Преобразования и решения линейных уравнений с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 14, № 4, 2009

Преобразования и решения линейных уравнений с переменными коэффициентами*

О. В. Клпцов, И. В. КОРОСТЕЛЕВ Учреждение Российской академии наук Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия e-mail: kaptsov@icm.krasn.ru, ivankor86@bk.ru

В работе представлен метод преобразования специальных линейных дифференциальных уравнений в частных производных с произвольным числом независимых переменных. Данный подход применяется для решения начально-краевых задач некоторых гиперболических уравнений. Развивается обобщение метода на системы линейных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: метод Эйлера, преобразования, неоднородные среды.

Введение

Любую сплошную среду лишь в некотором приближении можно считать однородной. Если неоднородностью нельзя пренебречь, то математические модели таких сред представляют собой линейные или нелинейные уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Линейные модели применяются в акустике, теории упругости, электродинамике, квантовой механике [1, 2]. Аналитическое решение начально-краевых задач и построение точных решений для таких моделей сталкиваются со значительными трудностями. Это связано с тем, что методы, применяемые к уравнениям с постоянными коэффициентами, зачастую не удается перенести на более сложные модели.

Группы преобразований, допускаемые уравнениями с переменными коэффициентами, довольно бедны [3, 4]. Поэтому привлечение стандартных методов группового анализа в данном случае оказывается не очень эффективным. В последнее время стали появляться статьи [5 - 7], в которых для интегрирования уравнений с переменными коэффициентами используются линейные дифференциальные подстановки. Так, С.П. Царев [7] предложил обобщение каскадного метода Лапласа для строго гиперболических систем первого порядка, а в работе [6] метод интегрирования Эйлера [8] был распространен на новые классы линейных уравнений с произвольным числом переменных.

Данная статья посвящена построению решений и преобразований линейных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сначала представляется метод Эйлера и конструктивным образом находится решение начально-краевой задачи для уравнения

Щг = пхх + 0{х)пх (1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 07-01-00489) и СО РАН (интеграционный проект № 103).

© ИВТ СО РАН, 2009.

с коэффициентом О(х) из некоторого семейства функций. Уравнение (1) описывает, в частности, акустические волны в канале и продольные колебания стержней переменного сечения [9, 10]. Далее рассматривается трехмерное уравнение

I (^1) - - (*) =0. (2)

описывающее акустические волны в неоднородных средах [1, 2], при этом р и с считаются заданными функциями. Указываются случаи, в которых (2) редуцируется к уравнению Гельмгольца с постоянным коэффициентом. Развивается обобщение метода Эйлера на специальные системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных с произвольным числом независимых переменных.

1. Применение метода Эйлера к решению начально-краевой задачи

Сначала представим краткое описание метода Эйлера для уравнений

^ д2и ^ ди к , . . д|а| и „

^5X2 + С5Х + Ни = ^^дм^ = Ви. (3)

|а|>0 1 п

где а = (а1,..., ап) — целочисленный мультииндекс; Г, О, Н — функции только от х; Ьа — функции только от Ь = (¿1,... , ¿п). Следуя [6], рассмотрим преобразование

г = (их - | и) /г, (4)

здесь г — произвольная гладкая функция от х, Н(х) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

Г к'' + ОН' + (Н + с) к = 0, с € Я. (5)

В дальнейшем (4) будем называть дифференциальным преобразованием Эйлера, или кратко — преобразованием Эйлера. Преобразование вида

г = М(х) (их + з(х) и)

введено Эйлером [8] для интегрирования уравнений

иц = Г(х) ихх + О(х) их + Н(х) и.

Преобразование Эйлера (4) переводит решения уравнения (3) в решения уравнения [6]

^ д2г ^ дг

Г — + О1 — + Н1 г = В г, дх2 дх

где В — дифференциальный оператор из правой части (3),

О1 = О + Г' + 2 Г (1п г)', (6)

Н = я + + СгУ + ^ (1п+ 2^ (1пН)'', (7)

г

здесь штрих означает производную по х.

Покажем, как с помощью преобразования Эйлера решить уравнение (1) для некоторого семейства функций С(ж). Для того чтобы преобразование Эйлера (4) переводило решения уравнения (1) в решения уравнения

¿гг = ¿хх + (С + 2(1п г)')^, (8)

функция г должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению

г'' + Сг' + (С' + 2(1п Н)'')г = 0. (9)

Пусть С = 0, тогда и = f (ж + ¿) + д(ж — ¿) — общее решение (1), а уравнение на функцию Н имеет вид

Н'' + ей = 0, с е Д. (10)

В зависимости от выбора с получается три типа решений. Если с =0, то

Н = Й1Ж + а2, «1, «2 е Д.

В этом случае решением уравнения (9) является функция

С1 + С2 (« ж + Й2)3 0

г = -(« ж + « )-' С1' С2 е (11)

(«1Ж + Й2)

Значит, преобразованное уравнение

¿гг = ¿хх + 2 (1п г)' ¿х (12)

согласно формуле (4), имеет решение

а1ж + а2

Г + д'--(f + д)

а1ж + а2

С1 + С2 (й1Ж + Й2)3

Пусть с < 0, тогда, не ограничивая общности, можно считать с = —1. В этом случае

Н = а1 вЬ(ж) + а2 сЬ(ж)

является общим решением (10), а

а1 сЬ(ж) + а2 вЬ(ж)

г = с1---г-- (с1ж + с2), сьс2 е Д, (13)

а1 вЦж) + а2 сп(ж)

удовлетворяет (9). Значит, преобразованное уравнение (8) имеет решение

1

г = -г

н ' « сЬ(ж) + й2 йЬ(ж) , . .

f + д —^—(f + д)

а1 вЦж) + а2 еп(ж)

Наконец, если с = 1, то соответствующие функции Н, г и г задаются формулами

Н = а1 вт(ж) + а2 сов(ж),

С1 +

а2 вт(х) — а1 есв(х) а1 вт(х) + а2 есв(х)

(С1Х + С2), С1,С2 € Д,

(14)

1

г = -г

„, , а2 вт(х) — а1 есв(х) .„

/' + 9 +-г-И--К (/ + 9)

а1 вт(х) + а2 есв(х)

Последовательное применение преобразования Эйлера позволяет получать новые интегрируемые уравнения и их общие решения. В [6] приведено решение

W (м°,Нь...,Нга)

уравнения

гЫ гхх + 2

w (Н ,...Х) w(Н ,...,н„)

1п

где Нг = аг вЬ(Лгх) + Ьг оЬ(Лгх), ai, 6г, Лг € Д, Лг = Лj при % = = /(х + ¿) + 9(х — ¿), W(/1, ...,/„) — вронскиан функций /1,... , /„.

Используя преобразования Эйлера, можно найти решение начально-краевой задачи для уравнения (12) с функцией г, заданной любой из формул (11), (13), (14). Основные результаты по разрешимости начально-краевых задач для линейных гиперболических уравнений имеются в [11, 12]. В дальнейшем все входящие функции считаются дифференцируемыми нужное число раз.

Рассмотрим отрезок [х1,х2] и начальные данные

г(0,х) = <^(х), гг(0,х) = ^(х), х € [х1,х2].

(15)

Уравнение (12) является гиперболическим, поэтому его решение в любой точке треугольника

т = {(г,х): г > 0,х1 + г < х < х2 — г] (16)

однозначно определяется по данным (15). Найдем явное представление этого решения. Решения уравнения (12) получаются из решений уравнения

ихх

с помощью преобразования Эйлера (4). Начальные данные

и° (х) = и(0, х)

(17)

(18)

и1(х) = «4(0, х)

Н(*)/ ^М ¿у

(19)

для уравнения (17) переходят в начальные данные (15) под действием того же преобразования (4). Здесь а, Ь — произвольные постоянные из отрезка [х1, х2]. Хорошо известно, что решение уравнения (17) с начальными данными (18), (19) в треугольнике Т задается формулой Даламбера

1

и(г, х) = -V , ; 2

х+г

(х + г) + «°(х — г)+/ «1(у) ¿у

х-г

г

г

х

С учетом (18), (19), последнее выражение приобретает вид

7/ , .ч ХТ г(У) л , иг л ХТ г(У) А i

Н(ж + ¿4 + Н(ж — ¿4 Лу+

1

и(',ж) = 2

+/'"и о ^

^ ж) = ^ж! А

А/ I I/ ^ «Ду / / \ о

2г(ж) дж

Н(у)

м ан

х+г . . . . х-г

х-г

Применяя преобразование Эйлера, получаем аналог формулы Даламбера для (12):

1 и, . .4 Г ^(у) г(У) , . .4 [ г(У) , .

Н(ж + ¿4 + Н(ж — ¿4 Лу+

Н(жД У Н(у) У Н(у)

+ / ад /

(20)

г(У)

Н(у)

х-г ь 4

Решение ¿(¿,ж) не зависит от констант а, Ь, хотя они формально участвуют в его записи (20). В дальнейшем удобно положить а = Ь = ж1.

Пусть теперь для уравнения (12), кроме начальных данных (15), заданы краевые условия

¿(¿,ж1) = г(г,ж2) = 0. (21)

Если данные (15), (21) удовлетворяют условиям согласования [13], то начально-краевая задача имеет гладкое решение. Ниже описывается конструктивное построение решения. Выражение (20) при а = Ь = ж1 переписывается в виде

) = Н(ж) /и2(ж + ¿) + из(ж — ¿А (22)

г ж) = 2 г(ж) Н(ж) ^ (22)

где функции и2, и3 задаются формулами

Щ2(ж) = Н(ж) / ^М^М Лу + / Н(^) /7Лу) (23)

х1 ад

из (ж) = Н(ж) / ^М ¿у — / Н(Ш) / (^М Лу) Л». (24)

Функции и2, и3 определены на [ж1, ж2], и необходимо доопределить и2(ж+¿), и3(ж — ¿) для всех ' > 0,ж е [ж1,ж2]. Подставляя в краевые условия функцию г, заданную формулой (22), приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

Щ3(ж1 — ¿) + Щ2(ж1 + ¿) — ^ (щ(ж1 — ¿) + и2(ж 1 + ¿)) = 0,

Щ3(ж2 — ¿) + Щ2(ж2 + ¿) — Н Л (Щ(ж2 — ¿) + Щ2<ж2 + ¿)) = 0.

Н(ж2 )

(25)

Введем новые переменные Т1 = ж1 — ¿, т2 = ж2 + ¿. Тогда уравнения (25) запишутся в виде

' Н' (ж1) ' Н' (ж1)

и3(Т1) — —-- и3(Т1) = —Щ2<2ж1 — Т1) + ——- Щ2(2ж1 — Т1),

Н'(ж1) д(ж1) (26)

^2(^2) — Н ^ ^2(^2) = —и'3(2ж2 — Т2) + ^Т^ Щ3<2ж2 — Т2).

Н(ж2) Н(ж2)

Правые части уравнений (26) известны при Т1 € [х — ], т2 € [х2,х2 + 1]. Здесь I длина отрезка [х1,х2]. Согласно (23) и (24) должны выполняться условия

из(х1 ) = 0, «2(Х2) = ЬЫ / ¿У — / 1 ^ (27)

Решениями уравнений (26) с начальными условиями (27) являются функции

XI

из(т1) = е Й(Х1) Т1 / «2(2 Х1 — ¿) — -^^«2(2 Х1 — ¿) е м*1) ^

Т V Ь(х1) /

(28)

^/(х2) Т„ / - ^/(х2) „„ '2 „, / „„ \ „ ь(х„) х2

«2 Ы = е |^М2(Ж2) е 2 +

+ ^ И3(2Х2 — ¿) + ЬХ)«з(2Х2 — ^ е-^Йг^ | . х2 /

(29)

Формулы (28) и (29) позволяют доопределить функции и2(х2+¿), и3(х1 — ¿) при £ € [0, /]. Чтобы определить функции и2(х2+¿), и3(х1 — ¿) при £ € [/, 2 /], необходимо решить уравнения (26) с начальными условиями и3(х1 — /) и и2(х2 + /), значения которых определяются по формулам (28) и (29). Последовательно применяя эту процедуру, определим функции и2(х2 + ¿), и3(х1 — ¿) на всей полуоси £ > 0.

С помощью преобразования Эйлера можно получать решения начально-краевых задач более сложных уравнений вида (8). При этом формулы типа (20) будут включать в себя дополнительные квадратуры.

Рассмотрим теперь трехмерное уравнение

I (1) — ** (*) =о. (30)

описывающее распространение звука в неподвижной неоднородной и нестационарной среде [2]. Здесь р, с — плотность и скорость звука, являющиеся заданными функциями, р — давление. Если давление представляется в виде

р = г>(х, у, г) еов^ + <^), ^ € Я,

то уравнение (30) редуцируется к следующему:

Д^ — ("у, ^ + к2 V = 0, (31)

где к = ^/с. Замена V = -у/ри позволяет привести (31) к уравнению Гельмгольца

Ди + ти = 0. (32)

При этом функция т выражается через к и р формулой

т = к2 + — (* -

Предположим, что среда является слоисто-неоднородной, т. е. функции р, с зависят от одной переменной, например, ж. Тогда функция т тоже зависит только от ж. Построим примеры уравнений (32), приводимых преобразованием Эйлера к уравнению Гельмгольца с постоянным коэффициентом т. Уравнение Гельмгольца с постоянным коэффициентом запишем в виде

ихх = В и, (33)

где В и = — иуу — ихх — ти, т € Л* Поскольку последнее уравнение имеет вид (3), то к нему можно применять преобразование Эйлера. Преобразование

1 Ы

и = их ——и

х ы

переводит решения уравнения (33) в решения уравнения

иХх + 2 (1п Ы)'' и1 = В и1, при этом функция Ы(ж) должна удовлетворять уравнению

Ы' + сЫ = 0, с € Л*

Пусть с = —1, тогда Ы = еЬ(ж) — частное решение последнего уравнения. Значит, функция и1 удовлетворяет уравнению Гельмгольца

1 2 1 1

и>хх I 71-\ и>х ВВ и . сЫ2ж

(34)

Для того чтобы преобразование Эйлера

и

1 Ы1 1

их — и

переводило решения уравнения (34) в решения уравнения

и2хх + 2 (1п ЫЫ1)''их = В и2, функция Ы1 должна удовлетворять уравнению

Ы' + сЛ Ы = 0, С1 € Л.

При с1 = —4 частным решением последнего уравнения служит Ы1 случае уравнение Гельмгольца имеет вид

2 + 6 2 = В 2

"хх I Ы2 их и * Индуктивные рассуждения приводят к уравнению Гельмгольца

п(п + 1)

сЫ2ж. В этом

ихх + иуу + + ( т + сы2х

ип = 0*

Преобразование

и

т — Н**# — г) (г — Т)"

ах \дж ^ I \дж Ы/

переводит решения уравнения (33) в решения уравнения (35), при этом К = сКх, Н] = сК]+1х, к = 1,... , п — 1.

Очевидно, любое уравнение Гельмгольца вида

( п1(п1 + 1) п2 (п2 + 1) . п3 (п3 + 1Л п

пхх + иуу + игг + т +------1--—--1--—- и = 0

у ск2х сН2у сН2г у

при п1, п2, п3 € N можно получить с помощью преобразования Эйлера из уравнения

Ди + ти = 0.

Подобное преобразование использовал Г. Дарбу [14] для построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя теорему 3 из [6], можно указать класс уравнений Гельмгольца, получаемый преобразованием Эйлера из уравнения

Ди + к2 и = 0, к € К. (36)

Именно, преобразование

W (и,дь...,дга)

V =-

W (дь...,

переводит решения уравнения (36) в решения уравнения

Дv + 2(1п^(и, д1,..., )))'' + к

V = 0,

где д = а еЬ(АгЖ) + 6г вЬ^х), а^, Л^ € К, Л^ = Л^ при г = ], W(/1, . . . , /п) — вронскиан соответствующих функций.

2

2. Преобразования систем уравнений второго порядка

В этом разделе преобразования Эйлера распространяются на некоторый класс линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим систему

^ Ухх + С Ух + Н У = В У. (37)

Здесь С, Н — матрицы порядка п, элементами которых являются гладкие функции от х; У — вектор искомых функций ^(х, £),..., уп(х, £); В — линейный оператор по переменным ¿1,... , ¿п вида

к

В = £ 6а(¿) да, (38)

н>о

д |а|

где £ = (¿1,... , ¿п), да = ^О!—^¡ап, а = (а1,... , ап) — целочисленный мультииндекс, 6а(£) — матрица размерности п х п, элементами которой являются гладкие функции от

£ 1, . . . ,¿п.

Теорема 1. Пусть ф — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ ^хх + с фх + Н ф = ф С, (39)

где С — матрица с постоянными коэффициентами порядка п; Л — произвольная обратимая матрица порядка п, элементами которой являются гладкие функции от х. Тогда преобразование Эйлера вида

Z = Л-1 (Ух — 5 У) (40)

с матрицей

5 = ^х (41)

переводит решение системы (37) в решение системы

Л Zxx + С Zx + Н1 Z = В Z, (42)

где функции Л, С1, Я1 задаются формулами

Л = Л-1 Л Л, (43)

С = Л-1 (С + Лх + Л + 2 Л-1 ЛЛх, (44)

н = Л-1 (Я + [С, 5] + 2 Л 5х + Л 5 + [Л, 5] 5) Л+

+Л-1 (ЛЛх + СЛ)х + Л-1 [Л, 5] Лх, (45)

здесь [А, В] = А В — В А — коммутатор матриц.

Доказательство. Обозначим через А У и А1 У левые части соответственно исходной и преобразованной систем

А У = В У, А1 Z = В Z* (46)

Преобразование (40) запишем в виде

Z = Ь У* (47)

Вторая система в (46), с учетом (47), переписывается в форме

А1 Ь У = ВЬ У* (48)

Так как операторы В и Ь коммутируют, то уравнение (48) можно преобразовать к виду

А1 Ь У — ЬА У = 0* (49)

Распишем слагаемые в левой части системы (49):

А1 Ь У = Л (Л-1 (Ух — 5У))хх + С (Л-1 (Ух — 5У))х + Я (Л-1 (Ух — 5У)) =

= Л {Л-1 Уххх + (2 (Л-1 )х — Л-1 5) Ухх + ((Л-1)хх — 2 (Л-1)х 5 — 2 Л-1 5х) Ух+ + ( — (Л-1)хх 5 — 2(Л-1)х 5х — Л-1 5хх) У} + С {Л-1 Ухх + ((Л-1)х — Л-1 5) Ух + (—(Л-1)х 5 — Л-1 5х) У} + Я1 {Л-1 Ух — Л-1 5 У}, Ь А У = Л-1 ((Л Ухх + С Ух + Я У)х — 5 (Л Ухх + С Ух + Я У)) =

ЛЛ ( Л' ххх I Лх ^^^^хх I СС хх I ССх х I Ях ^^^^ I Я Л х ^^ хх ^^ СС ^^^^х ^^ Л Л ) *

Левая часть системы (49) является многочленом первой степени относительно Уххх, Ухх, Ух, У. Следовательно, коэффициенты при этих величинах должны быть равны нулю.

Собирая коэффициенты при Уххх, приходим к выражению

Л-1 Л = Л Л-1*

Отсюда следует представление (43) для матрицы Члены при Ухх приводят к равенству

Л-1 Лх + Л-1 С — Л-1 5 Л = Л (2 (Л-1)х — Л-1 5) + С1 Л-1*

Подставив Л в последнее равенство и выразив С1, получаем выражение (44). Коэффициенты при Ух дают соотношение

Л-1 Сх + Л-1 Я — Л-1 5 С = Л ((Л-1)хх — 2 (Л-1)х 5 — Л-1 5х)+

+С1 ((Л-1)х — Л-1 5) + Я1 Л-1 *

Подставив Л и С1 в последнее равенство и выразив Я1, получаем выражение (45). Собирая коэффициенты при У, приходим к соотношению

Л-1 (Ях — 5 Я) = Л ((—Л-1)хх 5 — 2 (Л-1)х 5х — Л-1 5хх)+

+С1 (—(Л-1)х 5 — Л-1 5х) — Я1 Л-1 5* Подставив полученные выражения для С1 и Я1 в последнее равенство, имеем

Ях — 5 Я + Л5хх + С5х + Лх 5х + [Л, 5] 5х + Я 5 + [С, 5]5 + 2^x5 + Л 52+

+ [Л, 5] 52 + Сх 5 = — Л Л (Л-1)хх 5 — 2 Л Л (Л-1)х £х — С Л (Л-1)х 5—

Л^Л-1^ — [Л, 5]Л(Л-1)х5 — 2ЛЛх(Л-1)х5 — 2FЛxЛ_1Бx—

—Лх Лх Л 1 5 — Л Лхх Л 1 5 — С Лх Л 1 5 — [Л, 5] Лх Л 1 5*

Прямыми вычислениями убеждаемся, что правая часть данного соотношения равна нулю, левую же часть можно преобразовать к виду

— (Л 5х + С 5 + Я + Л 52)х + 5(Л 5х + С5 + Я + Л 52) — (Л 5х + С5 + Я + Л 52) 5 = 0* Полагая что 5 = рх р-1, последнее соотношение перепишем в форме

— ((Л^хх + С^х + Яр) р )х + Рх р Рхх + С Рх + Я р —

— (Л Рхх + С Рх + Яр) р-1 Рх р-1 =0* Умножая это выражение на р справа, получаем

— (Лрхх + Срх + Яр)х + рх р-1 (Лрхх + Срх + Яр) = 0*

Последнее равенство является следствием (39).

Пример. Построим решения системы дифференциальных уравнений с частными производными с помощью преобразования Эйлера. Рассмотрим простейшую систему двух волновых уравнений

Yxx = Ytt; Y = ( У ) •

\У2 J

Решение этой системы выражается через четыре произвольные функции

Y* =( /i(x + + gi(x -

V /2(x + t) + g2(x - t) J •

Согласно теореме 1, по исходной системе можно построить решения другой системы с помощью преобразования

Z = Yx - Y.

В данном случае матрица <^(x) должна удовлетворять системе уравнений с постоянными коэффициентами

^xx = C.

Если матрица C — нулевая, тогда общее решение предыдущей системы имеет вид

( ) = ( bi + Ь2Х 63 + 64^ ^(Х) = ^ 65 + box 67 + 6gx у •

Необходимо выбрать константы bi такими, чтобы матрица <^(x) была обратима. Например, можно взять <^(x) равной

^(x)=( x t1 x-0 • Соответствующее преобразование Эйлера задается формулой

Z = Yx + x^bt x--11 x-1 ) Y.

По теореме 1 это преобразование переводит решения исходной системы в решения системы

F1 Zxx + G1 Zx + H1 Z = Ztt)

где F1 = E — единичная матрица, G1 — нулевая, а

= 2 / -x2 + 2 x - 2 2 x \

1 = (x2 - 2)2 V 2 x -x2 - 2 x - 2 ) •

Значит, преобразованная система имеет вид

, 2 /-x2 + 2 x - 2 2 x .

Zxx + (x2 - 2)4 2 x -x2 - 2 x - 2 'Z = Ztt.

Ее общее решение определяется по формуле преобразования

Z = Yx + ( x -11 -\ 1 Y*

x x2 2 1 x + 1

Перейдем теперь к построению "обратного" преобразования [6], т.е. преобразования Эйлера, переводящего решения системы (42) в решения системы (37). Теорема 2. Пусть задано преобразование Эйлера

Z = R-1(Yx - S Y),

переводящее решения системы (37)

F Yxx + G Yx + H Y = B Y

в решения системы (42)

F1 Zxx + G1 Zx + H1 Z = B Z-

Тогда преобразование Эйлера

Y = R-1 (Zx - S1 Z) (50)

переводит решения системы (42) в решения системы (37), если

R1 = R-1 F-1, S1 = -R-1 (F-1 G + S + Rx R-1) R. (51)

Причем S и S1 задаются следующими формулами:

S = Px <£-1, S1 = ^1x P-1, где P и являются решениями систем

F Pxx + G Px + Hp = р C,

F1 Р 1xx + G1 P1x + H1 P1 = P1 C1, а матрицы C и C1 пропорциональны единичной E:

C = C1 = AE.

Доказательство. Для того чтобы преобразования (40) и (50) были взаимообрат-ны, коэффициенты в уравнениях (37) и (42) должны быть связаны следующими соотношениями:

F1 = R-1 FR, (52)

F = R-1 F1 R1; (53)

G1 = R-1 (G + Fx + [F, S]) R + 2 R-1 FRx, (54)

G = R-1 (G1 + F1x + [F1, S1]) R1 + 2 R-1 F1 R1x; (55)

H1 = R-1 (H + [G, S] + 2 F Sx + Fx S + [F, S] S) R+

+R-1 (FRx + GR)x + R-1 [F, S] Rx, (56)

H = R-1 (H1 + [G1, S1] + 2 F1 S1x + F1x S1 + [F1, S1] S1) R1 +

+R-1 (F1 R1x + G1 R1)x + R-1 [F1, S1] R1x. (57)

Исключая из (52) и (53) F1, приходим к соотношению

F = R-1 R-1 FRR1.

Последнему выражению удовлетворяет К1 = К 1 Л 1. Исключая из (54) и (55) и С1, получаем

С = К-1 К-1 (С + ^х + [Л, 5] + 2 К-1 ^Кх) КК1 + К-1 ((К-1 )х Л К + К-1 ^ К+

+К-1 Л Кх) К1 + К-1 [К-1 Л К, 51] К1 + 2 К-1 К-1 ^ К К1х. Подставляя выражение для К1 в последнее равенство, имеем

С = Л С Л-1 + 2 Л Е* Л-1 + Л [Л, 5] Л-1 + 3 Л2 Кх К-1 Л-1 + Л К (К-1 )х+

+Л2 К 51 К-1 Л-1 — Л К 51 К-1 + 2 Л2 К (К-1)х Л-1 + 2 Л2 (Л-1)х.

Домножив последнее выражение на Л-1 слева и на Л справа, приходим к эквивалентным выражениям

Л-1 С Л = С + Л 5 — 5 Л + ^Кх К-1 — Кх К Л + Л К 51 К-1 — К 51 К-1 Л,

Л (Л-1 С + 5 + Кх К-1 + К 51 К-1) = (Л-1 С + 5 + Кх К-1 + К 51 К-1) Л. Если 51 выражается формулой

51 = —К-1 (Л-1 С + 5 + Кх К-1) К,

то последнее равенство превращается в тождество.

Мы получили выражения для 51 и К1, теперь нужно проверить, удовлетворяют ли они соотношениям (56) и (57). Пусть 51 задается формулой

51 = ф1х ф-1, (58)

где ф1 удовлетворяет системе

ф1хх + С1 ф1х + Н1 ф1 = ф1 С1. (59)

С учетом (58) и (59) справедливо соотношение

^ 51х + С1 51 + Н1 + Л 52 = ф1 С ф-1.

Учитывая это выражение, перепишем (57), обозначив для краткости его правую часть через А1,

Н = К-1 А К1 + К-1 (^1 51 К1) х К- 51 С1К1 К- 51 51К1+

+К-1 (^1 К1х + С1 К1)х — К-1 51 К1х = К-1 А К1+ +К-1 (Л 51К1 + Л К1х + С1 К1)х — К-1 51(^1 51К1 + ^ К1х + С1К1).

Заметим, что с учетом представлений для С1, К1 и 51 выполняется соотношение

Л-1 С + 5 + Кх К-1 + К 51 К-1 = —К-1 5. Тогда справедливы следующие равенства:

Н = К-1А К1 + К-1 (—К 1 5 )х — К-1 51(—К 1 5) =

= Л Л А Л-1 Л-1 — Л Л (Л-1)х 5 — — Л (Л-1 С + 5 + Лх Л-1) 5,

Я + + С 5 + Л52 = ЛЛА1 Л-1 Л-1,

рСр-1 Л Л = ЛЛр1 С р-1* (60)

Проверим теперь справедливость выражения (59). Подставим в него представления для Л, С1 и Яц

Л-1 Л Л р1хх + (Л-1 (С + Лх + [Л 5]) Л + 2 Л-1 Л Лх)р1х +

+(Л-1 (Я +[С,5]+2 +Лх 5 +[Л,5] 5) Л+Л-1 (Л Лх+С Л)х+Л-1 [Л, 5] Лх) р1 = р1 Сь Используя (51) и (58), найдем

р1хх = —(Л-1 (Л-1 С + 5 + Лх Л-1) Л)х р1 — (Л-1 (Л-1 С + 5 + Лх Л-1) Л) р1х* Подставив последнее выражение в (59), получим

(Л Лх + Лх Л — 5 Л Л) р1х + (рСр-1 Л — 5СЛ + (Л5Л)х — Л + (Л Лх + С Л)х—

—5ЛЛх — Л Л (Л-1 (Л-1 С + 5 + Лх Л-1) Л)х) р1 = Лр1 Сь Домножая это соотношение на р-1 справа, преобразуем его к виду

— (ЛЛх + Лх Л — 5 Л Л) Л-1 (Л-1 С + 5 + Лх Л-1) Л + рСр-1 Л — 5 (Л 5 Л + Л Лх + СЛ)+

+(Л 5 Л + Л Лх + С Л)х — Л Л (Л-1(Л-1 С + 5 + Лх Л-1) Л)х = Л р1 С р-1* Приведя подобные, получаем

рСр-1 Л = Лр1 С1 р-1* (61)

Полагая С = С1 = АЕ, убеждаемся, что условия (60) и (61) становятся тождествами.

Замечание. Как следует из доказательства теоремы, для существования "обратного" преобразования Эйлера необходимо выполнение условий (60) и (61).

3. Построение преобразований Эйлера высших порядков

Рассмотрим преобразование Эйлера вида

Z = Ух — 5 У (62)

с матрицей

-1

х

5 = рх р где р — решение системы

Л рхх + С рх + Яр = р С* (63)

Согласно теореме 1, оно переводит решение системы

Л Ухх + С Ух + Я У = В У (64)

в решение системы

Л Zxx + С1 Zx + Я1 Z = В Z, (65)

где функции С1, Н1 задаются формулами

С1 = С + Лх + [Л,5 ], Н1 = Н + Сх + [С, 5] + 2 Л5х + Лх 5 + [Л, 5] 5.

(66) (67)

Перейдем теперь к построению преобразований Эйлера высших порядков. Для этого воспользуемся понятием квазидетерминанта [15], напомнив его определение.

Обозначим через Q алгебру матриц порядка й над полем К. Пусть X = (хц) — матрица порядка п над Q; XЦ — подматрица, полученная удалением ¿-го ряда и j-го столбца из X; г} — подматрица, полученная из ¿-го ряда X удалением элемента Хц; с} — подматрица, полученная из j-го столбца X удалением элемента Хц.

Квазидетерминантом будем называть следующее выражение:

IX|ц = хц — г} (XЦ)-1 с}.

(68)

Существование квазидетерминанта обусловлено обратимостью XЦ. Квазидетерминант может быть вычислен следующим образом [15]:

^ к" = X} — ^ к) 1 ХЦ )

(69)

Теорема 3. Пусть ф1,... , фк — решения системы (63), соответствующие различным матрицам С1,...,Ск. Если существует оператор Мк, действие которого задается формулой

Мк У = (ф1,...,фк, У)|

(70)

где Ш(ф1,... , фк, У) — аналог матрицы Вронского

(

Ш (ф1,...,фк, У) =

ф1 ф1

фк

У

фк У'

ф1

(к)

фк

(к) у(к)

то преобразование Эйлера порядка к

Z = Мк У

переводит решение системы (64)

Л Ухх + С Ух + Н У = В У

в решение системы

Л ^х + ск zx + нк Z = В Z.

При этом Ск и Нк имеют вид

С = с + кЛх + [Л, —|и |кк ],

(71)

(72)

(73)

Н = Н + к Сх +

к(к — 1)

Лхх — 2 Л (|и)х — Лх |и+ [С, —|и]+

к

+Е

г=1

г-1 ^=1

+ (г - +

г-1

^ Е 5 ^=1

(74)

г^е

& = (|Ж (р1 ,...,Рг)|г,г )х (Ж (р1, • • • , р*)-1,

Ж = Ж (р1,...,рк ),

/ Р1 Р2 . . . Рк

и = и (Р1,. • • ,Рк) = (к-2) Р1 (к) Р1 (к-2) Р2 . (к) Р2 . (к-2) . . Рк (к) . . Рк

Доказательство. Сначала убедимся, что оператор Мк вида (70) действительно задает преобразование Эйлера порядка к. Обозначим через оператор Эйлера вида

^ = (дх - рж Р-1). Построим последовательность функций и операторов

Р1 = рЬ Р2 = Ьрх Р2, • • • , Рп = Ьрп_1 • • . Ьрх Рп М1 = Ьр1, М2 = ЬР2 М1,..., Мп = ЬРп Мп-1.

(75)

(76)

Действие оператора Мк на произвольный вектор функций соответствующего размера можно записать в форме

Мк У = У(к) + ак У(к-1) + ... + а1 У,

или

/ У \ У'

Мк У = У(к) + ( А1 «2 ... ак ) .

У(к-1)

Из построения операторов видно, что функции р1,... , рк удовлетворяют системе

Мк р = 0. (77)

Найдем вектор матриц (а1 а2 ... ак), используя условие (77):

/

ак)

/

(а1 а2 .

Р1 р1

Р2 р2

(к-1) (к-1) V р1 р2

(«1 «2 • • • ак) = - ( р1к) ... ркк) )

Рк

Рк = - ( Р(1к) (к) . . . Рк

(к-1) Рк

Р1 Р2 . . . Рк

Р1 Р2 . . . Рк

(к-1) Р1 (к-1) Р2 . . . (к-1) Рк

х

Подставив последнее выражение в (76), получим

/

Mfc Y = Y(k) - ( p(k)

(k) pk

pi p'i

(k-i) V pi

pk pk

(k-l) pk )

-i

Y Y'

Y(k-i)

Следовательно, оператор М^ действительно задает преобразование Эйлера порядка к.

Выражения для Сд и Нд находятся по индукции последовательным применением формул (66) и (67) и имеют вид

С = С + к Лх + [Л, 51 + 52 + ... + 5к ], к(к — 1)

Hk = H + k Gx +

+ 2 F (Si + S2 + • • • + Sk)x +

(Si + S2 + • • • + Sk) + [G, Si + S2 + • • • + Sk

k

+ E

i=i

i-i F, £ Sj j=i

+ (i - 1) [Fx,Si] +

i-i F, £ Sj j=i

Si

+ [F,Si] SJ •

Необходимо найти коэффициенты Si и сумму S' + S2 + • • • + Sk. Так как преобразование Эйлера порядка i является суперпозицией преобразований низших порядков, то справедливо следующее выражение:

Pi+l = Pix — Si Pi,

где

Si = (|W(pi, • • •, Pi)|i,i)x (|W(pi, • • •, Pi)|i,i)

-i

Из построения оператора Мк следует

Мк = ЬРп Мк-1 = (дх + 5к)... (дх + 51) =

= дхк + (51 + 52 + ... + 5к )дхк-1 + ...

Видно, что сумма 51 + 52 + ... + 5д равна а^ в выражении (76). Этот коэффициент находится из условия (77) и равен

Ос = —|и|к,к -,

где

U = U(pi, • • • ,pk)

pi

p2

pik-2) p2k-2) \ p'k) p2k)

/

W = W (pl,•••,pk ) =

pi

p2

(k-2) (k-2)

pi p2

(k-l) (k-l)

pi p2

pk

(k-2) pk

(k) pk

pk

\

(k-2) pk (k-l) pk

x

Список литературы

[1] Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.

[2] БрЕховских Л.М., Годин О.А. Акустика неоднородных сред. Т. 1. Основы теории отражения и распространения звука. М.: Наука, 2007.

[3] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[4] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

[5] Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уранений Эйлера—Пуассона—Дарбу // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63, № 1. C. 15-20.

[6] КАпцов О.В. Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера—Дарбу // Вычисл. технологии. 2007. Т. 12, № 4. С. 59-72.

[7] Tsarev S.P. Generalized Laplace transformations and integration of hyperbolic systems of linear partial differential equations // Proceedings of the 2005 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Beijing: ACM Press, 2005. P. 325-331.

[8] Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. 3. М.: ГИФМЛ, 1958.

[9] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

[10] САгомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд-во МГУ, 1985.

[11] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

[12] Рождественский Б.П., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

[13] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

[14] Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Vol. 2. Paris: Gauthier-Villars, 1915.

[15] Gelfand I.M., Gelfand S., Retakh V.S., Wilson R.L. Quasideterminants // Adv. Math. 2005. Vol. 193, N 1. P. 56-141.

Поступила в редакцию 31 марта 2009 г.