О квазипериодических решениях автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

О КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© С.М. Дзюба

Dzyuba S.M. On quasi-periodic solutions for autonomous systems of ordinary differential equations. A definition is proposed of a quasi-periodic solution for an autonomous system of ordinary differential equations. Recurrent trajectories included in a non-empty compact minimal set are shown to be only quasi-periodic solutions.

1. Введение. Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

* = /(*), (1)

считая, что х £ Е и / - гладкое, вообще говоря, класса С1 векторное поле, определенное в каждой точке х некоторого открытого подмножества Е евклидова векторного пространства

К”.

Одно из важнейших мест в теории динамических систем, как известно, занимает проблема изучения поведения траекторий системы (1) на инвариантных и минимальных множествах. Многие классические результаты в данной области так или иначе относятся к случаю, когда порядок п рассматриваемой системы равен двум и связаны с теоремой Пуанкаре - Бендик-сона и ее обобщениями (см., например, [1, 2]). Что касается многомерных систем, то характерными результатами здесь являются теоремы Биркгофа о рекуррентных траекториях и минимальных множествах, теоремы возвращения Пуанкаре - Каратеодори и Хинчина, а также эргодические теоремы (см., например, [1]). Вместе с тем, в работах [3, 4] показано, что каждое непустое компактное минимальное множество содержит рекуррентные траектории, описываемые квазипериодическими решениями. 1 Полное доказательство последнего утверждения в упомянутых работах, однако, не приведено. Более того, оказалось, что результаты, изложенные в [3, 4], могут быть непосредственно усилены.

Целью настоящей работы является уточнение результатов работ [3, 4], ориентированных на автономный случай. Данное уточнение осно-

Н работах [3, 1] используется термин “условно-

периодическое решение”. Это представляется не совсем удачным поскольку в [3, 4] авторы упустили из виду, что данный термин уже употребляется в ином смысле (см. [5]).

вано на новом по сравнению с [3, 4] определении квазипериодического решения. Это определение не только дает возможность продвинуться в указанном направлении, но и позволяет установить общность положения квазипериоди-ческих решений на минимальных множествах.

2. Квазипериодические относительно сдвига решения. Прежде всего, изменим по отношению к работам [3, 4] определение квазипериодического относительно сдвига решения.

Определение 1. Пусть Т - некоторое положительное ЧИСЛО и ” некоторое решение системы (1), определенное для всех значений / 6 Ж и ограниченное при этих значениях I. Будем говорить, что <£>(/) - квазипериодическое относительно сдвига Т решение, если для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число , что при / € М выполнено неравенство

МО - <р(1 + мет)\ < е.

Легко видеть, что простейшим примером квазипериодического относительно каждого сдвига Т решения может служить периодическое решение. В качестве несколько менее тривиального примера отметим иррациональную обмотку тора и любое другое почти периодическое решение (см. п. 3). В общем случае существование квазипериодических относительно сдвига Т решений устанавливает следующая

Лемма. Пусть £(<) некоторое решение системы (1), определенное для всех значений ( £ 1 « ограниченное при I —оо. Тогда для каждого положительного числа Т ш-предельное множество решения £(<) содержит траекторию К, описываемую квазипериодическим относительно сдвига Т решением Более

полно, для каждого значения Т > 0 из каждой последовательности

N1, N2, ■ ■ ■, N1;,..., Ит -/V/, = оо (2)

/г-юо

натуральных чисел можно выбрать такую ее подпоследовательность

, Л^-2, - - -, А”*,,..., Пт ЛГ*, = оо,

/—>•00

что

Нт «(< + (Ык, - 1)7) = ?(*)

/—>•00

равномерно на каждом из отрезков [а, 6] С ® « Пт у>(* + (Л^ - ЛГ*,)Г) = у>(<)

1-юо

равно.ыерно на всей оси М. у>(<) - некоторое квазипериодическое относительно сдвига Т решение.

Доказательство. Пусть дь - фазовый поток, для которого поле / яапяется полем фазовой скорости, И Х\(1) - решение системы (1) с начальным условием

*1(0) = *о,

определенное для всех значений ! 6 I и при

I оо содержащееся в некотором ограниченном множестве Но С £•

Для произвольного положительного числа Т и всех значений I £ 1 и = 1,2,3,... положим

х„(г) = х1(1 + (м-1)т). (3)

Тогда, как несложно заметить, при этих значениях /и N имеет место равенство

XN(t) = д* (дт ■■■дт\х0,

N-1

которое, очевидно, может быть переписано в следующем эквивалентном виде:

хн(г) = дьхн(0). (4)

Пусть (2) - произвольная последовательность натуральных чисел в соответствие с которой из множества (3) выберем последовательность

! жлг2. • • • > , • • •, Нт Ык = оо. (5)

к—у оо

Поскольку множество Ео ограничено, множество (5) равномерно ограничено на отрезке [0,7]. Кроме того, так как оператор д1 непрерывен по I, то из равенства (4) следует, что множество (5) равностепенно непрерывно на [0,7]. Поэтому из него можно выбрать равномерно сходящуюся на отрезке [О, 7] последовательность

^лг*., , ■ • ■. *лгк., • • •, ПтЛГ*,=оо, (6)

1 “ 1 /—>СО

пределом которой является функция <р, определенная и непрерывная для всех значений t € [0,7], т.е.

lim xN (t) = <p(t) (7)

/—>00 '

равномерно на [0,7]. При этом функция <р по построению целиком содержится в w-предельном множестве С1 С Ео решения Х\(i). Поскольку при t —> оо оператор gf непрерывно отображает множество So в себя вдоль xi(t), заметим, что

lim glxN (0) = д*<р0

l-yoo '

равномерно на [0,7], где <ро - точка множества Q. такая, что

¥>(0) = <Ро- (8)

Тогда, переходя в (4) к пределу при N —> оо вдоль множества. (6), получим равенство

<p(t) = д'ро,

справедливое для всех значений t 6 [0,7] и означающее, что ip(t) - решение системы (1) с начальным условием (8).

Для простоты обозначений будем считать, что выбранная подпоследовательность (6) совпадает с последовательностью (5). Пусть

- множество, элементы которого при всех значениях Nk определим по формуле

A(Nk) = Nk+i - Nk.

При этом будем считать, что

lim Л (Nk) = оо;

к—у оо

последнего всегда можно добиться, удалив из множества (5) соответствующие элементы при сохранении его счетности.

Заметим теперь, что функция <p(t) является решением системы (1), определенным для всех значений t G К и содержащимся при этих значениях i в множестве Q. Но так как по построению при t £ [0,7] справедливо равенство (7), то из непрерывности оператора д1 следует, что

lim ждгk(t) = ip(t) (9)

/о—>оо

равномерно на каждом из отрезков [а, 6] С К. Поскольку для всех значений Nk

xNk+1(0) = xNls(A(Nk)T), (10)

ТО

<р0= lim xNk(A(Nk)T).

к—too

(ii)

Более того, так как функция целиком содержится в множестве Г2, а множество П по построению компактно, без какой-либо потери общности можем считать, что существует предел

Нт ^(Д(Л^)Т) = р*0,

к—уоо

где <£>5 - некоторая точка множества Если

<Ро ф <р*о,

то в силу условий (10) и (11) найдется такое положительное число £ и такое натуральное число ко, зависящее от г, что

\хЫк(А(Мк)Т)-<р(А(Мк)Т)\>е

при к > ко. Поэтому для всех значений к > ко справедливо неравенство

П<1(хт \ХМк^ + ~ + А(Мк)Т)| > е.

(12)

Легко видеть, что множество М функций

<р(г),<р(г + Т), ...,¥>(* + МТ),

определенных на отрезке [О,!1], по построению равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на [0, Т]. Поэтому замыкание М множества М - компактное в топологии равномерной сходимости на [0,Т] множество.

Для всех значений I £ [0,7'] положим

х*(г) = Ит хик(1 + А(Мк)Т), (13)

к—юо

причем в силу равностепенной непрерывности и равномерной ограниченности множества (5) на отрезке [0, Т) можем принять существование такого предела. Пусть при этом

** = (Д(М0 + 1)Г, к =1,2,3,...

Тогда согласно неравенству (12) для всех значений к > ко наряду с (13) справедливо также и неравенство

max \xNk(t) - v?(OI > £•

U<

Обозначим через кi - некоторое натуральное число, удовлетворяющее условию к 1 > к0. Тогда

max |a;Nki(/)-v?(/)| > е.

Более того, найдется такое положительное число Е\ < £ и такое натуральное число ко > к\, что

max \xNk^{t) - ip(t)\ < ei

и, как и ранее,

max \xNk3(t) -v{t)\ > £.

S _ ^2

При этом найдется такое положительное число £2 < £i и такое натуральное число кз > A-о, что

max |*лг (t)-v?(t)|<e2.

Продолжая действовать аналогичным образом, несложно построить такую последовательность

61,62 lim El — 0

/—►со

положительных и такую последовательность A/’i, к2, • • • 1 &/ ? • • •) lim — оо

/ —► ОС

натуральных чисел, что

max |xjvfc( (<) -<p{t)\ >£ (14)

_ ki

И

0 max \xNki+i (t) - <p(t)I < £(. (15)

Заметим теперь, что объединение

ОО

1=1

расширяющихся отрезков

[ОМ] С [CMfcJ с ... С [0,tkl] с ...

исчерпывает всю полуось [0,оо), а на каждом из этих отрезков выполнены неравенства

(14) и (15). Поэтому в силу неравенства (12) х* М. Последнее, однако, противоречит условию (11). Отсюда следует, что

<р0 = lim ip(A(Nk)T)

к —►со

(16)

и, значит, в силу соотношений (9) и (16) для всех значений < £1 справедливо равенство

*>(*)= Шп р(* + Д(ЛГ*)Г), (17)

к —► оо

в котором сходимость равномерна на каждом из отрезков [а, 6] С К. Но согласно компактности множества М несложно заметить, что в равенстве (17) равномерная сходимость также имеет место на всей полуоси [0, оо). При этом в

силу условия (17) видим, что М - инвариантное множество, т.е.

дктМ С М, к = ±1, ±2, ±3,...

(см. [6, с. 103]). Следовательно, сходимость в равенстве (17) равномерна на всей оси К.

Сказанное означает, что <£>(<) - квазипери-одическое относительно сдвига Т решение. Но выбор числа Т выше по существу не играл никакой роли. Поэтому в силу соотношений (9) и (17) лемма доказана.

Замечание 1. В условиях леммы выбор последовательности (2) не зависит от выбора числа Т и обратно.

3. Киазипериодические решеиия. Введем следующее новое

Определение 2. Пусть ^£>(<) - некоторое решение системы (1), определенное для всех значений (£1и ограниченное при этих значениях <. Будем говорить, что у>(/) - квазипери-одическое решение, если для каждой пары е,Т положительных чисел можно указать такое натуральное число М(е,Т), что при ( £ 1 выполнено неравенство

\<р(г)-М + Ще,Т)Т) \<е.

Легко видеть, что квазипериодическое решение системы (1) является квазипериодиче-ским относительно каждого сдвига Т решением.

Пусть <р(1) - квазипериодическое относительно сдвига Т решение и К - траектория, описываемая этим решением. Тогда в силу леммы несложно заметить, что замыкание К траектории К представляет собой непустое компактное минимальное множество. Поэтому К - рекуррентная траектория (см., например, [1, с. 308]). Следовательно, если £(/) - квазипериодическое решение, то траектория Ь, описываемая решением £(£), также является рекуррентной. Полную связь между квазипериодическими решениями и рекуррентными траекториями устанавливает следующая

Теорема 1. Пусть р(1) - некоторое решение системы (1), определенное для всех значений I 6 М и ограниченное при этих значениях I, и К - траектория, описываемая решением Оказывается, что К - рекуррентная

траектория тогда и только тогда, когда

- квазипериодическое решение.

Доказательство. Поскольку, как уже отмечалось,

достаточность условий теоремы 1 очевидна, обратимся к доказательству их необходимости.

Пусть К - рекуррентная траектория, Т -некоторое положительное число и М - множество функций

±Т),...,<р(1± ЛГГ),...,

определенных на отрезке [0,Г]. Легко видеть, множество М равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на [0,Т]. Но поскольку К

- рекуррентная траектория, то ее замыкание К - компактное минимальное множество (см., например, [1, с. 309]). Поэтому замыкание М множества М - также компактное минимальное множество.

Заметим теперь, что в силу леммы найдется такая последовательность

N1, N2,... ,N1,,, Нт ТУ* = оо

к—юо

натуральных чисел и такое квазипериодическое относительно сдвига Т решение £(/) системы (1), что

Нт + (Ик - 1)Т) = т (18)

А:-* оо

равномерно на каждом из отрезков [а, 6] С К и Нт £(< + (Л*+1 - ЛГ*)Т) = £(<) (19)

«—►ОО

равномерно на всей оси Е.

Обозначим через Е множество функций

определенных на отрезке [0,Т]. Множество Е по построению равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на [0, Т\. Так как при этом £(/) - квазипериодическое относительно сдвига Т решение, то замыкание Е множества Е -компактное минимальное множество. Согласно условиям (18) и (19) Е С М, что в данном случае означает равенство множеств Е и М как минимальных. Тогда - квазипериодическое относительно сдвига Т решение. Но выбор числа Т выше по существу не играл никакой роли. Поэтому <р(1) - квазипериодическое решение.

Таким образом, теорема 1 доказана.

Возвращаясь к рассмотрению примеров ква-зипериодических решений отметим, что в силу теоремы 1 каждое почти периодическое решение оказывается квазипериодическим, поскольку траектория, описываемая почти периодическим решением рекуррентна (см. [1, С. 316]). При этом обратное, вообще говоря, неверно (см.

[1, с. 321], где приведен пример рекуррентной траектории, описываемой на торе решением, которое не является почти периодическим).

В качестве тривиальных следствий теоремы

1 и леммы справедливы следующие

Теорема 2. Пусть ^(t) - некоторое решение системы (1), определенное для всех значений t 6 ffi и ограниченное при t —> со. Тогда ш-пределъное множество П решения £(t) содержит траекторию К, описываемую ква-зипериодическим решением <p(t). Более полно, для каждого положительного числа Т из каждой последовательности

NuN2,...,Nk,..., lim Nk = оо (20)

к—too

натуральных чисел можно выбрать такую ее подпоследовательность

Nkl,Nk3,...,Nkn..., lim Nk, = оо,

I—too

что

lim £(t + (Nk, — 1)T) = (p(t)

1-ЮЭ

равномерно на каждом из отрезков [а, 6] С К и

lim <p(t + (Nkl+l-Nkl)T) = <p{t)

l—too

равномерно на всей оси Ж, где ip(t) - некоторое квазипериодическое решение.

Теорема 3. Пусть М - некоторое непустое компактное минимальное множество си-

стемы (1). Тогда каждая траектория, содержащаяся в М, является рекуррентной траекторией, описываемой квазипериодическим решением.

Замечание 2. Как и в условиях леммы в условиях теоремы 2 выбор последовательности (20) не зависит от выбора чиста Т и обратно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехнздат, 1947.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

3. Асранасьев А.П., Дзюба С.М. К вопросам управления в периодических процессах // Изв. РАН. Теория н системы управления. 1998. .№ 4. С. 15-20.

4. Дзюба С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений // Диф-ференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 8. С. 1020-1023.

5. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 35, № 4. С. 527-530.

6. Хейл Дж. Теория функционально-днффе-ренцнальных уравнений. М.: Мир, 1984.

Поступила в редакцию 25 июня 2004 г.