Обобщенно-периодические решения классических дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

ОБОБЩЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ © Ю.Е. Репина, С. А. Скворцов

Ключевые слова: дифференциальные включения; обобщенно-периодические решения; рекуррентные решения; минимальные множества.

Вводится определение обобщенно-периодического решения классического дифференциального включения. Приводится критерий существования обобщенно-периодических решений и устанавливаются их основные свойства.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид:

ж = /(;£, ж), (1)

где х = (х1,..., хп) - векторная функция действительного переменного £; / = (/*,..., /п)

- векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

др . . , дхз’ г’Э

на прямом произведении М х Мп действительной оси М и евклидова векторного пространства Мп . Кроме того, предположим, что / - Т-периодическая по £ функция.

Если п ~ 2, то справедлива теорема Х.Л. Массера [1]: пусть каждое решение £(£) системы (1) определено для всех Ь ^ £о (£ ^ ¿0 ); тогда, если (1) имеет решение, ограниченное при этих значениях £, то данная система имеет Т -периодическое решение </?(£) . Согласно

[1], это утверждение справедливо и для линейных систем произвольного порядка. При этом в нелинейном случае теорема Массера неверна уже для п — 3 (см. [2, с. 70]).

Задолго до появления теоремы Массера для автономных систем Дж. Биркгофом было введено определение рекуррентного решения. Данное решение содержит в себе периодическое. При этом из существования ограниченного решения всегда следует существование рекуррентного решения (см. [3, с. 402-404]). Эту ситуацию назовем ситуацией общего положения решений автономных систем.

В работе [4] для Т -периодических систем было введено определение обобщенно-перио-дического решения. Доказано, что в автономном случае определения обобщенно-периодического и рекуррентного решений эквиваленты (см. [2, с. 153]). Таким образом, обобщеннопериодическое решение является распространением определения рекуррентного решения на неавтономные периодические системы.

Определение рекуррентности на неавтономный случай прямо не переносятся. Однако для неавтономных систем достаточно общего вида (не обязательно с периодической правой частью) были подробно изучены асимптотические решения рекуррентного типа (см., например, [5-8] или [9, гл. 3]). При этом ввиду особой сложности рассматриваемых объектов ситуация общего положения в [5-9] не установлена.

Настоящая работа является развитием работы [4]. Цель работы - изучение ситуации общего положения для классических дифференциальных включений.

1. Динамические системы, порожденные дифференциальными включениями

Рассмотрим неавтономное дифференциальное включение на прямом произведении Rx Е оси Ш и некоторого открытого множества Е СМП

х е F(t, х), (2)

где для всех х множество F(t,x) непусто, компактно и выпукло для всех (i,x)GKx Е. Кроме того, предположим, что функция F - /3-непрерывна [10, с. 52].

В настоящей работе будем считать, что все решения включения (2) определены при t ^ 0. Более того, будем считать, что имеет место правая единственность решений.

Например, примененим к включению простейшее выпуклое доопределение. Для каждой точки (t,x) G Ex Е пусть F(t,x) - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения функции f(t,x*), когда (t,x*) £ М , х* х , t = const, М

- множество (меры нуль) точек разрыва функции /. Более того, при почти всех t мера сечения множества плоскостью t = const равна нулю. Далее, пусть существует такая суммируемая функция l(t) , что для почти всех точек (£, ж) £ М х Е и (t,y) £ Ш х Е при \х — у\ < «So имеем \f(t,x)\ < l(t), {x-y)-(f(t,x) — f(t,y)) ^ l(t)\x-y\2. Тогда для включения

(2) при описанном доопределении имеет место правая единственность решений (см. [10, с. 82]). Заметим, что в случае единственности решения оно непрерывно зависит от начальных условий и от правой части включения. Таким образом, при выполнении указанных допущений дифференциальное включение (2) порождает непрерывную периодическую систему (см. [2, с. 203]).

Из всего множества систем в дальнейшем будут рассмотрены только лишь Т периодические системы, т. е. системы, порожденные дифференциальными включениями вида (2), в которых F - Т -периодическая по t функция.

2. Обобщенно-периодические решения

Поскольку имеет место правая единственность решений, решения включения (2) непрерывно зависят от начальных значений, поэтому будем записывать решение в виде х = x(to,t,xo).

Введем следующее

Определение 1. Пусть с/?(£(ь <ро) ~ некоторое решение включения (2), определенное для всех значений t ^ to и ограниченное при этих значениях t. Будем говорить, что <p(to,t,ipo)- - обобщенно-периодическое решение, если для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число N, что при t £ Е выполнено неравенство:

\v(to,t,(po) - <p(t0,t + NT,pо)| < е.

Простейшим примером обобщенно-периодического решения может служить Т -периодическое решение. Формально, определение обобщенно-периодического решения похоже на определение рекуррентного решения. Связь между этими понятиями будет установлена в п. 4.

Существование обобщенно-периодических решений устанавливает следующая

Теорема 1. Пусть включение (2) имеет решение £(¿0? £о), ограниченное при

t ^ to . Тогда в ио -предельном множестве

П(*о,£о) = Р| (j£(io?s,£o)

Ш0 s^t

решения £(£о?^£о) расположено также обобщенно-периодическое решение </?(£о> ^ щ) •

Доказательство. Поскольку имеет место правая единственность решений включения (2), оператор

G(¿o,¿)£o = £(£o,í,£o)

определен и непрерывен по совокупности переменных ¿(ь ¿>£о в их области определения [10, с. 67]. Для всех N = 1,2,... положим

6/ = G(t0, (N - 1)Г)&- (3)

Легко видеть, что в силу периодичности функции F

G(t0, (N - 1)Г) = G(f0, Г)... G(to, г), ÍV = 1,2,...

'--------V--------'

iV-1

Тогда

ZN = G(t0,T)...G(t0,T)£0, N = 1,2,..., (4)

V лл ^

TV—1

и каждое решение также ограничено.

Поскольку решение £(¿o,í,£o) ограничено, то из последовательности (3) можно выбрать сходящуюся последовательность

6vi,6v2, • •. ,6vfc,

предел которой обозначим через • При этом множество íí(to?£o) замкнуто и, следовательно, компактно. Более того, решение <p(to,t,(po) расположено в fi(io>£o) •

Заметим теперь, что функция G(to,t)x непрерывна по £,х. Поэтому множество

* = {£(ioMn)'- teR+, N = 1,2,...}

равностепенно непрерывно на произвольном отрезке [ot,ß] С (см. [10, с. 61]). Следовательно, при t £ М+

lim £(¿o, t, (po) (5)

k—¥ oo

равномерно на каждом отрезке [a,ß\ С (см. [12, с. 481]).

Из непрерывности функции G(to,t)x по t,x и компактности множества П(£о,£о) сле_ дует, что множество

Е = £ -f NT, (po): t e [0,T], iV — 0,1,...}

равностепенно непрерывно. Поэтому его замыкание Е компактно в топологии равномерной сходимости (см. [12, с. 489]).

Для всех к = 1,2,... положим

XNk = {£(to,t + NT,£Nk): í£[0,T], JV = 0,1,...}.

Поскольку замыкание Xjyk множества Xjyk компактно в топологии равномерной сходимости, то, согласно равенствам (3) и (5),

Ё С XNk, к = 1,2,...,

(см. [10, с. 101]). Поэтому

Écf]xNk. (6)

fc^i

Пусть

ДNk = Nk+i - Nk, к = 1, 2,..

Поскольку в силу (3) и (4)

t,Nk+1 = £(¿0, ANkT,£Nk),

то

lim £(t0,ANkT,£Nk) = <ро• (7)

к—у оо

Более того, т. к. множество о) компактно, без потери общности можем считать, что

lim ip(t0,ANkT,tp0) = V*, (8)

«—>■00

где </7* е fi(io,£o) •

Если р ^ р*, то в силу (7) и (8) найдутся такие положительное е и натуральное ко ,

что

|£(*о, ДлъТ.иЛ - Фо,АмкТ),Ы ^ е (9)

при к > ко .

Пусть

tk = {&Nk + 1)Г, к = 1,2,...

Согласно неравенству (12), для всех к > ко

max |£(to,i,6vfe) - Фо,Ъ<Ро)\ > £■

Тогда в силу (5) несложно построить такие последовательности

£ 1 ? ^2 ?*••?££?•••> lim £/ 0,

I—^ОО

положительных и

натуральных чисел, что

fci,fc2,... ,fcj, ..., lim fc/ = оо,

оо

max j^(to,i,^JVfc.) - </>(io,i,<A))l > e (Ю)

И

max )-<p{to,t,Vo)\ < £l- (U)

Легко видеть, что объединение

расширяющихся отрезков

[о,tkl] С [0,tk2] С ... С [0,tkl\ с ...

исчерпывает всю полуось . При этом на каждом из таких отрезков [0,ifcj выполнены неравенства (10) и (11). Последнее, однако, в силу включения (6) невозможно.

Полученное противоречие означает, что

lim (p(to,ANkT,(po) = щ.

к—юо

Следовательно, для всех t £ R+

lim <p(t0, t + ANkT, ip0) = <p(t0, t, ip0) (12)

k—> oo

равномерно на каждом отрезке [а, ß\ С R+ .

Множество Ё компактно в топологии равномерной сходимости. Поэтому, согласно (12), справедливо равенство

E=f]G(t,ANkT)E (13)

1

(см. [И, с. 105]).

Если равномерная сходимость в (12) не имеет места на всей полуоси R+ , то найдется такое положительное число е, что

шах |<p(to,t + ANkT,(f0) - (p(to,t,(po)\ ^ е для всех I = 1{к) и к = 1,2,..., где

lim 1(к) = оо.

к-+ оо

Последнее, однако, в силу (13) невозможно.

Таким образом, сходимость в (12) равномерна на всей полуоси R+ . Следовательно,

(p(to,t,(po) - обобщенно-периодическое решение и теорема 1 доказана.

Замечание. Согласно равенствам (5) и (12), в условиях теоремы 1 найдется такая последовательность

Ni,N2,. . ■ ,Nk,..., lim Nk = оо, (14)

k—> оо

натуральных чисел, что

lim £(io, t + (Nk - 1 )Т, £0) = ¥?(io, t, ipo)

/с—>oo

равномерно на каждом отрезке [а, ß] С М+ и

lim <p(t0, t + (Nk+1 - Nk)T, (p0) = (p(t0, t, <p0)

k—>oo

равномерно на всей полуоси R+ .

3. Обобщенно-периодические решения и минимальные множества

Пусть £(to»^£o) ~ решение включения (2) и

E = {ato,t + NT^0)'- te [0,Т], JV = 0,1,...}.

Теорема 2. Предположим, что решение £(£о?£»£о) ~ ограничено при t ^ 0. Тогда необходимое и достаточное условие обобщенной периодичности решения состоит в том, что замыкание Ё множества Е - компактное минимальное множество.

Доказательство. Пусть £(to>^£o) ~ обобщенно-периодическое решение. Для всех N = 0,1,... положим

EN = {Z{to,t + (N + l)T,Zo): te[0,T], 1 = 0,1,...}.

Пусть Ён - замыкание множества En • Тогда в силу ограниченности решения £(io,i-£o) каждое множество Еn равностепенно непрерывно. Поэтому все множества £\у компактны.

Более того, по определению обобщенно-периодического движения каждое множество Ем инвариантно. Тогда существует компактное минимальное множество

M=[)En

Л/> о

(см. [3, с. 401]). Но по построению

Ёо — Е\ = ... = £дг = ... = Ё.

Следовательно, Ё = М .

Пусть теперь Ё - компактное минимальное множество. Тогда в силу замечания к теореме 1 найдется такая последовательность вида (14), что

lim f (i0, t + (Nk- 1 )T, £0) = £(to, t, x) (15)

к—Уоо

равномерно на каждом отрезке [а, ß) С Ж+ и

lim £(i0,i + (Nk+i - Nk)T,x) = £(t0,t,x) (16)

к—>oo

равномерно на всей полуоси М+ , где £(to,t,x) - обобщенно-периодическое решение. Положим

F = {ato,t + NT,x): t Е [0,Т], N = 0,1,...}.

Поскольку £(to,t,x) - обобщенно-периодическое решение, то по доказанному замыкание F множества F - компактное минимальное множество. Но в силу (15) и (16) F С Ё . Последнее означает равенство множеств Ё и F как минимальных. Следовательно, ^(io^^o)

- обобщенно-периодическое решение.

Таким образом, теорема 2 доказана.

4. Автономный случай

Для полноты картины установим связь между обобщенно-периодическим и рекуррентным решениями. Для этого предположим, что включение (2) автономно, т. е.

х G F(x). (17)

Напомним, что решение (p(t) включения (17) называется рекуррентным, если для каждого положительного числа е можно указать такое положительное число Т, что е -окрестность любой дуги Кт временной длины Т траектории К , описываемой этим решением, целиком содержит К. Необходимое и достаточное условие рекуррентности, как известно, состоит в том, что замыкание траектории, описываемой рекуррентным решением -компактное минимальное множество [10, с. 101]. Поэтому, согласно теореме 2, в автономном случае для всех Т > 0 обобщенно-периодические решения оказываются рекуррентными и обратно.

Заметим теперь, что в неавтономном случае траектории могут пересекаться. Поэтому определение рекуррентного решения на неавтономный случай прямо не переносится. Сказанное означает, что в неавтономном случае обобщенно-периодическое решение является самостоятельным математическим объектом.

5. Заключение

Теорема 1 дает критерий существования обобщенно-периодических решений классических дифференциальных включений. Согласно теореме 2, для автономных систем определения обобщенно-периодического и рекуррентного решений совпадают. В неавтономном случае обобщенно-периодическое решение является самостоятельным объектом.

Таким образом, обобщенно-периодическое решение определяет ситуацию общего положения для решений включения (2) в случае правой единственности решений. Как частный случай, обобщенно-периодические решения определяют также ситуацию общего положения для включений вида (17). Более того, в автономном случае обобщенно-периодическое решение дает новое определение рекуррентного решения. Легко видеть, что это определение несколько уточняет классическое.

ЛИТЕРАТУРА

1. Massera J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations // Duke Math. J. 1950. V. 17. P. 457-475.

2. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах. М.: ЛКИ, 2007.

3. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Еди-ториал УРСС, 2004.

4. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 10. С. 1367-1372.

5. Миллионщиков В. М. Рекуррентные и почти периодические предельные решения неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 9. С. 1555-1559.

6. Щербаков Б.А. Многомерные динамические системы // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 5. С. 739-747.

7. Бронштейн И. У., Черний В.Ф. Расширения динамических систем с равномерно асимптотически устойчивыми точками // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10 № 7. С. 1225-1230.

8. Герко А.И. Асимптотически рекуррентные решения уравнений в ß -производных // Математические заметки. 2000. Т. 67. № 6. С. 837-851.

9. Cheban D.N. Asymptotically almost periodic solutions of differential equations. N. Y.: НРС, 2009.

10. Филиппов А.Ф.Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

11. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

12. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972. Т. 2.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10-07-00136).

Поступила в редакцию 28 августа 2012 г.

Repina Y.E., Skvortsov S.A. GENERALIZED-PERIODIC SOLUTIONS OF CLASSICAL DIFFERENTIAL INCLUSIONS. The term "generalized-periodic solution of a classical differential inclusion"is defined. The existence criterion and basic properties of such a solution are given.

Key words: differential inclusions; generalized-periodic solutions; recurrent solutions; minimal sets.