Обобщенно-периодические решения классических дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

ОБОБЩЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© С. М. Дзюба, Ю. Е. Репина

Ключевые слова: Классическое дифференциальное включение, обобщенно-периодическое решение.

Вводится определение обобщенно-периодического решения, классического автономного и неавтономного включения. Доказаны теоремы существования обобщеннопериодических решений в автономном и неавтономном случаях.

1. Введение. Одно из важнейших мест в теории динамических систем занимает проблема изучения поведения траекторий на инвариантных и минимальных множествах. Наиболее характерными результатами здесь являются теоремы Биркгофа о рекуррентных траекториях и минимальных множествах, теоремы возвращения Пуанкаре-Каратеодори и Хинчина, а также целый ряд эргодических теорем. В книге [1] несколько уточнены свойства рекуррентных траекторий и минимальных множеств динамических систем типа Биркгофа. Именно показано, что каждое компактное минимальное множество содержит рекуррентные траектории, описываемые обобщенно-периодическими решениями и только ими. Приведенное в [1] доказательство существования обобщенно-периодических решений позволяет с единых позиций рассматривать соответствующие решения динамических и непрерывных периодических систем.

Переходя к одному из обобщений этих результатов, в некоторой области £ пространства М” рассмотрим автономное дифференциальное включение

где для всех значений х € £ множество Е(х) непусто, ограничено, замкнуто и выпукло, а функция Е еще и в -непрерывна. Выполнение этих условий обеспечивает существование (но не единственность) локальных решений включения (1). Если при этом каждое решение может быть продолжено на всю ось М , то решения определяют на £ обобщенную динамическую систему.

В работах [2, 3] показано, что из существования ограниченного решения следует существование обобщенно-периодического решения. Одной из основных особенностей обобщенно-периодических решений оказалось то, что обобщенно-периодическое решение определяет ситуацию типического поведения для многомерных нелинейных систем: если (1) не имеет ни одного обобщенно-периодического решения, то эта система не имеет также ни одного ограниченного при Ь € М решения. Целью настоящей работы является уточнение этих результатов.

2. Неавтономные дифференциальные включения. Рассмотрим неавтономное дифференциальное включение на прямом произведении М х £ действительной оси М и множества £

X € Е(х),

(1)

X € Е(Ь, х),

(2)

где для всех (Ь,х) € М х £ множество Е(Ь,х) непусто, ограничено, замкнуто и выпукло, а функция Е еще и в -непрерывна. Также будем считать, что функция Е периодична по Ь с периодом Т.

Пусть щ(Ь) — некоторое решение включения (2), определенное и ограниченное для всех значений Ь € М. Предположим, что для каждого положительного числа е найдется такое натуральное число N, что при Ь € М выполнено неравенство

\щ(Ь) - щ(Ь + NT)| < е.

Тогда будем говорить, что щ(Ь) — обобщенно-периодическое решение.

Примерами обобщенно-периодического решения могут служить любое периодическое решение, иррациональная обмотка тора и любое почти периодическое решение [1]. Существование обобщенно-периодических решений устанавливает следующая Теорема 1. Пусть ((Ь) — некоторое решение включения (2), определенное на всей оси М и ограниченное при Ь > 0 . Тогда найдется такая последовательность натуральных чисел

т,П2,---,ПкПт пк = ж, (3)

к^ж

и соответствующее ей обобщенно-периодическое решение щ(Ь), что

Пт ((Ь + пкТ) = щ(Ь) к^ж

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] С М и

Пт щЬ + (пк+1 - Пк )Т) = щ(Ь)

к^ж \ /

равномерно на всей оси М .

Доказательство. Для всех значений Ь € М и N = 1, 2,..., положим

^ (Ь) = б(Ь + N - 1)ту (4)

Тогда в силу периодичности функции Е несложно заметить, что каждая из функций (^(Ь) является решением включения (2), определенным на всей оси М и ограниченным при Ь > 0 .

Пусть теперь (3) — произвольная последовательность натуральных чисел. В соответствии с (3) выберем из множества (4) последовательность

, (^2 ,■■■ (5)

Так как решение ((Ь) ограничено при Ь > 0, последовательность (5) равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на произвольном отрезке [а, Ь] С М. Поэтому для всех значений Ь € М можем записать равенство

1™ (^к(Ь) = Щ(Ь), к^ж

в котором сходимость равномерна на каждом из отрезков [а, Ь] С М . При этом функция щ(Ь) является решением включения (2), при всех значениях Ь € М содержащимся в некоторой компактной части Е множества £ .

Пусть

А(^), А(Щ,..., А(^),...

— множество, элементы которого при всех значениях Nk зададим равенством

Д№) = N^1 - ^.

При этом будем считать, что

Пт А^к) = то.

к^ж

Последнего всегда можно добиться, удалив из множества (5) соответствующие элементы при сохранении его счетности.

Пусть

Р = {що,щ(Т ),...,фт),...}.

Тогда, как легко видеть,

Р = П и (т+Кт ^ к>1 т>к

где Р — замыкание множества Р. Более того, множество

Р1 = П и КАШТ)

к>1 т>к

непусто и компактно, Р1 С Р .

Предположим, что

Що = Пт щ(А(Щ)ТУ

к^ж \ /

Тогда найдется такая последовательность натуральных чисел

11,12,... ,1к,..., Пт 1к = ж, к^ж

что ___________

Р1 = П и (т+т (0),

к> 1 т>к

а множество ____________________

Р2 = |^| (1т+1 - 1т)ТУ

к> 1 т>к

является непустой компактной частью множества Р1 . Продолжая данный процесс неограниченно, получим вполне упорядоченную систему

Р1 5 Р2 5 ... 5 Р] 5 ...

компактных множеств. Тогда согласно теореме Бэра найдется трансфинитное число не выше II класса V, для которого множества Ри и Ри+1 совпадают.

Для простоты обозначений будем считать, что само множество Р совпадает с Ри . Тогда

що = Пт А(Щ)ТV

к^ж \ /

Следовательно, для всех значений Ь € М имеет место равенство

щ(Ь) = Пт <р(ь + А(Щ)Т), (6)

к^ж \ /

в котором по построению сходимость равномерна на каждом из отрезков [а, Ь] С М. Обозначим через М множество функций

щ(Ь), щ(Ь ± Т),..., щ(Ь ± NT),...,

определенных на отрезке [0, Т] . В силу компактности множества Е замыкание М множества М — компактное в топологии равномерной сходимости на [0, Т] множество, еще и

равностепенно непрерывное на этом отрезке. Пусть Щ — продолжение произвольной функции множества М на ось М . Тогда для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное ко , что при к > ко выполнено неравенство

тах ІЄ[-Т,Т ]

^*(і) - v*(і + А(Мк)Т)

< е,

где в силу равностепенной непрерывности множества М число ко не зависит от выбора функции Щ . Поэтому неравенство

тах ІЄ[-МТ,МТ ]

V(і) — VIі + А(Мк)Т

<е

выполняется равномерно относительно N .

Таким образом, сходимость в (6) равномерна всей оси М. Следовательно, щ(Ь) — обобщенно-периодическое движение.

3. Автономные дифференциальные включения. Рассмотрим автономное дифференциальное включение в некоторой области £ пространства М”

(7)

где для всех значений х € £ множество Е(х) непусто, ограничено, замкнуто и выпукло, а функция Е еще и в -непрерывна.

Пусть щ(Ь) — некоторое решение включения (7), определенное для всех значений Ь € М и ограниченное при этих значениях Ь. Будем говорить, что щ(Ь) — обобщеннопериодическое решение, если для каждой пары е , Т положительных чисел можно указать такое натуральное число N, что при всех Ь € М выполнено неравенство

V(і) - V(і + ^Т)

< е.

Важнейшее свойство включений (7) устанавливает следующая

Теорема 2. Пусть £ (і) — некоторое решение включения (7), определенное на всей оси М и ограниченное при і > 0 . Тогда для каждого положительного числа Т найдется такая последовательность натуральных чисел

п1,п2,...,пк,..., Пт пк = ж,

к^ж

и соответствующее ей обобщенно-периодическое решение щ(Ь), что

Пт ((Ь + пкТ) = щ(Ь) к^ж

'равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] С М и

Пт щЬ + (пк+1 - пк )Т) = щ(Ь)

к^ж \ /

равномерно на всей оси М .

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1 и потому здесь опускается.

ЛИТЕРАТУРА

1 . Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных пери-

одических системах. М.: ЛКИ, 2007.

2 . Афанасьев А.П., Дзюба С.М. О рекуррентных траекториях автономных дифференциальных

включений // Дифф. уравнения. 2007. Т. 43. № 11. С. 1-5.

3 . Афанасьев А.П., Дзюба С.М, Репина Ю.Е. Об обобщенно-периодических решениях неавтоном-

ных дифференциальных включений // Дифф. уравнения. 2009. Т.45. № 1. С. 3-7.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 10-07-00136, № 11-07-00098).

Поступила в редакцию 11 мая 2011 г.

Dzyuba S.M., Repina Y.E. Generalized-periodic solutions of classical differential inclusions. The definition of generalized-periodic solution of classical autonomous and nonautonomous inclusion is introduced. The existence theorems of generalized-periodic solutions in autonomous and nonautonomous cases are proved.

Key words: classical differential inclusion, generalized-periodic solution.

Дзюба Сергей Михайлович, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика», e-mail: [email protected]

Репина Юлия Евгеньевна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, инженер кафедры «Прикладная математика и информатика», e-mail: [email protected]