Метод определения условий ненарушения контакта при вибрационных нагружениях с учетом неудерживающих связей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.3:007, 534.014, 621.802 Елисеев Андрей Владимирович,

к. т. н., c. н. с. Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952) 638-399, доб. 02-96, e-mail: eavsh@ya.ru Артюнин Анатолий Иванович, д. т. н., профессор, первый проректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8(3952) 598-426, e-mail: artyunin_ai@irgups.ru Ситов Илья Сергеевич, к. т. н., доцент, проректор по учебной работе, Братский государственный университет, тел. 8(3953) 325-301, e-mail: sitov@yandex.ru

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСЛОВИЙ НЕНАРУШЕНИЯ КОНТАКТА ПРИ ВИБРАЦИОННЫХ НАГРУЖЕНИЯХ С УЧЕТОМ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЕЙ

A. V. Eliseev, A I. Artyunin, I. S. Sitov

METHOD OF DETERMINING THE CONTACT KEEPING REQUIREMENTS UNDER VIBRATION LOADINGS WITH UNILATERAL CONSTRAINTS

Аннотация. Рассматривается задача по определению условия реализации установившихся режимов колебаний механических систем, находящихся под воздействием кинематического и силового возмущения, без нарушения контакта между составными фрагментами твердых тел с учетом неудерживающего характера связей.

Развиваются обобщенные подходы к построению математических моделей на основе сопоставления условия нарушения контактов с равенством нулю полной реакции связей, рассматриваемого в качестве основной характеристики режимов с сохранением контактов. Контакт представляет собой плоскость, перпендикулярную линии действия силы. Полная реакция выражается суммой статической и динамической компонент. Для определения динамических компонент используются методы операционного исчисления. Получены решения модельной задачи определения статической и динамической контактных реакций для произвольного числа степеней свободы. Представлена структура аналитических условий реализации взаимодействия, обеспечивающего сохранение контакта. Результирующие условия сохранения контакта получены путем сравнения амплитуд колебания динамических компонент реакции с соответствующими статическими. В качестве характеристики отдельного контакта введена функция критических амплитуд.

Предложена и разработана методика определения динамических реакций, вызванных действием внешних гармонических возмущений.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, статическая реакция, динамическая реакция, неудерживающие связи, односторонние связи, составное твердое тело, реакции упругих элементов.

Abstract. The problems of definition of a condition of realisation of the steady state regimes of vibration of the mechanical systems under the kinematic and force disturbance's influence, subject to contact keeping between compound fragments of rigid bodies taking into account unilateral constraints ties are considered.

The generalised approaches to construction of mathematical models on the basis of comparison of contact keeping condition to equality to zero offull reaction of the ties, that is considered as the basic characteristic of modes with preservation of contacts, are developed. Contact is represented as a plane perpendicular to lines of force action. Full reaction is a sum of static and dynamic components. For definition of dynamic components methods of operational calculation are used.

Model problem of definition of static and dynamic contact reactions for any number of degrees offreedom is solved. The structure of analytical conditions of realisation of the contact keeping interaction is presented. Contact keeping conditions are obtained by comparison of amplitudes offluctuation of dynamic components of reaction with static components. The function of critical amplitudes is implemented as the individual characteristic of a contact.

The technique of determination of the dynamic reactions caused by external harmonic disturbances is offered and developed.

Keywords: divided rigid body, elastic element, friction, force of gravity, multibody mechanical systems, contact condition, contact interaction, unilateral constraints, static reaction, dynamic reaction, contact forces.

Введение

Динамическое качество работы вибрационных технологических машин определяется особенностями рабочих режимов контактного взаимодействия элементов систем. Контактные взаимодействия рабочего органа с технологической нагрузкой характерны для задач управления режимами работы вибромашин [1], вибрационного упрочнения [2], систем вибрационной защиты

оборудования [3], передвижения роботов и манипуляторов с учетом внешних ограничений, управления машинами вибрационного транспортирования и др.

Установившиеся режимы колебаний имеют большое значение в оценке динамического состояния механических систем, представленных различными механизмами и устройствами, имеющих в своём составе упругие элементы. При разработке

Механика

математических моделей вибрационных технологических машин особый интерес представляют так называемые односторонние, или неудерживаю-щие, связи [4]. Если реакции такого рода связей становятся равными нулю, то возникает возможность нарушения контактов с последующим образованием зазоров и соударений. Отношение к учету неудерживающих связей как к фактору разработки разнообразных динамических эффектов определяет широкий спектр исследований, для которых связь между элементами выступает критерием классификации рабочих режимов вибрационных технологических машин [5, 6] и процессов.

В качестве первого направления исследований возможно изучение особенностей динамических свойств взаимодействия материальных тел с вибрирующими поверхностями при нарушении контакта и возникновении зазора [7]. Режимы колебания механической системы определяются разнообразными формами периодических процессов с отрывом. Примером модельной задачи является определение характеристик режимов подбрасывания материальной частицы на вибрирующей поверхности. Предполагается, что после отрыва частицы от поверхности возникает фаза свободного полета, которая потом многократно воспроизводится [8]. Инструментом аналитического исследования режимов с подбрасыванием служит метод обобщенной функции зазора [9]. Развитием модельной задачи является оценка динамических взаимодействий гранулированной среды и вибрирующей поверхности [10, 11].

Второе направление исследований может быть связано с пониманием того, что механическая система состоит из нескольких элементов, это могут быть твердые тела или частицы, которые связаны между собой в единое целое и движутся как единое целое при наличии неудерживающих связей в контактах, но без возникновения зазоров [12]. Реализация режимов колебания с сохранением цельности составного твердого тела при наличии неудерживающих связей предполагает учет контактных реакций между элементами [13]. Особенности критических режимов без нарушения контакта определяются формами взаимных соотношений между статическими и динамическими реакциями в контактах [14].

Обобщением в оценке динамических режимов являются задачи, связанные с оценкой и измерением характеристик вибрационного поля технологической машины посредством использования датчиков, способных регистрировать различные

эффекты, связанные с неудерживающим контактом [15, 16]. Введение в контур механической колебательной системы устройства для преобразования движения позволяет путем учета динамических особенностей неудерживающих связей провести настройку и регулирование вибрационного поля технологической машины [17].

Вместе с тем многие вопросы учета особенностей динамических взаимодействий в контактах с неудерживающими связями ещё не получили должного уровня детализации в оценке условий обеспечения надежности контактов по причине рассмотрения систем с малым количеством степеней свободы.

В предлагаемой статье предпринимается попытка анализа модельной механической колебательной системы с произвольным конечным числом степеней свободы на предмет формулировки аналитических условий ненарушения контакта в условиях динамических взаимодействий, создаваемых вибрационными нагрузками гармонического типа.

Общие положения. Постановка задачи.

Методика решения

Рассматривается механическая система, образованная 5 составными твердыми телами из 25 фрагментов, зажатыми упругими элементами между двумя колеблющимися опорными поверхностями 1 и 2^, в соответствии с рис. 1.

Твердое тело с номером д е [1...5], составленное из фрагментов с номерами 2д -1 и 2д, посредством упругих элементов с жесткостями

к2д - 2,2д-1 , к 2д,2д+1 и длинами в ненагруженном состоянии 12д-2,2д-1 и 12д2д+1 помещено между опорными поверхностями или другими составными твердыми телами в соответствии с рис. 1.

Продольные размеры обозначенных фрагментов равны ^, / = 1...п . Количество фрагментов равно п = 25 . Фрагменты 2д -1 и 2д, образующие д -е составное твердое тело, имеют не-удерживающий контакт. Линии действия всех рассматриваемых сил перпендикулярны плоскостям контакта. В качестве координат X фрагментов твердых тел выбраны проекции плоскостей контакта Га ( на ось координат ОХ с началом в точке

О . Каждый фрагмент рассматриваемых твердых тел, смещаясь в вертикальном направлении, имеет только одну степень свободы.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

а)

^ опорная поверхностях^

б)

Fb,l ^ЛЛ Ф, 11111.

ж

12

т.

к

21

т,

i I I I 1

РьЛЛЛл Ф

ü.n 1 Ф„ ]

i i r j, j,

i y N 1У n-\,n

íí-1

7V.

т„

J ^ J ^

Fb, Fg,n F0n Ф.

Рис. 1. Составное твердое тело с 5 контактами и 25 фрагментами а) конструктивная схема: Г г > Га г - контактные поверхности фрагментов; Zj, Z25 - координаты поверхностей

колебания; ^^, - фрагменты д -го составного твердого тела; £2д-2 2д-1 - жесткость упругих элементов;

б) учитываемые силы: ^ г - силы вязкого трения; ^ г - силы тяжести; ^ г - постоянные силы; К,

2q—\,2q—2 "'

- реакция со стороны упругих элементов; Фг - силы инерции; г = 1...п ; 2д1 > 2д - полные

контактные реакции; опорные поверхности 1 и 25 подвижны; д = 1...5 , г = 1...п , п = 25

Предполагается, что до момента времени t = 0 система находится в положении статического равновесия и неподвижна. Начиная с момента времени t = 0 опорные поверхности 1 и 2s совершают гармонические колебания Zx = Д sin ю/ и Z = A sin юt относительно точек H, H п соответственно, вызывая колебание составных твердых тел. Параметры системы выбраны таким образом, что при нулевых или достаточно малых амплитудах и частотах колебания фрагменты упру-

гой механической системы составных твердых тел находятся в контакте.

На каждый фрагмент твердых тел действует сила вязкого трения ¥ъ г, сила тяжести ^ г и дополнительная постоянная сила F0 г, которая не зависит от массы твердого тела:

= -ЪХг, Fgгг = -тд , ^ г = /0,, где г = 1П . (1) Выражения неудерживающих связей для координат фрагментов имеют вид:

Х2д + ^2д < Х2д-1 , Ч = 15 . (2)

Механика

В состоянии соприкосновения фрагментов координаты удовлетворяют условиям:

Х2д + 42д = Х2д-1 , Я = ^ . (3)

Если выполнено равенство X 2д + ё2д = X 2цЛ для некоторого д в предположении, что все остальные связи контактов носят удерживающий характер, то считается, что реализуется простой контакт для составного д -го твердого тела. Если выполнено условие (3) в предположении, что все связи носят неудерживающий характер, то контакт считается сложным.

Гармоническое колебание опорной поверхности вызывает переходный процесс. Предполагается, что движение системы устойчиво и со временем система переходит в стадию установившегося колебания. Механическая система рассматривается в процессе установившегося движения.

Увеличение частоты и амплитуды колебания внешнего гармонического возмущения может вызывать нарушение контактов 1, 2,..., 5 между фрагментами составных твердых тел.

Для определения безотрывного режима движения в фазе установившегося колебания за критерий сохранения контакта принимается одновременная положительность всех полных контактных реакций д > 0, Я = ^ на интервале

установившегося движения. В качестве условия для определения критического состояния, которое в ряде случаев является необходимым для возникновения зазора, выступает равенство нулю хотя бы одной из полных контактных реакции Ы2 х 2 = 0.

Задача заключается в определении условий безотрывного колебания составных твердых тел в процессе установившегося движения в зависимости от параметров системы. Параметрами служат амплитуда и частота колебания опорных поверхностей, коэффициенты вязкого трения, жесткости, массы фрагментов составных твердых тел, постоянные положительные силы. Интерес представляет зависимость условий контактного колебания от обобщенных параметров системы.

Для определения условий реализации контакта в процессе движения строится неравенство на основе статической реакции и оценки динамической компоненты. Для определения статических компонент смещений и реакций строится система уравнений статического равновесия с учетом уравнений связи. На основе принципа Даламбера строится система уравнений равновесия на полные компоненты смещений и полные контактные реакции. Из полученной системы дифференциальных уравнений исключаются статические компоненты, удовлетворяющие уравнению статического равновесия. Начальные условия полагаются нулевыми. После преобразования Лапласа системы

дифференциальных уравнений получается система линейных уравнений на изображения динамических компонент смещений и контактных реакций. Добавление к полученной системе уравнений условий связи в изображениях формирует итоговую, однозначно разрешимую, линейную систему уравнений на изображения динамических смещений и реакций. Разрешение полученной линейной системы позволяет получить искомые изображения динамических компонент реакций в зависимости от изображений кинематического воздействия. Отношение изображения динамической контактной реакции к изображению кинематического возмущения интерпретируется как передаточная функция. Условие динамического контакта с рядом допущений формулируется на основе амплитудно-частотной характеристики, соответствующей передаточной функции, и величины статической компоненты контактной реакции в виде неравенства от параметров системы. Итоговое неравенство, обеспечивающее динамический контакт, представляет собою ограничение на амплитуду колебания отношением статической контактной реакции к амплитудно-частотной характеристике передаточной функции соответствующего контакта.

Таким образом, характеристики кинематического возмещения, обеспечивающие динамический контакт, представляют собою множество точек в амплитудно-частотной области параметров.

Определение статической

компоненты реакции

Предполагается, что система в начальный момент времени отождествляется со статической системой, которая имеет такие параметры, что все фрагменты соответствующих составных твердых тел находятся в контакте. Рассматривается положение статического равновесия при отсутствии кинематического возмущения.

Статическая компонента реакции определяется постоянными силами в начальный момент времени на основе уравнения статического равновесия, выписанного для каждого фрагмента составных твердых тел в соответствии с рис. 1, б:

R + Fi + = о,

(4)

R+ F + Nл , = 0,

n,n+1 n n,n—1 '

где индекс 2 далее означает статическую компоненту.

В зависимости от смещений п реакций упругих элементов выражаются в виде:

RL0 -

Rn,n+\ - kn,n+l^Xn •

(5)

Смещения АХг-2 относительно точек Х0г представляют собою выражения:

АХ,2 = X,2 - Х„,-, г = 1...И .

- к01 АХ2+ ^ + Ы?2 = 0,

- *„,„+! АХ?+ ^ + N2-1 = 0.

менные N :

N2 = N2 N2

2д-1,2д N , ^ 2д,2д-1

АХ!2 -АХ2 2 = Х02 + "2 - Х01,

АХ ,2 -АХ 2 = Х„ + " -Х„ ,.

п-1 п и,п п и,п-1

"К и" "ах 2" "- ¥"

V 0 N 2 АБ

N2 = [N2

N2

, АБ = [А^12 ... А^-и*I

К * V*" " К и" "ах 2" " К * V*" "- ¥'

и 0 V 0 N 2 и 0 АБ

г* * *

ШМШгиа

Система (12) представляется в виде:

(6)

К * К + V*V К*и" "ах 2" "- К* ¥ + V * АБ

и*К и*и N 2 - и*¥

Величины Х представляют собою точки конструктивных положений, задающиеся в виде:

Гх = Н -1 -й

Х 0,1 Н1 10,1 "1,

... (7)

Х 0,п = Нп + 1п,п+1.

В качестве Н2 2 1 могут быть выбраны величины

Н 2д,2д+1 = Н - д (Н - Нп )/ * .

После подстановки реакций (5) в уравнение равновесия (4) получается система уравнений относительно смещений:

. (13)

Данная система формируется из условий равновесия на смещения, условия контакта в смещениях и условия сочетания контактных реакций.

Искомые статические смещения и реакции имеют вид:

1

(8)

АХ Е = [ Ку - -^К *ии * К ]-1

г* . Л -гг*

1

•I V АБ - К ¥ + ^К ии ¥

N Е=— и * ¥--и * К[К--К *ии * К]-1

2 2 2

(14)

——►

Для обозначения равных по модулю и про-

тивоположных по направлению статических кон-

т2 дг2

2д,2д-1 , " 2д-1,2д

тактных реакций N2 2 ч, N2^ 2 вводятся пере-

-1 = -N2, д = 1...*. (9)

Условия контакта (3) в зависимости от смещений принимают вид:

(10)

Смещения и контактные реакции могут быть определены из системы уравнений:

(11)

Элементы АХ2, ¥, АБ представляют собой векторы соответствующей размерности:

АХ2 = [АХ2 ... ЛХп21, ¥ = [^ ... ^ £ ,

'1 1' * ^ , АБ = [аб12 где индекс Т - означает транспонирование.

Матрица [К]пхп вырождена. и , V - прямоугольные матрицы специального вида.

Для определения вектора статических смещений и реакций рассматривается система уравнений:

, (12)

где К , V , и - транспонированные матрицы.

V АБ - К ¥ +-К ии V 2

* *

где Ку = К К + V V .

Контактная реакция может определяться в следующей последовательности. Координаты 2* фрагментов представляются в виде суммы конструктивной координаты и смещения. Составляется система п уравнений равновесия для каждого фрагмента в зависимости от п реакций упругих элементов, * контактных реакций и приложенных сил. Условия * контактов представляются в виде выражений в зависимости от п смещений. Для учета п контактных реакций выбираются * основных, значения которых должны быть положительны. На основе системы уравнений равновесия и условий контакта составляется итоговая система 3* уравнений с 2* неизвестными смещениями и * контактными реакциями.

Разрешение полученной системы уравнений позволяет задавать условие на реализацию контакта в виде положительности каждой компоненты

N2 статической реакции.

Определение динамической компоненты

контактной реакции

Гармоническое колебание опорных поверхностей приводит к колебаниям составных твердых тел, движение которых вызывает колебания контактных реакций между фрагментами составных твердых тел.

Динамическая компонента реакции задается как разница между полной реакцией и статической компонентой. Для нахождения величины динамической компоненты полные контактные реакции представляются в виде сумм статической и динамической компоненты:

<= N2+ , д = 1...* . (15)

Аналогично, полные смещения Хп представляются в виде суммы статической и динамической компоненты:

Механика

Хгп= xf+ XА, г = \..п. (16)

Под динамической составляющей смещения координаты фрагмента твердого тела понимается разница между полной компонентой и статической.

С учетом представления (16) условие реализации контакта (3) для динамических компонент смещения принимает вид:

< + /1 + рьл + Ф, + К = о.

ЯV. + / + К +Ф + NА , = 0.

п,п+1 п Ъ,п п п,п-1

(23)

Силы вязкого трения и инерции зависят только от динамических компонент:

X4-1 -X2Ад = 0,д = 1...5 .

(17)

Къ,г =-ъ,хг=-ъх.

V А

Фг = -mгXгп=-mгXгA, (24)

Для определения полных реакций можно воспользоваться принципом Даламбера. В соответствии с рис. 1 для каждого фрагмента составного твердого тела выписывается уравнение равновесия для приложенных полных реакций со

п

2д,2д+1

сил вязкого

стороны упругих элементов Я трения Кьп веса К ¿, постоянных сил К0г , инерции Фг и полных контактных реакций ^ 2 ;:

г = 1...п.

После подстановки в уравнения равновесия (23) выражений соответствующих сил (24) в зависимости от динамических компонент смещений

Xf и реакций NА получается система дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями X А (0) = 0, XVА (0) = 0 :

ЯП + К + к,, +Ф, + ^п = 0,

- А + / - ЪД А - тX А + N А = 0,

- *„„+1 X,4 + / - Ъ^А - тХА - NА = 0.

(25)

(18)

Для обозначения равных по модулю и противоположных по направлению динамических

Яп

+ К + К +Ф + Nп , = 0.

п Ъ,п п п,п-1

контактных реакций N.

&

2д, 2д-1

N1q-\M вводятся

Силы вязкого трения и силы инерции пред- переменные N ^

ставляются в виде:

. Ф = -тЛ)

(19)

NА = NА, NА ,

2д-1,2д д ' 2д,2д-

В виде суммы статической и динамической компоненты полная реакция со стороны упругих элементов имеет представление:

Я) = <0 + < + /1,

ЯП+1 = Я\,+ Яа+1

п,п+1 п,п+1 п,п+1

+ / ,

7

и,и+1 п '

где /1 = к0171, /п = к

Динамические компоненты Я

роны упругих элементов имеют вид:

ЯА =-к XА Я1,0 = к01X1 ,

д

■2д,2д+1

(20)

со сто-

(21)

1 = -<, д = 1...5 . (26) Система (25) представляет движение в зависимости от контактных реакции NЛ связей, наложенных в виде условий на динамические компоненты (17). Предполагается, что решение системы (25) рассматривается только на промежутке контакта фрагментов составного твердого тела.

Для определения характеристик движения в контакте производится преобразование Лапласа полученной системы (25) дифференциальных уравнений:

- (т р1+ъхр+кт) x1Л + N1Л = -/,

(27)

- (тпР2 + ЪпР + К

Ж- К"

~/п-

функции Xг , N'А , / = к017 , /п = кп„+!7

ЯА =-к XА

и,и+1 ли,и+1л п ■

Система уравнений равновесия (18) с выделенными статическими и динамическими компонентами сил и контактных реакций (15) принимает вид:

^ , = к 7 . - к 7

' д ' •> 1 01 ' и п п,п+1

комплексной переменной р являются изображе-

-А ДгД

ниями функций X1 ,N

/, /п, 7 = 7! преобра-

зования Лапласа:

Я„ + < + / + К + к,, +Ф, + N2 + < = 0

X(р) = |XА ^)в~р1А.

(28)

Я+, + Я +,

пп+1 п,п+1

+ / + К + К +Ф +

•У п п Ъ,п п

(22)

+ , + NА , = 0.

Учитывая уравнение статического равновесия (4), из разложения (22) исключаются статические компоненты всех величин.

Полученная система уравнений содержит только динамические компоненты искомых величин:

Предполагается, что все необходимые требования для преобразования выполнены.

В изображениях условия контакта (17) принимают вид:

X2Лg-1 = X2Лд . (29)

После объединения условий контакта (29) и системы уравнений в изображениях (27) получается система 3s уравнений с 3s неизвестными:

0

К\( р) 0 1 " X1А" "- / '

0 . - К„ (р) - /п

1 0. . 0 Л? 0

0

0 0 . N2. 3* 0

кг( р) = т р2 + ьгр+к01,

[Кт (р) = тпр2 + ьпр + Матрица уравнения (30) имеет структуру:

"К (р) и ~ " XА" "- к/г'

V 0 N А 0

и =

К (р) =

1 0 -1

0

- К1(р) 0 0 ..

N А =

1

0 -1

X А =[х !А

т

, V =

.. 0

0 - Кп (р)_......

"1 -1 .. 0 0 .. ..

0

.. 0 1 -1

X А

N

Матрица [К(р)

к/ = [к0

к

п,п+1

1т

ип •

/ = к01 г вырождена. Для определения изображений смещений и реакций рассматривается система уравнений:

и

0

Г к (р) и ~ " X А"

_ V 0 N А

К (р)* V

и 0

к/1

0

К ( р)* К (р) + V V К (р)*и и * К (р) и *и

А ~~*" -

- К(р) к^

- и к 1

X А

N А

Искомые величины изображения смещений и реакций имеют вид:

(30)

висят от комплексной переменной р в соответствии с выражением:

XА = [К, (р) -1К (р)'ии 'К (р)]-1 •

-К(р)* +1К(р)*ии* \кг1,

(36)

N А

1 А

_ и * - - и *К[( р)К, (р) - ^ К (р)*ии *К (р)]-1

-К (р)* +1К (р)*ии *

к/г,

(31)

где К, (р) = К(р) К(р) + VV.

Полученное решение изображения реакций может быть представлено в зависимости от изображения кинематического возмущения:

(32)

N = №(р)2 ,

(37)

МатрицЫ [К(р)]пхп , [и, \К 1x2* и векторы [XА]п , [NА]*, [к/1 имеют вид [12]:

где изображение контактной реакции представляет собою вектор №(р), умноженный на величину 1 :

№ (р) = [№1( р) .. № (р)]т,

1.1 ... 1 .......А

(33)

№ (р) =

1 * 1 * 1 * * 1

--и--и К[К —К ии К]-1

2 2 2

Л 1 Л А

-К +-К ии

к/ . (38)

Полученное представление изображения контактных реакций NА в зависимости от внешнего возмущения 1 позволяет ввести в рассмотрение передаточные функции №д (р) с кинематического возмущения 1 на динамическую компоненту контактной реакции N А.

Таким образом, динамическое взаимодействие фрагментов в контакте может быть охарактеризовано передаточными функциями № ( р) .

Амплитудно-частотные характеристики А(?) ) передаточных функций № (р) определяется соотношением:

(34)

А(„)К) = (>0 , q = 1...* ,

(39)

,'2 1 где / =-1.

Функция № (уШ)) представляет собою

где V , и - транспонированные матрицы, К(р) - сопряженно-транспонированная матрица.

Уравнение (34) может быть представлено в

виде:

комплексное число вида:

и//- Ч Cq(Ш1) + (Ш1)/ №q С/ШО = q q

(40)

(35)

Е (ш1) + Р9 КХ/ '

где С (ш 1), (ш 1), Еч (ш 1), (Ш1) - вещественные функции частоты.

Общая структура соответствующей амплитудно-частотной характеристики как модуля комплексного числа имеет вид:

2

ч

/

т

*

Механика

А(д)(Ш1) =

Cq К)2 + Пд (Ш,)2

Ед (Ш1)2 + К (Ш1)2

(41)

Таким образом, свойства динамических компонент контактных реакций могут быть представлены с помощью амплитудно-частотных характеристик передаточных функций, рассматриваемых как характеристики реагирования механической системы на входной сигнал в виде кинематического возмущения опорных поверхностей. Такой подход позволяет исследовать контактные взаимодействия в частотной области.

Определение параметров

динамического контакта

Амплитудно-частотная характеристика передаточной функции позволяет определять характеристики движения системы в режиме установившегося движения.

Полные контактные реакции представляют собою суммы динамических и статических компонент:

NА> 0, д = 1...5 . (42)

В качестве достаточных условий реализации контакта используется неравенство, справедливость которого может быть принята при некоторых предположениях на промежутке установившегося движения:

А • А(д) (ш1) + 8 д < ^, д = 1...5. (43) где 8д , д = 1...5 - величины, характеризующие

затухание переходного процесса. Неравенства (43) отражают тот факт, что амплитудно-частотная характеристика может быть использована при оценивании амплитуды динамической компоненты соответствующей реакции. При некотором огрублении можно положить 8д нулевыми.

С учетом статических контактных реакций достаточные условия реализации контакта принимают вид:

А • А(д)(ш1) < ^,д = 1...5 . (44)

Заданные параметры системы и определенные статические контактные реакции позволяют на основе неравенств (44) охарактеризовать амплитудно-частотную область сложного контакта неравенством:

А < шт!

N1

А.

(45)

Агкр,д =

N'

А(д )(Ш1)

, д = 1...5 .

(46)

представляют собою критические - максимально допустимые амплитуды удержания контакта фрагментов составных твердых тел.

Таким образом, критическая амплитуда сложного контактного взаимодействия может быть задана через критические амплитуды отдель-

ных контактов А :

Акр = ш1и{А1Крд}.

(47)

х(я) (ш1 ) ,

Правая часть представленного неравенства интерпретируется как функция, которая каждой частоте колебания опорных поверхностей ставит в соответствие минимум из 5 значений, являющихся ограничением на амплитуды контакта. Рассматриваемые отдельно как функции частот, величины:

Построение функции критических амплитуд позволяет определить амплитудно-частотную область сложного контакта.

Заключение

Представленный материал по беззазорным динамическим режимам в механической системе с учетом неудерживающих связей позволяет сделать следующие предварительные выводы.

Предлагается подход к исследованию контактного взаимодействия в модельной механической колебательной системе, содержащей составные твердые тела, находящиеся под внешним кинематическим и силовым воздействием. Условием сохранения целостности составных твердых тел выступает положительность полных контактных реакций в фазе установившегося движения. В качестве критического состояния системы, предшествующего нарушению контакта между элементами составного твердого тела, предлагается критерий равенства нулю хотя бы одной полной контактной реакции из всего набора контактов.

Новизна предлагаемого подхода заключается в постановке задачи на определение условия удержания сложного контакта между фрагментами составных твердых тел, входящих в состав механической системы, на промежутке установившегося движения. Особенностью решения является развитие подхода с использованием аналитического аппарата теории управления. Для исследования контактного взаимодействия вводится понятие передаточной функции контактной реакции по отношению к входному воздействию, имеющему кинематический или силовой характер. Амплитудно-частотные характеристики соответствующих передаточных функций используются для построения достаточных условий колебания фрагментов составного твердого тела с учетом сохранения сложного контакта.

Предложенный подход может быть распространен на механические колебательные системы со счетным количеством степеней свободы и быть использован для перехода от систем с сосредоточенными параметрами к распределенным системам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пановко Г.Я. Динамика вибрационных технологических процессов. М., Ижевск : РХД. 2006, 158 с.

2. Копылов Ю.Р. Динамика процессов виброударного упрочнения. Воронеж : Научная книга, 2011.-568 с.

3. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск : Наука, 2016. 459 с.

4. Елисеев А.В. Мамаев Л.А., Ситов И.С. Некоторые подходы к обоснованию схемы инерционного возбуждения в технологических вибрационных машинах // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 4 (28). С. 16-24.

5. Елисеев А.В., Сельвинский В.В., Елисеев С.В. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом не-удерживающих связей: монография // Новосибирск : Наука, 2015. 332 с.

6. Eliseev A.V., Sitov I.S. Model problems of dynamics of mechanical vibration systems with unilateral constraints // Proceedings of the fourth international symposium on innovation & Sustainability of modern railway (ISMR'2014) / Irkutsk State Transport University. Irkutsk : IrGUPS, 2014. Pp. 181-185.

7. Ситов И.С., Елисеев А.В. Теоретические основы процессов взаимодействия материальной частицы с вибрирующей поверхностью с не-удерживающими связями // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 4 (16). С 17-28.

8. Ситов И.С., Елисеев А.В. Определение условий режима кратного подбрасывания материальной частицы в модельной задаче с неудерживаю-щей связью при наличии вязкого трения // Информационные и математические технологии в науке и управлении : тр. XVIII Байкал. Всерос. конф. Ч. I. Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2013. С. 68-77.

9. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Eliseev S.V. Generalized gap function in the dynamic interaction problems of elements of vibrational technological machines with "not holding" ties // Vibroengineering Procedia. Kaunas, Lithuania. 2016. Vol. 8. Pp. 495-500.

10. Неудерживающие связи в динамических взаимодействиях сыпучей среды и вибрирующей

поверхности: научно-методологическое обоснование технологии вибрационного упрочнения / С.В. Елисеев и др. Системы. Методы. Технологии. 2014. № 3 (23). С 17-31.

11. Научно-методологическое обоснование технологии процессов вибрационного упрочнения в динамических взаимодействиях сыпучей среды и вибрирующей поверхности с учетом неудер-живающих связей / А.В. Елисеев и др. // Решет-невский чтения : материалы XVIII Междунар. науч. конф. Красноярск, 2014.Ч. 1. С. 284-286.

12. Елисеев А.В. Динамические взаимодействия твердых тел контактирующих без нарушения связей с вибрирующей поверхностью / А.В. Елисеев, В.В. Сельвинский, С.В. Елисеев, И.С. Ситов ; Ирк. гос. ун-т путей сообщ. Иркутск, 2015. 242 с. Деп. в ВИНИТИ 23.06.2015, № 103-В2015.

13. Елисеев А.В., Копылов Ю.Р. О моделировании контактных взаимодействий в вибрационных технологических процессах и машинах с учетом неудерживающих связей // Современные наукоёмкие технологии. 2015. № 1. Ч. 1. С. 19-21.

14. Ситов И.С., Елисеев А.В., Каимов Е.В. Обобщенные подходы в задачах определения контактных реакций в твердых телах при статических нагрузках с учетом неудерживающих связей: многомерный вариант // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 1 (25). С. 19-29.

15. Елисеев А.В., Елисеев С.В. Подходы в разработке датчиков движений в задачах динамики гранулированных сред // Вестник Иркут. гос. техн. ун-та. 2016. № 8 (115). С. 20-35.

16. Елисеев А.В., Кашуба В.Б., Каимов Е.В. Измерительные устройства для фиксации условий вибрационного взаимодействия при неудержи-вающих связях // Системы. Методы. Технологии. 2014. № 4 (24). С. 13-20.

17. Управление вибрационным полем технологической машины на основе изменения приведенных инерционных свойств / Елисеев А.В. и др. // Вибрационные технологии, мехатроника и управляемые машины : сб. науч. ст. Ч. 1 . Курск, 2016. 343 с.