обращения 11.07.2023).
2. Лопин Г.А. Развитие средств борьбы с беспилотными летательными аппаратами / Г А. Лопин, Г.И. Смирнов, И.Н. Ткачев // Военная мысль. 2023. № 1. С. 42-50.
3. Противодействие беспилотным летательным аппаратам: Монография / С.И. Макаренко. СПб.: Наукоемкие технологии, 2020. 204 с.
4. Средства поражения и боеприпасы: учебник / А.В. Бабкин, В.А. Велданов, Е.Ф. Грязнов и др.; Под общ. ред. В.В. Селиванова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 984 с.
5. Емельянов А.В., Ефанов В.В., Сазонов В.М. Планирование и обработка результатов эксперимента: учебное пособие / Емельянов А.В., Ефанов В.В., Сазонов В.М. Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА». 2019. 257 с.
6. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М.: МИКАП. 1994. 382 с.
7. BG-201 Suicide Drone. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://globaldroneuav.com/Product/Rainbow-CH-901BG-201-Suicide-Drone-8392.html#cj/ (дата обращения 11.07.2023).
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для студ. вузов / Е.С. Вентцель. 9-е изд. стер. М.: Издательский центр «Академия». 2003. 576 с.
9. Программа оценки точности методов обработки экспериментальных данных для определения площади объекта в зависимости от ракурса: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023668564 Российская Федерация / И.А. Двуреченских, А.А. Испулов, А.Г. Чубыкин и др.; заявитель и правообладатель И.А. Двуреченских. № 2023667625 от 30.08.2023.
W g
U
REFERENCES
1. Anan'ev A.V., Rybalko A.G., Petrenko S.P., Il'inov E.V. Sposob sovmestnogo primeneniya bespilotnyh letatel'nyh apparatov malogo klassa i mnogofunkcional'nyh bombardirovschikov pri porazhenii sredstv protivovozdushnoj oborony na marshrute poleta // Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika. 2021. № 19. pp. 10-28. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://vva.mil.ru/upload/site21/B7st1fUZlu.pdf (data obrascheniya 11.07.2023).
2. Lopin G.A. Razvitie sredstv bor'by s bespilotnymi letatel'nymi apparatami / G.A. Lopin, G.I. Smirnov, I.N. Tkachev // Voennaya mysl'. 2023. № 1. pp. 42-50.
3. Protivodejstvie bespilotnym letatel'nym apparatam: Monografiya / S.I. Makarenko. SPb.: Naukoemkie tehnologii, 2020. 204 p.
4. Sredstva porazheniya i boepripasy: Uchebnik / A.V. Babkin, V.A. Veldanov, E.F. Gryaznov i dr.; Pod obsch. red. V.V. Selivanova. M.: Izd-vo MGTU im. N/E. Baumana, 2008. 984 p.
5. Emel'yanov A.V., Efanov V.V., Sazonov V.M. Planirovanie i obrabotka rezul'tatov 'eksperimenta: / uchebnoe posobie. Voronezh: VUNC VVS «VVA». 2019. 257 p.
6. Nosach V.V. Reshenie zadach approksimacii s pomosch'yu personal'nyh komp'yuterov. M.: MIKAP. 1994. 382 p.
7. BG-201 Suicide Drone. [Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://globaldroneuav.com/Product/Rainbow-CH-901BG-201-Suicide-Drone-8392.html#cj/ (data obrascheniya 11.07.2023).
8. Ventcel' E.S. Teoriya veroyatnostej: uchebnik dlya stud. vuzov / E.S. Ventcel'. 9-e izd. ster. M.: Izdatel'skij centr «Akademiya». 2003. 576 p.
9. Programma ocenki tochnosti metodov obrabotki 'eksperimental'nyh dannyh dlya opredeleniya ploschadi obekta v zavisimosti ot rakursa: svidetel'stvo o gosudarstvennoj registracii programmy dlya EVM № 2023668564 Rossijskaya Federaciya / I.A. Dvurechenskih, A.A. Ispulov, A.G. Chubykin i dr.; zayavitel' i pravoobladatel' I.A. Dvurechenskih. № 2023667625 ot 30.08.2023.
© Двуреченских И. А., Гоцев Д.В., Испулов А. А., 2023
Двуреченских Иван Александрович, адъюнкт, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
Гоцев Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
Испулов Аманбай Аватович, кандидат технических наук, доцент, старший преподаватель кафедры авиационных радиоэлектронных комплексов, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
W g
U
UDK 623.746.-519 GRNTI 78.21.47
SUBSTANTIATION OF THE EXPERIMENTAL DATA PROCESSING METHOD FOR DETERMINING THE AREA OF VITAL UNITS OF AN UNMANNED AERIAL VEHICLE
I.A. DVURECHENSKIKH
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
D.V. GOTSEV, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
A.A. ISPULOV, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
The rational method of experimental data processing for determining the area of vital units of an unmanned aerial vehicle depending on its perspective is substantiated. A solid model of an unmanned aerial vehicle with a list of vital units is constructed using the Autodesk Inventor system of three-dimensional solid and surface parametric design. Experimental data in measuring the area of vital units of the unmanned aerial vehicle depending on its foreshortening are obtained. Analytical dependences of the area of vital units of an unmanned aerial vehicle on its foreshortening are found on the basis of interpolation by Lagrange, Newton methods and approximation by the least squares method of exponential, logarithmic, linear, quadratic and cubic functions. The comparative analysis of the considered methods of interpolation and approximation is carried out in order to justify the rational method of experimental data processing. The results of the analysis of the considered methods of interpolation and approximation showed that the rational method for determining the area of vital units of an unmanned aerial vehicle is the method of least squares using a quadratic function. The accuracy is preserved and lower computational costs by 2 times compared to the cubic function and by 3,5 times compared to interpolation by Lagrange and Newton methods are achieved with the least squares method using the quadratic function.
Keywords: experimental data processing, least squares method, unmanned aerial vehicle, approximation, interpolation, vital unit.
