CC BY
13
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 60-73.
УДК 517.9
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЙОСТА УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА С ПОТЕНЦИАЛОМ^РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
Р.Ч. КУЛАЕВ, A.B. ШАБАТ
Аннотация. Работа посвящена задаче кардинального расширения пространства потенциалов в обратной задаче рассеяния для линейного уравнения Шрёдингера на числовой прямой. Рассматривается оператор Шрёдингера с потенциалом из пространства обобщенных функций. Это расширение включает в себя не только потенциалы типа ¿-функции, но и экзотику типа функции Кантора. На этом пути устанавливаются условия существования и единственности решений Иоста. Изучаются их аналитические свойства. Приводятся некоторые оценки для решений Иоста и их производных. Показывается, что уравнение Шрёдингера с потенциалом-распределением можно равномерно аппроксимировать уравнениями с гладкими потенциалами.
Ключевые слова: обратная задача рассеяния, уравнение Шрёдингера, решения Иоста, дельтаобразный потенциал, сингулярный потенциал, потенциал-распределение.
Mathematics Subjects Classifications: 34L25, 35J10, 37К15
Основное содержание данной статьи посвящено задаче расширения пространства потенциалов в обратной задаче рассеяния для линейного уравнения Шрёдингера на всей вещественной оси
Ах = (q(x) + к2) -ф, х е R. (1)
При изучении обратной задачи рассеяния фундаментальную роль играют аналитические свойства специальной фундаментальной системы решений уравнения Шрёдингера с экспоненциально растущей на бесконечности асимптотикой (решения Иоста). В классической теории рассеяния уравнение (1) рассматривается при условии, что потенциал q(x) является суммируемой функцией, удовлетворяющей условию
оо
/(Ж ) 1 ф)| <ъ< <».
— о
Условия на функцию q возникают естественным образом из требования существования и единственности решений Иоста, а также возможности их аналитического продолжения для комплексных значений параметра к [1]-[3]. В данной работе изучаются математические свойства уравнения Шрёдингера (1) с потенциалами, являющимися обобщенными производными функций ограниченной вариации. Интерес к уравнениям с обобщенными коэффициентами в последнее время неуклонно растет (см., например, [4]-[10] и библиографию там же). Рассмотрение уравнения Шрёдингера (1) с потенциалами, являющимися
R.Ch. Kulaev, A.B. Shabat, Some properties for Jost functions of a Schrodinger equation yyjipjj distribution potential.
©Кулаев Р.Ч., Шабат A.B. 2017.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ №15-11-20007.
Поступила 23 мая 2017 г.
обобщенными производными функций ограниченной вариации, расширяет класс допускаемых к анализу задач, требуя при этом учета чисто математической специфики этого объекта. Мы исследуем ниже, каким условиям должна удовлетворять функция q, чтобы обеспечить не только существование и единственность решений Йоета, но и возможность
изучаются в пункте 1 настоящей статьи. Там же доказывается непрерывность решений Йоета на всей вещественной оси и устанавливаются базовые оценки. Во втором пункте изучаются более тонкие свойства решений Йоета, показывается, что решения принадлежат WOc1, выводятся оценки для их производных, В третьем пункте показывается, что оператор Шрёдингера с потенциалом, являющимся обобщенной производной функции ограниченной вариации, можно рассматривать как равномерный предел операторов с гладкими потенциалами, В этом случае, как следует из результатов работ [4, 5], все решения дифференциального уравнения принадлежат W1O'c1-
U
1. Решения Иоста. Пусть Q - вещественная функция, заданная на всей числовой оси R, и
m
VQ(x) = supj^ IQ(xi+i) — Q(xi)|,
i=1
где супремум берется по всем m G N и всем [xi }^=1 таким, что
—то < x1 < x2 < ... < xm < x < то.
Определим полную вариацию функции Q как предел Vq = lim Vq(x). Обозначим через
BV пространство всех вещественных функций, имеющих на R ограниченную вариацию, а через М — множество всех функций, каждая из которых является обобщенной произ-
B V
Раеемотрим уравнение Шрёдингера (1), потенциал q которого является элементом М и q = Q', Q G BV. В первую очередь нас интересует вопрос о существовании у рассматриваемого уравнения решений Йоета, Как уже отмечалось выше, решения Йоета образуют
асимптотиками на отрицательной и положительной бесконечностях. Стандартный метод в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, применяемый для доказательства существования и единственности решений уравнения, удовлетворяющих начальным условиям, заключается в переходе к эквивалентному интегральному уравнению, В этом случае метод последовательных приближений позволяет получить условия существования решения с заданными начальными данными. Поскольку решений с заданной асимптотикой на бесконечности у уравнения (1) много, то предельный переход xo ^ то в задаче Коши с данными в конечной точке x0 G R проблему не решает. Поэтому для построения фундаментальной системы решений приходится отдельно использовать условия при x ^ то и x ^ —то. Кроме того, имеется еще и проблема аналитического продолжения фундаментальной системы решений как функций комплексного параметра к. Именно требование аналитичности выделяет решения Йоета,
Пусть К+ = [к G C, Rek > 0}. Обозначим через ^±(x, к), x G R, к G К+, функции, определяемые при помощи следующих соотношений
х
ф+(х, к) = ф+(Х, к)etz, ф+(х, к) = 1 + J R(x — у, к)ф+(у, k)dQ(y),
i)~(x, k) = ф~(x, к)e~kx, ф-^^) = 1+ R(y — x, к)ф~(у, к)dQ(у),
в которых
1 _ р-2%
П(У = в(у), (3)
а в (у) - функция Хевиеайда, При этом интегралы в (2) понимаются в смысле Римана-Стильтьеса, а ядро (3) удовлетворяет в К+ оценке
о
\П(у,к)\ <! \е2ка\йз < у, у> 0, Пек > 0. (4)
-у
Функции определяемые с помощью соотношений (2), назовем решениями Иоста, уравнения Шрёдингера, Эти специальные решения удовлетворяют условиям ф+(х, к) ~ екх при х ^ — ж и ф-(х, к) ~ е-кх при х ^ ж.
Теорема 1. Для, любого к Е К + решения Иоста ф±(х,к) уравнения Шрёдингера (1) однозначно определяются, соотношениями (2), если выполнено условие
сю
[ (1 + \х\)вУд(х) < ж. (5)
При каждом фиксированном к Е К + решения ф±(х, к) интегральных уравнений (2) непрерывны, на, всей числовой оси, а, для, каждого фиксированного х Е К являются, непрерывными функциями па,ра,м,етра, к в ККроме того, ф±(х, к) аполитичны в полуплоскости Пек > 0 и удовлетворяют следующим оценкам:
О)
\ф+(х,к) — 1\< ехр{ I Уд(у)<!у \ ! Уд(у)<!у,
-с
с
1Ф-(х, к) — 1\ < ехр{ I (Уд — Уд(у)) ¿у \ [(Уд — Уд (у)) ¿у, к Е К+;
(И)
\ф+(х,к) — 1\ < С+(1+ тах{х, 0}) / (1 + \х\)ё.Уд(х),
-с
1ф— (х, к) — 1\ < С-(1+тах{—х, 0}) / (1 + \х\)с1Уд(х),
где константы С± не зависят от к Е К+; (ш)
|ф+(х,к) —11 <~кГехр \ТО < ]к\ ехр I¥\ I,
и-( к) ^ Уд — Ур(х) } Уд — Уд(х) \.Уд (Уд \ |ф (х,к — 1\<~{к\— ехр\ —<\к\ ехр1 ¥\\
где к Е К+ \ {0}.
X
^ Используем метод последовательных приближений, чтобы определить условия, при которых существуют решения Йоета задач (2), Ввиду аналогии рассуждений мы проведем выкладки только для первого уравнения. Покажем, что при к € решение ф+ (х, к) соответствующего интегрального уравнения существует и может быть найдено в форме
ф+(x, к) = 1 + ^2 к(x, к),
п=1
X
fn+1(x, к)= j R(x — y, к) fn(y, k)dQ(У), fo(x, к) = I.
— X
Для доказательства сходимости ряда (6) используем неравенство (4):
х
|h(x, к)\< [ \R(x — у, к)^(у)
< (x — y)dVQ(y) = (x — y)VQ(y)\[' + VQ (y)dy.
x
| X -X
— x
Если положить, что
П] У (п +1)1'
— те
Из оценки (8) следует, что ряд теории возмущений (6) мажорируется рядом
Мп(х)
e м (х) = 1 + ^2
(6)
lim \x\VQ(x) = 0, (7)
X^ — X
то получим оценку для \ f1(x, к)\
X X
\ h(x, к)\< У (x — y)dVQ (у)= У VQ(y)dy = M(x). —X —X
Покажем, что члены ряда (6) допускают оценку
\Ux^)^ Mix. (8)
Привлекая индукционные рассуждения, имеем
X X
\ fn+1(x, к)\< J \R(x — у,к)\\fn(y, к)\ dVQ (у) = lj(x — y)Mn(y)dVQ(y). —X —X
Интегрируя по частям, окончательно получим
X X
\in+1 (x,к)\< 1J Vq(y)Mn(y)dy — J^—Jyj Vq(y)(x — y)Mn—1(y)dy < —X —X
x
< VQ(y)Mn(y)dy-Mn+1(x)
m
n=1
X
Поэтому можно утверждать, что если выполнено условие
о
[ \x\dVqix) < ж, (9)
то ряд (6) равномерно сходится на любом промежутке (-ж, Ь], Ь < ж. Действительно, неравенство (5) гарантирует выполнение (7) и М(Ь) < ж. Отсюда следует, что функция ф+(х, к) непрерывна при Не к > 0 аналитична при Не к > 0 и удовлетворяет соответствующему неравенству из (1),
Аналогично можно получить, что при выполнении условия
хвУ(з(х) < ж, (10)
о
функция ф- (х, к) непрерывна при Не к > 0 и аналитична при Не к > 0 и удовлетворяет своему неравенству из (1),
Сводя условия (9) и (10) в одно условие, получим достаточное условие разрешимости интегральных уравнений (2)
] \х\вУд(х) < у (1 + \х\)дУд(х) < ж.
—те —те
Докажем теперь неравенство (и) для ф+(х,к). Привлекая (4), имеем
X
\ф+(х,к)\< 1+ [ (х - у)\ф+(у,к)\йУя(у)
0 х
< 1+[ \у\\Ф+(у,к)\йУд(у)+ [ х\ф+(у,к)\йУд (у).
Так как \ф+(у, к)\ < ем(0) при у < 0, то из (5) следует
X
(11)
\ф+(х,к)\< С + х\ф+(у,к)\йУд(у), 1 <С< ж, (12)
—те
причем константа С те зависит от к & К+. Деля обе части интегрального неравенства на С(1 + \ж\) и вводя обозначение х(х,к) = ' получим неравенство
х
\х(х,к)\ < 1+ ! (1 + \у\)\х(у,туя(у),
— те
которое е учетом (5) можно решить методом итераций:
|Xo(х, к)\ = 11,
X X
ЫхМ< I (1 + ШУЯ(у) = (1 + х)УЯ(х) - I Уд(у)<11у1 = М\ (х),
—те —те
¿Мх(х) = (1 + х)вУд(х) + Уд(х) с1х — Уд(х) с1х = (1 + х)6Ус}(х),
X X
\хп+\(х, к)\< I(1 + \у\)МПШ<1Ус(у) = пи м?шм1(у) = Мп+х■
—те —те
Следовательно, \ф+(х,к)\ < С\(1 + \х\)еМ1(х\ Отсюда и го (11), (!) для х > 0 получаем
0 х
\ф+(х,к) — 1\< I \у\\ф+ (у, к)\дУс(у)+х I \ф+(у, к)\дУс(у)
—те х —те (13)
<С2(1 + х) I (1 + \у№с(у).
—те
х
X
\ф+(х, к) — 1\< е М(0) [ (1 + \yDdVc(у).
Сопоставляя последнее неравенство с (13), получим оценку (11) для ф+.
Доказательство (Ш) основано на тех же идеях, с той лишь разницей, что вместо оценки (4) нужно задействовать очевидное неравенство \Я(у, к)\ < -щ, к € К+ \ {0}, Действительно, из последней оценки получаем интегральное неравенство
X
\ф+(х, к) — 1\< + щ/ \ф+(у, к) — 1^с(у),
которое легко решается методом итерации:
I ( ^^Vс(х) 1 (^с(х) ^(х)
\ 90(х,к)\ <~скТ, \91(хМ <\к\] с(у) = адр"
—те
X
ГП
\9п(х,к)\ =
п1\ки \к\п (п +1)1\к\п+1'
—те
Нам остается доказать, что при каждом фиксированном к € К+ функция ф+(х, к) непрерывна на всей числовой оси. Учитывая равномерную сходимость ряда (6) на полуоси (—то, а) при любом а € М, достаточно показать непрерывность итераций /п(х,к) по х.
Интегрированием по частям получаем1
/о(х,к) =
х
и+1(х,к)= I е—2к(х—У)/п(у,к)Я(у)йу
—те
X
Г 1 _ е-Щх-у)
Гп (у,к№(у)<1у,
(14)
3 2к
— те
fn+l(x, = fn{x, k)Q(x)
X X
- 2к ! е—2к(х—й/п(у,к)<Э(у)<1у - ! е-2к(х-У)Ц(у,к)<Э(у)<1у.
—те —те
а
Из условия (5) следует, что [ Уу(х) йх < ж для любо го а € М, А поскольку всюду на К вы-
—те
полнено неравенство |^(ж)| < ^(ж), то условие (5) гарантирует включение Q € Ь1(-ж,а) для любого а € К, Теперь непрерывность ф ункций /п(х, к) то перемен ной х очевидна. Для функции ф—(х, к) рассуждения аналогичны. Теорем а доказана, ►
Следствие 1. Если потенциал, д является финитным, то решения Поста, аполитичны во всей комплексной плоскости, к.
Следствие 2. При Щ м ж, к > 0, имеют место следующие предельные соотношения:
ф+(х,к) = 1+ I П(х - у, к) ¿Я(у) + о^
—те
(15)
ф—(х, к) = 1 + ] К(у - х, к) ¿Я(у) + о
х
к±1
М Из (2) и утверждения (Ш) следует ф±(х,к) = 1 + О (1) при Щ м ж, ^ек > 0, Подставляя эти соотношения в (2), получим (15), ►
Замечание 1. Замена параметра к м -к приводит к еще одной паре функций удовлетворяющих условиям ^+(х,к) ~ екх при х м ж и ^—(х,к) ~ е-кх при х м -ж. Очевидно, что рТ(х,к) = ф±(х, - к). Кроме того, для каждого х € К решения (х,к) непрерывны по к при Не к < 0 и аналитичны по к при Не к < 0,
о
2. Дальнейшие свойства решений Иоста. Доказанная теорема 1 позволяет получить свойства решений ф±(х,к) интегральных уравнений (2), а с ними и свойства решений Йоета уравнения Шрёдингера (1),
Выделим в пространстве ВУ подпространство функций, удовлетворяющих условию (5) и введем для него обозначение ВУ1, Будем считать, что вещественный потенциал д уравнения (1) является обобщенной производной некоторой функции Q € ВУ1, Поскольку д = 01 в обобщенном смысле, то функция ^ восстанавливается по потенциалу д с точностью до
1 Всюду далее для обозначения производной функции / (х, по переменной х используется одна из следующих записей //ж или В каждой конкретной ситуации выбор записи обусловлен наличием в обозначении функции верхнего или нижнего индексов.
аддитивной константы. Поэтому у нас имеется определенный произвол в выборе этой константы, При изучении свойств решения Поста нам удобно считать, что Q(x) ^ 0 при х ^ — ж.1 В частности, если потенциал q финитный и виррд С [а, Ь], то полагаем Q(x) = 0 при х < а. Аналогично, при изучении свойств другого решения ^"считаем Q(x) ^ 0 при х ^ ж.
Рассмотрим интегральные уравнения (2) и покажем, что их решения ф± лежат в Ш110'<1 и кроме того, что ф± € ВУ\0С. Ввиду аналогии рассуждений рассмотрим только решение ф+. Очевидно, что достаточно установить включения ф+ € Ш 1'1(а, Ь), ф+ € ВУ (а, Ь) для произвольного конечного интервала (а, Ь) С М, Согласно (6)
те
ф+(x, к) = fn(x, к),
п=0
где функции ¡п удовлетворяют равенствам (14). Из теоремы 1 еледует, что при к € К+ ряд сходится в каждой точке x € М, Обозпачим п-ю частичную сумму ряда (6) через фп. Тогда для фиксированного к € К+ получаем
х
фок) = 1, ф^, к) = 1+ [ е~2к(х~у^(у)с1 у,
ф'l(x,k) = Q(x) — 2к ! е~2к(х~у^(у)(1у = ! e—2к(х—у)dQ(y).
—те —те
Отсюда, учитывая ВУ (а, Ь) С Ь1(а, Ь), следуют включения ф1(x, к) € Ш 1'1(а, Ь), ф'^к) € ВУ (а, Ь). Так как Q € ВУ, то для функции ^ ^ ^^^дой точке x € М заведомо существуют односторонние пределы Q(x ± 0), Причем множество точек разрыва функции ^ ^^ ^^^^^ ^^^^ ^^^^^^^ ^^^тому в точках непрерывности ^ ^^^ фикции ф1 существует производная ф[ по ^ Если же функция ^ ^^^^^ ^ ^^тоторой точке x0 € М скачок AQ(x0) = Q(x0 + 0) — Q(x0 — 0), то аналогичный по величине скачок будет иметь и производная ф[. Следовательно, можно доопределить функцию фк) — Q(x) по непрерывности на весь отрезок [а, Ь] и считать ф[ ^, к) — Q(x) € АС [а, Ь].
Далее, из (14) для п > 1 имеем
фп+1^, к) = 1 + I е—2к(х—у^фп(у,к^(у)(1у
1 _ е — 2к(х—у) 2к
фП(У ,k)Q(y)dy,
—те
ф'пк) = фп^, к^^)
х х
— 2 к I е—Щх—у)фп(у, тШу— I е—2к(х—у)ф'п(у, Шу)<1у.
—те —те
Рассуждая по индукции, получаем, что
фпМЛ) €Ш 1,1 (а, Ь), Ф^к) €ВУЬ),
фп^, к) — Q(x)фn—l(x, к) € АС [а, Ь]
этом случае потенциал д является конечной мерой Бореля на М.
х
х
х
х
для всех п € N. Кроме того, левые части (16) можно переписать в виде
X
фп+1(х, к) = 1+ [ е—2к(х—у^фп(у, к)Я(У)(1У
—те
X /у
- Щх - у, к) \ е—2к(У—в)фп—1(з, к)с1Я(8)\Я(у)с1у,
—те
х
ф'п+1(х, к)= у е—2к(х—У)фп(у, к)Щ(у).
—те
Отсюда, с учётом (5), (8), легко получается оценка
/ х \т
хг п I I Уд(у)йу\ \#г+1(х, к)\ < \е—2к(х—у)\ 1Фп(у,к)1 ¿Уо(у) < Уд £ ^—те-■-. (19)
^ т=0 '
—те
Следовательно, последовательность ф'п - Цфп— 1 сходится равномерно на [а, Ь]. Ввиду равномерной на [а, Ь] сходимости
фп ^ фх, ф'п - 0фп—1 - 0Ф+ (20)
и соотношений (17) получаем
ф+(х, к) € Ш 1'1(а, Ь), ф+(х, к) € ВУ (а, Ь), ф+(х, к) - 0(х)ф+(х, к) € АС [а, Ь].
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. При каждом фиксированном к € К+ имеет место включение ф± € Ш110'<1. Кроме того, ф± € ВУ\0С, а разность ф± - 0ф± абсолютно непрерывна на конечных от-М
11 з теоремы 2 и (18), (19) следует, что
х те
Ф+(х, к)= I е—2к(х—У)ф+(у, кШу), ф—(х, к) = -/ е—2к(У—х^ф—(у, к)<^(у),
— те х
и выполнены оценки
х
\ф+(х,к)\ < [ \е—2к(х—У^\\ф+(у, к)\с1Уя(у),
—те
(21)
\ф—(х, к)\ < у \е—2к(х—^\\ф—(у}к)\дУд(у).
х
Подставляя в формулы (21) оценку (11) теоремы 1, получаем следующие утверждения. Лемма 1. Для любого к € К + производные ф±(х,к) равномерно ограничены:
х те
\ф+(х,к)\<С ¡(1 + ЫУУ^у) <С ¡(1 + ШУд(у),
—те —те
те те
\ф—(х, к)\ <С (1 + 1у№я(у) <с (1 + ШУя(у).
Лемма 2. При \к\ ^ ж, Пек > 0, будут выполнены предельные соотношения ф±(х, к) ^ 0.
Аналогично, из (21) и (12) получаем утверждение.
Лемма 3. Для любого к Е К + производные ф±±(х,к) удовлетворяют оценкам:
\ф+(х,к)\ <С1Уя(х), х < 0, \ф—(х,к)\ < С2Уд(х), х > 0, где константы С1, С2 не зависят от к.
Лемма 4. Если Пек > 0, то ф+(х, к) ^ 0 щи х ^ ж и ф—(х, к) ^ 0 щи х ^ — ж. < Из (21) имеем:
X
\ф+(х,к)\<\е—2кх\ I \е2ку\ \ф+ (у, к)\<1Уа(у).
—те
Ввиду (5) и оценки (111) теоремы 1 правая чаеть неравенства стремится к пулю при х ^ ж, если только Пек > 0 ►
Свойства функций ф± и их производных позволяют уточнить теорему 2,
Лемма 5. Если —ж < а < ж, то при, каждом к Е К+ \ {0} выполнены включения ф+ — 1 Е Ш 1'1(—ж,а) иф— — 1 Е Ш 1'1(а, ж).
Действительно, включение ф+ Е Ь1(—ж,а) следует из оценки (ш) теоремы 1 и (5), а включение ф+ Е Ь1(—ж, а) следует из леммы 3 и того же условия (5),
Отметим, что при к = 0 лемма 5 неверна, о чем свидетельствует следующий пример.
Пример. Рассмотрим уравнение (1) с потенциалом д(х) = х—33 при х > 1. Не сложно
х > 1
2
х 3
Г(х, 0) = ф—(х, 0) = х-
еЬ ^3х з^ — йЬ ^3х
Привлекая формулу Тейлора, получим асимптотическое равенство
ф~ (х, 0) = 1 + ^х"2 + о 2^ , х ^ ж,
из которого очевидным образом следует, что ф~ — 1 Е Е1(а, ж) при любом а Е К,
3. Аппроксимация гладкими потенциалами. В данном пункте будет показано, что в обратной задаче рассеяния уравнение Шрёдингера с потенциалом д Е М, д = О'д Е ВУ1 можно равномерно аппроксимировать уравнениями с гладкими потенциалами. Отметим, что аналогичный результат для уравнения на конечном промежутке получен в работе [5] (см, также [4]),
Мы по-прежнему считаем, что д = О' в обобщенном смысле и О Е ВV!. Пусть г/е(х) -стандартное усредняющее ядро. Для функции О Е ВУ1 определим среднюю функцию Ое = % * О на К- Тогда для каждого разбиения —ж < х0 < х1 < ... < хп < х < ж будем иметь
га „га
— Ое(хг—1)\< 'Пе (У)^ 1О(х — У) — О(х— — У)\ ¿У —те
£
< / Яе(У)^ (х — У)<1у (х + £).
Следовательно, Vqe (х) <Vq (х + е) < Vq и
Ixl dVQs (x) = VQe(х) dx - xVQs (х)
0 0 < Vq£(х) dx < / Vq(x + e)dx< ж.
Аналогично можно показать, что
J 1x1 (х) < ж. 0
Из полученных неравенств, в частности, следует € ВУ1.
Замечание 2. Легко видеть, что для любых х,у € М, х > у выполнено неравенство
1Яе(х) -Я£(У)1<Уд£ (X) <Уд(х + е).
м -ж
Юг(х)1<УдЕ (х) <Уд (х + е), X € К. (22)
Следовательно, 0£ € Ь1(-ж, Ь) для любо го Ь € М, Кроме того, из теоремы Лебега следует, что
х
У Юе(у) -Я(у)^ум 0
—те
для любого X € М,
Обозначим через ф+ решение интегрального уравнения
х
ф^(х,к) = 1 + Я(х - у,к)ф+ (x,k)dQ£(у).
Ввиду Q£ Е ВV\ решение ф+ существует при каждом к Е К+. Через ф+ = екхф+ обозначаем решение Йоета уравнения Шрёдингера с гладким потенциалом q£ = Q'e.
Лемма 6. Для любого к Е К+ при £ ^ 0 выполнены предельные соотношения:
(1) ф+ (х, к) ^ ф+(х, к) для всех x Е R;
(2) (х, к) ^ (х, к) почти всюду на R.
М Поскольку функция Q непрерывна почти всюду на R, а решения Йоета непрерывны на всей оси R, то достаточно показать справедливость утверждений леммы в точках
Q
Пусть x Е R и к Е К+ произвольно фиксированы, причем функция Q непрерывна в точке х. Тогда ввиду теоремы 1 и (20) для каждого е Е [0,1] будут выполнены равенства
д
ф~1 (х, к) = lim ф£,п(х, к), (х, к) = lim ф'еп(х, к), (23)
п^-те дХ п^-те '
0
0
где (см, (14)) ф£'о(х, к) = 1,
X
фе,п+1(х,к)= I е—2к(х—уЦе,п(У,к)ОеШу
—те
х
— ! П(х — у, к)ф'£'П(у,к)О£(y)dy, —те (24)
фle,n+1(х, к) = ф£'П(х, к)Ое(х)
х х
— 2к I е—2к(х—у^ф£'П(у, к)ОеШу — I е—2к(х—У)ф'£га(у,к)ОеШу.
— те —те
Здесь полагаем, что значению е = 0 соответствует функция ф+ = ф+. Из неравенств (8), (19), (22) следует, что оба предела в (23) равномерны относительно е Е [0,1]. Поэтому, очевидно, для доказательства леммы нам достаточно показать, что при е ^ 0 при каждом п будут выполнены соотношения ф^(х, к) ^ фп\х, к), ] = 0,1.
При п = 0 предельные соотношения очевидны. Далее, рассуждая по индукции, предположим, что ф^)п(х, к) ^ фп\х, к) для всех п < N и покажем, что ф^]^+1(х, к) ^ ф('м>+1 (х, к) при е ^ 0, Но эти соотношения следуют из неравенств (8), (22), обеспечивающих возможность перехода к пределу под знаком интеграла в выражениях (24), Действительно, из (8), (19) и (22) при у Е (—ж>, х] получаем оценки
\е—2к(х—)ф£,п(у, к)Ое(у) \ < ем*\Ое(у)\ < Сем(у) \О(у)\ Е 11(—ж)х))
У
\ф'е,п(У, к)\ < (у) < ем(у+%(У + £), Ме(у) = / VQaшз,
—те
\П(х — У,к)ф'е,п(У, к)Ое(У) \
< (х — у)ем*(У%£(у)\Ое(у)\ < (х — у)ем{у+е%(У + е)\О(у)\.
А поскольку
(х - у)еM(y%(y)\Q(y)\dy < (х - y)V2(y)dy
Q[
—те
х х
<х ^ V2(y)dy- J V2(y)ydy,
—те —те
то ввиду lim уVq(y) = 0 правая часть неравенства не превосходит
у^—те
х х
Х J V2(y)dy + J y2VQ(y)dVQ(y) < ж,
—те —те
что дает возможность применения теоремы Лебега о мажорантной сходимости в (24) при п = N. Лемма доказана. ►
х
х
Теорема 3. Пусть к € К+. Тогда при лю бом Ь € М на полу о си (-ж, Ь] выполнено равномерное предельное соотношение ф^ ^ ф+ при е ^ 0, а на полуоси [Ь, ж) выполнено
ф7 ^ ф~-
< Пусть Ь € М и к € К+ фиксированы, Для произвольного т > 0 в силу теоремы 1 и неравенства (22) существует а € (-ж, 0) те зависящее от е такое, что
|*?(„Ц - Ф+(М-)|< т^. € (-ж,а]. (25)
Если а > Ь, то теорему можно считать доказанной.
Пусть а < Ь. Обозначим через ф* решение дифференциального уравнения (1) с гладким потенциалом удовлетворяющее начальным условиям:
д д ф*(а, к) = ф+(а, к), —ф*(а, к) = —ф+(а + 0, к).
дх дх
Тогда для любого х € [а, Ь] имеем
\ф+ (х, к) - ф+(х, к) \ < \ф+(х, к) - ф**(х, к) \ + \ф**(х, к) - ф+(х, к) \ .
Покажем, что при достаточно малых е оба модуля справа будут меньше 3 сразу для всех х € [а, Ь]. Функции ф+ и ф* являются решениями одного дифференциального уравнения с гладким потенциалом В силу леммы 5 при е ^ 0 будем иметь
д д
ф+(а, к) ^ ф+(а, к), т^ф?(а, к) ^ —ф+ (а + 0, к).
дх дх
Шрёдингера с гладким потенциалом от начальных данных (см., например, [11, Гл. 2,§4]) для всех х € [а, Ь] будет выполнено неравенство
\ \ т
\фе~(x, к) - ф**(х,к)\ < 3.
Что касается разности 1ф*(х, к) - ф+ (х, к)1, то в силу уже упоминавшегося в начале данного пункта результата работы [5] при е ^ 0 она стремится к нулю равномерно на [ а, Ь].
\ф+(х,к) - ф+ (х,к)\ < т, х € (-ж, Ь],
окончательно доказывающее утверждение теоремы для решения ф+, Для ф рассуждения аналогичны, ►
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // УМII. 14:4(88). 1959. С. 57119.
2. P. Deift, Е. Trubowitz Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl. Math. 32. 1979. P. 121 251.
3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка. 1977.
4. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Обратные задачи для, оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из прост,ранет,в Соболева. Равномерная, устойчивость // Функциональный анализ и его приложения. 44:4. 2010. С. 34-53.
5. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Опера торы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки, 66:6. 1999. С. 897-912.
6. R.O. Hrvniv, Ya.V. Mykytvuk Eigenvalue asymptotics for Sturm-Liouville operators with singular potentials // J. Funct* Anal., 238:1. 2006. P. 27-57.
7. Бадахов М.Ш., Шабат А.Б. О преобразованиях Дарбу в обрат,ной, задаче рассеяния // УМЖ. Т. 8. № 4. 2016. С. 43-52.
8. Шабат А.Б. Обратная спектральная задача, для, дельтообразных потенциалов // Письма в ЖЭТФ, 102:9. 2015. С. 705-708.
9. Шабат А.Б. Разностное уравнение Шрёдингера, и, квазисимметрические многочлены // ТМФ, 184:2. 2015. С. 16-27.
10. Кулаев Р.Ч., Шабат А.Б. Обратная задача, рассеяния для финитных потенциалов в пространстве мер Бореля, // Препринт ЮМ II ВНЦ РАН № 2. 2016.
11. Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство ЛКИ, 2007.
Руслан Черменович Кулаев,
Северо-Оеетннский государственный университет им. К.Л. Хетагурова,
ул. Ватутина, 46,
362025, г. Владикавказ, Россия
Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН,
ул. Маркуса, 22,
362027, г. Владикавказ, Россия
E-mail: [email protected]
Алексей Борисович Шабат,
Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, просп. Академика Семенова, д. 1-А, 142432, МО., г. Черноголовка, Россия E-mail: shabatab@mail. ru
