Обобщенные степенные ряды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБОБЩЕННЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Чан Куанг Выонг

Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: misuto6174@yahoo.com

Аннотация. В статье представлены результаты о равномерной сходимости обобщенных степенных рядов.

Ключевые слова: обобщенные степенные ряды, система Коши-Римана, аналитические функции, равномерная сходимость.

В теории эллиптических систем первого порядка важное место занимают системы вида

д±_3д± = {) Ш д у дх ’

где I х /-матрица 3 € С1х1 не имеет вещественных собственных значений. Системы этого вида впервые были изучены А.Дуглисом [1] для числовой матрицы 3 в рамках так называемых гиперкомплексных чисел. Позднее было обнаружено [2,3], что эти системы играют важную роль в теории эллиптических систем 2-го и более высоких порядков.

При 3 = г система (1) составляет известное условие Коши-Римана, описывает классические аналитические функции. По аналогии с обычными степенными рядами, возникающими в теории аналитических функций, можно ввести и обобщенные ряды, играющие аналогичную роль для системы (1).

Пусть а(3) = {^1,^2,...,^} - спектр матрицы 3. С комплексным числом г = х + гу = 0 свяжем / х / — матрицу г = х + 3у, где 1 означает единичную матрицу. В случае комплексного числа

V = а + гв, в = 0 , (2)

аналогичное обозначение определяет комплексное число = х + vy = х + ау + гву. Очевидно, равенство |г^ | = г на плоскости переменных г = х + гу описывает эллипс

х2 + 2аху + | V) 2у2 = Я2 , (3)

внутренность и внешность которого обозначим, соответственно, С^, Я) и С^, Я). Пусть а0^) и а1^) означают, соответственно, малую и большую полуоси этого эллипса с Я = 1. Матрица

3 = ( 1 а 3 V а IV|2

квадратичной формы в (3) положительно определена и ее собственных значения Ао и

А1 являются корнями характеристического уравнения (А — 1)(А — IV|2) = а2. Величины,

обратные к ним, совпадают с квадратами а0 и а1 полуосей.

Таким образом, полуоси эллипса (3) даются равенствами

RV2

ао

ai

\Л + н2- s/(i-п2у2+^2

RV2

(4)

■sjl + \и\2 + \J(1 - М2)2 + 4<Р Обобщенными степенными рядами называется выражение вида

œ

J2z'jcn, c„ G Rl. (5)

n=0

Введем для элементов A G Clxl и £ G Cl соответствующих конечномерных пространств нормы по формулам

llAll = тах{ ^ \ац\} , ||^| = тах \&\ . (6)

1<г</ I z' J Кг<1

1<j<l

Тогда справедливы соотношения

IA И < l|A| le II, l|AB| < ||A| ||B| . (7)

В частности, ряд (5) сходится абсолютно (по норме) в точке z, если

œ

J^IIzj||n ||c„|| < œ . (8)

n=0

Лемма 1. Пусть r есть степень минимального многочлена матрицы J. Тогда справедлива оценка

|zj|| < C max |zv|n(1 + |n|)r 1, n = 0, ±1, ±2,... , (9)

v€ct(J )

где постоянная С > 0 зависит только от 3.

□ Пусть VI,..., V; - все различные собственные значения матрицы 3. Как известн из линейной алгебры [4], матрица 3 может быть приведена к жордановой форме. Другими словами, существует такая обратимая матрица В, что 30 = В-1АВ имеет блочнодиагональный вид diag (31, 32,..., 3П), где 3; есть блочно-диагональная матрица, составленная из некоторого числа V;-клеток Жордана. При этом порядок каждой из этих матриц не превосходит г. Все элементы матрицы 3; — V; равны нулю, кроме некоторых элементов на первой диагонали над главной, которые равны 1. Таким образом, с учетом (6)

|| 3к — Vk II = 1 , (3к — Vk)Г = 0 • (10)

Пусть функция f (и) аналитична в окрестности всех точек V;. Тогда согласно [4] значение этой функции от матрицы 3; вычисляется по формуле

ЛЛ) = Е - щ)>.

3=0

Совместно с (7), (10) отсюда

Г— 1

i/wiiii;^. do

С другой стороны,

f (3) = В—^(30)В, f (30) = diag [f (31), •••, f (3;)] , так что с учетом (7), (11)

И/МИ < ЦВ|| • ИВ-'И тах . (12)

Очевидно,

f (3) = f (и) = (х + иу)п •

Для рассматриваемой функции имеем:

f а)М _ У3 ^(3)^^ 1

j! \з) zi ’ j!

с биномиальным коэффициентом

'n\ n(n — 1) ■ ■ ■ (n — j + 1)

jj j Подставляя эти выражения в (12), приходим к оценке (9). I

С помощью леммы 1 нетрудно описать области сходимости обобщенного степенного ряда (5). На основании этой леммы рассматриваемый ряд мажорируется по норме классическим степенным рядом

ГО

, (13)

n=0

где положено

q = max |zv| , an = (1 + n)r-1||c„|| . v€ct(J)

Хорошо известно [5], что радиус сходимости этого степенного ряда дается равенством

R = ______ \______ (14)

lim л/llcJI

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К.Гд Серия: Математика. Физика. 2012. №11(130). Вып. 27 27 Следовательно, в области

max IzJ < R (15)

vea(J)

ряд (5) сходится абсолютно для каждого z, а аналогичной области с заменой R на r < R он сходится равномерно. В принятых выше обозначениях область (15) на плоскости z = x + iy представляет собой пересечение эллипсов

G(J,R) = n^j) G(v,R). (16)

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. В обозначениях (14) область (16) содержится в области абсолютной сходимости ряда (5) и формально продифференцированного ряда

£

jn— 1

n

n>1

UZj Cn .

На каждом компакте K С G( J, R) эти ряды сходятся равномерно.

Из теоремы следует, что сумма ф(-) ряда (5) в области (16) как функция переменных x,y непрерывно дифференцируема и удовлетворяет системе (1).

Аналогичным образом можно рассмотреть обобщенный ряд

ГО

Е -'-“cn (17)

n=0

по отрицательным степеням матрицы zj. В силу леммы 1 этот ряд мажорируется соответствующим степенным рядом

ГО

С £>“«-“,

n=0

где как и выше

q = max |z^|, a“ = (1 + n)r-1||cn|| .

v€a(J)

Этот ряд имеет область сходимости

max \zv\ > R1, R1 =limy ||с„|| , (18)

v€ct(J )

что приводит к следующему предложению.

Теорема 2. Область (18), представляющая собой пересечение

G/(J,R1) = n^j)G(v, R1)

внешностей эллипсов, содержится в области абсолютной сходимости ряда (17) и формально продифференцированного ряда

^(-n)zjn V

n>1

На каждом компакте К' С 0'(3,Я1) эти ряды сходятся равномерно.

В качестве иллюстрации рассмотрим случай когда к = 2, когда матрица 3 имеет два собственных значений. Области 0(3, Я) и 0'(3, Я1) абсолютной сходимости этих рядов изображены на следующем рис. 1.

Рис. 1. Случай k = 2

Литература

1. Douglis A.A. A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables // Comm. Pure Appl. Math. - 1953. - 6. - P.259-289.

2. Солдатов А.П. Эллиптические системы высокого поpядка // Диффеpенц. ypaBH. - 1989. -25; 1. - С.136-144.

3. Yeh R.Z. Hyperholomorphic functions and higher order partial differentials equations in the plane // Pacific Journ. of Mathem. - 1990. - 142;2. - P.379-399.

4. Мальцев Н.И. Основы линейной алгебры (3-е изд.) / М.: Наука, 1970.

5. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций / М.: Наука, 1984. - 320 с.

GENERALIZED POWER SERIES Tran Quang Vuong

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: misuto6174@yahoo.com

Abstract. Results on the uniform convergence of generalized power series are presented.

Key words: generalized power series, Cauchy-Riemann’s system, analytic functions, uniform convergence.