О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 3, С. 5-13

УДК 517.95

DOI 10.23671 /VNC.2019.3.36456

О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ДАРБУ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

А. А. Аллахвердян1

1 Адыгейский государственный университет, Россия, 385000, Майкоп, ул. Первомайская, 208 E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе обсуждаются элементарные преобразования Дарбу функций Бесселя. В теореме 1 мы приводим уточненную формулировку общего метода факторизации, восходящего к Э. Шредингеру, и вводим в рассмотрение взаимосвязанные дифференциальные подстановки В1 и В2. В основной теореме 2 рассматриваются уравнения Бесселя — Риккати и элементарные преобразования Дарбу сводятся к дробно-линейным отображениям. Показано, что неподвижная точка такого отображения порождает рациональные по х решения уравнений Бесселя — Риккати из теоремы 2. Отметим, что функции Бесселя рассматриваются в данной работе как собственные функции Аф = Хф операторов Эйлера вида А = е21 (В2 + а1Вг + а2) с постоянными коэффициентами а1 и а2. Это позволяет (лемма 3) построить асимптотические решения уравнений Бесселя — Риккати в виде степенных рядов по обратным степеням г = кх, к2 = X, х = Мы показываем, что эти формальные ряды по обратным степеням спектрального параметра к = \/Л сходятся, если существуют рациональные решения уравнений Бесселя — Риккати из теоремы 2.

Ключевые слова: функция Бесселя, обратимое преобразование Дарбу, непрерывные дроби, оператор Эйлера, уравнение Риккати. Mathematical Subject Classification (2010): 34K08.

Образец цитирования: Аллахвердян А. А. О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 3.—С. 5-13. DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36456.

1. Введение

В работе рассматриваются условия обратимости элементарных преобразований линейных дифференциальных уравнений вида: Аф = Хф, где А — дифференциальный оператор п-го порядка, имеющий вид

и

А = а0(х)О™ + а1(х)О™-1 + ... + ап(х), Ох = —. (1)

Эти преобразования определяются дифференциальными подстановками

ф = В1ф, ф = В2ф, (2)

где В1 и В2 — дифференциальные операторы (вообще говоря, произвольного порядка) и позволяют переходить от исходного уравнения Аф = Хф к эквивалентному уравнению Аф = Хф, и наоборот. Обратимые преобразования решений уравнения Аф = Хф

© 2019 Аллахвердян А. А.

называются в современной литературе преобразованиями Дарбу. Они используются для построения солитоноподобных решений дифференциальных уравнений.

Если дифференциальный оператор Б\ имеет нулевой порядок, то, как легко видеть, преобразование сводит оператор А к оператору А = Ь(х) о А о Ь-1(х), где Ь(х) — произвольная достаточно гладкая функция. В случае, когда Б1 является оператором первого порядка, соответствующее преобразование имеет вид

ф = (Ьо(х)Дх + Ь1(х))ф, (3)

а оператор Б2 имеет порядок п — 1. Здесь уже функции Ь0(х) и Ь1(х) не являются произвольными и вопрос об условиях обратимости является нетривиальным. Достаточные условия обратимости преобразования (3) указаны в теореме 1.

Далее в статье рассматривается применение преобразований Дарбу к функциям Бесселя. В этом случае они сводятся к уравнению

(/(х) + в)(/(х) — (в + 1))= х2,

где /(х) — решение уравнения Риккати, связанного с уравнением Бесселя (теорема 2). Последнее уравнение позволяет определить дробно-линейное преобразование решений уравнения Риккати, а неподвижные точки этого отображения приводят к последовательности рациональных решений уравнения Риккати.

В конце первого раздела рассматривается вопрос о разрешимости уравнения Риккати (теорема 2) в классе формальных рядов. Показывается, что уравнение однозначно разрешимо в классе формальных степенных рядов следующего вида:

Найдены значения в, при которых формальные ряды сходятся и дают все рациональные решения данного уравнения.*

2. Уравнение Бесселя

Справедлива следующая теорема, которая обобщает результаты, полученные Шре-дингером в работах [1, 2], на случай дифференциальных операторов произвольного порядка. Обобщение этой теоремы на случай операторов высокого порядка рассматривалось ранее в [3, §4.2.2], но в другой формулировке.

Теорема 1. Уравнение для собственных функций Аф = Хф при X = 0 допускает обратимую замену вида (3) с коэффициентами Ь0(х) = 1 и Ь1(х) = Дх(1с^ <р(х)), где <^(х) € кег А.

В основе данной теоремы лежит следующая известная лемма (см., например [3, § 4.2.2, лемма 17]) о представлении дифференциального оператора А.

Лемма 1. Дифференциальный оператор А порядка п > 1 представим в виде А = А(ДХ — д(х)) в том и только том случае, если д = <р(х)), где <^(х) € кег А, А —

оператор (п — 1) -го порядка.

Итак, докажем теорему о собственных функциях.

* Можно показать, что асимптотические ряды для функций Бесселя, используемые в [4], эквивалентны (4).

< Доказательство теоремы 1. Рассмотрим уравнение Аф = Хф, согласно лемме 1 его можно переписать в виде

Аф = Хф, (5)

где ф = (ДХ — д(х))ф. Из формулы (5) имеем, что

n— 1

Аф = йо(ж)г?(п—1) + ai (x)^(n-2) + ... + On-= ^ cTi(x)V^(n—(i+1)). (6)

г=0

Домножив слева обе части уравнения (5) на (Ax — g(x)), получим

n- 1

dx

n- 1 i=0

+ g(x)

J^S (x)T(n-(i+1))

i=0

= (7)

Полученное уравнение (7) при А = 0 имеет тот же порядок, что и исходное Аф = Аф, но другие коэффициенты.

Таким образом, доказано, что уравнение Аф = Аф, А = 0, допускает замену гр = (An — д(ж))Т, если g = (log ^>(ж))х, ^>(ж) € ker A и то, что данная замена обратима. >

Рассмотрим уравнение Аф = Аф, когда A — оператор второго порядка. Применяя теорему 1, запишем оператор A в виде

A = a0(x)AX + a1(x)Ax + a2(x). (8)

Произведем замену ф = е^ф в данном уравнении и будем считать коэффициент при ДХ, равным 1. Тогда оператор А, определяемый формулой (8), примет вид

А = Д^ + д(х). (9)

Найдем как связана функция д(-) с функцией д(-). Для этого применим теорему 1 к (9):

А = (Дл + д(х))(Дж — д(х))

= ДХ + д(х) Дж — д(х) Дж — д'(х) — д2(х) = Д^ — д'(х) — д2(х).

Таким образом, функция д(-) удовлетворяет уравнению Риккати

д'(х) + д2(х) — д(х) = 0. (10)

Уравнением Риккати, связанным с уравнением A-0 = Аф, называется уравнение для

~Ф:

логарифмической производной / — — •

ас/' + ас/2 + «1/ + («2 — Х)=0. (11)

В случае, когда оператор А имеет вид (9), уравнение Риккати, связанное с уравнением Аф = Хф, запишется в виде

/' + /2 + я(х) + А = 0, / = где д(-) удовлетворяет уравнению (10).

В дальнейшем будем рассматривать применения теоремы 1 в случае, когда оператор А является оператором Эйлера, т. е.

А = ет: РтД) = е^роДГ + Р1Д™-1 + • • • + Рт), (12)

где Рг € С.

Лемма 2. Если А = етРт(Д:), Б = еп:<п(Д:), то суперпозиция операторов Эйлера А и Б запишется в виде

А о Б = е(т+п):ит+п(А), ит+пД) = Рт(Д: + п)Яп(Дг).

Отметим, что вместо замены ф = (ЬоДх + Ь1)ф в случае, когда А определяется формулой (12) используется оператор Эйлера первого порядка

ф = е:(Д: + с)ф, с € С. (13)

Итак, рассмотрим случай, когда оператор А имеет вид

1 в2

A = D2X + -DX-^. (14)

2

Замечание 1. Уравнение Аф = Хф, в котором A определяется формулой (14) называется уравнением Бесселя [5]. Используя замену x = e-t,

Dx = -e-tDt, DX2 = e2t(D2 + Dt), оператор, определяемый формулой (14), преобразуем в оператор Эйлера

А = e2t(D2 - в2). Применив лемму 2 к данному оператору

А = et(Dt - (в + 1)) ◦ et(Dt - в), (15)

уравнение Аф = Хф можно переписать в следующем виде:

et(Dt - в - 1) о et(Dt + в)ф = Хф. (16)

Таким образом, уравнение Бесселя является уравнением для собственных функций оператора Эйлера.

Применив теорему 1 к уравнению (16), находим

et(Dt + в)ф = ф, et(Dt - (в + 1))ф = Хф. (17)

Теперь перепишем уравнения (17) в терминах f = (log ф^ и f = (log ф)^ получим ф = et(f + в)ф, Хф = et(/ - (b + 1)),

(18)

(f + в)(/ - (в + 1)) = Х ■ e-2t.

Без ограничения общности, считая Х = 1 в последнем уравнении, докажем основную теорему.

Теорема 2. Соотношение

(/ + в)(/ — (в + 1))= е-2:, в € С, (19)

устанавливает эквивалентность двух уравнений Риккати:

/ + /2 = в2 + е-2: ^ Л + / 2 = (в + 1)2 + е-2:. (20)

< Выразим / из (19):

е-2:

/ = 7 + ^ + 03 + 1)- (21)

Продифференцируем (21) по ¿:

Н (/ + /?)2 / + /? Л(/ + /?)2' 1 ;

Заметим, что

/ = в2 — /2 + е-2: • (23)

Подставим (23) в (22). Тогда

71 - _2 е~2* + __е~4* (24)

е~4' + (25)

(/ + в)2 / + в / + в Возведем равенство (21) в квадрат

Следовательно,

е-4: -г, , е-2:

Таким образом, согласно (25) и (26) имеем Итак,

Л + Л2 = (в + 1)2 + е-2:. >

Заменив в формуле (21) / = /+1, последовательно подставляя вместо в последовательность чисел в1, в2, • • •, в], • • •, получим рекуррентную формулу для последовательности функций /]:

/]+1 = в]+1 +

х2

/] + в]'

которую можно записать в виде непрерывной дроби (ср. [6])

Л+1 = в?+1 +

х2

2в, +

2/3,-1 + —

Утверждение 1. Отображение / ^ /, определяемое (19) из теоремы 2, имеет неподвижную точку

/ = / (27)

при (в + 1)2 = в2-

< В случае (27) и (19), решая квадратные уравнения, мы находим, что

¡ = /± = \±х, 0 = /3 + 1 = ±

1ь + Р = \ + х2 (х = е~*).

Нетрудно заметить, что /± = /±. >

Используя, как и выше, нумерацию, мы введем обозначения

(28)

х2 1

(29)

Очевидно, что эта формула дает последовательность рациональных решений уравнения Риккати теоремы 2:

3 а* 2 Т^х'

Аналогично можно определить /з, /4,...:

5 х2 (1 — х) 9 „ 7х + 2

/з = О + О о , О = о + 7х +

2 х2 — 3х + 3 ~ 2 х2 — 3х + 3'

_ 41 х х2 -10

** ~ 12 ~ 6 + 12ж3 - 42ж2 + 60х - 30' Для того чтобы доказать, что найдены все рациональные решения уравнения Риккати

/ + /2 = в2 + е-24, (30)

можно использовать следующую лемму, в которой строятся два формальных решения уравнения (30) при любом в € С. Эти решения представляют собой формальные ряды по степеням ^ (см. [4, §24]).

Лемма 3. Формальные решения уравнения Риккати

/ + /2 = в2 + к2е-2ь

определены однозначно, с точностью до выбора знака к € С, и записываются в виде формальных степенных рядов с постоянными коэффициентами по вспомогательной переменной г = ке-4:

те ?=1

< Подставим f, определяемое из (31), в уравнение Риккати (30), предварительно подсчитав ft и f2:

i z

те те те 2

111 i>j

Таким образом,

Л те те те 2

1 111 i>j

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем значения тг:

27г+1 + (г + 1)7г + ^ И7]' = 0- >

3+3'=г

(32)

Отметим, что для последовательности в], определенной в (29), ряд (31) сходится и определяет рациональные функции / из формулы (29). Например, полагая в (31) (З2 = находим ¡\ = — е~г + интегрируя уравнение ^ = —е-4 + получим, что =

е-йе Можно проверить, что эта функция с точностью до обозначений совпадает с

экспоненциальной производящей функцией полиномов Чебышева [7, §5.2.1]

Re

ехЫ kei0

те kn

Z-jTn(x). (33)

П!

n=0

Напомним, что многочлены Чебышева определяются следующим уравнением:

Tn (x) = cos(n6>), x = cos 0, (34)

и удовлетворяют следующей рекуррентной формуле:

2xTn (x) = Tn-1(x)+ Tn+1(x).

Произведя замену fn = — x, последнее рекуррентное соотношение можно записать в следующем виде:

(fn - x)(fn+1 + x) = -1. (35)

Заметим, что уравнения (35) и (19) схожи.

3. Заключение

Теорема 1 и формула (13) сводят задачу о функциях Бесселя к задаче о собственных функциях операторов Эйлера и своеобразной алгебре многочленов. Представляется интересным обобщение теоремы 2 на спектральные задачи третьего порядка. Можно показать также, что формальные ряды из леммы 3 применимы к задаче об асимптотических разложениях функций Бесселя и их обобщений.

Благодарность. В заключении хочу выразить благодарность всем участникам семинара «Интегрируемые системы» под руководством А. Б. Шабата в Адыгейском государственном университете города Майкопа за внимание к работе и полезные замечания.

Литература

1. Schrodinger E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions // Proc. Roy. Irish Acad.-1940-1941.-Vol. A.46.-P. 9-16.

2. Schrodinger E. Further studies on solving eigenvalue problems by factorization // Proc. Roy. Irish Acad.-1940-1941.-Vol. A.46.-P. 183-206.

3. Shabat A. Symmetries of spectral problems // Lect. Notes Phys.-2009.-Vol. 767.-P. 139-173. DOI: 10.1007/978-3-540-88111-7_5.

4. Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе.—М.: Физматлит, 2009.—248 с.

5. Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1945.

6. Flajolet P., Schott R. Non-overlapping partitions, continued fractions, bessel functions and a divergent series // Europ. J. Combinatorics.-1990.-Vol. 11, № 5.-P. 421-432. DOI: 10.1016/S0195-6698(13)80025-X.

7. Mason J. C., Handscomb D. C. Chebyshev Polynomials.—Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, 2003.—xiv+341 p.

Статья поступила 27 июля 2019 г.

АЛЛАХВЕРДЯН АЛИНА АЛЬБЕРТОВНА Адыгейский государственный университет, студентка Адыгейского государственного университета РОССИЯ, 385000, Майкоп, ул. Первомайская, 208 E-mail: alinaallakhverdyan@mail .ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 3, P. 5-13

ON TRANSFORMATIONS OF BESSEL FUNCTIONS

Allahverdyan, A. A.1 1 Adyghe State University, 208 Pervomayskaya St., Maikop 385000, Russia E-mail: [email protected]

Abstract. Elementary Darboux transformations of Bessel functions are discussed. In Theorem 1 we present an improved version of a general factorization approach which goes back to E. Schrodinger, in terms of the two interrelated linear differential substitutions B1 and B2. The main Theorem 2 deals with the Bessel-Riccati equations. The elementary Darboux transformations are reduced to fraction-rational ones. It is shown that a fixed point of the latter generates the rational in x solutions of Bessel-Riccati equations introduced by Theorem 2. It should be noted that Bessel functions are considered as eigenfunctions A^ = of the Euler operators A = e2t (Df + a1Dt + a2) with constant coefficients a1 and a2. This enables one (Lemma 3) to build up asymptotic solutions of the Bessel-Riccati equations in the form of series in inverse powers of the parameter z = kx, k2 = A, x = It is also shown that these formal series in inverse powers of the spectral parameter k = y/\ are convergent if the rational solutions of the corresponding Bessel-Riccati equation from Theorem 2 are exist.

Key words: Bessel functions, invertible Darboux transforms, continued fractions, Euler operator, Riccati equation.

Mathematical Subject Classification (2010): 34K08.

For citation: Allahverdyan, A. A. On Transformations of Bessel Functions, Vladikavkaz Math. J., 2019, vol. 21, no. 3, pp. 5-13 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36456.

References

1. Schrodinger, E. A Method of Determining Quantum-Mechanical Eigenvalues and Eigenfunctions, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940-1941, vol. A.46, pp. 9-16.

2. Schrodinger, E. Further Studies on Solving Eigenvalue Problems by Factorization, Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940-1941, vol. A.46, pp. 183-206.

3. Shabat A. Symmetries of Spectral Problems, Lecture Notes in Physics, 2009, vol. 767, pp. 139-173. DOI: 10.1007/978-3-540-88111-7_5.

4. Il'yin, A. M. and Danilin, A. R. Asymptotic Methods in Analysis, Moscow, Fizmatlit, 2009, 248 p. (in Russian).

5. Watson, J. H. Teoriya besselevyh funkcij [Theory of Bessel Functions], Moscow, Izd-vo inostr. lit-ry, 1945 (in Russian).

6. Flajolet, P. and Schott, R. Non-Overlapping Partitions, Continued Fractions, Bessel Functions and a Divergent Series, European Journal of Combinatorics, 1990, vol. 11, no. 5, pp. 421-432. DOI: 10.1016/S0195-6698(13)80025-X.

7. Mason, J. C. and Handscomb, D. C. Chebyshev Polynomials, Boca Raton, FL, Chapman & Hall/CRC, 2003, xiv+341 p.

Received 27 June, 2019

Alina A. Allahverdyan Adyghe State University,

208 Pervomayskaya St., Maikop 385000, Russia, Student

E-mail: alinaallakhverdyan@mail .ru