Обобщенные решения смешанной краевой задачи для квазилинейной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3

УДК 517.927

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

А. И. Вагабов, З. А. Абдурахманов

Юрию Федоровичу Коробейнику к его семидесятипятилетию

Рассматривается плоская квазилинейная смешанная задача для параболической системы с переменными коэффициентами в старшей части при общих условиях нелинейности. Строится резольвента старшей линейной части задачи с последующим сведением проблемы к нелинейной интегральной системе уравнений. Установлено существование локального обобщенного решения и указано условие его перехода в классическое.

В статье [1] был предложен метод решения смешанной задачи (1)—(3) для квазилинейного параболического уравнения. В данной работе разработана теория в случае плоских смешанных задач для систем такого типа с существенным использованием понятия обобщенного решения. В [1, 2] указана литература по рассматриваемому вопросу.

1. Рассматривается квазилинейная параболическая система

. . dv d2v „ / dv\

c(x) dt = дХ2 + f(t'x'v'dX

0 < x < 1, 0 < t < T,

(1)

U 1(v) = a1

dv dx

+ a10v

+e1 dX+e10v

ж=0 dX x=1

0,

U2 (v) = a2v(t, 0) + e2v(t, 1)=0, (2)

v(0,x) = ^(x), (3)

где c(x), v, аг, вг, a10, в10 — вещественные (n x п)-матрицы, f — (n x п)-матричная функция.

Предполагается, что выполнены условия:

1) c(x) G C2[0,1].

2) Характеристические корни ^>2(x),..., ^П(х) матрицы c(x) различны при всех x, их вещественные части положительны, аргументы этих корней и аргументы их разностей не зависят от x. Отсюда следует, что либо — П < arg ^ < П, либо — П < arg (—< П, i = 1,..., n.

3) f (t, x, v, w) — непрерывно дифференцируемая функция в области

D = D(T) : 0 < x < 1, 0 < t < T, ||v — $(t,x)|| < Q

w —

дФ

dx

< Q,

( 2005 Вагабов А. И., Абдурахманов З. А.

Обобщенные решения смешанной краевой задачи

3-27

где Q = const и приняты обозначения ||v(t,x)|| = maxx,t |v(t,x)|, |v| = maxjj Ф — решение задачи (1)-(3) при f = 0.

4) det {a1e2D(0)} + (—1)n+1det {а2в 1D(1)} = 0, где D(x) = diag (^(ж),..., ^„(ж)).

5) ^(ж) G C2[0,1], ^(i)(x)|x=o;i =0, i = 0,1.

2. Выполним построения в аналогии с [1]. Введем в рассмотрение вспомогательную краевую задачу с комплексным параметром А:

l(y) = у" — А2с(ж)у = 0, 0 < ж < 1, (4)

U 1(у) = 0, U2 (у) = 0, (5)

у(ж, А) — (n х п)-матрица.

Прямыми Re — ) =0, i = j, Re А(^ + ) = 0 разобьем А-плоскость на конечное число секторов S с вершиной в 0. В каждом из секторов S при некоторой нумерации корней справедливы неравенства

Re А^ч(ж) ^ ••• ^ Re А^„(ж) ^ 0 ^ Re А^„+1(ж) ^ ... ^ Re А^2„(ж), A G S, (6)

= — ^„-fc+1 при k ^ n. Известным образом, см. [3, 4], устанавливается

Теорема 1. Для любого фиксированного сектора S существует фундаментальная система двух матричных решений уравнения (4), аналитических в секторе S при |А| ^ 1 и имеющих в нем асимптотические представления:

т, f , ч т1(ж) Е(ж,А) 1 лJ

У1 (ж, А) = < + 6 ° '

2, f . . m2(ж) E(ж, А) 1 -aJD(CK у2 (ж, А) = < m^) + —^ +--)е 0 ' (7)

где т(ж) — (n х п)-матрица, для которой

т-1(ж)с(ж)т(ж) = ^2(ж), m G C2[0,1], (8)

E обозначает покомпонентно ограниченную матрицу при А G S, А ^ 1. Покомпонентная запись системы (7) имеет вид:

, n f mL (ж) Eik(ж, А) 1 -л m

yifc (ж, А) = j m^fc (ж) + ^- + А2 }е 0 , (9)

А G S, i = 1,..., n, k = 1,..., 2n, mi;k+n = mi;k при k ^ n.

Теорема 2. Матричная функция Грина С(ж,£,А) = {Gj}„ задачи (4)-(5) имеет представление: Gj (ж,£,А) = А'дХа)'Л) , где

Aij (ж, £, А) =

gij (ж,^,А) Уг1 (ж, А) ... Уг2„(ж,А) U1(gj (ж,£,А)ж П1,1(А) ... П1,2„(А)

U2„(gj (ж,е,А)ж u2„,1 (А) ... П2„'2„(А)

Д(А) = det{uij(А)}2", (А) = U*(y(ж, А)), (10)

yj — j-й столбец выбранной фундаментальной матрицы решений (9).

n

Е yik(ж, X)zkj(£, А) при 0 ^ £ ^ ж,

gij (ж,6 А) =

k=1

2n

- Е yik (x,A)zkj (£, А) при ж ^ £ ^ b,

k=n+1

zk. (fA)= Wj+n,k (6A) . . =

y11.. • У1п • • У1,2П \

W (£,A) = Уп1 . dy 11 dt • . ynn . . dy 1n • dt • . yn,2n dy 1,2n • dt

. dyn 1 \ dt • dynn • dt • dyn,2n • dt /

(11)

— алгебраическое дополнение элемента с индексами ^ + п, к в определителе ^. Основываясь на формулах (9)—(11), получим теорему

Теорема 3. В каждом секторе Б при |А| ^ 1 для элементов матрицы Грина справедливы асимптотические представления

2n

Gij (ж, A) = gij (ж, 6 A) +

eklij (x,e,A) l Vkdt xj Vldt

k,l=1

A

(12)

где С1, С2 = 0, если к, I ^ п; С1, С2 = 1, если к, I > п, вы»./(ж, А) — функции, ограниченные вне 5-окрестности нулей Д(А).

gij (x,£,A) =

Е

n 1

k=1 X

mik(x)Mj+„,k (t)

det M(t)

Xj VkdZ

E2n 1

k=n+1 X

mik(x)Mj+n,k (t) det M (t)

X/ VkdZ

при 0 ^ £ ^ x,

при ж ^ £ ^ 1 .

(13)

Вместо развернутых записей мы употребляем сокращенную запись: [а] = а + O (X), |A| 1. Mj+n,k — алгебраическое дополнение элемента с индексами j + n, k в det( mD —mD). Характеристический определитель A(A) имеет счетное множество нулей, состоящее из 2^ (^ ^ n) групп. Значения s-ой группы лежат в полосе, конечной ширины, содержащей луч который входит в прямую Rex = 0, причем все эти лучи расположены в секторах 4 < arg A < 3 4, 5 4 < arg A < 7 4. Если из A-плоскости выбросить внутренности малых кругов радиуса 6 с центрами в нулях A(A) (множество всех полюсов G(x, A) является подмножеством нулей A(A)), то в оставшейся части имеет место неравенство

1

— Xj (V1+-----+Vn)dZ

|A(A)| ^ Ns|A|n e 0 , Ns > 0 .

3. Определим контур Ь = ¿1 и £2, направленный снизу вверх, где ¿1 = (|А| = Н) П (|ащ А| ^ 4 + е), Ь2 = (|А| ^ Н) П (|arg А| = ± (п + в)), Н » 1, в > 0 — малое число. Опираясь на теорему 3 доказывается

e

e

Обобщенные решения смешанной краевой задачи

3—29

Теорема 4. Для любой непрерывной (п х п)-матрицы Л(х), 0 ^ х ^ 1, справедлива формула предельного интегрального представления

1

Л(х) = 11т —/ АвеЛ2^^ С(х, £, А)с(£)Л(0 0 < х < 1. (14)

е^О ^-1 ] ]

Ь О

Сходимость в правой части равномерна по х на любом отрезке [а, в] С (0,1). Далее устанавливается

Лемма 1. Задача (1)—(3) при / = 0 и при условиях 1), 2), 4), 5) п. 1 имеет единственное бесконечно дифференцируемое по Ь при 0 <4 ^ Т, 0 <х< 1, классическое решение, представимое в виде:

i

Ф(4>1) = ^/^.лмо*«)

L

Интегрируя обе части равенства dvegr— = ^е-л2т — Л2^е-л2т, для решения v задачи (1)—(3), и применяя к обеим частям полученного равенства оператор (14) получим теорему

Теорема 5. Всякое решение v(t, x) задачи (1)—(3) служит первой компонентой решения системы интегральных уравнений

1 t

v(t, x) = $(i, x) — ni^ / Л^Л / G(x, £, Л) d£ / f (t, £, v, w)eA (t-T) dr,

L i 0 t0 (15)

w(t, x) = f — Xf Л d^ GX(x, £, Л) d£ / f (t, £, v, w)eA2(t-T) dr,

L 0 0

где $(t, x) — решение задачи (1)—(3) при f = 0, рассмотренное в лемме 1.

Определение. Компоненту v(t,x) решения интегральной системы (15) назовем обобщенным решением задачи (1)—(3).

Теорема 6. Задача (1)—(3) при условиях 1)—5) п. 1 имеет единственное обобщенное решение в области D(T) при достаточно малом T.

< Согласно теореме 5 достаточно установить однозначную разрешимость в D(T) системы (15). Из формул (12), (13) следует, что интегральные операторы A(v,w), B(v,w) правых частей системы (15) имеют оценки

max(||A(v,w)||, ||B(v,w)||) < Cmax ||f ||>/i. (16)

Покажем, что оператор правой части системы (15) является оператором сжатия в пространстве D(T) при T малых. Но это приводит к оценке тех же выражений A, B с той лишь разницей, что в них вместо f поставлена разность

A(vi,wi; V2,w2) = f (T,e,vi(T,e),wi(T,e)) — f (r,e,v2(r,e)),w2(r,e)),

где Vi,V2,Wi,W2 — любые функции из D(T). По теореме о конечных приращениях [5, с. 249] имеет место оценка

||A(vi, wi; v2, w2)|| ^ Mmax (|vi — v2|, |wi — w2|), (17)

где М = шах ^ , ) • Из оценок (16), (17) следует оценка

тах - У2, - ^Н, ||#^1 - V2, - ^Н) ^ С шах - V21, - у/Т,

показывающая, что интегральный оператор системы (15) является оператором сжатия в пространстве Р(Т), при достаточно малых Т, чем доказывается теорема. >

В заключение рассмотрим частный случай задачи (1)-(3), когда правая часть системы (1) не зависит от • Тогда система (15) сводится к одному интегральному, матричному уравнению

1 í

v(t, х) = Ф(г, ж) - 1 J М\ ! С(х, £, А) ! f (г, £, v)eл2(í-r) йт, (18)

Ь 0 0

и нетрудно установить, что решение V уравнения (18) служит классическим решением задачи (1)-(3). Для этого следует установить возможность введения операторов дХ, дх1, Ш под знаки интегралов в (18). Прежде всего при взятии производной по х под знаком интеграла в (18) согласно формулам (12), (13) приходим к интегралам, сходящимся равномерно при 0 ^ х ^ 1, 0 ^ г ^ Т. Взятие второй производной по х под знаком интеграла приведет к дополнительному множителю А под знаком интегралов, но здесь уже можно воспользоваться интегрированием по частям по что приведет нас к цели. Таким образом, устанавливается

Теорема 7. В случае, когда нелинейная часть f в уравнении (1) не зависит от |Х обобщенное решение задачи (1)—(3) является классическим.

Литература

1. Вагабов А. И., Магомедова Е. С. Интегральные уравнения, относящиеся к плоским нелинейным смешанным задачам для уравнения параболического типа // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.—1999.—№ 3.—C. 16-21.

2. Акрамов Т. А., Вишневский М. П. Некоторые качественные свойства системы реакция — диффузия // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 1.—C. 3-19.

3. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.—526 с.

4. Tamarkin J. Some general problems of ordinary linear differential equations and expansion of arbitrary function in series of fundamental functions // Math. Zs.—1923.—V. 27.—P. 1-54.

5. Шварц Л. Анализ.—М.: Мир, 1972.—811 с.

Статья поступила 5 мая 2005 г.

ВАГАБОВ АБДУЛВАГАБ ИСМАИЛОВИЧ, д. ф.-м. н. г. Махачкала, Дагестанский государственный университет

Абдурахманов ЗАУР АлИВЕРДИЕВИЧ

г. Махачкала, Дагестанский государственный университет