Интерполяция функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ 1 2 Исмоилова М.Н. , Имомова Ш.М.

Email: Ismoilova681 @scientifictext.ru

1Исмоилова Махсума Нарзикуловна - старший преподаватель; 2Имомова Шафоат Махмудовна - старший преподаватель, кафедра информационных технологий, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных. В этой статье изучены формулы интерполяции Лагранжа и Ньютона в задаче интерполяции функции.

Ключевые слова: функция, интерполяция, формулы интерполяции Логранджа, формулы интерполяции Ньютона, разностное деление.

FUNCTION INTERPOLATION 12 Ismoilova M.N., Imomova Sh^.

1Ismoilova Makhsuma Narzikulovna - Senior Lecturer;

2Imomova Shafoat Makhmudovna - Senior Lecturer, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGY, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: many of those who are faced with scientific and engineering calculations often have to operate with sets of values obtained empirically or by random sampling. As a rule, based on these sets, you need to build a function that could be used with high accuracy by other received values. This problem is called approximation. Interpolation is a type of approximation in which the curve of the constructed function passes exactly through the available data points. In this article, we study Lagrange and Newton interpolation formulas in the function interpolation problem.

Keywords: function, interpolation, Logrange interpolation formulas, Newton interpolation formulas, difference division.

УДК 517

Большинство численные методы основаны на идее замены функций, участвующих в постановке заданий, на какие-то, близкие в определенном смысле и более простые в построении функции.

Мы рассмотрим наиболее простую и очень широко используемую часть задачу сближения функций- интерполяцию функций.

В настоящее время понятие интерполяции понимается в очень широком смысле. Суть задачи интерполяции заключается в следующем. Предположим, что в промежутке [a, b] задана функция у = /(х) или, по крайней мере, известны ее значения /(х0),/(х1), ...,/(х„). Возмём каких-то класс функций {Р(х)},

определённого и удобного для вычисления в данном промежутке , например, класс полиномов. Задача интерполяции заданной функции у = f (х) в промежутке [a,b] состоит в том, что приблизительная замена функции Р (х)

/(х) * Р(х)

данного класса принял в заданных точках х0, х1(. . ., хп те же значения, что и f (х):

Pixd = fixd (i = Ü^n)

Указанные здесь точки хо, Xi,. . ., хп называются узлами интерполяции или узлами, а Р (х) называется интерполирующей функцией. Если в качестве класса { Р (х) } принимается класс степенных полиномов, то интерполяционный аппарат применяется во многих классах области вычислительной математики. Например, если f (х) является циклической функцией, то в качестве класса принимается класс

тригонометрических функций; если интерполирующая функция становится бесконечной в заданных точках, то в качестве класса желательно получить

класс рациональных функций.

Интерполяционная формула Лагранжа. Предположим, что в отрезке a < X < b в заданных точках х^, к = 0 , 1 , ...,п (точки узла), известны значения функции f (х) . Вопрос интерполяции функции с многочленом состоит найти n-порядкового

Ln (X) = a0 + a1X + + anX (1. 1)

многочлена, значение которого в точках узла равно значению функции .

Этот вопрос имеет уникальное решение для любой непрерывной функции f (х) . Действительно, чтобы определить коэффициенты а0, а 1,..., ап имеем систему линейных уравнений

а0 + а1х1+...+ апхп = f (х^) , ¿ = 0 ,1 ,2 , ...,п (1. 2)

Детерминант этой системы отличается от нуля, когда точки , разные.

Многочлен L п (х) , удовлетворяющий условию

Ln (x,) = f(x,), 1 = 0,1, -,n (1.3)

называется интерполяционным многочленом, построенная по точкам , 0 , 1 ,..., п. Интерполяционная формула Лагранжа, позволяет записывать интерполяционную многочлен в виде линейной комбинации значений

интерполяции функции в точках узлов:

n

Ln (x) = 1 Ck (x)f(xk) (1.4)

k=0

Находим явного выражения коэффициентов С (х) Мы имеем равенства из условия интерполяции (1.3). Эти отношения выполняются при условиях [0, agar 1 = k

[1, agar 1 = k, 1 = 0,1, • • -n, Cfc(x).

к функциям

Это означает, что в отрезке [a,b] каждая функция С (х), k=0,1,..., n имеет по крайней мере N ноль. Ln(x), так как n-порядковый многочлен, вполне естественно искать коэффициенты С (х) в виде n - порядкового многочлена, то есть

Ск (x) = ^ k(x — x0 )(x — x1 )• ' "(x — xk-1 )(x — xk+1 )^(x — x0 )

Из условия

Cfc(xfc) = 1

определяем

Ck (x,) = ■

^ к = (хк Х0 ХХк Х1 ^"^к xk-1 ХХк xk+1 ^"^к Хп )

Таким образом, коэффициенты интерполяции многочлена(1.4) определяется по формуле

П (х-Х, ) Ск ( х) = ^ ^

п [хк-х])

. к(Хк-Х.,

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

п П (х-Х, )

Х - Х,

^ (Х)=Е / ^) (15)

k=0 п )

Интерполяционная формула Ньютона. Вид формулы Ньютона интерполяционного многочлена представляет интерполяционный многочлен через одним узлом точки и разностном делении функции / (х) . Это

/(Х) = /(Хо) + /(Х0)(Х-Хо)+ (Х~Х)2 /" (Хо) + -

2/

состоит из разностного аналога формулы Тейлора. Прежде всего, мы приводим данные о разностных делениях. Предполагаем, что известны значения функции / (х) в точках узлов хке [а,Ь], к=0,1,...,п. Соотношение

А \ /(х.)-/(х') п,

/(Х,,Х.) =-.-, и = 0,1,i * j

называется разностными делениями первого порядка.

С помощью разностных делений первого порядка, сконструированных по соседним точкам, можно создавать разностных делений второго порядка:

г(Х Х Х\-Г(х1,х2) Г(х0,Х1)

J \Л0,Л1,Л2) =

Х2 Х0

/(Х Х Х\-Г (Х2 ,Х3 ) Г (Х1,Х2 )

J (Л^^з ) =

•Х3 Х]_

/(Хп-2,Хп- 1,Хп) :

/(Хп- 1'Хп) /(Хп-2 ,Хп-1)

Х Х о

п п-2

Аналогично образуются разностные деления высшего порядка. Например, если известны разностные деления к- порядка, разностные деления к+1- порядка определяются определяется как

Г(у Х Х )_ Г(Х+1,-, ,+1 )- Г(Х, Хг+к )

Х]+к+\ Х]

Разностные деления к- порядка через значений в точках узлов функции / (х) выражаются следующим образом:

, J № -X)

l

l=j

Многочлен

Pn(x) = /О o) + (x - x^fixo.xj + (x - x0)(x - x1)/(x0, xx, x2) + ••• +

+ (x - x0)(C - xx) -(x - xn_1)/(x0, xx, (1.7)

называется интерполяционным многочленом Нютона.

В статье изучены формулы интерполяции Логранджа и Ньютона в задачах интерполяции функции.

Список литературы /References

1. Исроилов М.И. «Численные методы». Т: Учитель, 2000. Стр. 258-277.

2. Самарский А.А. «Введение в численные методы». М: Наука, 1987.

3. Имомова Ш.М., Фаттоева Г.Ш. Методика преподавания темы квадратных уравнений // Ученый XXI beka. № 1 (48), 2019. С. 29-30.