О квазипериодических решениях дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

О КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© С.М. Дзюба

Dziuba S.M. On i|uasi-periodic solutions of differential equations. Hie article proposes a determination of a normal system of differential equations. The existent theorem of quasi-periodic solutions is proved and its typical behaviour is stated.

1. Введение. Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид

£ = /(£, х), (1)

где х = (х1,...,жп) — векторная функция действительного переменного £, а / = (/х,..., /п) — векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

на прямом произведении К х Е действительной оси К и некоторого открытого подмножества И евклидова векторного пространства К”. Кроме того, будем считать, что функция / периодична по £ с периодом, равным единице.

Вопрос о существовании у системы (1) периодических решений весьма важен как для собственно теории дифференциальных уравнений, так и для приложений. Одним из основных результатов здесь является следующее утверждение, принадлежащее Х.Л. Массера (см. [1 или 2, с. 53]). Пусть порядок п системы (1) равен двум и каждое решение £(£) этой системы определено для всех значений £ > £ о- Тогда, если система

(1) имеет некоторое решение, ограниченное при этих значениях £, то данная система имеет также и периодическое решение </?(£) периода, равного единице. В многомерном же нелинейном случае, как известно, из существования у системы (1) ограниченного решения следует существование только лишь инвариантного интегрального множества (см., например, [3, с. 105]). Вместе с тем в работах [4, 5] показано, что последнее утверждение может быть уточнено. Именно, в общем случае из существовования у системы (1) ограниченного решения £(£) следует существование условно-периодического решения уз(£). 1 Оказа-

1 Использование термина “условно-периодическое решение” в работах [4, 5] не совсем оправдано, поскольку в [4, 5] авторы упустили из виду, что данный термин уже употребляется в ином смысле (см., например, [6]).

лось, однако, что результаты, приведенные в [4, 5] носят не вполне законченный характер и могут быть усилены.

Основная цель настоящей работы — дальнейшее развитие результатов работ [4, 5]. Данное развитие основано на новом по сравнению с [4, 5] определении квазипериодического решения. Это определение не только дает возможность несколько продвинуться в указанном направлении, но и позволяет в известной мере по новому взглянуть на структуру рекуррентных траекторий, содержащихся в ограниченной области, и компактных минимальных множеств динамических систем. Результаты, приведенные ниже, практически в полной форме были доложены автором на Международной научно-практической конференции “Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике” (см. [7]).

2. Ограниченные и квазипериодические решения. Прежде всего, введем следующее Определение 1. Пусть у?(£) — некоторое решение системы (1), определенное для всех значений £ 6 К и ограниченное при этих значениях £. Решение </?(£) назовем квазипериодическим, если для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число Ые, что при £ € К выполнено неравенство

|у>(£) -</?(£ + #е)| < £.

Несложно заметить, что простейшим примером квазипериодического решения может служить периодическое решение рационального периода. В качестве несколько менее тривиального примера отметим иррациональную обмотку тора. Существование же квазипериодических решений в общем случае устанавливает

Теорема 1. Пусть £(£) — решение системы (1), определенное для всех значений £ € К и ограниченное при £ > 0. Тогда система (1) имеет также и квазипериодическое решение </>(£),

* i too£

Вестник ТГУ, T.ff вып./, 2-GO 1

содержащееся в и-предельном множестве

п = П и^< + г)

«>От>е

сужения решения £(/) на полуось [0, оо). Если при этом решение £(£) ограничено на всей оси К, то какова бы ни была последовательность

ЛГьЛГ2, Пт = оо (2)

»оо

натуральных чисел, найдется такая ее подпоследовательность

ЛГ*,, Л/*а,..., ТУ*,,..., Нш ЛГ/с, = оо

1—юо

и такое квазипериодическое решение <£>(/) системы (1), что

Нгп £(* + ЛЬ, - 1) = р(<)

1—ЮО

равномерно на каждом из отрезков [а, 6] С М и

Пт <р(г + Nk , - Л/*,) = <рЦ)

1-юо

равномерно на всей оси М.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что в некоторой окрестности Т каждой точки £о £ К определен оператор сдвига дг~1° по интегральным кривым х(1) системы (1). Этот оператор непрерывен по I во всех точках множества Е, непрерывно отображает Е в себя при < 6 Т и (по определению) задается равенством

г

дг~ь°х{1 о) = *(<о) + I /(г, х(т)) с/г.

1о

Пусть хо — некоторая точка множества Е и дг 1 (<) — решение системы (1) с начальным условием

*1(0) = х0,

определенное для всех значений I £ М и при < > 0 содержащееся в некотором компактном множестве Е С Е. Для всех значений < 6 1 положим

xN{t) = x^(t + N- 1), N = 1,2,3,... (3)

Тогда, очевидно, при этих значениях I и N имеет место равенство

XN{t) = д1 {(I1 ■■■91)х о,

N-1

которое, как легко видеть, может быть переписано в следующем эквивалентном виде:

*лг(0 =0**лг(О). (4)

Пусть теперь (2) — произвольная последовательность натуральных чисел, в соответствии с которой из последовательности (3) выберем подпоследовательность

*#1»®ЛГа» •••»*#*» ••• (5)

Так как при этом все функции множества (3) целиком содержатся в множестве Е, а множество Е компактно, то множество (3) равномерно ограничено на отрезке [0,1]. Кроме того, поскольку оператор д1 непрерывен по i, из равенства (4) следует, что множество (3) равностепенно непрерывно на [0,1]. Поэтому из этого множества можно выбрать равномерно сходящуюся на отрезке [0.1] последовательность

xNkl» xNk2 > • • •» xNkt > • • •» (6)

пределом которой является функция (р, определенная и непрерывная для всех значений О < t < 1, т.е.

lim xN {t) = <p(t)

l-юо '

равномерно на [0,1]. При этом функция tp содержится в U/’-предельном множестве

Q = П Uxi(< + r)

t>0 T>t

сужения решения xi(<) на полуось [0, оо) (см. [3, с. 101]).

Поскольку при t > 0 оператор д1 непрерывно отображает множество Q в себя, заметим, что

lim glxN (0) = gl(p0

l—юо '

равномерно на [0,1], где ipo — некоторая точка множества £7, удовлетворяющая условию

<р( 0) = <р0. (7)

Тогда, переходя в фомуле (4) к пределу при N —>■

оо вдоль множества (6), получим равенство

Ф) = gt(po,

справедливое для всех значений 0 < t < 1 и означающее, что ip(t) — непрерывно дифференцируемое решение системы (1) с начальным условием

(7).

Для простоты будем считать, что выбранная подпоследовательность (6) совпадает с последовательностью (5). Обозначим через

Д(ЛГ,),Д(ЛУ.......Д (JV*),... (8)

— множество, элементы которого при всех значениях Nk из множества (2) определим по формуле

A (Nk) = Nk+l-Nk.

При этом будем считать, что

Нш Д(Л^) = оо;

к—юо

последнего всегда можно добиться, удалив из множества (5) соответствующие элементы при сохранении его неограниченности.

Заметим теперь, что в силу равенства (4) множество (5) равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на каждой из полуосей [£о, оо), где £о — любое действительное число. Поэтому без какой-либо потери общности можно считать, что имеет место равенство

Иш ХАГЛ(£) = (9)

Л—>оо

в котором сходимость равномерна на каждом из отрезков [а,Ь] полуоси [О.оо). Если при этом решение х\ (£) ограничено на всей оси К, то сходимость в (9) равномерна на каждом из отрезков [а, Ь] С К. В любом случае функция </>(£), построенная по формуле (9), является решением системы (1), определенным для всех значений £ € К и ограниченным при Ь > 0.

Поскольку для всех значений Л/*

ял^+1(0) = хлгЛд№))>

то имеем

(Ро = Ит х^к(А(Щ).

к-юо

В силу равенства (9) для каждого положительного числа £1 можно указать такое значение р\ из множества (2), что на отрезке [0, Д(рх)] выполнено неравенство

1*,.« -*>№!< у-

При этом, однако,

1<Л) -3Р1(Д(Р1))| < у.

Отсюда следует, что

|у?о - У>(А(Р1))| < |*Р, (А(р0) - у>(ДЫ)|+

+ 1^0 “®р,(Д(Р1))| < £ь

Пусть теперь е2 — некоторое другое положительное ЧИСЛО, удовлетворяющее условию £2 <

, такое, что при некотором значении р2 из множества (2), удовлетворяющем условию Р2 > Рь имели место неравенства

кр2(Д(Р2)) -У>(Д(Р2))| < у \(ро -хР2(Д(р2))| < у.

Тогда справедлива оценка

ко - у>(Д(рг))| < |яР2(Д(р2)) - <^(Д(р2))|+

+ 1<А) -хР2(Д(р2))| < £2-

Продолжая действовать аналогичным образом, несложно построить такую последовательность

£1>£з>* ••>£*>•••> Ите* = 0 (10)

к—юс

положительных чисел и такую последовательность

Р1,Р2,...,Рь--ч Ит Рк = ОО (11)

к—юо

натуральных чисел из множества (2), что

\ф0 — </?(Д(р*))| < ек. (12)

Для простоты обозначений будем считать, что последовательность (11) совпадает с множеством

(2). Тогда с учетом (10) и (12) имеем

= Ит ч>(А^к)). (13)

к—юо

Легко видеть, что множество М функций

ф),<р{г +1),...,^ + ^),...,

определенных на отрезке [0,1], по построению равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на [0,1]. Поэтому замыкание М множества М — инвариантное множество (см. [3, с. 105]). Отсюда заключаем, что

дкМ С М, к = ±1, ±2, ±3,... (14)

(см. [3, с. 103]). Следовательно, в силу соотношения (13) при д -> оо вдоль множества (8) справедливо равенство

<£>(£) = Ит (р{Ь + д), (15)

Ч—юо

в котором сходимость равномерна на каждом из отрезков [а, 6] С К.

Заметим теперь, что в равенстве (15) равномерная сходимость имеет место на всей оси М.

В самом деле, для всех значений £ 6 К положим

Ч>ы{Ь) = ¥>(* + ^)> АГ = ±1,±2, ±3,...

Тогда для доказательства равномерной сходимости в (15) на всей оси К достаточно показать, что при q -> оо вдоль множества (8)

Ит 6Р>Ч = 0 (16)

равномерно относительно р = 0, ±1, ±2,..., где 6Р,ч = тах И* + р) -<рд{Ь+р)|.

Если принять, что в равенстве (16) равномерная сходимость не имеет места для всех значений р = 0, ±1, ±2,..., то для каждого достаточно малого положительного числа е можно указать такое натуральное число р\ и такое значение <71 из множества (8), что

йрх ,41 — е

и (или)

При этом без какой-либо потери общности можно считать, что для всех значений <7 > <71 из множества (8) выполнены неравенства &р\ ^ £

И

<5-р, ^ ^ £•

Пусть теперь Р2 > Р\ — некоторое другое достаточно большое натуральное число. Тогда найдется такое значение <72 > <71 из множества (8), что

^>2,02 ^ £

и (или)

Р2.92 — £‘

При этом можно считать, что для всех значений д > 92 из множества (8) выполнены неравенства

^Р2,Ч ^ £

И

^~Р2,Я ^ £'

Продолжая действовать аналогичным образом, несложно построить такую последовательность

Р1,Р2,.Ит ра = оо

к—> оо

натуральных чисел и такую последовательность ЯиЯ2 Итд*=оо

к-уоо

значений из множества (8), что

^Рк,Як — ^ — 1, 2, 3, . . .

и (или)

^~Рк <Чк £1 ^ — 1,2,3, ...

При этом можно считать, что для всех значений <7 > <7* из множества (8) выполнены неравенства

______________________________Вестник ТГУ, т.6, вып.2, 2001

И

й-Рк,ч £‘

Для простоты обозначений положим tk=Pk + 1, Л = 1,2,3,... и заметим, что объединение

к>1

отрезков [—pk,tk] исчерпывает всю ось К, причем на каждом из отрезков [~Pk,tk] при q —> 00 вдоль множества (8) имеет место равномерная сходимость

lim tpq{t) = ip(t).

q—юо

Поэтому без какой-либо потери общности можно считать, что для всех значений 0 < t < 1 существует по крайней мере один из пределов

lim <p4h{t +рк) = v{t)

fc—>00

и (или)

lim Ц)сЛ*-Рк) = МО,

к—юо

где rj $ М и (или) р ^ М — некоторые функции, определенные на отрезке [0,1]. Последнее, однако, противоречит условию (14). Следовательно, сходимость в равенстве (15) равномерна на всей оси R Сказанное, как легко видеть, означает, что ip(t) — квазипериодическое решение.

Таким образом, поскольку выбор последовательности (2) выше по существу не играл никакой роли, в силу соотношений (9) и (15) теорема

1 доказана.

3. Автономный случай. Предположим теперь, что система (1) автономна, т.е.

х = /(х); (17)

здесь / — гладкое векторное поле, определенное в каждой точке множества Е. Поскольку правая часть системы (17) периодична по t с любым периодом Т > 0, несколько изменим в автономном случае определение квазипериодического решения.

Определение 2. Пусть Т — некоторое положительное число и <p(t) — некоторое решение системы (17), определенное для всех значений t € Ш и ограниченное при этих значениях t. Будем говорить, что </?(<) — квазипериодическое относительно сдвига Т решение, если для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число Ne, что при t £ R выполнено неравенство

~ Ф + NeT)\ < £.

Несложно заметить, что простейшими примерами квазипериодических относительно каждого сдвига Т решений могут служить периодическое решение и иррациональная обмотка тора. В качестве несколько менее тривиального примера отметим почти периодическое решение. При этом следует заметить, что обратное, видимо, неверно, поскольку не составляет особого труда построить гладкую квазипериодическую относительно некоторого сдвига функцию, не являющуюся почти периодической.

В общем случае существование квазипериодических относительно сдвига Т решений устанавливает следующая теорема, которая непосредственно вытекает из теоремы 1 настоящей работы и теоремы 2 работы [5].

Теорема 2. Пусть £(i) — некоторое решение системы (17), определенное для всех .значений t 6 1R и ограниченное при t > 0. Тогда для каждого положительного числа Т и-предельное множество решения £(<) содержит траекторию К, описываемую квазипериодическим относительно сдвига Т решением ip(t). Если при этом решение £(t) ограничено на всей оси К, то каковы бы ни были значение Т > 0 и последовательность

/Vi,/V2,...,Nfc,..., lim Nk = оо (18)

k-¥oo

натуральных чисел, найдется такая ее подпоследовательность

Nkl, Nki,..., Nkn..., lim Nkl = oo

I—too

и такое квазипериодическое относительно выбранного сдвига Т решение <p(t) системы (17), что

lim {(i + (ЛГ*, - 1 )Т) = »>(<)

1-*оо

равномерно на каждом из отрезков [а, 6] С М и lim <p{i + {Nkl+l - Nk,)T) = <f{t)

l—too

равномерно на всей оси Ш.

Замечание. В условиях теоремы 2 выбор последовательности (18) не зависит от выбора числа Т и обратно.

Пусть теперь tp(t) — некоторое квазипериодическое относительно некоторого сдвига Т решение системы (17) и пусть К — траектория.

описываемая этим решением. Тогда в силу теоремы 2 несложно заметить, что замыкание К траектории К представляет собой непустое компактное минимальное множество. Следовательно, К — рекуррентная траектория и обратно (см., например, [8]). Другими словами, имеет место

Теорема 3. Пусть <p(t) — некоторое решение системы (17), определенное для всех значений t G М и ограниченное при этих значениях t, и К — траектория, описываемая решением <p(t). Оказывается, что К — рекуррентная траектория тогда и только тогда, когда f{t)

— квазипериодическое относительно некоторого сдвига Т решение.

В качестве тривиального следствия теоремы 3 справедлива следующая

Теорема 4. Пусть М — некоторое непустое компактное минимальное множество системы (17). Тогда для каждого положительного числа Т найдется такое квазипериодическое относительно сдвига Т решение <p{t) системы (17), что замыкание К траектории К, описываемой решением у?(<), совпадает с М.

ЛИТЕРАТУРА

1. Massera J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations // Duke Math. J. 1950. Vol. 17. P. 457 - 475.

2. Красносельский M.A. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

3. Хейл Док.. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

4. А^кхнасьев А.П., Дзюба С.М. К вопросам управления в периодических процессах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. JV* 4. С. 15 — 20.

5. Дзюба С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, Я* 8. С. 1020 — 1023.

6. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 35, К» 4. С. 527 - 530.

7. Дзюба С.М. Квазипериодические решения дифференциальных уравнений // Вестн. ТГУ. 2000. Т. 5, вып. 4. С. 440 — 442.

8. Барбаьиин Е.А. К теории обобщенных динамических систем // Уч. зап. МГУ. Математика. 1949. Т. 2, вып. 135. С. 110 — 133.

Поступила в редакцию 26 апреля 2001 г.