Определение контактных реакций в составных твердых телах при динамических нагрузках с учетом неудерживающих связей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.014 Елисеев Сергей Викторович,

д. т. н., профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС, тел./факс: 8(3952) 59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

Елисеев Андрей Владимирович, аспирант ИрГУПC, тел. 8 950 1435533, e-mail: eavsh@ya.ru

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНТАКТНЫХ РЕАКЦИЙ В СОСТАВНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ С УЧЕТОМ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЕЙ

S. V. Eliseev, A. V. Eliseev

DETERMINATION OF CONTACT FORCES BETWEEN RIGID BODIES

UNDER DYNAMIC LOADS WITH UNILATERAL CONSTRAINTS

Аннотация. Рассматривается задача определения характеристик контактной реакции. Проводится анализ модельной динамической системы из составного твердого тела и упругого элемента при наличии сил веса, вязкого трения, постоянной приложенной силы и гармонического возмущения поверхности колебания. Предметом исследования является условие сохранения контакта между фрагментами составного твердого тела. Анализ проводится с использованием методов операционного исчисления. Развиваются методологические основы построения математических моделей, позволяющих условия нарушения контактов сопоставлять с параметрами полной реакции связей, как основной характеристикой контактного взаимодействия. Определены области параметров, при которых сохраняется контакт. Показано, что полная реакция связи имеет две составляющие: статическую и динамическую. Разработана методика определения статической реакции в системах с одной и несколькими степенями свободы с упругими связями при действии сил веса и дополнительных постоянных сил. Получены аналитические соотношения, позволяющие определять величины контактных давлений или реакций связи в составных твердых телах. Под составным твердым телом понимается твердое тело, состоящее из двух и более фрагментов. При этом контакт представляет собой плоскость, перпендикулярную линии действия силы. Рассмотрен ряд примеров, произведена оценка возникновения ряда специфических эффектов взаимодействия. Предложена и разработана методика определения динамических реакций, вызванных действием внешних гармонических возмущений. Граничное условие для нарушения неудерживающих связей определяется при равенстве нулю полной реакции связей. Методика иллюстрируется приложением к линейным системам с одной степенью свободы, имеющим две составные части.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, статическая реакция, динамическая реакция, неудержи-вающие связи, односторонние связи, составное твердое тело, реакции упругих элементов.

Abstract. The problem of determining the characteristics of the contact reaction is considered. Dynamical model of divided rigid bodies with an elastic element in the presence of the forces of gravity, viscous friction, constant applied force and harmonic perturbation surface fluctuations is analyzed. The subject of this study is conditions of maintaining contact interaction between the fragments of the divided rigid body. The general method of analysis is operational calculus. Methodological foundations of constructing mathematical models are developed. The method is based on hypothesis that the main characteristic of contact interaction is to compare the contact loss conditions with the condition of equality of contact force to zero. The range of parameters that preserve the contact is defined. It is shown that the contact reaction has two components: static and dynamic. The method of determination of the static reaction in systems with one or several degrees offreedom with elastic elements under the action of gravity forces, viscous friction and additional permanent forces is developed. Analytical relations allow to measure contact forces, ones are acting to divided rigid bodies. By divided rigid body is meant rigid body, consisting of two or more fragments. The contact force vector is assumed to be perpendicular to plane of contact. A number of examples of contact range estimation are presented. The method of determining the dynamic reactions caused by the action of external harmonic disturbances is proposed and developed. Boundary condition for achieving critical parameters of unilateral constraints is defined from equality complete contact force to zero. Technique is illustrated by application to linear systems with one degree of freedom having two parts.

Keywords: divided rigid body, elastic element, friction, force of gravity, multibody mechanical systems, contact condition, contact interaction, unilateral constraints, static reaction, dynamic reaction, contact forces.

Введение

Реакции связей имеют большое значение в оценке динамического состояния механических систем, представленных различными механизмами и устройствами, имеющих в своём составе упругие элементы. Особый интерес представляют так называемые односторонние или неудерживающие связи. Если реакции такого рода связей становятся

равными нулю, то возникает возможность нарушения контактов с последующим образованием зазоров и соударений. Такие контактные взаимодействия характерны для задач виброзащиты машин и механизмов, контактных взаимодействий роботов и манипуляторов с внешними ограничениями, машин вибрационного транспортирования, колес экипажей и др. Ряд вопросов теоретического

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

плана рассмотрен в известных работах Л.Г. Лой-цянского [1, 2], Лурье А.И. [3, 4], Блехмана И.И., Гончаревича И.Ф., Бабицкого К.М., Кобринского А.Е., Сельвинского В.В. [5] и нашло отражение в научно-технических публикациях, представленных в справочниках по вибрации в технике [6, 7] и машиностроению [8]. Модельные задачи исследованы в работах [9, 10]. Вместе с тем многие вопросы учета особенностей динамических взаимодействий в контактах с неудерживающими связями ещё не получили должного уровня детализации в оценке условий обеспечения надежности контактов.

I. Поставка задачи. Общие положения

Рассматривается составное твердое тело, образованное двумя фрагментами с массами щ и т2 в соответствии с рис. 1. Составное твердое тело помещено на упругий элемент с жесткостью кх и длиной в ненагруженном состоянии /01. Предполагается, что составные элементы твердого тела имеют только одну степень свободы, смещаясь в вертикальном направлении. Фрагменты составного твердого тела с массами щ и щ образуют не-удерживающий контакт.

Рис. 1. Составное твердое тело на упругом колеблющемся основании Zj: P - силы вязкого трения, Q - силы тяжести, F - постоянные силы, N12, N21 - полные контактные реакции, а2, b - контактные поверхности

Предполагается, что опорная поверхность Z = A sin t вызывает колебание составного твердого тела. При малых амплитудах и частотах составные элементы твердого тела двигаются в контакте.

Координатой X твердого тела m служит координата поверхности a твердого тела массы m , где i = 1, 2 . Вертикальные размеры элементов соответственно равны ^ и . В процессе движе-

ния на каждый составной элемент твердого тела действует сила вязкого трения р , вес 0г и некоторая постоянная сила р, которая не зависит от массы твердого тела:

Р = "Рг^г , = Щ , Р = /о, , где 1 = 1, 2 . (1) На элементы составного твердого тела наложена неудерживающая связь вида:

X + ^ < Х2. (2)

Условие контакта имеет вид:

X + = Х2 . (3)

В качестве условия определения критического состояния, которое в ряде случаев может означать возникновение зазора, выступает равенство нулю полной контактной реакции . Для определения безотрывного режима движения в фазе установившегося колебания критерием сохранения контакта выступает положительность полной контактной реакции на интервале установившегося движения. Предполагается, что в начальный момент времени система находится в положении статического равновесия и неподвижна.

Задача заключается в определении параметров безотрывного колебания составных элементов твердого тела в процессе установившегося движения механической системы. Параметрами служат амплитуда и частота колебания опорной поверхности, коэффициенты вязкого трения, масса твердого тела, постоянные положительные силы. II. Определение статической реакции Для определения условий движения в контакте требуется найти полную контактную реакцию. В свою очередь, полная контактная реакция имеет постоянную и динамическую компоненты. Статическая компонента определяется статическими силами в начальный момент времени. Динамическая компонента реакции является разницей между полной и статической.

Далее верхний индекс I означает статическую компоненту величины, П - полную, Д -динамическую.

Для определения статической реакции выпишем уравнение статического равновесия:

¡я?+ а + р + N2 = о,

{02 + + N 2^1 = 0. Реакция упругого элемента в зависимости от по-

(4)

ложения статического равновесия X f :

R =-*!(Xf- X01) , где X01 = /,

'01 •

Введем обозначения для контактной реакции:

Nf = N f, Nf = - Nf.

(5)

(6)

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

Система уравнений для положения статиче-

ского равновесия X1 :

Xf- X01) + Q + F - N Е- 0, \Q2 + F2 + N Е- 0.

(7)

В результате координаты положения статического равновесия равны:

' Qi + Fi + Q2 +F_

, (8)

Xi - X01

k

x\ - х?

Таким образом, статическая реакция опорной поверхности составляет:

NN2i--Q2 -F2 .

(9)

Статическая компонента полной реакции представляет собою величину, противоположную сумме силы веса и постоянной силы поджатия.

III. Определение динамической компоненты реакции

Полная контактная реакции представляется в виде суммы статической и динамической компоненты:

(10)

N2i - N* + N21.

В свою очередь, полные смещения Хх , X:

п

(13)

Rin - -ki(ХП- (X01 + Zi)),

Pi --Р1ХП, Ф1 --ш^П.

(14)

Для элемента с массой т2 силы вязкого трения и инерции соответственно равны:

Р2 =-р2Х2, =~т2Х? . (15)

Реакция со стороны упругого элемента может быть представлена в виде:

ДП = Д, (16)

где ^=-4X1 -X01), ^ = -кххА, Д = кхХх.

Система уравнений равновесия (13) с выделенными статическими и динамическими компонентами сил принимает вид:

Rf + RA + Д + Qi + Fi +

+ Pi + Ф1 + Nf2 + Nf2 - 0,

Q2 + f2 + P2 +Ф2 + N2i + N21 - 0.

(17)

Учитывая уравнение статического равновесия (4), получаем уравнение на динамические компоненты смещения и контактной реакции:

|Rf+ Д + Pi+Ф1+NA - 0,

IP2 +Ф2 + N- 0.

(18)

Силы вязкого трения и инерции зависят только от

динамических компонент:

представляются в виде суммы статической и динамической компоненты:

ХП = X? + ХА, ХП = Х\ + X2 . (11)

Условие контакта (3) для динамических компонент принимает вид:

хА= Х2а . (12)

Для определения динамической компоненты

полной реакции воспользуется принципом

Даламбера. В соответствии с рис. 1 для каждого элемента составного твердого тела выпишем уравнение равновесия приложенных сил реакции со стороны упругого элемента ^, сил веса 6, постоянной силы ^, сил вязкого трения р и сил инерции Фг:

1^1 + Ql + ^ + р+ Ф1 + N2 = о,

'162 + Р2 + р2 +Ф 2 + N 2П = 0. Для элемента с массой т реакция со стороны упругого элемента, силы вязкого трения и инерции имеют представление:

Pi --piXin--piXiA,

Ф^—тХП --mXA, P2 - p2Х2 - - p2 ХХ2А , Ф2 --ш2Х^г2п--ш2хХА

(19)

После подстановки выражений сил (19) от динамической компоненты смещения в (18) получаем систему уравнений:

| - kxXj + Д - piXА - шХА + NA - 0, I- p2XXа - т2XА + NAi - 0.

(20)

Предполагаем, что начальные условия имеют нулевые значения:

ХА (0) = 0, Х2А (0) = 0, ХА (0) = 0, Х2А (0) = 0 . (21) Система дифференциальных уравнений в зависимости от контактной реакции NА :

- А , „ т> А лгА _ г лт-А

т

ХА +pxа+ ьхА- д - N

Ш2 X'A + p2 XXА - NA, XXА (0) - 0, ХА (0) - 0,

(22)

ХА (0) = 0, Х2А (0) = 0,

Система (22) описывает движение только на промежутке контакта.

Произведем преобразование Лапласа полученной системы (22) дифференциальных уравнений:

|т/Xi + p,sXi + kiXi - Д - N1 \m2 s 2X2 + p2sX2 - N A.

(23)

Функции Х1, X2, / , NД комплексной переменной 5 , являющиеся изображениями X., XД, , NД, соответствуют преобразованию Лапласа:

X(5) = |XД (г)е""Ж .

(24)

Предполагаем, что все необходимые требования для существования соответствующих интегралов выполнены.

Система (23) позволяет выразить Х1, X2

через изображение реакции N Д:

X1 =

/ " NД

тг5 + рг5 + к

X 2 =-

Nд

(25)

^5 + р25

Произведем преобразование Лапласа условий контакта для динамических смещений (12) и получим:

XI = X2. (26)

Полученные условия позволяют определить изображение динамической контактной реакции, которая обеспечивает соединение элементов твер-

дого тела:

Л, - NД

NД

(27)

^д (5) =

Z1

(30)

Таким образом, динамическая контактная реакция может быть охарактеризована передаточной функцией.

IV. Оценка диапазона колебания динамической компоненты контактной реакции

Рассматривается движение механической системы в фазе установившегося движения в предположении, что силы вязкого трения ненуле-

вые. Ненулевое трение обеспечивает затухание собственных частот. Амплитудно-частотная ха-

д (5)

N

рактеристика передаточной функции имеет вид:

кАг( М)

=

А( М) + ¿г( М)

(31)

■2 1

где ] = — 1, © - частота кинематического возмущения опорной поверхности.

Выражения ^ (5) , ¿2 (5) после замены 5 = ]© принимают вид:

А (]Ч) = —т1ю1 + ]р1ю1 + к,

(32)

(]Ю 1 ) = -т2© + ]р2 Амплитудно-частотная характеристика (31)

принимает вид: А©) =

- т2к\ ю1 + ]ркх Ю1

к - К + т2)®1 + ](Р1 + Р2)Ю1 Запишем явный вид:

(33)

=

(т2к1ю12)2 + (р2к1ю1)2

(к1 - (т1 + т2)ю12)2 + ((Р1 + Р2)Ю1)2 Оценим диапазон динамической компоненты контактной реакции:

. (34)

тах

г>5 I

N. (*)| < А • ^(©1) + в, (35)

т52 + рх5 + к т252 + р25 Обозначим знаменатели выражения (27): Ьх(5) = тх52 + рх5 + к, ¿2(5) = т25 2 + р25. (28) Получим выражение для изображения динамической компоненты контактной реакции:

N. = А( 5)^2( 5) /^9) А(5) + ¿2(5) ¿1^) .

Учитывая представление / = к^, где ^ -изображение ^ , передаточная функция с кинематического возмущения 21 на динамическую компоненту контактной реакции NД имеет вид:

кЛ(5)

где в > 0 - некоторое число, 5 > 0 - момент времени, начиная с которого процесс движения системы можно считать установившимся. Величины в и 5 зависят от параметров системы. Полагаем, что промежуток фазы установившегося движения выбран таким образом, что для рассматриваемых параметров системы оценка (35) верна для сравнительно малого в. На основании неравенства (35) сформулируем достаточные условия отсутствия моментов времени, когда полная контактная реакция принимает только положительные значения:

А1 • АЮ + в < ^. (36)

Действительно, предположим (36), тогда, учитывая неравенство (35), получаем, что:

NД (г )| < N1, г >5 . (37)

Соответственно, полная контактная реакция будет положительна:

NЕ + NД > 0, г >5 . (38)

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика может быть использована для построения оценки диапазона изменения динамической компоненты контактной реакции и, как следствие, для оценки параметров, при которых не

0

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

нарушается контакт между элементами составного твердого тела на промежутке установившегося движения.

V. Определение параметров системы движения в контакте

Рассматривается механическая система с параметрами в соответствии с табл. 1. Статическая

контактная реакция N21 в положении равновесия

XI = 0,096 м составляет N2 = 2,98 Н.

Т а б л и ц а 1

Данные механической системы

Название параметра системы Твердое тело 1 Твердое тело 2

Масса щ , кг 0,1 0,1

Длина упругого элемента /0г, м 0,1 -

Жесткость элемента кг, Н/м 1000 -

Коэффициент вязкого трения р, кг/с 1 1

Постоянная сила р , Н 0 -2

Амплитуда динамической компоненты полной реакции представлена в соответствии с рис. 2 с помощью амплитудно-частотной характеристики. Графики 1, 2, 3, 4 представляют собой произведения амплитудно-частотной характеристики А(© ) и амплитуды кинематического возмущения А, принимающей значения 1, 2, 3, 4 мм.

Рассматривается диапазон частот колебания опорной поверхности от 0 до 150 рад/с. При фиксированной амплитуде колебания рассматриваемый частотный диапазон условно может быть разделен на две области. В одной области график оценки амплитуды динамической компоненты лежит ниже уровня статической компоненты (рис. 2. линия 5). В этой области можно гарантировать положительность полной контактной реакции на промежутке установившегося режима.

В другой области частот график оценки амплитуды (рис. 2, линии 1-4) находится выше уровня полной контактной реакции (рис. 2, линия 5). При такой частоте возможно нарушение контакта.

Рассмотрение диапазона амплитуд позволяет определить область пар амплитуд и частот, вызывающих только контактное колебание составного твердого тела на промежутке установившегося движения. В соответствии с рис. 3 представлена область параметров I движения механической системы без возникновения зазора.

15-,

10-

5

(4) (3)

(5) \ (2) Р

\

\

50

100

15 0

рад,/с.

Рис. 2. Оценки амплитуды колебания динамической компоненты реакции: 1, 2, 3, 4 - оценки динамической компоненты для амплитуд кинематического возмущения А от 1 до 4 мм; 5 - уровень статической реакции

0.010 п

0.008

0.006-

0.004-

0.002-

0

ш с

I \ О / с 1

V '

0

50

15 0

200

100 рад./с.

Рис. 3. Амплитудно-частотная область контакта.

I - область контакта, II - область возможного зазора,

б - линия уровня N21 для функции А • А(©) , С -контакт, Б - возможный отрыв

VI. Вариант «большой» жесткости

Присваивание параметрам системы определенных конечных значений или устремление к бесконечности позволяет рассматривать частные случаи. Математическая модель системы с двумя твердыми телами и упругим элементом, представленная в соответствии с рис. 1, при устремлении коэффициента жесткости к бесконечности к ^ да приближается к математической модели твердого тела, помещенного на вибрирующую поверхность. Особенность математической модели колебания твердого тела на вибрирующей поверхности состоит уменьшении критической амплитуды с ростом частоты. Для варианта твердого тела, помещенного на подпружиненное твердое тело,

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

ситуация отличается характером изменения амплитуды по мере возрастания частоты.

В общем случае множество параметров движения в контакте характеризуются неравенством:

V

(т2^ 2)2 + (р2К Ю )2

(^ -(т + т2)®12)2 + ((р + Р2)®1)2 (39) X 4 < т2 g + /с.

Неравенство (39) описывает условия реализации контактного взаимодействия элементов твердого тела и может иметь вид:

Ю А12у1 т2 юх2 + Р22 < т2g + ДС, (40) где Л12 рассматривается как амплитуда в зависимости от различных характеристик системы, в том числе и амплитуды Л:

Л12 =

ЛА

.(41)

- (т1 + т2)ю1 ) + ((р1 + р2 Если ^ , то амплитуда Л12 ^ 4 и рассматриваемая задача сводится к задаче определения условий отрыва твердого тела от поверхности колебания при наличии вязкого трения и дополнительной силы поджатия. Полагается, что поверхность совершает колебание с амплитудой Л и

частой ю

Исследование контакта твердого тела с поверхностью колебания определяется существованием зависимости реализации контакта для твердых тел от масс. Предельное условие контакта (40) при кх ^ да имеет вид:

Ю Ат!т2 ю12 + Р22 < т2g + ДС . (42) Возведение в квадрат обеих сторон неравенства приводит к выражению:

((41Ю1 )2 Ю12 - g2) т22 - 2Дт2 +

(43)

няться для определенного специального интервала масс. Для твердых тел с массами из такого специального интервала можно утверждать наличие контакта. Для определения таких масс рассмотрим величины:

Н, = (ЛЮ1)2 Ю12 - g2, А,- 1 -

В4 -(Л1Ю1 )2 Р2

2 у ' Ю1 /с 2

Р2

+ g2-(л^2 )2

У =

л

/с

Р2 (44)

Эти величины характеризуют положение корней квадратного уравнения:

((Л1®1 )2 ®12 - g2 ) т22 -

-2^ +(4®1 )2 Р22 - /2 = 0.

Анализ зависимости характеристик ц, А, В от ю , Л, /с, Р2 позволяет определить диапазон контактных масс.

Величины ц, А, В являются функциями параметров системы и могут быть использованы для описания специальных областей частот и амплитуд. Для каждой области диапазон масс отрыва имеет свои особенности. В соответствии с рис. 4 в плоскости параметров, являющейся декартовым произведением параметров частоты и амплитуды колебания, представлены три кривые (1), (2), (3).

у!= Э .2162 5

0.01 Он

0.008-

0.006-

<

+(Лю ) Р22 - /2 < 0.

В общем случае данное неравенство позволяет установить взаимозависимость масс твердых тел, действующих сил и параметров колебания поверхности, обеспечивающих контакт. В частном случае неравенство (43) позволяет определить массы твердых тел, которые будут находиться в контакте с поверхностью, совершающей определенные колебания, с учетом сил предварительного поджатия и вязкого трения. Левая часть неравенства представляет собою квадратный многочлен. Это означает, что в зависимости от различных параметров множество контактных масс представляют собой интервал или полуинтервал. Так, варьируя характеристики системы, можно добиться варианта, когда условие контакта будет выпол-

0.004-

0.002-

0

З)ч (а)

г\\\

ж Ах (1) —

№

г, \ (2) —т—

0

20

80

100

40 60 \ы, рад./с.

Рис. 4. Области характерных режимов взаимодействия твердого тела с поверхностью колебания В соответствии с рис. 4 эти кривые обозначают множество нулей уравнений относительно амплитуд и частот для фиксированной величины у :

В -0, А-0, ц- 0 . (46)

Кривая (1) представляет собою множество амплитуд и частот, для которых справедливо равенство:

2

У

2

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

А =( 4®1 )2 Р2

Р22

-(Дш^ )2 = 0. (47)

В точках этой кривой квадратное уравнение имеет совпадение корней, это означает, что условно возможны два варианта. Первый вариант - контакт реализуется только для твердых тел фиксированной массы, второй вариант - контакт реализуется для всех масс, кроме определенной фиксированной массы. Переход параметров через данную кривую будет означать появление или исчезновение некоторого интервала контактных масс.

Кривая (2) обозначает корни уравнения X = 0. В точках этой кривой один из корней квадратного уравнения равен нулю. При переходе через данную кривую один из корней меняет знак. Для твердых тел это означает, что может возникнуть некоторый интервал масс, для которых реализуется контакт.

Кривая (3) обозначает корни уравнения ц = 0 . Формально данное множество означает, что существует один корень, а квадратное уравнение вырождается в линейное. Для процесса взаимодействия твердого тела с поверхностью колебания переход через кривую равносилен реализации «инверсии» контакта. В области параметров, в которой условия контакта выполнялись, условие отрыва выполняться не будет, и наоборот, если для твердого тела с некоторой массой условия контакта не выполнялись, то произойдет «прилипание» такого твердого тела.

Т а б л и ц а 2

А ц X область /с > 0 /с = 0 /с < 0

1 2 3 4 5 6 7

>0 >0 <0 (в) (т", т2) Контакта нет Контакта нет

>0 =0 =0 А0 (0, да) Контакта нет Контакта нет

=0 >0 <0 А (т'0, т0 ) Контакта нет Контакта нет

>0 =0 <0 А 2 (т", да) Контакта нет (0, т'2 )

>0 =0 =0 Аз (0, да) Контакта нет Контакта нет

>0 <0 >0 (д) (0, да) (т02, да) (0, т'2) и (т^", да)

Для детального анализа особенностей контакта для каждой области и границы, обозначенной в соответствии с рис. 4, определяется соответствующий интервал масс.

В соответствии с табл. 2 представлены диапазоны масс для областей (в), (д) и границ А0, А1, А2, А3 на рис. 4.

Табл. 2 содержит 6 множеств из 11 областей, границ и точки А , описанных в соответствии с рис. 4. Столбцы 5, 6, 7 описывают множество масс контактов для различных вариантов направления дополнительной постоянной силы. Вариант /с > 0, когда постоянная сила направлена в сторону силы тяжести, представлен в столбце 5. Вариант отсутствия дополнительной силы / = 0 отражен в столбце 6. Вариант, когда сила направлена против силы тяжести / < 0 и |/| < т2g, представлен в столбце 7.

Согласно табл. 2, в строке для параметров области (в) контакт реализуется при условии, что постоянная сила направлена в сторону силы тяжести / > 0, на интервале масс (т', т'2):

т" = & ,т2 = & + ^ . (48)

Ц Ц

Для определения интервала масс фиксируем параметр у = 0,216 м/с, который характеризует связь между постоянной силой и силой вязкого трения. Пусть постоянная сила направлена в сторону силы тяжести: / = 20 Н. Амплитуда колебания составляет А1 = 0,004 м. Диапазон масс контакта реализуется только для множества (в) в соответствии с рис. 4. Фиксируем частоту колебания, чтобы точка (<, А1) находилась внутри области (в). Пусть это будет частота < = 60 рад/с. Для определения интервала контактных масс построим график характеристики:

((4<»1 )2 ®12 - g2 ) т22

(49)

-2/т2 +(4®1) Р22 - /2 < 0.

В соответствии с рис. 5 (линия 1) представлен график характеристики контакта.

Характеристика контакта рассматривается как квадратичный многочлен от массы твердого тела. Область аргументов отрицательных значений функции определяет множество масс, реализующих контакт при заданных характеристиках сил и кинематического возмущения. Критические массы принимают значения т[ = 0,26 кг, т'2= 3,26кг. Соответственно, твердые тела, находящиеся в диапазоне (т', т'2), будут находиться в контакте с поверхностью колебания.

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

400

200

-200

-400

! - СО

/

у"; а

Т 6

т,

Рис. 5. Квадратичная характеристика контакта: 1 - график характеристики, т[,т'2 - критические массы Изменение параметров системы будет влиять на данный диапазон масс. В частности, изменение частоты в пределах областей (г), (в) приведет к изменениям диапазона масс. В соответствии с рис. 6 представлены границы диапазона масс.

201

15

-10

(2) / 1_/14

55 60 65 7(

VII. Вариант «малых» сил вязкого трения и постоянной дополнительной силы

Условия контактного движения при незначительности сил вязкого трения и дополнительной силы поджатия получаются заменой р2 — 0, Р1 — 0 и описываются неравенством:

ЛКЮ т2

< gm2 .

(50)

К - (т + т )ю Если упругий элемент имеет «большую» жесткость К ^ да, то получается неравенство:

ЛЮ < g . (51)

Такая модель описывает условие контакта материальной точки с поверхностью колебания. В этом случае условия контакта не содержат массу материальной точки, что свидетельствует об отсутствии влияния величины массы на контакт.

Условие контакта (50) для конечной жесткости К принимает вид:

2 2

Л,

т2 < gm2 ,

(52)

где ®0 -.

К

рад./с.

Рис. 6. Изменение диапазона масс в зависимости от частоты колебания: 1 - изменение критической массы т[, 2 - изменение критической массы т'2 Данный график определяет «контактный» диапазон масс в зависимости от частоты колебания. В частности, с ростом частоты по мере прохождения области (д) все твердые тела находятся в контакте. При прохождении через область (г) в контакте находятся только твердые тела, не превышающие определенную массу. По мере роста частоты, в контакте находятся твердые тела с массой из диапазона (т', т'2). При достижении частоты 65 рад/с в контакте будут находиться только твердые тела с массой, близкой к 0,89 кг. При большей частоте контакта нет.

Так может быть охарактеризована система при достаточно больших значениях жесткости кх. Уменьшение жесткости изменяет амплитуду колебания элементов твердого тела, находящихся в контакте. Амплитуда колебания составного твердого тела начинает зависеть от суммарной массы элементов и возникающей в процессе движения силы вязкого трения. Анализ требует отдельной детализации.

- собственная частота «цель-

\тг + т2

ной» системы. Под «цельной» системой подразумевается система, полученная из исходной путем замены составного твердого тела на цельное твердое тело. Левая часть неравенства представляет собою амплитуду динамической контактной реакции, правая часть - статическую реакцию. В соответствии с рис. 7 представлены варианты динамических реакций с разными амплитудами для фиксированного промежутка частот. Амплитуда динамической реакций возрастает по мере приближения частоты внешнего возмущения к собственной частоте ю0 системы. Таким образом, собственная частота «цельной» системы определяет область частот контакта элементов составного твердого тела.

В соответствии с рис. 7 частоты, сохраняющие контакт, находятся на промежутке, для которых график соответствующей амплитуды динамической реакции находится ниже уровня статической реакции. В результате каждой амплитуде внешнего кинематического возмущения соответствуют либо одна, либо две критические частоты.

Такое соответствие позволяет построить область параметров на декартовой плоскости (Ю, Л ) , обеспечивающих контакт.

2

2

га0 - Ш]

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

40 60 рад./с.

Рис. 7. Варианты диапазонов динамических реакций для различных амплитуд внешнего возмущения: (1), (2), (3) - амплитуды динамических реакции для А1

от 1 до 3 мм; (4) - величина статической реакции, (5) -собственная частота «цельной» системы

Характерный график границы области параметров кинематического возмущения представлен в соответствии с рис. 8.

т2= 4.0000

0.0 10п

0.008-

0.006-

0.004-

0.002-

0

/ (2)

(1) ^

О) -

0

20

40

80

100

60

рад./с.

Рис. 8. Область параметров сохранения контакта.

1 - граница параметров контакта для системы с конечным коэффициентом жесткости;

2 - граница предельной системы при £ ^ да ;

3 - собственная частота «цельной» системы

Область подграфика 1 представляет собой множество параметров контакта. Подграфик линии 2 - это предельная область подграфика линии 1 при стремлении £ ^ да .

Таким образом, зависимость условий контакта от параметров системы, в частности от масс составных элементов твердого тела, рассматриваемых при отсутствии сил трения и дополнительной силы, реализуется через параметр, который представляет собой собственную частоту «цельной» системы.

Заключение

Представленный материал позволяет сделать следующие предварительные выводы.

1. Предлагается подход к исследованию контактного взаимодействия составного твердого тела в механической колебательной системе, находящейся под внешним кинематическим воздействием. Условием сохранения целостности составного твердого тела выступает положительность полной контактной реакции в фазе установившегося движения. В качестве критического состояния системы, предшествующего нарушению контакта между элементами составного твердого тела, предлагается критерий равенства нулю полной контактной реакции. Для определения режимов, исключающих нарушения контакта, и исследования свойств системы в таких режимах используется представление полной контактной реакции в виде суммы динамической и статической компоненты.

2. Разработан метод определения режимов движения в контакте для системы с составным твердым телом, соединенным с поверхностью колебания упругим элементом, с учетом дополнительных сил поджатия и сил вязкого трения. Определена зависимость между областями параметров контактного движения составных твердых тел и характеристиками кинематического возмущения. Установлено, что основными факторами контакта выступают масса твердого тела, характеристика вязкого трения, дополнительная сила поджатия. Показано, что добавление в систему сил вязкого трения существенным образом изменяет характер режимов контакта и позволяет регулировать контакт твердых тел с поверхностью контакта или между элементами составного твердого тела в зависимости от масс твердых тел. Установлено, что зависимость условий контакта от масс элементов реализуется через собственную частоту цельной системы. Выявлена возможность управления контактом тел либо с фиксированной массой, либо с массами из определенного диапазона.

3. Новизна предлагаемого подхода заключается в том, что авторами поставлена и решается задача оценки динамического взаимодействия в контактах составного твердого тела. Особенность задачи заключается в развитии подхода, использующего аналитический аппарат теории управления. Показаны возможности использования таких понятий, как передаточная функция. Вводится и используется такое понятие, как передаточная функция контактного давления по отношению к входному воздействию, имеющему силовой или кинематический характер. Предлагается и разработана методика оценки критических значений параметров, определяющих существование контакта или его нарушение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. I. Статика и кинематика. М. : Наука, 1982. 352 с.

2. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики. В 2 т. Т 2 Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. М. : Наука. 1983. 640 с.

3. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. М. : Наука. 1986. 516 с.

4. Лурье А.И. Операционное исчисление и применение в технических приложениях. М. : Наука. 1959. 368 с.

5. Сельвинский В.В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. Благовещенск : Изд-во Амур. гос. ун-та, 2009. 164 с.

6. Вибрация в технике. В 6 т. : справочник. Т. 3 Колебания машин, конструкций и их элементов / под ред. Ф.М. Диментберга, К.С. Колесникова. М. : Машиностроение, 1980. 544 с.

7. Вибрации в технике. В 6 т. : справочник. Т. 4 Вибрационные процессы и машины / под ред.

Э. Э. Лавенделла. М. : Машиностроение, 1981. 504 с.

8. Машиностроение. Т. 1-3. В 2-х кн. Кн.1 Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин : энцикл. / К.С. Колесников, Д.А. Александров, В.К. Асташев и д.р. М. : Машиностроение, 1994. 534 с., ил.

9. Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Движение материальной частицы с подбрасыванием на примере модельной задачи с неудерживающими связями // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2012. №3. С. 53-59.

10.Елисеев С.В., Ситов И.С., Елисеев А.В. Характеристики взаимодействия материальной частицы и поверхности колебания в зависимости от постоянной силы с учетом неудерживающей связи // Техника и технологии новые перспективы развития : материалы VII Междунар. науч.-практ. конф. (26.11.2012). М., 2012. 248 с.

УДК 621.01:534; 681.51 Круглое Сергей Петрович,

д. т. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел. 8-950-111-83-69

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ ГАШЕНИЯ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХМАССОВЫХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ

S. P. Kruglov

ADAPTIVE CONTROL IN VIBRATION DAMPING PROBLEM OF THREE-MASS ACTUATORS

Аннотация. На основе описания упругих исполнительных механизмов мехатронных систем в виде трехмас-совой схемы синтезируется адаптивное управление, направленное на гашение упругих колебаний с сохранением целевого движения системы. В контуре замкнутой системы управления используется алгоритм идентификации, доставляющий в текущем времени искомые оценки неизвестных параметров математической модели объекта, а также неявная эталонная модель. В качестве первого из них используется рекуррентный метод наименьших квадратов с фактором забывания. Заданная эталонная модель отражает требуемые характеристики замкнутой системы управления.

Закон управления строится на основе упрощенных условий адаптируемости, разработанных автором статьи ранее. Для рассматриваемой задачи они заключаются в том, что исходный объект аппроксимируется математической моделью колебательного звена на скользящем интервале с априорно неизвестными параметрами, подлежащими оцениванию. Для решения поставленной задачи управления снимается необходимость в получении точных оценок параметров. Определено, что их значения могут находиться в достаточно большом диапазоне. Данное свойство основано на том, что алгоритм текущей идентификации обладает свойством сходимости невязки идентификации и что для решения задачи нужно корректировать лишь относительный коэффициент демпфирования системы.

Приводятся результаты экспериментальных исследований, проведенные на основе компьютерной модели. Они показывают достаточно высокую эффективность гашения упругих колебаний в замкнутой системе управления при различных конфигурациях исходного объекта и в условиях реальных факторов - действия неконтролируемых внешних воздействий и помех датчиков. Сформулированы пути улучшения качества синтезируемого управления.

Ключевые слова: мехатронные системы, упругие колебания, гашение, исполнительные механизмы, адаптивное управление.

Abstract. On the basis of description of elastic actuators of mechatronw systems as the three-mass scheme, the adaptive control directed on damping of elastic oscillations with preservation of target movement of system is synthesized. In a contour of the closed control system the algorithm of identification delivering in current time required estimations