О квазипериодических решениях в негладких динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 517.925.52

О КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ В НЕГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С.М. Дзюба1, Ю.Е. Репина2

Кафедры: «Распределенные вычислительные системы» (1), «Информационные процессы и управление» (2), ГОУ ВПО «ТГТУ»

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: негладкие динамические системы; квазипе-риодические решения; рекуррентные траектории и минимальные множества.

Аннотация: Вводится определение квазипериодического решения негладкой динамической системы. Показано, что рекуррентными траекториями, содержащимися в компактном минимальном множестве, могут быть траектории, описываемые квазипериодическими решениями, и только они. Поэтому каждое компактное минимальное множество состоит из траекторий, описываемых квазипе-риодическими решениями, и только из них.

1. Введение

Рассмотрим нормальную автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

х = / (х), (1)

здесь х = (х1,..., хп) - векторная функция действительного переменного /, а / = (/1,., /п) - непрерывная векторная функция на некотором открытом подмножестве 2 евклидова векторного пространства Кп.

Одно из важнейших мест в теории динамических систем занимает проблема изучения поведения траекторий системы (1) на инвариантных и минимальных множествах. Многие классические результаты в данной области так или иначе относятся к случаю, когда порядок п рассматриваемой системы равен двум и связан с теоремой Пуанкаре-Бендиксона и ее обобщениями [6-7]. Что же касается многомерных систем, то характерными результатами здесь являются теоремы Биркгофа о рекуррентных траекториях и минимальных множествах, теоремы возвращения Пуанкаре-Каратеодори и Хинчина, а также эргодические теоремы.

Упомянутые выше теоремы Биркгофа определяют ситуацию типического поведения решений системы (1). Под этим представляется уместным понимать следующее.

Согласно Биркгофу, замыкание каждой рекуррентной траектории системы (1), содержащейся в ограниченном множестве, представляет собой компактное минимальное множество, а каждая целая траектория, содержащаяся в компактном минимальном множестве рекуррентна. Но любое компактное множество, состоя-

щее из целых траекторий, содержит компактное минимальное множество. Поэтому, если ф(ґ) - некоторое решение системы (1), определенное для всех значений ґ є Я и ограниченное при ґ > 0, то ю-предельное множество О решения ф(ґ) содержит компактное минимальное множество. Другими словами, рекуррентные траектории являют собой те «кирпичики», которые собственно и образуют фундамент предельных множеств системы (1).

В работах [1-3, 5] показано, что в гладких динамических системах рекуррентными траекториями являются те и только те траектории, которые описываются квазипериодическими решениями.

2. Основная лемма

Важнейшее свойство движений в пространстве 2 устанавливает следующая лемма.

Лемма. Пусть ф(ґ) — решение системы (1), определенное для всех значений ґ> ґо и ограниченное при этих значениях Ґ, и пусть О(ф) — ю-предельное множество решения ф(ґ). Тогда для каждого положительного числа Т из каждой последовательности

N1, N2, ..., Ык, ..., ііш Ык =+¥ (2)

к ®+¥

натуральных чисел можно выбрать такую ее подпоследовательность

Ык1, Ык2 ,■■■, Ык{, к, 1іш Ык{ =+¥ ,

1 2 1 1®+¥ 1

Иш ф(г+(щ - 1)Т) = Х(г) (3)

к ®+¥ ' 1 !

и

Иш + N -Мк )Т) = $«) (4)

к ®+~ ' 1+1 11

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] С Я+, где ^(/) — положительно устойчивое по Пуассону решение.

Доказательство. Зафиксируем некоторое положительное число Т. фо - некоторая точка множества Е, ф1(г) - решение системы (1) с начальными значениями (0, фо), определенное для всех значений г > 0 и содержащееся при этих значениях г в некоторой компактной части множества 2 с Е. Для всех значений г е Я и N = 1, 2, 3... положим

г

Ф1О1) = Фо +1 / (Ф1(Т0У X,

о

г Т

о :+о

ФN (0 = Фх(г + (N -1)Т), (5)

j2 (0 = jo + J f (jl (t))d t + J f (Ф2 (t))d t,

N-1T

aN = Ф0 + Z J f (Фг (t))dt = jN (0) = Ф1 ((N - 1)T). (6)

г =1 0

Тогда при этих значениях г и N имеет место равенство

j N (t) = jN (0) + j f (j N (t))dt .

Пусть (2) - произвольная последовательность натуральных чисел. В соответствии с (2) из множества

N

выберем последовательность

aNl, aN2 aNk v .

(8)

Так как множество Е компактно, то из (8) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

аЩ^ ^к^", % ,-,

пределом которой является точка ^о, лежащая в ю-предельном множестве О(ф) решения ф 1 (г).

Аналогично выберем из множества (5) последовательность

jNj, jN2 ,...,jNk ,

(9)

Функции ф(г) и /(ф) непрерывны, и потому сложная функция /(ф(г)) также непрерывна. Поскольку отрезок [о, Т] - компактное множество, то функция/(ф(г)) еще и равномерно непрерывна на [о, Т]. Тогда для любого N из последовательности (2) и любого г е[о, Т ] существует такое число М, что

В силу (7) и (10)

I jNk (t1) - jNk (t2 ^ =

f (jNk (t)) < M .

j f (jNk (t))dt- j f (jNk (t))dt

(10)

j f (jNk (t))d t

£ }| /(Ф^ (X)) ёX £ I МёX £ 1^ - М.

о г2

Поэтому для каждого положительного числа е можно указать такое положитель-е

ное число 5 = —, что для всех N из последовательности (2)

М

фк (г1 )-фк (г2 ^ < е всякий раз, когда на отрезке [о, Т] выполнено неравенство

|?1 - ?2| < 5.

(11)

(12)

Последнее означает, что последовательность (9) равностепенно непрерывна на отрезке [о, Т]. Поэтому согласно второй и третьей теореме Асколи из (9) можно выбрать равномерно сходящуюся на [о, Т] последовательность

0

0

0

2

Фк^Ф^2,-,Ф^^ ,..., (13)

пределом которой является функция ^, определенная и непрерывная на отрезке [о, Т], то есть

11ш Ф^ (г) = £(0

1®+¥ к1

равномерно на [о, Т] (см., например, [8]). Более того

£(о) = £о,

а при г е [о, Т] значения функции Е, содержатся в множестве О(ф).

Для простоты будем считать, что выбранная последовательность (13) совпадает с последовательностью (9). Пусть,

Д( N1), Д( N2), к, Д( Nk ),...

множество, все элементы которого при всех Nk из (2) определены по формуле

Д( Nk) = Nk+1 - Nk.

При этом будем считать, что

Иш Д( Nk) = +¥ .

к ®+¥

Последнего всегда можно добиться, удалив из множества (2) соответствующие элементы при сохранении его счетности.

Заметим, что в силу компактности множества Е и равенства (7) последовательность (9) равностепенно непрерывна на произвольном отрезке [а, Ь] с Я . Поэтому согласно компактности множества Е в силу второй теоремы Асколи (см. [8]) для всех значений г е Я имеет место равенство

11ш Ф^ (г) = £(0, (14)

к ®+~

в котором сходимость равномерна на каждом из отрезков [а, Ь]с Я . Несложно заметить, что функция ^(/), построенная по формуле (14), является решением системы (1), определенным для всех значений г > о и целиком содержащимся при этих значениях г в множестве О(ф). Легко видеть, что множество О(ф) непусто, компактно и состоит из целых траекторий, а, следовательно, содержит компактное минимальное множество (см., например, [4]).

Поскольку для всех значений Nk

aNk+! =фNk (Д(Nk )ТX

£о = Иш ФNk (Д(Nk )Т).

к ®+¥

Более того, так как решение Щ) содержится в множестве О, а множество О по построению компактно, без какой-либо потери общности можно считать, что существует предел

11ш £(Д(Щ )Т) = £*, (15)

к ®+¥

где Е, - некоторая точка множества О.

Если £o Ф £ , то в силу условий (14) и (15) найдется такое положительное число є и такое натуральное число ko, зависящее от є, что

|jNk (A(Nk)T)-X(A(Nk)T)|>e

при k > ko. Поэтому для всех значений k > ko справедливо неравенство

max I jNk (t + A(Nk)T)-£(/ + A(Nk)T)| >e. (16)

o<t<r k 1

Обозначим через S множество функций

£(t), £(t ±T), ... , £(t ±NT), ... , (17)

определенных на отрезке [0, T]. Поскольку множество W Q компактно, то, действуя по аналогии с доказательством равностепенной непрерывности последовательности (9), в силу соотношения

t

X(t) = Xo + J f (X(t))d t (18)

o

несложно показать, что множество S равностепенно непрерывно на [0, 7]. Поэтому согласно компактности Q замыкание X множества S - компактное в топологии равномерной сходимости на [0, 7] множество, по первой теореме Асколи еще и равностепенно непрерывное на этом отрезке (см., например, [8]).

Для всех значений t е [0, T ] положим *

j (t) = lim jn, (t + D(Nk )T), (19)

k ®+~

причем в силу компактности множества Е можем принять существование такого предела. Пусть при этом

tk = (A(Nk) + 1)T, k = 1, 2, 3, ... .

Тогда, согласно неравенству (16), для всех значений к > ,0 справедливо также и неравенство

max |jNk (t) -X(t)| >e.

0<t <tk 1 k 1

Обозначим через k\ некоторое натуральное число, удовлетворяющее условию к\ > ,0. Тогда

max

0<t <tk1

jNkl (t) -X(t)

> e.

Более того, найдутся такое положительное число е1 < е и натуральное число к2 > к1, что

max

0<t <tk2

jNk2 (t) - X(t)

<el.

Тогда

> e,

0<t<tk2

jNk2 (t) -X(t)

причем найдутся такое положительное число е2 < е1 и натуральное число кз > к2, что

max

0<t <tk3

jNk3 (t) -X(t)

< e2.

Продолжая действовать аналогичным образом, несложно построить такие последовательности положительных

и натуральных

чисел, что

61, 62, ..., 6/,

k1, k2, ..., к/,

lim e/ = 0,

/®+¥

lim h =+¥,

/®+¥

max

0<t <tk/

jNk/ (t) -X(t)

> e,

(20)

шах

о<г %

Заметим теперь, что объединение

jNk/+1(t) -X(t) <e/. (21)

+¥

и [о, к ]

I=1

расширяющихся отрезков [о, ^ ] с [о, ^2 ] с - • с [о, к ] с ... исчерпывает всю полуось [о, +да), а на каждом из этих отрезков [о, к ] выполнены неравенства (2о)

* —

и (21). Поэтому в силу условия (16) видно, что Ф й х . Последнее, однако, противоречит равенствам (14) и (19). Отсюда следует, что

£о = 11ш £(Д(Nk )Т)

к ®+¥

и, значит, в силу соотношений (14) и (18) для всех значений г еЯ справедливо равенство

X(t) = lim X(t + D(Nk )T),

к ®+¥

(22)

в котором сходимость равномерна на каждом из отрезков [а,Ь] с Я .

Обозначим через ^ множество, составленное из функций множества х , продолженных вдоль движения Щ) на пополнение Я действительной прямой Я. Поскольку множество х равностепенно непрерывно на отрезке [о, Т], множество ^ равностепенно непрерывно на Я . Но множество Я компактно. Поэтому в силу второй теоремы Асколи отсюда следует, что равномерная сходимость в равенстве (22) имеет место на всей оси Я (см., например, [8]).

Так как выбор числа Т и последовательности (2) не играл никакой роли, то в силу соотношений (5), (14) и (22) лемма доказана.

и

3. Квазипериодические решения, рекуррентные траектории и минимальные множества

Введем следующее определение.

Определение. Пусть ^(/) - некоторое решение системы X = /(х). Будем говорить, что решение Щ) - квазипериодическое, если для каждой пары е, Т положительных чисел можно указать такое натуральное число N, что при ге Я выполнено неравенство

|£(0 -£(/ + т)| < е.

Простейшим примером квазипериодического решения может служить периодическое решение. В качестве менее тривиального примера отметим иррациональную обмотку тора, а также любое другое почти периодическое решение [2].

Теорема 1. Пусть 2 — компактная часть пространства Яп, ^о — фиксированная точка из 2 и ^(/) — любое из решений системы (1) с начальными условиями ^о = £(^о)- Оказывается, что ^(/) — рекуррентное решение тогда и только тогда, когда оно является квазипериодическим.

Доказательство. Пусть Щ) - квазипериодическое решение. Тогда найдется такая последовательность натуральных чисел вида (2), что

11ш £(г + Щ) = £(/) (23)

к ®+¥

равномерно на каждом из отрезков [-^ N1, где N - любое натуральное число. Но

+¥

сходимость в равенстве (23) равномерна относительно N, а объединение и [-N, N]

N=1

расширяющихся отрезков

[-1,1] с [-2,2] с • с [-N, N] с •

исчерпывает всю ось Я. Поэтому для каждой точки q замыкания К траектории К, описываемой решением ^(/), равенство

11ш я (г+Nk) = Я (г), (24)

к ®+¥

где я(г) - решение системы (1) с начальными условиями я(/о) = q, выполнено равномерно на всей оси Я.

В силу компактности пространства 2 несложно показать, что найдется такая последовательность

/1, /2, ■■■, ?к, ■■■, 1Аш (к =+¥, к ®+¥

натуральных чисел, что

Иш ХУ к) = q ,

к ®+¥

где q = ф(/о), ф(г) - рекуррентное решение. При этом

Иш ф(/ + N) = ф(/)

к ®+¥

равномерно на всей оси Я.

Для всех значений N = 1, 2, 3, ... обозначим через ^ множество функций ^ + М), Щ+N + 1), ..., Щ+N + 1), ..., определенных на отрезке [о, 1], а через Е - множество функций

ф(г), ф(г + 1), ■■■, ф(г + 1), ■■■,

также определенных на отрезке [о, 1]. Пусть хN и Е - замыкание множеств ^ и Е соответственно. Тогда по построению

+¥

Е = I Х N ,

N=1

причем Е - компактное минимальное множество (см., например, [4]). Более того, по построению несложно также заметить, что

Следовательно, К - компактное минимальное множество. Поэтому решение ^(г) рекуррентно.

Предположим теперь, что ^(г) - рекуррентное решение. Для некоторого значения Т > о рассмотрим множество 5 функций

ад, &±Т), ..., ^±м), ...,

определенных на отрезке [о, Т]. Так как пространство 2 компактно, то в силу соотношения (18) несложно заметить, что множество 5 равностепенно непрерывно на [о, Т]. Поскольку из компактности пространства 2 следует его полнота, то замыкание х множества 5 - минимальное множество. Тогда в силу второй теоремы Асколи (см., например, [8]) из сказанного выше следует, что замыкание х множества 5 - компактное в топологии равномерной сходимости на отрезке [о, Т] минимальное множество.

С другой стороны, в силу леммы (см. п. 2) найдется такая последовательность вида (2), что

Иш Х(/ + (Щ - 1)Т) = я (г) (25)

к ®+¥

равномерно на всей оси Я. Далее обозначим через Е множество функций

я(/), я(/+Т),...,я(г+N1),...,

определенных на отрезке [о, Т]. Так как пространство 2 компактно, то в силу соотношения (25) замыкание Е множества Е - компактное в топологии равномерной сходимости на [о, Т] минимальное множество. Но согласно условиям (24) и (25) Е с х , что означает равенство множеств х и Е как минимальных.

Заметим, что выбор числа Т не играл никакой роли. Поэтому ^(г) - квазипе-риодическое решение. Теорема доказана.

Легко видеть, что в условиях леммы (см. п. 2) решение Щ) - квазипериоди-ческое. Более того, в качестве тривиального следствия теоремы 1 имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть М — компактное минимальное множество. Тогда каждая траектория К, содержащаяся в М, является траекторией, описываемой квази-периодическим решением.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 07-08-12218).

1. Афанасьев, А.П. К вопросам управления в периодических процессах / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Изв. РАН. Теория и системы упр. - 1998. - № 4. -С. 15-2о.

2. Афанасьев, А.П. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференц. уравнения. - 2оо5. - Т. 41, № 11. - С. 1544-1549.

3. Афанасьев, А. П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференц. уравнения. - 2оо4. - Т. 4о, № 1о. - С. 1367-1372.

4. Барбашин, Е.А. К теории обобщенных динамических систем / Е.А. Бар-башин // Ученые зап. МГУ. Математика. - 1949. - Т. 2, Вып. 135. - С. 1Ю-113.

5. Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений / С.М. Дзюба // Дифференц. уравнения. - 1999. - Т. 35, № 8. -С. Ю2о-Ю23.

6. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. - М. : Наука. - 1982. - 332 с.

7. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. -М. : Мир. - 197о. - 32о с.

8. Шварц, Л. Анализ : в 2 т. / Л. Шварц. - М. : Мир, 1972. - Т. 2. - 528 с.

Quasi-Periodic Solutions in Non-Smooth Dynamic Systems S.M. Dzyuba, Yu.E. Repina

Departments: «Distributed Computing Systems» (1),

«Information Processes and Control» (2), TSTU

Key words and phrases: quasi-periodic solutions; recurrent trajectories and minimal sets; non-smooth dynamic systems.

Abstract: Definition of quasi-periodic solution to scored dynamic system is introduced. It is shown that recurrent trajectories, which can be found in compact minimal set, are the ones described by quasi-periodic solutions. That’s why every compact minimal set consists of trajectories described by quasi-periodic solutions.

Uber quasiperiodische Beschlusse in den nichtglatten dynamischen Systemen

Zusammenfassung: Es wird die Definition des quasiperiodischen Beschlusses des nichtglatten dynamischen Systems eingefuhrt. Es ist aufgezeigt, dafl als in der kompakten minimalen Menge enthaltenen Rekurrenttrajektorien konnen nur die von den quasiperiodischen Beschlussen beschriebenden Trajektorien sein. Deshalb besteht jede kompakte minimale Menge nur aus den Trajektorien, die von den quasiperiodischen Beschlussen beschrieben sind.

Sur les solutions quasiperiodiques dans les systemes dynamiques non lisses

Resume: Est faite un definition de la solution quasiperiodique dans le systeme dynamique non lisses. Est montre que les trajectoires recurrents contenues dans une miltitude compacte minimale peuvent etre les trajectoires decrites par les solutions quasiperiodiques, seulement celles-ci. C’est pourquoi chaque miltitude compacte minimale se compose des trajectoires decrites par les solutions quasiperiodiques, seulement celles-ci.