Преобразование Эйлера и решение начально-краевой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955, 517.954, 517.956.3

Преобразование Эйлера и решение начально-краевой задачи

Иван В.Коростелев*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок 50/44, Красноярск, 660036,

Россия

Получена 20.03.2009, окончательный вариант 21.04.2009, принята к печати 30.04.2009 Работа посвящена построению решений и преобразований линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. Представляется метод Эйлера и конструктивным образом находится решение начально-краевой задачи для уравнений с коэффициентами из некоторого семейства.

Ключевые слова: преобразования, начально-краевая задача, гиперболические уравнения.

Введение

Линейные модели, описываемые дифференциальными уравнениями, применяются в акустике, теории упругости, электродинамике, квантовой механике. Так, например, уравнение продольных колебаний однородного стержня переменного сечения имеет следующий вид [1]:

2 «« = ихх + (1п S(x))x их, с2

[Ё

где и — продольное перемещение, с = \--скорость распространения продольной волны,

V Р

р — плотность, ё — модуль Юнга, S(x) — площадь поперечного сечения стержня в точке х. При некоторых допущениях звуковая волна в трубах переменного сечения может быть описана следующими уравнениями [2]:

-4 Ра = Рхх + (1п S(х))х Рх, с2

Р = Ро 7с * = -^ (5>(Х) ^ '

где р(х, ¿) — звуковое давление, т.е. разность между действительным и равновесным давлением, S(x) — площадь сечения трубы, *(х,£) = — р(х,£) — 1 — относительное изменение

Ро

плотности газа, ро — плотность газа в состоянии равновесия, р(х, ¿) — действительная плотность газа, 7с — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном

объеме, £(х, ¿) — смещение частиц газа вдоль оси х, с = < 0 — скорость распространения

ро

звуковой волны.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Данная работа посвящена построению решений и преобразований линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами. Представляется метод Эйлера и конструктивным образом находится решение начально-краевой задачи для уравнения

и« = ихх + О(ж)их (1)

с функцией О(ж) из некоторого семейства.

1. Применение метода Эйлера к решению начально-краевой задачи

Представим краткое описание метода Эйлера. Преобразование вида

г = М(ж) (их + в(ж) и)

введено Эйлером [3] для интегрирования уравнений

ии = F(ж) ихх + О(ж) их + Н(ж) и. (2)

В работе [4] метод интегрирования Эйлера [3] был распространен на некоторые классы линейных уравнений с произвольным числом переменных. Следуя [4], рассмотрим преобразование

и1 = [их - и^ /г. (3)

Здесь г — произвольная гладкая функция от ж, Н(ж) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

¥Ы' + ОН' + (Н + с) Н = 0, с е Д. (4)

В дальнейшем (4) будем называть дифференциальным преобразованием Эйлера или кратко — преобразованием Эйлера. Преобразование Эйлера (3) переводит решения уравнения (2) в решения уравнения [4]:

иш = ^(ж) и1хх + О1(ж) и1х + Н.(ж) и1,

где функции О1, Н1 определяются формулами

О1 = О + ^' + 2 ^ (1п г)',

Н = Н + (Рг' + Ог)' + р' (1п Н)' + 2^ (1п Н)'',

г

штрих означает производную по ж.

Покажем, как с помощью преобразования Эйлера можно получить решение уравнения (1) для некоторого семейства функций О(ж). Для того чтобы преобразование Эйлера (3) переводило решения уравнения (1) в решения уравнения

иш = и1хх + (О + 2(1п г)')и1х, (5)

функция г должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению

г'' + Ог' + (О' + 2(1п Н)'')г = 0. (6)

Пусть О = 0, тогда и = /(х + + д(х — — общее решение (1), а уравнение на функцию Н имеет вид

Н'' + сН = 0, с е Д.

(7)

В зависимости от выбора c получается три типа решений. Если c = 0, то

h = ац x + ai2, ai, Я2 G R-В этом случае решением уравнения (6) является функция

ci + С2 (aii x + ai2)3

(ац х + &12 ) Значит, преобразованное уравнение

иш = и1хх + 2(1п г)' и1 согласно формуле (3), имеет решение

ci, С2 G R.

Mi =

ац x + ai2

f ' + g ' -

aii

ац x + ai2

(f + g)

ci + c2 (aii x + ai2)3

Пусть c < 0, тогда, не ограничивая общности, можно считать c = -1. В этом случае

h = aii sh(x) + ai2 ch(x)

является общим решением (7), а

aii ch(x) + ai2 sh(x)

r = ci

-(cix + c2), ci, c2 G R,

aii sh(x) + ai2 ch(x) удовлетворяет (6). Значит, преобразованное уравнение (5) имеет решение

1

Mi = —

' ' aii ch(x) + ai2 sh(x)

f + g--^-TTTT (f + g)

aii sh(x) + ai2 ch(x)

Наконец, если c = 1, то соответствующие функции h, r и ui задаются формулами

r = ci +

h = aii sin(x) + ai2 cos(x) ai2 sin(x) — aii cos(x)

aii sin(x) + ai2 cos(x)

(cix + c2), ci, c2 G R,

1 Г , , а12 Б1п(х) — аи ео8(х)

и1 = " / + --. , ч ,-+ йО

г а11 вт(х) + а12 еов(х)

Применим теперь преобразование Эйлера к (5). Преобразование

= (Н1

и2 V Н1/ х г1 '

где функции Н1, Г1 удовлетворяют уравнениям

Н'/ + 2 (1п г)' Н1 + с1 Н1 = 0,

г'/ + 2 (1п г)' г! + 2 (1п Н1 г)'' г1 = 0, переводит решения уравнения (5) в решения уравнения

и2И = и2хж + 2 (1п гг1)' и2х.

(8)

(9) (10)

(11)

x

r

Замечание 1. Пусть функция hoi удовлетворяет уравнению

h'01 + ci hoi = 0.

Тогда, если c = ci, то функция

h- = т x h

является общим решением уравнения (9). Если c = ci, то указанная функция будет частным решением (9). Вторым независимым решением (9) будет функция

hi! wry dx

Замечание 2. Общим решением уравнения (10) является функция

hi hi hi

ri = an---+ ai2— -г-.—Т2 dx.

hi hi J (h\ r)2

Последовательно применяя преобразование Эйлера, мы получим последовательность интегрируемых уравнений. На n-м шаге мы получим уравнение

untt = Unxx + 2 (ln(rri • • • fn-i))' (12)

Его общее решение находится по формуле

f (x + t) + g(x - t) \ h \ h

Ы-2 1 hn-1

h hi r h2ri I hn-1rn-2 rn-i

(13)

где функции hi, Ti удовлетворяют следующим уравнениям:

h'¡ + 2 (ln (t n ■■■ т_))' hi + ci hi = 0, (14)

ri' + 2 (ln (t ti ■ ■ ■ tí_i))' tí + 2 (ln(hi tti ■■■ Ti_i))'' t = 0. (15)

Замечание 3. Если все ci различны, то общие решения уравнений (14) задаются формулой

h = W(h, hoi,...,hoi) (16)

i W (h, hoi,... ,ho i_i) tti ...Ti_i где W(fi,. .., fn) - вронскиан функций fi, ..., fn, а hoi есть решения уравнений

h'ói + Ci hoi = 0.

Если не все ci различны, то hi следует находить последовательно. Замечание 4. Общими решениями уравнений (15) являются функции

hi + a hi f hi

hi i 2 hi J (hi tti ■ ■■ Ti_i)

ri = aii h + ai 2 -TI imz—г—-У2 dx. (17)

Замечание 5. Если уравнение (12) рассматривать как модель продольных колебаний стержня или 'распространения звуковой волны в трубе (см. Введение), то площадь сечения стержня или трубы, соответственно, находится по формуле

Б(х) = (ГГ1 • • • Тп-1)2.

1

u

n

Пример 1. Преобразование Эйлера, удовлетворяющее замечанию 3, можно найти в [4], где приведено решение

_ Ш(и0,Нь...,Н„)

уравнения

ш(н;,...х) '

Ztt — zxx + 2

ln-

Ш (НЬ...,Н„)_

где Нг _ аг 8И(Лг ж) + Ьг сЬ(Лг ж), аг, , Лг £ Д, Лг _ Л^- при г _ и0 _ / (ж + ¿) +

д(х - г).

Пример 2. Рассмотрим волновое уравнение

и« _ Ижж. (18)

Общее решение этого уравнения

и _ /(ж + £) + д(х — £). Применим к нему преобразование Эйлера

'и \ Н

И1 '

^h/ r'

где h(i) удовлетворяет уравнению

h'' + c h — 0.

Пусть c — 0, тогда, как показано выше, функции h и r определяются формулами

h — ai + b,

coi + co2(ai + b)3

r —-;-.

ai + b

Данное преобразование переводит решения волнового уравнения в решения уравнения

Uitt — uixx +2(ln r)' uix. (19)

Общее решение этого уравнения есть

u — (ai + b) (f' + g') - a (f + g) coi + co2(ai + b)3

Применим теперь к уравнению (19) преобразование

U2 — (hi) hi • (20)

где функции hi, ri удовлетворяют следующим уравнениям:

hi' + 2 (ln r)' hi + ci hi — 0, (21)

r'' + 2 (ln r)' r ' + 2 (ln(hi r))'' ri — 0. (22)

Пусть c i — 0. Найдем функцию h i, пользуясь замечанием 1. В данном случае c — c i, поэтому, если ho есть решение уравнения

ho — 0,

то функция

Л1) _( hüA h

h1 _1 xJ„ r

является частным решением (21). Вторым независимым решением (21) будет функция

h12) _ h11) ¡ —rf.-dx.

1 1 J (h(11) r)2

Таким образом мы находим общее решение уравнения (21), оно равно

ац + а12 (ах + b)3

h-1 _ -т-ттг.

Cü1 + С02(ах + b)3

Согласно замечанию 2 найдем решение уравнения (22):

(ах + b) (сц (ах + b) + С12 (-5 а21 + 5 ац а12 (ах + b)3 + а22 (ах + b)6))

Г1 _ -.

(ац + а12 (ах + b)3) (cü1 + ^(ах + b)3) Данное преобразование переводит решения уравнения (19) в решения уравнения

«2tt _ М2ЖЖ + 2 (ln (r Г1))' М2ж. (23)

Общее решение находится подстановкой выражений для h-1, Г1 и общего решения « в формулу преобразования (20).

Пусть С1 _ -1. В этом случае общим решением уравнения (21) является функция

(ах + b) (а1 ch х + b1 sh х) — а (а1 sh х + b1 ch х) h-1 _ --7Т3-.

Cü1 + С02 (ах + b)3

Решение (22) задается формулой

Í (ах + b) (а1 sh х + b1 ch х) 3 Cü2 а (ах + b)2 \

1 11 у (ах + b) (а1 ch х + b1 sh х) — а (а1 sh х + b1 ch х) Cü1 + Cü2 (ах + b)^

(ах + b) (а1 sh х + b1 ch х)

+C12-.

((ах + b) (а1 ch х + b1 sh х) — а (а1 sh х + b1 ch х)) (cü1 + C32 (ах + b)3)

Используя приведенные выражения, с помощью подстановки в формулы (20), (23) легко найти соответствующую формулу преобразования, а также явный вид преобразованного уравнения и его решения. Согласно замечанию 5, площадь сечения £(х) для уравнения (19) равна

S( ) _ ( Cü1 + ^(ах + b)34 (х) _ V ах + b

для уравнения (23) при C1 _ 0

( C11 (ах + b) + C12 (—5 а11 +5 ац а12 (ах + b)3 + а22 (ах + b)6)

S ( х ) —

1

ац + а12 (ах + b)3 при C1 _ -1

/ f (cü1 + Cü2(аx + b)3) (а1 sh х + b1 ch х) Л

Ь(х) _ C11 7-z—,---;---г----;---т — 3Cü2 а (ах + b) +

(а x + b) (а1 ch x + b1 sh x) - а (а1 sh x + b1 ch x)

Я1 вИ ж + 61 еИ ж

+С12

(аж + 6) (а1 еИ ж + 61 вИ ж) — а (а1 вИ ж + 61 еИ ж) ^

Используя преобразования Эйлера, можно найти решение начально-краевой задачи для уравнения (12) с функциями г», Н», удовлетворяющими уравнениям (14), (15). Основные результаты по разрешимости начально-краевых задач для линейных гиперболических уравнений имеются в [5, 6]. В дальнейшем все входящие функции считаются дифференцируемыми нужное число раз.

Выберем отрезок [ж1,ж2] таким образом, чтобы функции г», Ы были определены и не обращались в ноль в каждой точке отрезка. Зададим на [ж1,ж2] начальные данные

ип(0, ж) = у>(ж), и„г(0, ж) = ^(ж), ж е [ж1,ж2] . (24)

Для сокращения дальнейших выкладок определим операторы, действие которых на произвольную функцию ад(ж,Ь) задается следующими формулами:

/-ш(ж, Ь)\ Н(ж)

Ъ» ад(ж,Ь) =

Н(ж) ух г(ж)' ад(ж,Ь)\ Н» (ж)

Н»(ж) / х г» (ж) ГУ

Ъ0 ад(уо,Ь) = Н(у) / ^ г(У0) ¿уо, Ло Н(У0)

Ъ «,(*,*) = Н»(у) /У ¿у»,

где а» - произвольные постоянные из отрезка [ж1,ж2].

Уравнение (12) является гиперболическим, поэтому его решение в любой точке треугольника

Т = {(£, ж) : 4 > 0, ж1 + 4 < ж < ж2 — Ь]

однозначно определяется по данным (24). Найдем явное представление этого решения. Решения уравнения (12) получаются из решений уравнения

ии = ихх (25)

с помощью преобразования Эйлера

и„(ж, Ь) = Ъ„_1 Ъ„_2 ... Ъ1 Ъо и(ж, Ь). (26)

Начальные данные

^о(ж) = и(0, ж) = Ъх Ъ?0 ... Ъ^Л ^(уп-1), (27)

^о(ж) = и(0, ж) = ...££? ^(уп_1) (28)

для уравнения (25) переходят в начальные данные (24) под действием того же преобразования (26). Хорошо известно, что решение уравнения (25) с начальными данными (27), (28) в треугольнике Т задается формулой Даламбера

1

и(Ь,ж) = о

гх+г

^о(ж + Ь) + ^о(ж — Ь) + / ^о(у) ¿у ./х-г

2

С учетом (27), (28) последнее выражение приобретает вид

1

и(^,х) = ^

ц+г ьу0... ьу--2 ^(уп-1) + Ц—г ьу0... ьу—2 ^(у„-1) +

+ ьо ьу0 ...ь^-2 -1) ¿г

Применяя преобразование Эйлера (26), получаем аналог формулы Даламбера для уравнения (12):

ип(£, х) = 1 ь„_1 ь„_2 ... ь ьо

ц+г ьт ...ь^-2 ^(уп_1) +

+ьЦ ь^... ь^-2 ^(уп_1) + [х+4 ьо ь0... ь^2 ^(уп_1) ¿г

Зх—г

(29)

Решение ип(£, х) не зависит от констант хотя они формально участвуют в его записи (29). В дальнейшем удобно положить щ = х1.

Пусть теперь для уравнения (12), кроме начальных данных (24), заданы краевые условия

Д^х^ = ип(4,х2) = 0.

(30)

Если данные (24), (30) удовлетворяют условиям согласования [7], то начально-краевая задача имеет гладкое решение. Ниже описывается конструктивное построение решения. Выражение (29) можно переписать в виде

и„(£, х) = 2 ь„—1 ь„—2 ... ь ьо /1(х + ¿) + 51 (х — £)]

где функции Д(х), 51 (х) задаются формулами

(31)

/1(х) = ьх ьу0 ... ь^-2 1) + / ьо ьу0 ... ь^-2 1) ¿г

(32)

51 (х) = ьх ьу0 ... ьуТ12 1) — ьо ьу0 ... ьуТ12 1) ¿г.

(33)

Функции /1(х), 51 (х) определяются формулами (32), (33) только на [х1, х2], и таким образом проблема решения начально-краевой задачи сводится к доопределению Д(х+£), 51 (х—£) для всех £ ^ 0, х € [х1, х2]. Подставляя в краевые условия функцию ип, заданную формулой (31), приходим к двум линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами

2 ь„—1 ь„—2 ... ь ьо [/1 (х + £) + 51 (х — £)]

0,

(34)

2 ь„—1 ь„—2 ... ь ьо [/1 (х + £) + 51 (х — £)]

0.

(35)

Обозначим через Р1 все члены уравнения (34), содержащие функцию 51, через Д1 — все члены (34), содержащие функцию /1, через Р2 — все члены уравнения (35), содержащие

х — г

и

х

Ь

х

Ь

х = х1

х = х2

функцию fi, и через R2 — все члены (35), содержащие функцию gi. Введем новые переменные Ti = xi — t, т2 = x2 +t. Тогда уравнения (34),(35) запишутся в виде

Pi(gi(Ti)) = —Ri(fi(2 xi — Ti)),

P2(fi(Ti)) = — R2(gi(2 x2 — T2)). 1 J

Правые части последних уравнений известны при Ti G [xi — l, xi], T2 G [x2, x2 + l]. Здесь l — длина отрезка [xi, x2]. Поскольку функции fi, gi определены на [xi, x2] формулами (32), (33), мы можем вычислить значения функции gi и её производных в точке xi, а также значения функции fi и её производных в точке x2. Воспользовавшись этими значениями в качестве начальных данных уравнений (36), мы сможем определить функции fi(x2 +t), gi(xi — t) при t G [0, l]. Далее мы можем решить уравнения (36) с начальными данными в точке xi — l для gi и x2 + l для fi, полученные решения определяют функции fi(x2 +1), gi(xi — t) при t G [l, 21]. Последовательно применяя эту процедуру, мы определим функции fi(x2 +1), gi(xi — t) на всей полуоси t ^ 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке (проект 07-01-00489 РФФИ и интеграционный проект СО РАН 103).

Список литературы

[1] Э.И.Григолюк, И.Т.Селезов, Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек, М., ВИНИТИ, 1973.

[2] Ф.Морз, Колебания и звук, М., Ленинград, ГИТТЛ, 1949.

[3] Л.Эйлер, Интегральное исчисление, Т.3, М., ГИФМЛ, 1958.

[4] О.В.Капцов, Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу, Вычислительные технологии, 12(2007), №4, 59-72.

[5] Р.Курант, Уравнения с частными производными, М., Мир, 1964.

[6] Б.П.Рождественский, Н.Н.Яненко, Системы квазилинейных уравнений, М., Наука, 1978.

[7] В.С.Владимиров, Уравнения математической физики, М., Наука, 1971.

The Euler Transformation and a Solution of an Initial-Boundary Problem

Ivan V.Korostelev

The construction of transformations and solutions of a linear hyperbolic partial differential equation was considered. The method of Euler was presented and the solution of the initial-boundary problem for equations with coefficients from some family of functions was constructed.

Keywords: transformation, initial-boundary problem, hyperbolic equation.