CC BY
51
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 63-70.
УДК 517.95
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЭЙЛЕРА-ДАРБУ
И.В. ВЕРЕВКИН
Аннотация. Введено преобразование Эйлера-Дарбу для неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью в виде обобщенной функции. В качестве примера построены фундаментальные решения уравнений Клейна-Гордона-Фока и Шредингера с переменными коэффициентами, описывающих частицу во внешнем скалярном поле.
Ключевые слова: преобразование Эйлера-Дарбу, уравнение Клейна-Гордона-Фока, уравнение Шредингера, фундаментальное решение.
Mathematics Subject Classification: 35A08, 35D99, 35Q40
1. Преобразование эйлера-дарбу неоднородных уравнений
и обобщенные решения
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
Lu = Аи + Ви = f,
где оператор А — дифференциальный оператор по одной переменной х:
к
г=0
В — дифференциальный оператор по переменным у\,... ,уп вида
А = ^ ai(x)Dzx
м
в = £ ъа(у)а", (3)
Н>о
а /(х, у\,..., уп) — обобщенная функция. Далее используется стандартная теория обобщенных функций [1] и введены следующие обозначения: а = (аг,... ,ап) — целочисленный
д1 д|а|
мультииндекс, Д!, = —, ИУ: = —----операции обобщенного дифференцирова-
охг у дуг"1... оупап ния. Для классических функций мы будем также употреблять обозначения производных (в общем случае тоже обобщенных) очевидные из контекста: Ы, 7у. Функции а,г(х) и Ьа(у) считаются гладкими в соответствующих областях. Кроме этого, считаем, что все функции, на которые умножаются обобщенные функции, являются бесконечно дифференцируемыми.
Следуя работе [2], класс уравнений вида (1) обозначим через Е^,м. Если Ы(х),д(у) — классические решения уравнений
АЫ = сЫ,
(4)
Вд + сд = 0, где с € Я1,
I.V. Verevkin, Generalized solutions and Euler-Darboux transformations. © Веревкин И.В. 2014. Поступила 6 марта 2014 г.
то функция и1 = дк удовлетворяет однородному уравнению (1). Функция и1 порождает преобразование уравнения (1).
Теорема 1. Класс уравнений Ек,м обладает следующими свойствами:
1. Если 7 — гладкая функция вида 7 = р(х)д(у) = 0, 'то преобразование
и ^ V = и/^у
переводит обобщенные решения уравнения (1) в обобщенные решения уравнения
ЬУ = + А1ь + В1ь = $
где
к м
Л = ^ а1(х)Огх, где Вх = ^ Ь1а(у)0^.
г=1 |«|>1
При 7 = и1 = 0 уравнение ЬV = /имеет вид
Ь1Ь = + В1У = ¡/1. (5)
2. Преобразование V ^ т = ух переводит обобщенные решения уравнения (5) в обобщенные решения уравнения
к м
Ь2<ш = + аМIV) + ^ Ь1 = Бх(//у). (6)
г=1 |«|>1
Доказательство.
Заметим, что для произведения 7^, где V — обобщенная функция, справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения. Учитывая это и равенство (Ьи, р) = (Ь(^уу), р), которое следует из равенства (и, р) = (^ь, р), верно следующее соотношение
Ьи = Ь(<уу) = уЬ('у) + Ау + ВУ = (7)
где
к м
Ау = ^ 7ц(х,^,^х,...)^х ^, Вь = ^ Ьа(У,1,1у ,...)DyV,
г=0 |«|>1
а р — функция из пространства основных функций. Коэффициенты аг могут зависеть только от х,^ и производных от 7 по х, а коэффициенты Ьа могут зависеть только от у,^ и ее производных по у1,... ,уп. Функция 7 и ее производные могут входить в коэффициенты аг ,Ьа лишь линейным образом. Умножая (7) на 1, получаем уравнение
Ьь = — Ь(^)у + А^ + В1у =
1
где операторы А1, В1 имеют вид
к м
А1 = ^2^í(x,P,Pх,.. .)Огх, В1 = ^ ba(y, q, qу,..
г=0 |«|>1
При 7 = и1 получаем уравнение (5). Для доказательства второго свойства достаточно продифференцировать (5) по х и ввести новую обобщенную функцию = Охь. В результате получается уравнение (6).
Отметим, что все уравнения Ьи = /, Ьхь = //*у, Ь2 = Их(//'у) принадлежат одному классу Ек,м.
Следствие. Пусть к — нетривиальное решение уравнения (4), г — гладкая функция от, х. Тогда преобразование
1 к'
V = ~(Охи - — и) (8)
г к
переводит обобщенные решения уравнения (1) в обобщенные решения уравнения того же класса Ек,м.
Действительно, преобразование
V = рШУ)Ох( (9)
является комбинацией преобразований, рассмотренных в теореме 1, и, следовательно, сохраняет класс уравнения. Здесь р,д — произвольные гладкие функции, и1 — решение уравнения (1), полученное разделением переменных и1 = к(х)д(у). Если положить Я = 9,Р = к/г, то из (9) получим (8). Следуя работе [2] покажем, что справедлива Лемма 1. Преобразование
Ш(кг,... ,кк,и)
ик = Мк и =^777-^ (10)
№ (к1,...,кк)
переводит обобщенное решение уравнения (1) в обобщенное решение уравнения того же класса Ек,м.
Несмотря на то, что доказательство леммы, приведенное в [2], проходит и для случая обобщенных решений, мы его приводим, так как оно используется при доказательстве теоремы 3.
Для того чтобы убедиться в справедливости леммы 1, заметим, что если известны к7,... ,кк решения уравнения (4) при различных с1,... ,ск, то, как показано в [2], можно построить оператор порядка к, являющийся суперпозицией операторов Эйлера-Дарбу первого порядка вида С = кОх(1/к) и соответствующее преобразование, действующее на Ек,м. Действительно, пусть к7,... ,кк — гладкие, линейно независимые функции от х. Построим последовательность функций и операторов
Р1 = к1'Р2 = СР1 к2, . . . ,РМ = Срм _1 . . . СР1 кИ,
М1 = £Р1, М2 = Ср2 М1,..., Мм = Ст Мм-1. ( )
Из построения операторов Мк следует, что функции к1}... ,кк удовлетворяют дифференциальному уравнению порядка к
Мк к = 0. (12)
Значит они образуют базис решений уравнения (12). Следовательно, действие оператора Мк на произвольную функцию представляется в виде [3]
Мк и = Бх и + ак-1Вкх-1и + ... + а0и = ^^ ''' ^ . (13)
№ (к1,... ,кк)
Остается взять в качестве к^ ... ,кк решения уравнения (4) для различных с1,... ,ск.
2. преобразование уравнений класса Ех,м В данном разделе рассматриваются преобразования ЭД для уравнений специального вида из класса уравнений Ех,м. Рассмотрим уравнение
т2х и + СОхи + Ни = Ви + ¡, (14)
где И, С, Н — гладкие функции от х, / — обобщенная функция, а В — линейный оператор вида (3).
Теорема 2. Преобразование Эйлера-Дарбу, заданное соотношением (8), переводит обобщенные решения уравнения (14) в обобщенные решения уравнения
Р02х V + СОх:и + Ни = Ви + ¡1, (15)
где
г'
Сг = С + И' + 2И-, (16)
г
Н1 = н + (Иг' + Сг)' + п к) + 2Р (1п к)'', (17)
г
1 к'
/1 = — (Ох! — -г!), (18)
г к
а функция к(х) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
Икхх + Скх + (Н + с)к = 0, где с е К1. (19)
Доказательство. Введем следующие обозначения
и = Яи = —Шхи + ви), где в = —к'/к, г
Аи = РБ1 и + СБхи + Ни
х х
хЛ
А1и = ^ Вгхи + СфВхи + Щи. Тогда исходные уравнения (14) и (15) запишутся как Аи = Ви + / и А-\_и = Ви + /1. Для доказательства теоремы необходимо показать, что
(А* — В *)Я*р = Я*(А\ — В*)р. (20)
Здесь звездочка означает формальное сопряжение оператора, определяемое для операторов А и В следующим образом
к м
а*<Р = Е(—1)г °х (<х)^), В*р = £ (—1)\у\ву(Ьу(У)ф.
г=0 |у|>0
Действительно,
(Я(А — В)и, ф) = (и, (А* — В*)Я*ф = (и, Я*(А* — В*)ф) =
= (Ни, (А* — В*)ф = (и, (А1 — В*)ф) = ((А1 — В)и, ф) = (Я/, ф.
Здесь мы использовали свойство коммутирования операторов В и Я, что, как легко показать, влечет В*Я*р = Я*В*р. Остается показать, что А*Я*р = Я*А\р. Имеем,
О о о
А*Я*р = ^ (—Ох(ф) + -ф)] — Пх[С(—Пх(р/г) + -ф)] + Н [—Ох(р/г) + -ф,
г^ г^ г^
1 Н
Я*А\р = —Бх[ ^х^р) — Бх^ф) + Н1 ф] + - [Ох^ф — Бх^ф) + НМ.
Левая часть уравнения А* Я* р — Я*А\<р = 0 является полиномом относительно рххх, <рхх, рх, р. Коэффициенты при этих величинах должны быть равны нулю. Собирая подобные члены при рххх, <рхх, получаем соответственно И1 = И и С1 = С+И' + 2И(г'/г). Подставляя найденные И1 и С1 в коэффициент при рх, получим выражение (17).
21)
Приравнивая к нулю коэффициент при ¡р, с учетом найденных Р1, С1 и Н1, получаем:
Рз" + (Р* - 2Рв + в)з' - Р'в2 + Сз - Н' = (Рз' + йв - Рв2 - Н)' = 0. (22)
При в = -к'/к выражение принимает вид (-Рк"/к - Ск'/к - Н)' = 0, откуда получаем требуемое уравнение (19).
Рассмотрим высшие преобразования ЭД. Если известно к решений к1,... ,кк уравнения (19) для различных с1,... ,Ск, то можно построить преобразование ЭД порядка к.
Теорема 3. Пусть к1,...,кк — решения уравнения (19), соответствующие различным постоянным с1,...,ск. Тогда преобразование (13) переводит обобщенные решения уравнения (14) в обобщенные решения уравнения
Р02х ик + С к Бхик + Нк ик = Вик + ¡к, (23)
При этом коэффициенты и функция ¡к задаются формулами
Ск = С + кР', Нк = Н + кС + к(к - 1Р" + Р"(1п Ш)' + 2Р(1п Ш)'' (24)
а
Л = Мк, = , (25)
здесь Ш определитель Вронского для функций к]_,... ,кк. Доказательство.
Используем результаты теоремы 2. Выражение для С к получается по индукции последовательным применением формулы (16) при г = 1. Используя (17) и конструкцию (11) функций р1,... ,рк, легко видеть, что индукционное построение коэффициентов Нк приводит к выражениям
Нк = н + кС + к^^р!р" + р'(1пР1.. .Рк)' + 2Р(1пР1.. .рк)''. (26)
Найдем произведение р1.. .рк. Так как, согласно (11) и (13), имеют место соотношения
КАи Ж(к1,... ,Ы'кг+1) Рг+1 = Мк+1 = -77777-ГТ-'
№ (къ...'кг)
справедливы равенства
, ™ (к1,к2) № (кЬ...'кк) , , Р1 ...Рк = к1-7- . . . 77777-7-Г = ™ (кЪ ...' кк)'
к1 Ш (к1'...,кк-1)
откуда следует выражение (24) для коэффициента Нк. Справедливость формулы для /к, с учетом (13) и (18) очевидна.
3. Построение фундаментальных решений
Построим фундаментальные решения уравнений Клейна-Гордона-Фока (КГФ) и Шредин-гера с переменными коэффициентами. Для простоты ограничимся одномерной размерностью задачи по пространственной переменной. Обобщенная постановка задачи Коши, используемая ниже, подробно обсуждается в [1]. Уравнение КГФ имеет вид [4]
Б^и + т2и = а20^и, где а,т Е Я1. (27)
Для построения фундаментального решения рассмотрим обобщенную задачу Коши для уравнения (27) с источником [1]
Б^и + т2 и = а2В2с и + f (х,г), (28)
где функция /(х, Ь) имеет вид (ниже точка обозначает прямое призведение функций)
/ = ио(х) • 5'(Ь) + Ч1(х) • 8(г). (29)
При преобразовании ЭД уравнение (28) по теореме 2 переходит в уравнение
И2у + —V = а2Б2ху + Н1 (х)ь + Л (30)
с функцией /1(х, Ь)
к'
/1 = Ох! — к!. (31)
Функция Н1(х) находится по формуле (17). Для того чтобы решение обобщенной задачи Коши уравнения (28) преобразовывалось в фундаментальное решение уравнения (30),
потребуем выполнение следующего условия
к'
Ох! — = *(х — у) • б(г).
Указанное условие можно переписать в виде обыкновенных дифференциальных уравнений на функции и0 и и1
к' X
и0 — ^ио = 0, (32)
и'1 — ~ки1 = 6(х — у). (33)
Решения уравнений (32) и (33) соответственно выберем следующими (из соображений простоты фундаментального решения)
ио = 0, (34)
9(х — у)к(х)
U1(X, у) = -щ-, (35)
где в(х — у) — тета-функция Хевисайда. Решение обобщенной задачи Коши уравнения (28) при выборе функции и0 = 0 есть свертка фундаментального решения уравнения (27) и функции и1. Фундаментальное решение уравнения КГФ можно выбрать в виде [1]
Е(х, у, I, Т) = —\х — у\),!о (т V«2— г)х — (х — у)х) , (36)
где 30 — функция Бесселя. Решение обобщенной задачи Коши
те
^¡т (ОЕ (х,С,г, <37)
—те
Опуская промежуточные выкладки, выпишем решение обобщенной задачи Коши уравнения КГФ
аЬ
и(х,у, Ь) = —6(х — у — г)к(х — г)30[ — /аЧ2 — йг. (38)
2ак(у) ] \ а /
—аЬ
Фундаментальное решение уравнения (30) находим по формуле
к' (х)
Ефх,у, г) = Бхи(х,у, г) — ——и(х,у, г). (39)
к(х)
После несложных вычислений получаем
Ex (x,y,t) = <
0, если х — у < —at,
1 Jo( * ^a2t2 — (х — у)2) +
f (ti'(х — z) — ^ф)h(x — z))Jo(аЧ2 — z2)dz, если —at < х — у < at,
—at
at _
тщу) ¡ (ti'(x — z) — ti(x — z))Jo(a?t2 — z2)dz, если x — y > at.
a
В последних формулах штрих у функции означает дифференцирование по соответствующему сложному аргументу, выписанному в скобках.
Приведенные формулы легко обобщаются для высших преобразований ЭД. Для этого необходимо взять функцию щ, удовлетворяющую уравнению
Ф (кг,..., кк) = 6(Х - У). (40)
Решение последнего уравнения дается формулой
(Х,У) = ШУ ,...Лг-1,Ьг+1,...,кк)кг(х). (41)
(кг,...,кк) ^
Здесь введено обозначение \¥у[к... , кк) = \¥(к\(у),... , кк(у)). Коэффициенты преобразованного уравнения определяются по теореме 3 формулой (24).
Построение фундаментального решения для уравнения Шредингера с переменными коэффициентами проводится так же, как и для уравнения КГФ. Стартуя с исходного уравнения
гОги = —И2Х и, (42)
рассмотрим обобщенную задачу Коши со следующим источником
Шги = —О2и + щ(х) • 5(г). (43)
Потребуем, чтобы функция и0, в соответствии с формулой (18) теоремы 2 преобразовывалась в ^-функцию Дирака. Это будет выполнено, если указанная функция удовлетворяет следующему уравнению
к
и'0 — кио = — У), (44)
решение которого задается формулой (35). Фундаментальное решение уравнения (42) есть [1]
. ч (г(х — С)2
Е = ш ещ'{ — т)- (45)
Тогда решение обобщенной задачи Коши можно записать в виде свертки
те
т—у)т ехр( ^ (46)
—те
Решение обобщенной задачи Коши уравнения (43) преобразуется в фундаментальное решение уравнения
= —Б2х V + Щ (х)и, (47)
по формуле (39). Коэффициент Н\(х), так же, как и в случае уравнения КГФ, вычисляется по формуле (17). Выпишем фундаментальное решение преобразованного уравнения (45)
оо
0(t) е-ш/4 -С h'(x)] (г(х - П2\ „ Ei(x,y, = h(£) i-expi 1 , d£. (48)
1( ) h(y) J _ 2t h(x)_ 4t J ^ { J
у
Очевидно, что последняя формула задает фундаментальное решение только в случае существования соответствующих интегралов.
Аналогично уравнению КГФ построение фундаментального решения для уравнения Шре-дингера так же обобщается для высших преобразований ЭД.
Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность О.В. Капцову за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1981.
2. Капцов О.В. Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, №4. C. 59-72.
3. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИ, 1939.
4. Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.
Игорь Викторович Веревкин,
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, 660036, г. Красноярск, Россия E-mail: vverigor@mail.ru
