Обобщенные подходы в задачах определения контактных реакций в твердых телах при статических нагрузках с учетом неудерживающих связей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

3.

Спектрофотометрическое определение

содержания гидроперекисей липидов в плазме крови // Лаб. дело. 1983. № 3. С. 33-36. Гланц С. Медико-биологическая статистика : пер. с англ. М. : Практика, 1999. 459 с.

4. Меркулов Г. А. Курс патогистологической техники. Л. : Медицина, 1969. 424 с.

5. Об утверждении правил лабораторной практики [Электронный ресурс] : приказ министерства здравоохранения и социального развития РФ от 23 августа 2010 г. № 708н. URL: http://www.soramn.ru /getres.php3?resid=15&

resgroup=5&reslocale=RU (дата обращения: 07.06.2011).

6. Пирс Э. Гистохимия. Теоретическая и

практическая : пер. с англ. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. 962 с.

7. Стальная И.Д., Гаришвили Т.Г. Метод определения малонового диальдегида с помощью тиобарбитуровой кислоты // Современные методы в биохимии. М. : Медицина, 1977. С. 66-68.

8. Панченко Л.Ф., Гильмиярова Ф.Н., Радомская В.М. Этанол и атеросклероз. М. : Медицина, 1987. 128 с.

9. Sedlak J., Lindsay R.H. Estimation of Total Pro-teinbound and Non-protein Sulfhydryl Groups in Tissue with Ellman's Reagent // Anal. Biochem. 1968. Vol. 25. P. 192-205.

УДК 534.014 Елисеев Сергей Викторович,

д. т. н., профессор, директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, тел.: 598428

Елисеев Андрей Владимирович, аспирант ИрГУПC, тел. 89501435533, e-mail: [email protected]

ОБОБЩЕННЫЕ ПОДХОДЫ В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТАКТНЫХ РЕАКЦИЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ С УЧЕТОМ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЕЙ

S.V. Eliseev, A. V. Eliseev

GENERALIZED APPROACHES TO THE PROBLEM OF DETERMINING STATIC CONTACT FORCES IN SOLIDS AT A LOADS WITH NONRETENTION CONSTRAINTS

Аннотация. Представлены на обсуждение методологические подходы к статической задаче определения контактных реакций составного твердого тела. Рассмотрен вариант составного твердого тела с одной поверхностью контакта. Для модельного примера получены основные статические характеристики с учетом наличия контакта: условия реализации контакта, положение статического равновесия, реакции упругих элементов, контактные реакции. Показана зависимость контактного давления от распределения сил по элементам составного твердого тела.

Ключевые слова: зазор, контактное взаимодействие, статические реакции, неудержива-ющие связи, односторонние связи, составное твердое тело, реакции упругих элементов, контактные реакции, условие контакта.

Abstract. The methodological approaches to the problem of determining the static contact reac-

tions of the composite solid are submitted for discussion. A variant of the solid composite body with one contact surface is considered. The main static characteristics of contact are obtained: the conditions of contact, the position of static equilibrium, the reaction forces of the elastic elements, the contact forces. The forces dependence of the contact pressure on the elements is shown.

Keywords: gap, clearance, multibody mechanical systems, contact interaction, static reaction, unilateral constraints, nonretention constraints, composite solid, elastic element, contact reaction, contact forces, contact condition.

Введение. Механические колебательные системы широко используются в качестве расчетных схем в задачах динамики машин. В состав систем входят разнообразные элементы (массоинерцион-ные, упругие, диссипативные и д. р.), которые со-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

единяются между собой определенным образом и формируют необходимое динамическое состояние. Неудерживающие связи достаточно хорошо известны в теоретической [1, 2] и аналитической механике [3], включая теорию механизмов и машин, а также теорию колебаний упругих систем в её различных приложениях. Наиболее развиты теоретические аспекты взаимодействия элементов механических систем с неудерживающими связями в теории вибрационного транспортирования, транспортной динамике, строительной механике. Теоретические основы вибрационного транспортирования можно найти в работах по колебаниям механизмов [4], вибрационному перемещению [5], динамике контактного взаимодействия [6]. Вопросы вибрационного перемещения материалов нашли отражение в теории вибрационной техники [7]. Динамика транспортных систем дает много примеров проявлений неудерживающих связей, что характерно при движении по неровной поверхности различных транспортных средств. Необходимость учета неудерживающих связей возникает в задачах обеспечения безопасности перевозок грузов на железнодорожном [8] и автомобильном транспорте. В строительной механике существует необходимость оценки критических условий при динамических и статических нагрузках [9]. Расчет контактных реакций необходим для исключения критических состояний конструкции, при которых возможно раскрытие стыков и возникновение разрушений.

Несмотря на разработанный теоретический аппарат и ряд работ по исследованию механических систем с неудерживающими связями [10-13] недостаточно детализированной остается методика аналитического исследования динамических характеристик механической системы с неудержи-вающими связями. В дальнейших исследованиях нуждаются условия сохранения контакта в зависимости от динамических нагрузок. Востребованными являются методы представления полных контактных реакций в виде суммы статической и динамической контактной реакции.

1. Общие положения. Постановка задачи

Предлагаемая работа представляет собою попытку описания концепции, которая бы могла стать основой определения условий нарушения контакта в динамических системах. Автором сделан ряд допущений, упрощающих физическую картину взаимодействия твердых тел: контакт предполагается плоским, сила реакции перпендикулярна поверхности, сила трения отсутствует. Фактически, задача контакта двух тел сводится к

взаимодействию двух материальных точек. В качестве модели исследуемого объекта используется набор твердых тел. Каждое твердое тело имеет только одну степень свободы. Составными элементами системы являются упругие элементы, которые выполняют двойную роль: обеспечивают статическую определимость составляющих элементов и задают начальное поджатие. Цельность системы обеспечивает приложенная система сил. При рассмотрении системы сил, которые приложены к элементам составного твердого тела, под главным вектором понимается сумма приложенных сил к различным элементам. Главный момент сил не учитывается из-за упрощения модели на одну степень свободы.

Для определения сил при сложном контактном взаимодействии системы материальных точек используется понятие твердого тела с заданными продольными размерами. Это сделано для того, чтобы иметь возможность сравнивать различные плоскости контакта и соответствующие контактные реакции. Твердое тело в элементарной системе имеет две плоскости касания. Составное твердое тело формируется путем совмещения плоскостей контакта двух и более твердых тел. Смещение контактирующих тел возможно только вдоль нормали к плоскости контакта.

Задача состоит в определении ряда статических характеристик составного твердого тела: условий цельности, положения статического равновесия, реакции упругих элементов, контактных реакций в зависимости от приложенных сил.

2. Математическая модель элементарной механической системы в статическом состоянии

В качестве элементарной механической системы выступает одномассовая система, представленная в соответствии с рис. 1. Такая система состоит из точки привязки 1, упругого элемента 2 и твердого тела 3. Положение статического равновесия твердого тела определяется в неподвижной системе координат ОХ. Способом определения положения элементарной системы в пространстве служит точка привязки Н1. Величиной смещения точки крепления упругого элемента относительно точки привязки служит . Твердое тело имеет продольный размер и обладает двумя поверхностями контакта а1 и Ь с координатами Х1 (а1) и X 1(Ь1) соответственно. Упругий элемент в нена-груженном состоянии имеет длину Д/01.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Деформация упругого элемента определяется из условия Л1~0) = -£1Д(10'1 в виде:

д(0) = _ = у

к1 к1

Координаты поверхностей контакта составляют:

X 1(0) (й) = Н1 + 21 +Д101 +

к

У

Рис. 1. Элементарная механическая система: 1 - смещение относительно точки привязки, 2 -упругий элемент

с жесткостью к , 3 - твердое тело с массой т

и продольным размером Я , у - сила, приложенная

к твердому телу , ^ - реакция упругого элемента,

Н1 - статическая точка привязки, й, ¿1 - плоскости контакта

Дополнительно предполагается, что к твердому телу приложена некоторая постоянная сила У, которая вызывает растяжение или сжатие упругого элемента. В статическом состоянии системы данная сила принимает произвольное постоянное значение. Вызванные этой силой растяжения и сжатие упругого элемента будем называть деформацией упругого элемента. В зависимости от детализации сила У может быть силой тяжести, контактной реакцией, дополнительной постоянной силой или их суммой. Такая элементарная система с твердым телом имеет одну степень свободы.

В общем случае положение статического равновесия элементарной системы зависит от точки привязки, смещения источника возмущения, длины пружины и приложенной силы. Координата элементарной системы выражается формулой:

X 1(0) = Н1 + 21 +Д01 + у-.

к1

Из уравнения статического равновесия следует, что реакция упругого элемента равна:

Я(0) =_ У1.

X 1(0)(Ь1) = Н1 + 2 + Д01 + Я1.

к1

В качестве координаты рассматривается величина Х1~0) = X 1(0)(а1). Совокупность параметров, которые характеризуют элементарную систему, обозначается О1. В выбранной системе координат может быть рассмотрено конечное множество элементарных механических систем.

Определенный класс механических систем с контактом может быть представлен с помощью объединения описанных элементарных систем.

Предполагается, что набор однотипных элементарных систем может образовывать составное твердое тело путем контакта нескольких элементов О^.., Оп. В общем случае величина X()

обозначает координату }-й элементарной системы в составном твердом теле. Индекс г указывает, что данное составное твердое тело имеет г парных контактов. Величина обозначает координату

твердого тела }-й элементарной системы без учета соответствующей прикладываемой силы .

В общем случае набор элементарных систем с одним твердым телом расширяется вариантами элементарных систем с двумя, тремя и более твердыми телами. Выбор типа элементарной системы или их набора определяется структурой исследуемой системы с контактом.

3. Математическая модель контакта двух элементарных систем. Условия контакта

Рассматривается две системы О(0) и о20) в соответствии с рис. 2. Добавление неудерживаю-щей связи контакта к системам формирует две новые системы О(1) и О® . Координаты новых систем имеют значения X1(1), X21). Верхний индекс обозначает, что имеется один контакт.

Определим положение статического равновесия элементарных систем О(1) и О ® с учетом связи для систем О(0) и О2

(0): 2

(°) + Я _ V (°)

X 10) + я _ X 20) < 0.

(1)

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Х10)( N) = Н1 + 21 + А/01 +

21 •

Определение положения системы в состоянии контакта. В зависимости от контактных реакций положения статического равновесия элементов будут иметь вид:

+ N12

Х 1(0)( N12) = Н1 + 21 +А01 +

Х 20)( N 21) = Н 2 + 22 +А/02 +

¿1

Р2 + N 2

ко

Условие + N21 = 0 позволяет ввести замену N 21 = N, = — N и получить выражения статических равновесий в зависимости от величины силы N :

Х 20)( N) = Н 2 + 22 +А/02 +

^ — N

р2 + N

к-»

Рис. 2. Контакт двух элементарных систем

Введение в систему неудерживающей связи приводит к смене состояний исходных элементарных систем в зависимости от подобласти начального положения. Левая часть неравенства (1) служит характеристикой относительного положения исходных систем 0(0), 020) и может быть названа в зависимости от знака: «накладкой», если левая часть (1) положительна; «контактом», если левая часть (1) равна нулю; «зазором», если левая часть (1) отрицательна.

Если исходные системы находились в области «накладка» и «контакт», то системы 0(1) и

О21) находятся в контакте.

В соответствии с рис. 2 представлен контакт двух элементарных механических систем. Сформированное положение контакта может быть рассмотрено как положение исходных систем 0(0) и

О20) в результате приложения двух сил, равных по модулю, но противоположных по направлению: N12 и N

В зависимости от величины силы N точки с координатами (Х1~0)( N), Х 20)( N)) представляют собою прямую линию на координатной плоскости возможных состояний элементарных систем.

В соответствии с примером на рис. 3 при N=0Н системы имеют положение в точке А. С ростом N точка систем смещается по лучу Ас. Сила N=4Н обеспечивает нахождение системы в области «контакт». Дальнейшее увеличение силы N переводит положение систем в область «зазор». При условии N<0 на величину силы точка систем находится в области «накладка».

[ с —264 а /

4 ^ а /

/ У

(0] Хп

20 .0 /о X СО) 1 Ч 10 Ч 2)0

[[ а

Рис. 3. Представление элементарных систем по отношению к связи контакта: С - область контакта, А - текущее положение систем при реакции N = 0 Н, В - точка контакта при реакции N = 4 Н, луч Ас -положение систем при условии N > 0, луч Ай - положение систем при условии N < 0

Приведенный пример показывает, что полученный контакт может быть охарактеризован приложенной системой N и смещением системы из области «накладка» в область «контакт».

Контактное давление в системе из двух твердых тел в зависимости от особенностей приложенных сил. Анализ контактных реакций в механических системах требует определения меры влияния различных сил по отдельности: сил тяжести, упругих сил, специальных постоянных сил.

В соответствии с принятой моделью рассматриваемые элементарные системы 0(1) и О21) учитывают разделение приложенных сил на два

к

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

типа. Первый тип сил - это реакции упругих элементов в зависимости от положения твердого 7-го тела. Второй тип сил конкретизируется в зависимости от особенностей задачи.

Одной из возможных детализаций при рассмотрении контакта элементарных систем в вертикальном положении является учет сил веса и некоторой дополнительной силы, которая прикладывается к каждому из твердых тел и не зависит от веса.

В этом случае сила у представляет собою сумму силы веса Qi и постоянной силы Р7 : У = Qi + Рг, 7 = 1,2.

В соответствии с рис. 4 представлено две элементарных системы в вертикальном положении

с одной поверхностью контакта Ж1(21). В соответствии с расчетной схемой к 7-му твердому телу с массой ш7 приложено три силы: реакция Я7 со стороны упругого элемента, сила веса Qi и постоянная сила Р, 7 = 1, 2. Необходимо определить структуру контактной реакции в зависимости от рассматриваемых сил.

Твердое тело 1

Рис. 4. Вертикальная составная система с учетом сил различной природы: Qi - сила тяжести, Р7 - постоянная

сила, ^1(21) - поверхность контакта двух твердых тел

Подстановка представления силы = Qi + Р7,7 = 1,2 в условие контакта двух си-

стем:

X 10) + Я1 _ X^ > 0

(0)

приводит к выражению статического равновесия, условий контакта, реакции в контакте с учетом разложения сил на слагаемые. Положения статического равновесия систем имеют вид:

X1(°) = X0?) + Я- + X20) = X00) + + р2,

к1 к1

к 2 к 2

где X0?) = Н + 21 + Д01, X00) = Н2 + 22 + Д/02.

Условие реализации контакта накладывает ограничения на прикладываемые силы в виде:

X,

(0) + я _ X ^ > О- _ Я-+Р _ Р-.

к2 к к 2 к

Результирующая контактная реакция имеет вид:

N 21 = т+т (X 00 + Я _ X 0?)+ к1 + к2

к,к2 (Ql Q2 V к,к2 (Р1 Р

+ -

к1 + к2 I к1

+ -

к1 + к2 I к1 к2 )

Полученное выражение представляет собою сумму трех компонент. Первая компонента определяется структурой системы, вторая компонента определяется силами веса, третья - приложенными постоянными силами:

N 21 =

к1к2 ЛС , к1к2 + к1к2

+

Q + ДСр

к1 + к 2 к1 + к2

к1 + к 2

Величины ДС0, Д^, ДСР соответственно равны:

ДС0 = X00) + Я _ X00) Д^ = ° _ &

к1 к2

РР

ДСР = Р _Р .

к1 к2

Физический смысл компоненты ДС0 - величина «накладки» одной системы на другую при отсутствии приложенных сил. Силы тяжести деформируют систему и приводят к «накладке» Д^ . Приложение постоянных сил к системам вызывает «накладку» ЛСР . Введение обозначений:

N 2^ = ЛС0,

к + к2

N(Q) = д^ ,

к + к 2

N 2Р = ЛСР

к1 + к2

приводит выражение контактной реакции к виду:

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

к, X + к 2 X,

(0)

х(1) _ Л(л0( "^2^02

к, + к

2

к, + к 2 к, + к 2

к х (0) + к х (0) к х(() _ /С1^0( ~|~л-2^-02 , Л(

+

+-

к( + к2 к( + к2 к( + к2

В соответствии с рис. 5 положения элементарных систем в контакте представлены лучами А(С( и А2С2 .

При нарушении условий контакта происходит разделение элементарных систем, положения статических равновесий принимают вид:

Л ( _ Л 0(

к(

Л (1) _ Л (0) , Л 2 _ Л 02 .

N2( _ N2^0) + N™ + N2Р).

Таким образом, каждая из приложенных сил веса и постоянных сил обеспечивает определенную поправку с некоторым коэффициентом, что является следствием линейности рассматриваемой модели. С другой стороны, изменение параметра жесткости одного из упругих элементов сказывается на каждом слагаемом реакции контакта.

4. Определение положения статического равновесия составного твердого тела. Рассматривается положение статического равновесия составного твердого тела в зависимости от некоторой силы ^0 . Предполагается, что сила может быть приложена либо к первой элементарной системе, либо ко второй. В зависимости от величины силы составное твердое тело будет принимать определенное положение статического равновесия, сохранять или не сохранять свою цельность.

Вариант I. Сила приложена к твердому телу 1. В соответствии с рис. 5 рассмотрен вариант, когда сила приложена к твердому телу (.

Такому варианту приложения силы к твердому телу соответствует распределение сил ^ _ _ 0. Условие контакта, которое обеспечивает цельность составного твердого тела, принимает вид:

Л£0 + > 0.

0 к(

Данное неравенство интерпретируется как условие на силу :

- к(А^0 < Fо.

При таких условиях не происходит нарушения контакта и положения элементарных систем

Х(((), X 2() составляют:

В соответствии с рис. 5 положения элементарных систем при условии нарушении контакта представлены лучами А(Ь( и А2Ь2.

-

(2)

___1А С2 ¿г

Л,

- (1)

\ /

/

к-К 1 1 го Г КР г 1 0 0 1 0 20 30 Б1

-

Рис. 5. Положения элементов составного твердого тела в зависимости от силы, приложенной к твердому телу 1: график (1) - положения твердого тела 1, график (2) - положения твердого тела 2

В результате, силы, которые могут быть приложены к первому телу, разбиваются на два подмножества: силы, обеспечивающие контакт, и силы, нарушающие контакт.

Вариант II. Сила приложена к твердому телу 2. В соответствии с рис. 6 рассмотрен вариант, когда сила приложена к твердому телу (. Варианту приложения силы к твердому телу соответствует распределение сил:

_ 0, _ ^0 .Условие контакта, которое обеспечивает цельность составного твердого тела, принимает вид:

Л£0 -^>0. к2

Данное неравенство интерпретируется как условие на силу ^0:

^ < к2 Л^.

При таких условиях не происходит нарушения контакта.

В соответствии с рис. 6 положения элементарных систем в контакте представлены лучами А(С( и А2С2 . При нарушении условий контакта

происходит разделение элементарных систем, положения статических равновесий имеют вид:

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

X(1) = X

01

К1) =

-2 _ -

К0) L 02

Fo k2

—гз-

Ь2/

X

10

(2) с

1 v''

3-

V

-30

-20

-10

F'

J40

20

30

F2

В соответствии с рис. 6 положения элементарных систем в условии нарушении контакта представлены лучами А1Ь1 и Л2Ь2.

ставляет величина контактной реакции. В зависимости от распределения сил по элементам возможны контактное и бесконтактное состояния.

Пусть к составному твердому телу приложена система сил с главным вектором У0. Положим, что силы распределены в соответствии с коэффициентом X так, что:

у = х^, у = (1 -ху

Назовем X коэффициентом распределения сил или просто коэффициентом распределения.

Контактная реакция в зависимости от коэффициента распределения X будет иметь вид:

N21 = R1 + knp =€ + k

(

F F

л

V k1

"2 /

(X 1 -хл

V k1

F =

_ р(1) "ИР Р , 1)7

= ^м + хЛг

к2

В соответствии с рис. 7 представлены графики реакций в зависимости от коэффициента X распределения сил по элементам составного твердого тела.

На рис. 7 представлены прямые для различных величин главного вектора у0 , приложенного к составному твердому телу. Прямая (а) представляет собой реакцию при отсутствии приложенных сил к составному твердому телу.

Рис. 6. Координаты составного твердого тела в зависимости от силы, приложенной к твердому телу 1: график (1) - положения твердого тела 1, график (2) - положения твердого тела 2

В результате контактное взаимодействие элементарных систем определяет две критические силы:

FKP = -kjASo, F2kp = k2 AV Таким образом, особенностью силового воздействия на составное твердое тело является необходимость определения специального контактного диапазона сил:

FKP < F < FKP

М ——г2 ■ Приложение силы F0 из такого диапазона к

составному твердому телу не нарушает его цельности вне зависимости от того, к какому именно элементу приложена данная сила. При условии, что сила принадлежит полученному диапазону, составное тело может рассматриваться как твердое тело.

Вариант III. Сила F0 распределена по элементарным системам. В данном варианте сила Fo представляет собой главный вектор системы сил F и F2, которые приложены к твердым телам 1 и 2 соответственно, т. е. F0 = F + F2. Так как движение твердых тел в соответствии с рис. 2 ограничено одной степенью свободы, то момент сил не рассматривается. Основной интерес пред-

Рис. 7. Контактная реакция в зависимости от коэффициента распределения: точка А - значение контактных реакций при равномерном распределении сил по элементам составного твердого тела

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

В соответствии с рис. 7 все прямые графиков реакций для различных сил пересекаются в точке А, ординате которой соответствует равно -мерное распределение приложенной силы по элементам составного твердого тела:

X _ 0,5, _ 0,5^0, _ 0,5^0.

В представленном случае, при равномерном распределении сил по элементам составного твердого тела, которое соответствует параметру X _ 0,5, величина контактного давления не зависит от величины главного вектора системы приложенных сил и равна величине начального под-жатия.

В общем случае, в зависимости от произвольных коэффициентов жесткостей упругих элементов, может быть однозначно определен коэффициент распределения сил Х0 из условий:

к

пр F0 ^ _0.

Такой коэффициент распределения системы сил Х0 назовем собственным коэффициентом распределения. Для данной системы он равен:

к г

Х 0 _

"пр

к

_ я(() -2( ^0(

к

пр

к2

р0

можно показать, что на величину реакции влияет направление суммарной силы и распределение силы по элементам системы. Случаю X _ 0 соответствует приложение всей силы ко второму элементу. Случаю X _ ( соответствует приложение всей силы к первому элементу. Выполнение условий:

я (1) _ 0(

к

пр

к2

Р0 < 0

деляется из условий равенства контактной реакции нулю:

N _ Я(() _ 2( 0(

к

к

пр + ХКГР0 _ 0 .

При условии, что приложенная сила не равна нулю, критическое значение коэффициента распределения находится в виде:

. _ кпр

ЛКР ~

к2

Fо

Область коэффициентов распределения, при

которых реализуется контакт, зависит от знака

%

X > ХКР (^0), если ^0 > 0 ; X < XKP (), если ^0 < 0 . В соответствии с данными неравенствами можно определить интервал для коэффициента распределения в зависимости только от модуля главного вектора сил Fо:

к Ят к Ят Лпр Л0( . < X <. пр , 0(

к2

к 2

- +

Если коэффициент распределения сил по элементам составного твердого тела равен собственному коэффициенту распределения, то контактная реакция не зависит от величины главного вектора системы приложенных сил. С другой стороны, изменение коэффициента распределения сил по элементам составного твердого тела вызывает изменение контактной реакции. В соответствии с аналитическим выражением контактной реакции:

обеспечивает бесконтактное состояние элементов для случая приложения всей силы ко второму элементу. При переносе силы со второго элемента на первый, начиная с некоторого критического значения коэффициента распределения силы XKP, реализуется контакт. Критическое значение опре-

^ I-1 0| "-2 Г 0|

В соответствии с рис. 7 прямая и( соответствует силе F0 _ Ю Н, которая распределяется по элементам составного твердого тела в соответствии с коэффициентом распределения. Критическое значение коэффициента распределения, при котором реализуется контакт с нулевой контактной реакцией, составляет XKP _ 0,25. По мере роста коэффициента реализуется контакт с большим контактным давлением. Для собственного значения коэффициента контактного давления, которое составляет X 0 _ 0,5, сила контактного давление не зависит от приложенной силы и составляет Я0((() _ 2,5 Н. В точке В, которая соответствует

приложению всей силы к первой части, что происходит для X _ контактная реакция составляет

Я0(() _ 7 Н.

Таким образом, распределение приложенной системы сил по элементам составного твердого тела формирует величину контактного давления. Если главный вектор системы сил, приложенных к разным элементам составного твердого тела, равен нулю, то такой вектор может быть представлен двумя силами, которые приложены к разным элементам, равны по модулю и противоположны по направлению. В таком случае условия реализации контакта представляются неравенствами:

_ Я(() < F F < Я(() F__F Л0( — Г(1 г2 - Л0( > 1 ( 1 2-

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Контактная реакция в зависимости от У1 при условии у — = У2 примет вид:

N21 = R» +

F F2

V k1

= ^о! + kn

1 1

v k

"2 У

F = R01) + F

2 У

По аналогии с распределением ненулевой силы, прикладывая к разным элементам составного твердого тела равные по модулю силы, но противоположные по направлению, в сумме дающие нулевую силу, можно обеспечить любое контактное давление.

Представленный методологический подход позволяет определить контактную реакцию в составном твердом теле из двух элементарных систем. Контактная реакция зависит от главного вектора системы приложенных сил и от распределения сил по элементам составного твердого тела. Если главный вектор системы определен однозначно, но возможно перераспределение сил по элементам системы, то для обеспечения контакта следует выбрать специальное распределение сил в определенном диапазоне. В общем случае распределение сил позволяет обеспечить любую реакцию в контакте. В частности, если коэффициент распределения сил по элементам равен собственному коэффициенту распределения, то контактная реакция не зависит от собственного вектора и равна в точности реакции начального поджатия. Частным случаем приложения сил к контактирующим телам является приложение равных по модулю, но противоположных по направлению. В таком случае для достижения нулевой реакции в контакте необходимо приложить силу, равную начальному поджатию.

Графические материалы подготовлены в программе Maple 17 компании Waterloo Maple Inc.

Заключение

Представленное исследование позволяет сделать ряд предварительных выводов:

1. Предложен метод, с помощью которого можно определять ряд ключевых статических характеристик составного твердого тела с учетом неудерживающего характера связей: положение статического равновесия элементов составного твердого тела, реакции упругих элементов, контактные реакции, условия реализации контакта.

2. Рассмотрены возможности метода, которые позволяют обнаруживать и оценивать зависимость контактных реакций от главного вектора и распределения системы сил, приложенной к эле-

ментам составного твердого тела. Для случая двусоставного твердого тела выявлено, что реакция определяется направлением приложенной силы к составному твердому телу и точкой приложения этой силы.

3. Установлено существование специального распределения системы сил, при котором реакция в контакте не зависит от величины главного вектора приложенной системы сил и определяется только начальным поджатием. Наличие специального распределения сил может служить основой для разработки метода изменения контактного давления при наличии динамического воздействия на механическую систему. Возможностью для реализации такого перераспределения сил может служить механизм, который позволит распределять приложенную к нему силу по составляющим твердым телам в определенном соотношении.

4. Применение предложенного метода к вертикальной системе составного твердого тела с учетом силы тяжести и некоторой дополнительной силы, не зависящей от силы веса, позволяет определять условия нарушения контакта в зависимости от величины и точки приложения дополнительной силы.

5. Предложенная модель составного твердого тела эквивалентна модели твердого тела только для определенного диапазона сил. Диапазон сил определяется характеристиками составных элементов, в частности величинами начальных под-жатий.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: В 2-х т. Т. I. Статика и кинематика. М. : Наука, 1982. 352 с.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т 2 Динамика. М. : Наука. 1983. 640 с.

3. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : Наука. 1986. 516 с.

4. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. М. : Наука, 1988. 358 с.

5. Блехман И.И. Вибрационное перемещение. М. : Наука, 1964. 410 с.

6. Сельвинский В.В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. Благовещенск : Изд-во Амур. гос. ун-та. 2009. 164 с.

7. Гончаревич И.Ф. Теория вибрационной техники. М. : Наука, 1981. 320 с.

8. Туранов Х.Т. Организационные особенности технологических процессов размещения грузов на открытом железнодорожном подвижном

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

составе // Вестн. УрГУПС. 2009. № ( С. 43.

9. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М. : Стройиздат, (984. 4(5 с.

Ю.Ситов И.С., Елисеев А.В. Теоретические основы процессов взаимодействия

материальной частицы с вибрирующей поверхностью с неудерживающими связями // Системы. Методы. Технологии. 20К. № 4 (¡6). С. (7-28

П. Елисеев С.В., Елисеев А.В. Режимы подбрасывания материальной частицы на вибрирующей поверхности в модельной задаче с неудерживающими связями. // Современные технологии. Системный анализ.

Моделирование. 20К. № 3 (35). С. 86-96.

К.Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Движение материальной частицы с подбрасыванием на примере модельной задачи с неудерживающими связями // Машиностроение и безопасность

жизнедеятельности. 20(2. № 3. С. 53-59.

(З.Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Характеристики взаимодействия материальной частицы и поверхности колебания в зависимости от постоянной силы с учетом неудерживающей связи // Техника и технологии новые перспективы развития : Материалы VII Междунар. науч.-практ. конф. Москва, 26 нояб. 20К г. М., 20К. 248 с.

УДК 629.114.2 Свитачев Анатолий Иванович,

д. т. н., профессор кафедры «Математика и информатика», Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал ИрГУПС, тел. (391) 248-08-36

Орловский Сергей Николаевич, к. т. н., доцент кафедры проектирования лесного оборудования, Сибирский государственный технологический университет, тел. (391) 266-03-88

Чекаев Анатолий Николаевич, соискатель, Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал ИрГУПС,

тел. (391) 248-08-36

МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ (СИЛОВЫХ ПЕРЕДАЧ) ЛЕСОХОЗЯЙСТВЕННЫХ МАШИННЫХ АГРЕГАТОВ С ВВЕДЕНИЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ

A.I. Svitachev, S.N. Orlovsskiy, A.N. Chekaev

METHODS OF MODELING AND OPTIMIZATION OF THE DYNAMIC PROCESSES OF OSCILLATORY SYSTEMS (POWER TRANSMISSION) OF FORESTRY MACHINE UNITS WITH THE INTRODUCTION OF ADDITIONAL BONDS

Аннотация. В работе рассмотрена разработка методов математического моделирования, оценки характеристик нагруженности и совершенствования динамических свойств на основе структурной оптимизации силовых передач машинно-тракторных агрегатов.

Ключевые слова: моделирование, силовая передача, структурная оптимизация.

Abstract. In this work we discuss the development of methods of mathematical modeling, performance evaluation and improvement of the dynamic loading of the properties on the basis of structural optimization of a tractor power transmission.

Keywords: modelling, a power transmission, structural optimization.

Современные машинно-тракторные агрегаты, оснащаемые различного вида навесным и прицепным рабочим оборудованием с активными и пассивными рабочими органами, испытывают значительные динамические воздействия в процессе эксплуатации. Надежность таких машинно-тракторных агрегатов в значительной степени определяется случайным характером внешних нагрузок, динамическими свойствами и характеристиками силовых передач. При разработке кон-