Обобщенная задача Больца Текст научной статьи по специальности «Математика»

17. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.- М.: Наука,1979.-429 с.

18. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функцио- нальными уравнениями. -М. : Наука, 1977.-623 а

19. Садыгов М.А.Необходимые условия минимума в анормальных задачах с

ограничениями. // Eurasian scince journal.- 2019.-5(62).- C.46-51.

20. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.-443 с.

21. Бурбаки Н. Иитегрирование.- М.:Наука, 1970.-320 с.

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦА

Садыгов Мисраддин Аллахверди оглы

доктор физико-математических наук, профессор Бакинский Государственный Университет

АННОТАЦИЯ

В работе получены необходимые и достаточные условия экстремума для обобщенной задачи Больца в пространстве банаховозначных абсолютно непрерывных функций. Изучаются субдифференциал интегрального и терминального функционала в пространстве банаховозначных абсолютно непрерывных функций. Отметим, что минимизирующая функция в общем случае не является внутренней точкой области определения функционала. ABSTRACT

In this paper, we obtain necessary and sufficient conditions for an extremum for the generalized Boltz problem in the space of Banach-valued absolutely continuous functions. We study the subdifferential of the integral and terminal functional in the space of Banach-valued absolute continuous functions. Note that the minimizing function in the general case is not an internal point of the domain of definition of a functional. Ключевые слова: необходимое условие, липшицевая функция, субдифференциал. Key words: necessary condition, Lipschitz function, subdifferential.

1. Введение является внутренней точкой области определения В работе исследуется выпуклая вариационная функционала.

задача, заданная в пространстве абсолютно Работа является обобщением некоторых

непрерывных функций. Изучаются субдиффе- результатов работ aвтора в ([1], [2, с.82-106], [3, ренциал интегрального и терминального c.263-344]), где получены необходимые и функционала в пространстве абсолютно достаточные условия минимума для обобщенной непрерывных функций. Хотя выпуклые задачи Больца в пространстве n — мерных вариационные задачи изучены разными авторами, абсолютно непрерывных функций. B данной работе но такие задачи не применимы к выпуклым получено необходимое и достаточное условие экстремальным задачам для включений. Отметим, экстремума для обобщенной задачи Больца в что минимизирующая функция в общем случае не пространстве банаховозначных абсолютно

непрерывных функций.

2. О непрерывности интегрального функционала

Пусть X сеперабельное банахово пространство, 1 < p . Через C([t°,t:i],X), как обычно, будем

л ж - x:[t0,t,] ^ X „ ||x(-)||C = max{||x(t)||: t e[tn,tj}.

обозначать пространство непрерывных функций L 1J с нормой " "C 11 11

Обозначим через p([0' 1]' ) множество (эквивалентных классов) таких измеримых функций

Ч up Ц |x(t)||pdt <+да

x:[tn,t,] ^ X tn 1 < p esssup{|x(t)||: t e[tn,t1]} p = +го , r.

1J , что 0 при ^ и v 711 L n 1JJ при ^ (см. [4, c. 96]).

Символом p[ n' 1]' ) обозначается банахово пространство абсолютно непрерыв-ных функций из

[tn,t1] X Lp([tn,t1],X)

l n' ^ в X первая производная по Фреше, которых принадлежит p , т.е. положим

Wp1([tn,t1],X) = {x(-) е C([tn,t1],X) : x(•) е Lp ([WJ^)}. Обозначим X* = L(X,R), где L(X,R) -банахово пространство линейных непрерывных функционалов заданных на X . Отметим, что при каждом

. X* xQ е Wp[tn,t1],X^ (x* ,x(t))

x е X и из p следует абсолютная непрерывность числовой функции х ' на

[tn,t1^ Wp([tn,t1],X)

L n' 1J. Норма в p может быть задана разными эквивалентными способами. Например

1/

(ч Vp (t Y/p

М = ||x(t0)| + J||x(t)|pdt ||x(0||2 = max||x(t)|| + J||x(t)|pdt

ll2 m„x|rw|| + -......

или 2 ^ U ,

t

x(t) = xo + tíz(s)ds x(.)e W11(r^,tl,X) xn eX z(-)eL1([t0,t1],X)

Так как to при w 1U 0' 1J' 1, где 0 и w ^^ w > интегрируемая по

Бохнеру функция, то функцию x() e Wl ([t0'tl]'X) называют также абсолютно непрерывной. Поэтому

W11([t0,t1],X) Л AC([tn,t,],X)

пространство 1VL 0' 1J' ' иногда обозначается через VL 0' 1J' Л

Символом Wco[t0'tl]'X) обозначается банахово пространство абсолютно непрерыв-ных функций из [t°'tl] в X, у который первая производная по Фреше принадлежит L<M([t0'tl]'X), т.е. рассмотрим пространство ^f^L X) = {x(0 eC([t0,ti],X): x0 eL« ([t0,ti],X)> с нормой

M = NMI + esssup{||x(t)||: t e

Функция z[t0'tl] ^ X называется ^ -простой (см.[4, c.90]), если существуют такие k e N, x e X и

k k

A, i = 1,..,k, [t0'ti] = U1Ai f(t) =2X a¡ (t)xi t e [tg,^] XA(t) различные множества ^ что i 1 и i1 при 1 0' 1J, где i -

характеристическая функция множества 1. Множество ^ -простых функций из [t°,tl] в X обозначим

через S . Символом SF обозначим множество абсолютно непрерывных функций из [t°,tl] в X у который

^ S SF = {x(-) e C([t0,t,],X):x (•) eS}

первая производная по Фреше принадлежит S , т.е. положим 1 w VL 0' 1J' ' w .

Из теоремы 1.4.30[4, c.96] имеем,что множество SF плотно в пространстве p([ 0' 1]'X при

1 <p х SFс WÍ,[t0,t,],X) WÍ[t0,t1],X) Wp([t0,ti],X)

v . Так как 0' 1J' то имеем, что 0' 1J' ' плотно в p .

Обозначим Wp[t0'ti] = Wp([t0,ti],R) и C[t0,ti] = ^U*) где R = (^ + »). Если x* e ^ x(.) e Wp([t0,ti],X) и z(0 e C([t0,ti],X), то (x*,x(0> e Wp[t0,ti] и <x*^ e C[t0,ti]. Обратно, если x e X, Ф(0 e Wi1[t0,ti] и Y(0 e C[t0,ti], то tfOx e Wp([t0,ti],X) и V(.)x e C([t0,tJ,X). Тогда если

x* e X* x* ^ 0

, , то легко проверяется, что

{(x*,x(0) : x(.) e C([t0,ti],X)} = C[t0,ti] {(x*, x(o): x(.) e Wp1([t0,t1],X)} = Wp1[t0, ti]

при 1 < p . Поэтому из леммы Мазура [5, c.16] и отсюда следует, что множество Wp([t°,ti],X) плотно в C([t0,ti],X) при p *1.

Пусть g:[t°,t1] х X ^Rвыпуклый нормальный интегрант, т.е. x ^ x) выпуклы и

полунепрерывны снизу на X при t e[t°,t1] и многозачное отображение t ^epgt изме-римо (см. [6, c.338], [7, c.67]).

В дальнейшем равенства и включения, связанные с измеримыми функциями или отображениями понимаются как почти всюду.

Ба = {x e X:||x|| <а} а> 0 Положим а 11 11 , где а >0.

Условие r). Если x°() e ([t0,t1],X), T с[t0,t1] компактное множество и функция

(t,x) ^ g(t,x°(t) + x) непрерывна на множестве T х Ба, то существуют независящее от T числа L > 0, 6 ,

0 <й<а л, d(.) e L,[t0,t,] g(t,x0(t) + x) <d(t) + L||x|| x e Б6 t e T

где 0 <6<а, и функция v/ n^u такие, что 0 1111 при 6, L e 1 .

„ |g(t,x0(t) + x)-g(t,x0(t))<L||x|| xeБ6 teT L>0, 0<6< 1

Отметим, что если |0 0 ° 0 1 11 11 при 6, L e 1 , где ' , то

|g(t,x0(t) + x)-g(t,x0(t)) < 1 при X e ^, t e T .

vt0

Лемма 2.1. Пусть ё нормальный выпуклый интегрант на хХ' выпуклый функционал

1(х(0) = 1

х0() е Ь.(Г10,11],Х) г) ~

конечен в точке 0Ч/ ю ' и выполняется условие . Тогда следующие

условия эквивалентны:

a) функционал )) непрерывен в точке х°() относительно нормированной топологии пространства 0' и' ,

b) существует 8 > 0 такое, что функция хо (г) + х) суммируема при х е Х, ИхИ < 8;

d) существуют число 8 >0 и суммируемая функция >0 такие, что

зир^хо© + х) : х еX, ||х|| <8} <гф г ert0.l1]

Доказательство. Очевидно, что из a) следует Ь).

Пусть выполнено Ь), т.е. ё: [1°' ] х Х ^ ^+ю нормальный выпуклый интегрант и существует 8 > 0

, г^+х) „<=4 ||х||<8 х0()еЬ.([г0,г1],Х) ^

такое, что функция ьъ ^ у суммируема при х е Х 11 где 0' . Так как

ё:Х ^ , 1 т ггп х ^ + х)

ы +ю полунепрерывная снизу функция, то из следствия 1.2.5[5] следует, что ^ '

непрерывная функция в В {геХ:И_8}, где 0<8<8- По теореме Скорца-Драгони[8, c. 14] для

любого у> 0 существует компактное множество Т с [1°'11] такое, что ^([10'11]\Ту) <у и функция

(г,х) ^ еа,х0а)+х) т„х в8 ~ г) я

V> / ^ ' непрерывна на множестве у 8. Тогда по условию ' существуют число 8

которое не зависит от у, где 0<8<8, Ь >0 и функция ) е ^1[10'11] такие, что

ё(г,х0(1) + х) < а(г) + Ь||х|| х е В8 г е Т, ~ ё&х^г) + х) < ад + Ь8 _ х е в8

° 0 ^ 11 11 при 8, у. Отсюда следует, что ' 0 у' ' к' при 8,

г е т „ зир{ё(г,х0(1)+х): х е X, ||х|| <8} < а(г)+Ь8 г е Т, ~ о

у . Тогда 0 11 11 при у . Отсюда при у ^0 имеем, что

зир{ё(г,х0 (г)+х): х е Х, ||х|| <8} < ад+Ь8 г е [^

с ,4ч ё(г,х0(г) + х(г))<г(г) х(-)еЬ.([г^ЛХ) 11х(1)11г <8

Если выполняется d), т.е. &у' ' у" у> при 4' 0' ', ю , то

/ов<t■г(t,)dt < Г* . *) е Ь. Ш0,ЩХ) Ко - х^«

при 4"Ь» . Тогда по теореме 3.2.1[6, с.181]

ж Ях(•)) х0() е Ь.([10,11],Х)

функционал у непрерывен в точке 0Ч/ ю ' относительно нормированной топологии ([10'11]'Х) . Лемма ,

пространства ю 4 ^ . Лемма доказана.

1(х(0) =| ё^х©^

Отметим, что если функционал конечен в точке 0( ) ю ([°'1]' ),

выполняется d), Ь х в -измеримая функция и х ^ё(г,х) выпуклая функция, то функционал J

х0 ( •) е Ь. ([10,11],Х)

непрерывен в точке 0Ч/ 0' ' относительно нормированной топологии пространства

Ь.([t0't1]'X) т хв а_ , хХ

юм. 0 >, где Ь хв ° алгебра, состоящая из подмножеств 1 0' ^ , порождается множествами

вида А х О, где А -измеримое по Лебегу подмножество [tо'tl], О _ борелевское множество в Х . Из леммы 2.1 следует следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть ё нормальный выпуклый интегрант на [tо'tl]хX' выпуклый функционал 1(х(0) = Jg(t'X(t))dt

^ х0() е C([t0't1]'X) г) ^

0 конечен в точке 0Ч/ м ^ ^ / и выполняется условие '. Тогда следующие

условия эквивалентны:

функционал )) непрер^1вен в точке х0 ( ) относительно нормированной топологии пространства

са^^Х);

Ь) существует 8 > 0 такое, что функция ^^ х0 (г) + х) суммируема при х е Х, ^^ < 8; d) существуют число 8 >0 и суммируемая функция г(1) >0 такие, что эир^, х0(г) + х) : х е X, ^Ц <8} < г(г) при г е [tо'tl]

г

0

г

Если Хо() е с([1о,11],х) и (г,х) ^ £(г,хо(г) + х) равномерно непрерывная функция на множестве х ва, то выполняется условие г).

Лемма 2.2. Если £ нормальный выпуклый интегрант на [1°,11]хх выпуклый функционал

1(х(.» =/ х0(.) е Ш^о.их) г)

'о конечен в точке р и выполняется условие г), то следующие условия

эквивалентны:

a) функционал J непрерывен в точке х°( ^ относительно нормированной топологии пространства ^рФоД^Х)

b) существует 8 > 0 такое, что функция Хо (г) + х) суммируема при х е х, - 8;

d) существуют число 8 >0 и суммируемая функция г(г) >0 такие, что зир^Хо© + х) :хеX, ||х|| <8}-г(г) г е^,^]

Доказательство. Очевидно, что из а) следует Ь).

Пусть выполнено Ь), т.е. £:[г°'г1] х Х ^ я+ю нормальный выпуклый интегрант и существует 8> 0

, г ^£а,х0(г) + х) х е х ||х|| <8 хо()е Wp([tо,t1],X)

такое, что функция ' 0ЧУ ' суммируема при х е х ,11 11 , где р . Так как

£ : X ^ К

£г : +ю полунепрерывная снизу функция, то из следствия 1.2.5[5,с.23] следует, что

х ^ £(г,хо (г) + х) непрерывная функция в В® {г е Х ^N1 - 8}, где 0 < 8 < 8- По теореме Скорца-Драгони

[8, с.14] для любого у> 0 существует компактное множество с [го,г1] такое, что ) <у и

, (г,х) ^ £(г,хп(г)+х) т, х В ^ г)

функция 4' ' ^ ' непрерывна на множестве у 8. Тогда по условию ' существуют число

8 V 0 <8<вт > 0 л, ¿(-) е ь,[гп,г,]

° которое не зависит от V , где 0 <8-8 ь >0 и функция 4 у и и> и такие, что

£(г,х0(г) + х) - ад + ь||х|| х е В8 г е т., ~ й(г,х0(г) + х) - ад + Ь8 _ х е В8

° 0 ^ 11 11 при 8, . Отсюда следует, что ' 0 у' ' к' при 8,

ге т ~ 8ир{е(г,хп(г) + х):хех, ||х||-8}-ад + Ь8 гет ~ 0

г е т. Тогда ^0У' ' 'II 11 1 при 1 е т. Отсюда при 0 имеем, что

зир{£(г,х0(г) + х) : х е х, ||х|| -8} - ад + ь^ г е [г„,

г1 г!

^ ,, £(г,^(г) + х(г))-г(г) х(.)еwp([t0,t1],х) /£(г,2(г))Л-/г(г)Л

Если выполняется d), т.е. ' ' у> при ^ ри0 " Wp , то при

/(•)еWp([tо,t1],X) 1Иг)-хо№|Ь-8 ^ 1в11. 1(х(-))

р 0 1 , р . Тогда по теореме 3.2.1[6, с.181] функционал у непрерывен в точке

х0( ) е WJl([tо,tl],X) относительно нормированной топологии пространства ^([г°Д1],х). Лемма доказана. Отметим, что справедливость леммы 2.2 также следует из леммы 2.1.

Замечание 2.1. Если £(г,х) Ьх в -измерима на [г°,г1] хX, х ^£(г,х) выпуклая функция,

Т(х0) = /£(1-х®)Л х0(.)е W]1([tо,tl],X) 8> 0 ,

конечен в точке р и существуют число 8> о и суммируемая функция

г(г) > о эир{£(г,х0(г)+х):х е х,||х|| -8} - г(г) г е[г0,г1] . т

такие, что 0 11 11 при ^, то функционал т также непрерывен

х0(. )е WI1([t0,t1],X) „ WI1([t0,t1],X) „

в точке 0 р 0 1 относительно нормированной топологии пространства р 0 1 . Отметим,

что если х=я" и £(г,х) ь хв -измеримая функция на [г°,г1]хх, х^£(г,х) выпуклая функция, то используя следствие 1.2.3[5, с.22] аналогично получим, что леммы 2.1 и 2.2 также верны.

Лемма 2.3. Пусть £ нормальный выпуклый интегрант на [г°,г1] хх, выпуклый функционал

т(х(. )) = /в(г,х(г))аг

конечен в точке х°( ) е ([г°,г1],х) и для некоторого а> 0 выполняется неравенство при г е[г°,г1]. Тогда следующие условия эквивалентны:

зир{£(г,х0(г) + х): х е х, ||х|| -а} <+» г е[г0,г!]

a) функционал т непрер^1вен в точке х°( ) относительно нормированной топологии пространства ([го,г1],х);

b) существуют число 8 >0 и суммируемая функция г(г) >0 такие, что Бир{£(г,хо(г)+х):хех, ||х||-8}-г(г^и ге[го,г1]

Доказательство. Если выполнено а), то существует 8 > 0 такое, что £(г,х°(г) + х(г)) интегрируемо при

х( •)еЬш([г0,г1],х) £:[гпд,]хX^„ „ ,

V/ юм. ° » . Так как & 1 о ^ +ш нормальный выпукл^1й интегрант, функция

х ^ ёО,хпО) + х) лгс^ х <8 ё:Х ^ Я,„ ,

' ' суммируема при х е Х ,11 11 и +ю полунепрерывная снизу функция, то из

1 -) «Г« х ^ё(г,^(г) + х) , в8 = ^еХ:Ы<8}

следствия 1.2.5[5,с.23] следует, что 0 w ' непрерывная функция в 8 11 11 , где

0<8 <шт{8,а}. ^ sup{g(t,x0(t) + х):хеX, ||х||<8} = ф(г) „ тлпгл от

1 ' ' Обозначим г ° Ти. Из теоремы 1.4.21[4,с.89] следует,

ф(г) , с г> 0 " (г) = {х е X: ё(г, х0 (г) + х) >ф(г)-V, ||х|| <8}

что у измеримая функция. Если >0 , то положим ^ ^ ^ 1 0 у у у и и . Из

следствия 2 [7,с.67] следует, что "(г) измеримое многозначное отображение. Пусть ^(г) е " (г) при гe[tо'tl] и измеримая функция (см. следствие теоремы 1 [7,с.67]). Так как ^<8, то имеем, что ^(0 е ь.«^ВД . Поэтому ^о© + xv(г)) суммируема и

™р{ё(г,хо(г)+х): х е X, Н < 8} < ё(г,хо(г)+xv(г))+v. Если положить г(г) = хо (г) + х V (г))+v, то из а)

Ь)

следует .

Если выполняется Ь), т.е. g(t,Xо(t) + х(,))<г(,) при х() е Ь.([1о,11],Х) , И^ь» <8 , то

tl°g<,'z<,),dt<Г* . *)еЬ.([t°'tl]'X) И_МОЦ, <8

при V> У, l„ . Тогда по теореме 3.2.1 [6, с.181]

функционал v v// непрерывен в точке °w œVL ° 1J ' относительно нормированной топологии пространства L<XI ( [t° 'tl ]'X). Лемма доказана.

Замечание 2.2. Пусть g нормальный выпуклый интегрант на [t°'tl] хX' существуют число s> ° и

, r(t) > ° sup{g(t,x°(t) + х)| : х е X,||x|| <s} < r(t) t e[tn,t,] ^

суммируемая функция w такие, что 4 ° 1 11 11 при L 1J. Отсюда

-r(t)<g(t,xn(t) + x) < r(t) xcX INI <s c ° <a<s следует, что vy &v ? ° v y y w при x е X, 11 11 . Если ° ^ a ^ s , то из доказательства следствия

1.2.4[5] следует, что

|g(t,x°(t) + x2)-g(t,x°(t) + xl <

2r(t)

X <- x9 - x

s-a

2 -x1

11

х е в ^^^ П ;(х°) =1 ё(1,х(1))*1

при "1,х2 а и [ 0' 1]. Обратно, если функционал конечен в точке

х0( •) е Ь.([^МД) , хоО) е Шр([,о,,1],Х) *,(•) е L1[t0't1]

оч/ .м ^ ^ / (или 0 р о 1 ) и существует функция 4' 11 0' и такая, что

|ё(!, хо (г) + х^^хо©) <^(,)||х|| пщ х е Х^хЦ <8^ ^хо© + х)| < ^хо©) + ^)8 ^ х е X, IIх — 8 . Поэтому

sup{g(t,Xо(t) + х) : хе X, ||х|| <8} < зир^хоС;) + х)|: х е X, ||х|| <8} <^хоЮ) + при г е [t0'tl].

X = К"

Отметим, что используя следствие 1.2.3[5, с.22] аналогично лемме 2.3 проверяются, что если Х К , g(t,x) Ь х в -измеримая функция на [tо'tl] хХ и х ^ g(t,x) выпуклая функция, то лемма 2.3 также верна.

x, x

t,

!(х(0) = 1 ^»А х() е ^5([,о,,1],Х)

Легко проверяется, что если 0 конечен в точке р и существует

, Х(0 еЬЛг^Ь] |g(t,x2)-g(t,x1|<А,(,)||х2 _хЦ х^х, еdomgf ,

функция 4 у 11 0' и такая, что 1 ^ 1 11 2 ^ при 1 2 ь; , то функционал

!(х(0) = 1g(t'x(t))dt . С([,0,11],Х) ( WI1([t°,tl],X)) где ^р-1 = {х() е ^11([,:О,,:1],Х) :Ях) <+.}

t° непрер^1вен в Wp относительно нормированной топологии пространства

t,

J(x(0) =J g(t,x(t))dt

Если g нормальный выпуклый интегрант на [ l] х ' функционал t°

x°(-) е WP([t°,ti],X)

непрерывен в точке ° p ° l относительно нормированной топологии пространства

W1([t°,t1],X) ,, x ^ g(t,x°(t) + x) ,

p ° l , то из доказательства леммы 2.3 следует, что ° непрерывная функция в

В8= {гех:Ы-8} 0 <8<8 „ , Х1(Л, Х2(.) е Ь1[г0,г1]

8 и и ', где о <8<8- Пусть существуют функции 2Ч/ 11 ^ такие, что

х1(г)-£(г,хо(г)+х)-х2(г) при хев5.

Если 0 < а < 8, то из доказательства следствия 1.2.4[5, с.22] следует, что

х0 (г) + х2)-£(г,хо(г) + х1 -

X, (t)-X, (t) II II

xn (t) + x, )- g(t, Xn (t) + x I < 2(g)_a1( ) ||x2 - xj

„ xbx2 e B„ t e [tn,t,] при 1 2 a и L 0' 1J .

Из доказательства предложения 8.3.4[6, с.360] следует, что верна следующая лемма.

Лемма 2.4. Если g(t'x) L x B -измеримая функция на [t°'tl] х R и x ^ g(t,x) выпуклая функция,

-ж J xo(0 e wP,([t0,ti],Rn^ j x0(-)

выпклыи функционал J конечен в точке 0 p 0 1 , то функционал J непрерывен в точке 0 w

W1([t t ] Rn)

относительно нормированной топологии пространства p 0'1 ) в том и только в том случае, когда

F> 0 л, g(t,xn(t) + x) YCRn lixi

существует & ^ 0 такое, что функция ÖV ' 0 w ' суммируема при x e R , 11 11 .

Лемма 2.4 доказана в [1], когда g(t'x) нормальный выпуклый интегрант на [t°'tl] х R .

h'(x;z) = limh(x + Xz) - h(x)

Пусть h : X ^ R . Положим X при z 6 X (см. [5, с.33]).

Лемма 2.5. Если g нормальный интегрант на [t°'tl] х X', существуют a( ^6 и число c , что

»1

m II IIP ^ л j(x) = Jg(t,x(t))dt

a(t) + czp < g(t,z), , »„ / ч

11 11 то функционал ° полунепрерывен снизу (пн. сн.) на

Lp([t°,ti],X) (C([t°,ti],x),Wp([t°,ti],X)) , где 1 <p.

с x ^ g(t,x) , a,(-) 6 L,([t°,t,],X) c, > 0

Если &v ' ' выпуклая функция и существуют 1W ^^^ ' и число 1 , что

|g(t,z)| < a,(t) + cJIZr, g'(t,x(t);x) „ „ [t°,t,] х X

1 1 1 111 11 то b v v ' ' также нормальный выпуклый интегрант на L ° 1J и

t,

J'(x(-);x(0) = Jg'(t,x(t);x(t))dt

t0 где x(')'x(')6LP([t°'t1]'X)' 1 <P<+*>

Доказательство. Пусть ^6Lp([t°'t1]'X) и последовательность (xn( ))n6N сходится к x( ^ в LP([t°,t1],X).

p Тогда из теоремы 1.4.18 и 1.4.31[4, с.85, с.98] следует, что существует такая

{xm(-)} С {x„(•)} (xm(0)mcN х(' ) тт

последовательность ^^^ i n v / j и vmv //m6N почти всюду сходится к . Положив

t1 »!

f(t z) = g(t z) a(t) JUMP J lim f(t,xm(t))dt< lim Jf(t,xm(t))dt

!(i,z) g(i,z) a(t) c||z|| из леммы Фату [9, c.97] получим, что t°m^" . По условию

t1

lim f(t,xm(t)) > f(t,x(t)) J(x) =J f(t,x(t))dt

x ^ ( 'x) пн. сн. функция. Поэтому . Тогда получим, что to пн.

сн. функционал из p([ 1]' ) в R+œ. Так как

t1 t1 t1 t1 J g(t,x(t))dt = J f(t, x(t))dt + J a(t)dt + c J ||x(t)||pdt,

»o »o »o

t1 »1

Ja(»)dt + cJ||x(t)|Pdt L ([» ,t],X)

а функционал непрерывен на p 1 ' то имеем, что ( ) пн.сн. на

Lp([t°,t1],X^ J(x) C([t°,t1],X) WP([t°,t1],X)

p . Следовательно, функционал v ' пн. сн. также в u ^ ^ ' и p 01 .

Если выполняется условие второй части леммы 2.5, то из предложения 4.1.3[6, с.205] имеем

g'(t,x(t);z) = lirngtimiM^I^

В частности, положив n по теореме 544 [10, с.329], отсюда получим, что функция

t ^ gx(t),z) измерима. Тогда из предложения 4.1.4[6, с.206] следует, что функция (t'z) ^g (t,x(t)'z)

удовлетворяет условию Каратеодори. Поэтому функция g(t,x(t);Z) также является нормальным выпуклым интегрантом. Так как (см. [11, с.63])

g(t,x(t))-g(t,x(t)-x(t))< g(t'X(t)^f»-g(t'X(t)) <g(t,x(t) + x(t))-g(t,x(t))

Л

при 0<Л< 1. так как (a + Ь)П <2П(аП + ЬП) при a>0 и b>0, то имеем

g(t, x(t) + x(t)) - g(t, x(t)) < a(t) + c|x(t) + x(t)|p - g(t, x(t)) < a(t) + c2p(x(t)p + |x(t)|p) - g(t, x(t)),

g(t,x(t))- g(t,x(t) - x(t)) > -a(t) -c|x(t) - x(t)|p + g(t, x(t)) > -a(t) -c2p(|x(t)|p -1x(t)|p) + g(t, x(t)) x e Lp([t0,t1],X).

при p Поэтому применяя теорему 5.5.6 [10, c.346] Лебега о предельном переходе под

J'(x;x) = lim J(x + *f - J(x) = Jg ' (t,x(t);x(t))dt

Л — x e Lp([t0'ti]'X). Лемма д

знаком интеграла имеем t ° при p ° l . Лемма доказана.

Отметим, что аналог леммы 2.5 верна также и при p = œ . Если g нормальный интегрант, существуют

а(.), В(Л е Ь1[t0't1] а(г) + Р(,)|Ы| <g(t,z) г е^М z е Х ,,

и 0' и такие, что 11 11 при 1 0' и , z еХ, то аналогично лемме 2.5 имеем

-(х) = Лв(1,х(1))*1

1о полунепрерывен снизу в ([,0,,1],Х) (С([,о,,1],Х) и WP([t°,tl],X)). Кроме того, если

и

(C([t°,ti],X) и W^([t°,til,X) ).

Cледствие 2.1. Если g нормальный выпуклый интегрант, существуют a( )' е Ll[t°'tl] такие, что

ti

J(x) =f g(t, x(t))dt . ,

a(t) + B(t)z < g(t z) ^ , mtdomT J mt domrirf f n YJ

a(t) + P(t)||z|| <g(t,z) при zеX, то t° непрерывен в L» ( C([t°.UX) ,

int: d°mwlJ L ([t t ] X) mt 11 xï

p ) относительно нормированной топологии простран-ства œVL lJ' ' (C([t°,tl],X) и

WIl([t°,tl],XK „ dom^J = (x(-) е Lœ([t°,tJ,X) :J(x) <+œ} Л где

Справедливость следствие следует из следствия 1.2.5[5, с.23] . 3. Субдифференциал интегрального функционала

Пусть X сеперабельное банахово пространство, l < p < œ.

t

x(t) = x° + J z(s)ds

~ x(-) е Wp([t°,tJ,X) u xn е X z(-) е Lp([tü,tl],X) „

Отметим, что если w pVL ° u , то ° , где ° и p ° lJ . Поэтому

* * 1 * wl rrt t 1 ^о

всякий линейный непрерывный функционал z (т.е. ^ Wp([t°,tl],X) ) на пространстве p ° l ,

tl

z*(x) = ( a,x(t°)) +K u(t),x (t))dt

l < p < œ t„

, можно единственным образом представить в виде t° , где

aеX*, u(-)еLp([t°,tl],X*), pp'= p + p' * „ (a,u)

p ° l ^ v * . Функционал z в дальнейшем обозначается символом v ' '.

Линейный непрерывный функционал z е Lœ([t°,tl],X) называется «абсолютно непрерывным», t

(z* ,y(-)) =i(z* (t),y(t))dt

y(-) е Lœ ([t°,t,],X) z* (•) е L,([t°,t,],X* ) если ° для всяких œVL lJ' , где v J

Отметим, что каждый функционал 2 е Ь.[,0,,1],Х) единственным образом разлагается в сумму 2 2:2, где функционалы 21, Z2 - абсолютно непрерывны и сингулярны относительно меры ^ в

[t°'tl] соответственно (см.[7, c.59]). Пусть

С^оД^х)1 = {7*е Ьш (РоД^х)* : (7*, х(. )) = 0 при х( •) е С Л], X)}.

Обозначим через р факторпространство ([го,г1],х) /С([г°,г1],х) , а через ^ -каноническое отображение из ([г°,г1],х) на р . Известно, что (см.[12, с.224]) С([г°,г1],х) = р.

Если ^: х ^ К+ю , х е {х е х: ^(х) < +ю}, то через ^(х) обозначим субдифференциал функции

ш(х) х V* (р) = зир{р, х) — у(х):х е X}

тч ' в точке х в смысле выпуклого анализа, а также положим х ' при

р е х* (см.[5, с.26]), где К+» = (—ю'+ю].

Замечание 3.1. Для сохранения аналогий между минимизацией в пространствах "— мерных абсолютно непрерывных и банаховозначных абсолютно непрерывных функций правильные меры будем

обозначать также через 4()' ф() (см. [7, с. 61]).

п - - у4 е С([го,г1],х)*

Отметим, что всякий линейный непрерывный функционал 4 о 1 порождается некоторой правильной мерой 4( ), где 4( ^ = ^( ^ + ф( ) абсолютно непрерывная, а ф( ) -сингулярная

относительно правильные меры (см. [7, с. 62]). Из [7, с. 62] следует, что

г1 г1 г1

у4(у( •)) = КуСШЛ)) = /<у(г), + /(у(г), ф(Л))

го го го

при у( )е С([го,г1],х). Так как абсолютно непрерывная мера, то существует такая функция

Ь(.) е ь1([г0,г1],х*) у(Е) = Е с [г0,г1] я - -

V/ ^ ^ /, что Е , где 1 0' ^ измеримое множество. Для удобства обозначим

через . Поэтому

г, П г,

Ь

/<у(г), = /у(г)^г) =/<у(г), у(г))л

при у(0 е С([го,г1],х). Положим 4(г) = .

Пусть £: [г°'г1] х х ^ я+ю выпуклый нормальный интегрант. Положим

О = ¿сШсТ = {у(.) е С([го,г1],х): Т(у(.)) < +ю}, 01 = асш^Т = {у(.) е ([^^х): Т(у(.)) < +ю}

11

т(х) = 1в(1,х(1))а1

Из теорем 4.2 и 5.2[7, с.24] следует, что если 'о непрерывный функционал в некоторой

х(.) е С([г0,г1 ],х) 5СТ(х0) = у(Б(х0(.)) + К(х0(.),<1ошСТ) точке 41 0 ^ ', то С 4 0У 14 4 ок" С ' для всякого

хо( ) е С([г°Д1],х), где О(хо( )) множество абсолютно непрерывных функционалов из ^([^,^],х)* 5г(г,х0(г)) к(х0(.),аошСт)

<юм ^ / , плотности которых почти всюду принадлежит ьу, V ^^ нормальный

<1ошЛ хп( •).

конус к С в точке 04'

Из леммы 4.2[7, с.23] следует, что уч е5Т(у), где уч = + Уф, 4() = + ф()' ^ абсолютно

Ф( •) Л ущеу(Б(х0( •))

непрерывная, а ' -сингулярная относительно и1 правильные меры, то т и

уф е К(хо(0,аошСТ) = у(К(хо(0,аош^ Т)

Т(х) = /£(г,х(г))А

В п.3 будем считать, что собственный функционал и непрерывен в тг 0 . Если

Т(у(.)) = Л§(г,у(г))аг

конечен в точке

£(г,х) Ь х в -измерима, х ^£(г,х) выпуклая функция, функционал г

у(.) е С([г0,г1],х) 8> 0 , г(г) > о

м. о> ^ / и существуют число 8>о и суммируемая функция 4 у такие, что

Бир{£(г,у(г) + х): х е X, ||х|| -8} - г(г) г е [гпД,] кйО Т^ - -л,

г-юч ./уу м и ^' при 1 0' и, то О , т собственный выпуклый функционал

и непрерывен в int Q относительно нормированной топологии пространства C(tto,ti],X) (см. предложение 1.2.5[5, c.21]).

Лемма 3.1. Если g выпуклый нормальный интегрант на [t°'tl] х X и intQ ^^, то J*(yq) = supj J<y(t),q(dt^ - J(y) 1 = Jg*(t,y(t))dt + 5Q(z;),

yeQ [to J to

где q() правильная мера, q() + ;()' абсолютно непрерывная, а ;() -сингулярная относительно

t1

5 (y) SQ(z;) = suP J(y(t), ;(dt))

dt правильные меры, Q(y) - индикаторная функция множества Q, yeQt° .

Доказательство. Из свойства интеграла Лебега вытекает, что

|Ч t1 t1

J*(yq) = supl Кy(t),y(t))dt + i(y(t),;(dt)}- Jg(t,y(t))dt

yeQ I to to to

< sup j J(vj/(t)),z(t))dt - Jg(t,z(t))dt - ôc([to,ti ],X)(z)f+ 8q(z;) < zеL„ ([t„,tl],X)lt0 t0

< sup j J(y(t),z(t))dt - Jg(t,z(t))dt | + 6Q(z;) = Jg*(t,V^(t))dt +8*q(z;). zеL„([t°,tl],X) I t° t°

(3.1)

* * * * US е Lœ([t°,tl],X)_ us = z;

такой, что

По теореме 1.3.8 [4, c.51] существует такой функционал S ж([ n' 1]' ) 'что S ф на

^ * J* ( * ^ j

C([tn,t1],X). Легко проверяется, что Us сингулярный функционал. Поэтому если yq , то по

* >!<

теореме 3.4.1 [6, c.188] существует функционал x е L<M([tn't1]'X)

J*(y*q) = sup i j(xj/(t),z(t))dt + uS(z) - Jg(t,z(t))dt - 5c([^ X)(z) I =

zeL„ ([tn,t1],X)[tn tn J

sup ij(vj/(t),z(t))dt + (u*,z) -(x*,z) - Jg(t,z(t))dtl+ sup (x*,y).

(Tt I 1V\L \ ' * ' t „г-ni Г+ f 1Y11 '

2еЬ. ([^УД)^ ,о ] yeC([t°,tl],X)

^ 1*(у!)<+. sup{(x*,у):у е С^оЛ^Х)} = 0 (х\у) = 0 уеСШп М X)

Так как , то \ ' , т.е. * ' при у е C<Lt°'tlJ'x). Отсюда вытекает,

*

что х сингулярный функционал. Аналогично теореме 1 [13] (см. также доказательство теоремы 8.3.1 [6, с.357] ) имеем

Ау;) = Лg*(t,v^с,))*, + 8^(и; _х*).

Ясно, что

-*(у;) = Л8*(,,уда + 8^1(и*3 _ х*) > Лв*(,,(,))*, + 8^).

(3.2)

S+S S+S i S+S _ S+S S+S

J (yq) = J g (t, V(t))dt + 8q(z; ).

Из соотношений (3.1) и (3.2) вытекает, что t°

J (yq) < J g a V (t))dt + 8q(z; ) j*(y*) = +œ

Так как t° , то случай q очевиден. Лемма доказана.

Отметим, что если g(t,x) измеримый интегрант, g(t,x) L х В -измерима на [t°,tl]xX и Ql ^^, то аналогично теореме 8.3.1 [6, c.357] проверяется, что

sup j J(vj/(t),z(t))dt- Jg(t,z(t))dt ¡> = Jg*(t,vj/(t))dt

Следствие 3.1. Пусть £ выпуклый нормальный интегрант на х х и .

т у4 е С([г0,г1],х)* Ш(у)

Тогда 4 0 принадлежит множеству ч-'/ в том и только в том случае, когда

V(t) е cg(t,y(t)) 5Q(z;) = 9(dt^ q(-) q(.) = V(0 + Ф(0, v(0 «

TW bv';v" и to , где правильная мера, Tvy Tvy' Tvy абсолютно

Ф(-) dt S0(y)

непрерывная, а ^v' -сингулярная относительно dt правильные меры, 0 - индикаторная функция

t1

8*о (zф) = sup J(y(t), tfdt)) множества 0, yeQto .

y е Ш(У)

Доказательство. Известно, что q в том и только в том случае, когда

t1 t1 t1 t1

Jg*(t, чч (t))dt + 50(zф) + Jg(t,y(t))dt = J(y(t)^(dt)) + J(y(t),y(t))dt

t0 t0 t0 t0

Используя неравенства Фенхеля (см. [6, с.183]) имеем

t1 t1 t1 t1

Jg*(t,v(t))dt + Jg(t,y(t))dt = J(y(t)|vj/(t))dt, 50(zф) = J(y(t)^(dt))

t0 t0 t0 t0

„ g*(t, vv(t)) + g(t,y(t)) = (y(t)lvv(t))dt. „ . ,

Поэтому UW|TW; Отсюда следует справедливость следствия 3.1.

Отметим, что справедливость следствия 3.1 также следует из теоремы 4.2[7, с.24]. Замечание 3.2. Отметим, что q(t) (t) и если y( ) eintQ, то ф(t)"0. Если Z плотное подпространство в C([t°'t1]'X), то заменяя C([t°'t1],X) на Z повсюду, легко проверить, что утверждения аналогичные лемме 3.1 и следствию 3.1 верны также ив Z, где надо поло-жить 0 = (y(0 е Z: J(y(-)) <+■»}. т,- о, ,,

-< > Кроме того в лемме 3.1 и следствии 3.1 условие нормальности интегранта

g(t,x) g(t,x) т yR [t0,t,]хX

&v' ' можно заменить условием- &v' ' L х В -измерима на L 0' 1J .

Отметим, что если g:[t°'t1] х X ^R+» L х В -измерима , то g(t'x(t)) измерима для любого

x( •) е Lat^tiLX) ~ g(t, x) , t ^g(t,x)

w 1VL 0' 1J' '. Также отметим, что если &v' у выпуклый интегрант, функция &v' ' измерима

при всяком xеX, существуют функция x0( еL<"([t°'t1],X), число е>0 и суммируемая функция r(t) supg(t,x0(t) + x) < r(t)

такие, что М<s , то аналогично а) предложению 8.1.7[6] проверяется, что g( 'x)

т-г u(.)еL,([t0,t,],X) и* еL„([tn,t,l,X)\ и!

измеримый интегрант. Поэтому если v' ^ 0> w ' и S MVL 0' 1J' где s сингулярный

функционал и g(t'x) L х В -измерима на [t0't1] х X' то аналогично теореме 1[13, с.175] имеем

I t1 tj I tj

sup j J(u(t), z(t))dt + o*s (z) - J g(t, z(t))dt f = J g* (t, u(t))dt + sup oS (z)

zеL„ ([t0,t1],X)[t0 t0 J t0 zе0l

Отметим, что положительно однородная выпуклая функция называется сублинейной.

Следствие 3.2. Пусть x ^g(t,x) сублинейная функция, g(t'x) L х B - измерима и intQ непусто.

^ y! е C([t0,t1],X)* 5J(0) v(t) е 3g(t,0)

Тогда q 0 1 принадлежит множеству в том и только в том случае, когда и

t1

J(y(t)^dt)> < 0

t0 для любого y() е 0 .

Доказательство.Так как x ^g(t,x) сублинейная функция, то J(x) сублинейный функционал.

t1

^0(zФ) = sup J(y(t)^(dt)) < 0

Поэтому 0 конус в C(it0 t1] X). Из ( ) ^ следует, что уе04° . Отсюда имеем, что

__-0

t.

t0 для любого y(. ) е 0. Следствие доказано.

B дальнейшем, будем говорить, что y е C([t°'t1]'X) и p([ n' ) совпадают, если

y*(x) = z*(x) x е Wp([tn,tJ,X) Wp([tn,t1],X) „ llx(0|l = tfmaii,Hx(t)H

J v J v J при p 0 1 . Множество p n 1 с нормой tn btbt1 обозначим

Cp([tn,tJ,X) Cp([tn,t1],X)* с Wp([tn,t1],X)*

p . Ясно, что p p .

Ф :Wp([tn,t1],X) ^ R+M ф x

Пусть p выпуклый функционал. Субдифференциал функционала ^ в точке x

Wp([tn,t1],X^ Cp([tn,t1],X)

относительно пространства p n 1 (относительно p n 1 обозначим через

5№ф(х) (^сф(х)). Из определения субдифференциала следует, что 5c<P(x) с 5wф(x).

Замыкание и внутренность множества M в пространстве Wp([t<),t1],X) (Cp(ttn,t1],X)) обозначим clwM intwM (c^M, intrM)

соответственно W и W C C .

T-, ф: WI1([tn,t1],X) ^ R„

Если ^ pVL 0 1i ' ™, то положим

dom ф = dom 1 ф = dom 1 ф = {xQ е Wp([tn, t1 ],X) : ф^) < +<»)}. Wp Cp

Лемма 3.2. Если ф полунепрерывный снизу (пн. сн.) собственный сублинейный функционал в Cp([tn,t1],X), то 5сФ® = 5wф(x).

Доказательство. По теореме Хермандера (см.[6, c.203])

ф(x) = sup{y*(x): y* е 5сф(0)}, x е Cp([tn,t1],X)

„ Cp([tn,t1],X)* с W.1([tn,t1],X)* „ 5сф(П) с W.1([tn,t1],X)* ст 5гф(0)

Ясно, что p p . Поэтому с p 0 1 . Ясно, что множество CYV '

замкнуто в pu°'1J' > относительно топологии p 0 1 p 0 1 . Отсюда, по определению

субдифференциала получим 5сф(0) = ^ф(0). Лемма доказана.

Следствие 3.3. Если ф собственный сублинейный функционал в Cp([tn,t1],X) и с1сф =clwф, то 5сф(0) = 5 wФ(n).

Следствие 3.4. Если ф собственный сублинейный функционал в Cp([tn,t1],X) и intCdomф = intwdomф*0 tq с1сф = c1Wф.

Доказательство. Из условия следует, что intc epф =int W epф (см. теорему 3.2.1[6], с.181). Кроме того из теоремы 1.6.3 [4, c.163] вытекает, что c1cep ф = c1c intc ep ф. Пусть (zа) е c1cep ф, (z,а) е intc ep ф и 0<_^< 1. Тогда (1 -X)(zа) + X(z,а)еintWep ф . Поэтому (zа)еc1WintWep ф. Отсюда вытекает, что (z,а) е c1wepф, т.е. c1cep ф с c1Wep ф. Аналогично проверяется, что c1Wep ф с c1cep ф. Тогда имеем, что c1c<^ = c1w<P . Следствие доказано.

Следствие 3.5. Если ф собственный выпуклый функционал в p([ ), ф непрерывен в

intсdomp, intсdomФ = intWdomФ*0, ^ф® или 5wф^^) непусто, то c1сФ'(X;•)=cW(x;0.

Доказательство. Так как 5W<P(x) * 0, то ф (x') собственный выпуклый функционал и x е domф. Поэтому ф(x'x) <ф(х +x) ф(x) для всех x. Если x1 е intWdom ф x, то ф ограничена сверху

некоторым числом d в достаточно малой окрестности V точки x + x1. Поэтому для всякого x е V—x

ф'(X;x) <ф^ + x) —ф(X) < d — ф® ф'(X;.) V—x

выполнено неравенство ^ v ' ' ' , т.е. ^ v ' конечна и ограничена на v x и

x

следовательно, по теореме 3.2.1 [6,c.181] непрерывна в точке 1. Тогда из предложения 4.1.4[6, c.206]

Ф'(Х.) Wp([t0,t1],X)

вытекает, что непрерывен относительно нормы в p 0 1 (относительно нормы в

Cp([t0,t1],XK K(intw domф-X) intwdomф — x

p ) во всех точках конуса ( W ф ) порожденного множеством w т за

исключением, возможно, начала координат. Поэтому применяя следствие 3.4 имеем справедливость следствия 3.5. Следствие доказано.

Следствие 3.6. Если x ^g(t,x) сублинейная функция, g(t'x) L х В -измерима , 5cJ(°)

и

t,

> Л С^хО,))*,

т^ domJ = т^ domJ непусты, - непрерывен в -, то с1с-'(0; х) = с^'(0;х) > ;о

х() е Ср([,о,,1],Х)

Доказательство. Так как с w , то существует суммируемая функция ^^ ' такая,

и(Ч) е ^(,,0) g(t,x) >(и(,),х) х е Х „ , ,

что /, т.е. х ' при хеХ. Тогда из леммы Фату следует, что функционал

J(x) =J clg(t,x(t))dt Cl([t

t° полунепрерывен снизу на Cp([t°,tl],X) (анало-гично a) предложению 8.1.7[6,c.344]

имеем, что clg(t,x) выпуклый нормальный интегрант). Из следствия 3.5 следует, что

tl

1 № x) = 1 J'fO- x) clcJ'(°;x) = c1wJ'(°;x) > Jcl g(t,x(t))dt

c ( ' ) W ( ' ). Кроме того из леммы Фату имеем, что t° .

Следствие доказано.

Пусть выполняется условие следствия 3.6 и X = Rn, то из предложения 9.1.2 и 9.2.2[5, с. 267, c.272] tl

clcJ ' (°; x) =Jclg(t,x(t))dt ,

tn с ^ „n g(t,x) t vR |tn,t, IxR mt^domJ

следует, что t° . Если x=Rn, &v > ! l x a -измерима на L lJ и c

j intrdomJ

непусты, то J непрерывен в c .

S rt tlx X J(x) = J s(t,x(t))dt

Если ь нормальный выпуклый интегрант на rt°'Ll1 X, функционал to конечен в точке

х0(.)еLœ(rto,ti1,X), то из теоремы 4.1 [7, с.22] следует, что ^^ = D(x°G + N(xo(')'Qi), где D(x»("))

L ([t 11 X)*

множество абсолютно непрерывных функционалов из ™(r 0' l]' ) , плотности которых почти всюду

Sg(t,X0(t)) n(x0o,q ) „ о х0(-), Qi = domL J

принадлежит 0 , нормальный конус к Qi в точке 0V ^ 1 .

* ^ Т/—\ * * * * *

тт л -in ni Z GdLJ(y) Z = Z, + Z* , Z* , Z*

Из леммы 4.2[7, с.23] следует, что если L" , где 1 2, функционалы ^ 2 -

абсолютно непрерывны и сингулярны относительно меры dt в [t°'tl] соответственно, то Zl е D(x0())

и Z2 6 N(x0(.),Qi). Так как ^ = ^^^ при У« * L»([t0 ti1,X), где z*(0 *М^МХ), то из Z* е D(x0( )) следует, что Z*(t) е 5S(t, x0(t)).

Функционал х = (a'G W ([t0'ti]'X) назовем "абсолютно непрерывным", если Wi([t0'ti]'X ), V(t0) = a и V(ti) = 0 .

Обозначим B {х G X ' M< i}.

Лемма 3.3. Если S(t'') сублинейная функция при t е [t0'ti], t ^g(t,x) измеримая функция при

supg(t,х) < r(t) * = wVrt П ХУ

х е X и существует суммируемая функция r(t) такая, что xeB , то ( ' i([0= i]= )

принадлежит 5 J(0) тогда и только тогда, когда х "абсолютно непрерывен" и - ^(t) е 5S(t'0).

_ ti

L ([t t1X) J(u(•)) = is(t,u(t))dt

Доказательство. Рассмотрим в пространстве œ ([ о> и* ) функционал t0 .

Ясно,что S сублинейный и по лемме 2.3 непрерывный функционал на L" ([to'ti1'X). Поэтому по

5J(0) *

предложению 4.2.3[6, c.210] v ' слабо компактно, а из теоремы 4.1[7, c.22] следует, что

5J(°) сLl^UX*)

. По предложению 4.1.1 [6, с.203] имеем

J(u(•)) = max (u*,u) = max j/u*(t),u(t)) dt.

и*еШ(°) * ' u* еШ(°) to * '

x*= (a, ;) е W^^t^X)*

tl * t V(t) = J u (s)ds - J u (s)ds

Пусть ( ,;) l([ 0, l], ) . Положив t° t° и используя теорему о минимаксе

6.2.7[14, с.311] получим, что

t.

J*(x*) = sup j(a,x(to)) + J (ф(1),х(t))dt- J(x)U xeW,", [ to J

= sup j (a,x(to)) + i1 (ф(t),X(t))dt - max j (u*(t),x(t)\dtl =

xeW£ J to u e9J(0)t^ / J

= min sup j (a -y(to),x(to^ + j1 (ф(0 -y(t),x(t))dt 1 =

-V()edJ(o) xeW,", Г t„ I

0, если ф(г) = ш(г), а = ш(г0), где — у(•) е дТ(0), у (г1) = о, + ю, в других случаях.

Из теоремы 4.1[7, с.22] следует, что Ш() е дТ(0) в том и только в том случае, когда ш(г) е д0). ~ х* = (а, ш) е W11([tn,t1l,X)* д Т(0)

Отсюда получим, что 4 ^ ^ у принадлежит 4 у тогда и только тогда, когда

функционал х "абсолютно непрерывен" и ш(г) е д0). Лемма доказана. Ясно, что леммы 3.3 можно доказать также используя следствие 3.1.

Отметим, что если х) ь х в -измерима на [г°,г1] х х, g(t, ) сублинейная функ-ция при г е[г°,г1]

_ г1

Т(и(•)) =/£(г,и(г))ёг _ _

и функционал непрерывен в точке и() = 0 относительно нормированной топологии

пространства Ь<ю([г°,г1],х), то лемма 3.3 также верна.

Т С £ - - [гп,М х X х(.) е Wl([tn,t,l,X),

Теорема 3.1. Если ь нормальный выпуклый интегрант на 1 0 ^ , 4' 141 0 и '

функционал Т(х()) конечен и существует 8 >0 и суммируемая функция г(г) >0, что Бир£(г,х(г)+г) - г(г) „

И<8 в [г0,г1] то дТ(х) и функционал х = (a,Ш) е Wl1([tо,tl],X)

в L 0' 1J, то J и функционал ( ' 1([ 1J' ) принадлежит

"абсолютно непрерывен" и ^(t) е д g(t' x(t)-J(x) x(-) e W,1([t0,t,l,X)

v ' HPTTnPm.TRPH R TfWlfP w 1 VL o' 1J' '

дт(х) тогда и только тогда, когда функционал х "абсолютно непрерывен" и ш(г) е д g(t, х(г))

Доказательство. По условию функционал ( ) непрерывен в точке () 1([ 11 ). Поэтому д J(x)

непустота v ' вытекает из предложения 4.2.3([6, с.210]. Докажем второе утверждение леммы. Так как

g(t,x(t))-g(t,x(t)-y(t)) < g(t'x(t) + ky(t))-g(t'x(t)) < g(t,x(t) + y(t))-g(t,x(t))

k

при 0 < k < 1 и ly(t)l< s , y( )e W1 ([to't1],X), то используя теорему 5.5.6 Лебега [10, c.346] о предельном переходе под знаком интеграла получим, что

J'(x;y) = lim J(x + kУ) - J(x) = lim ^^ + ky(t))-g(t, x(t)) dt =

klo k klot k

= Jim g(t,x(t) + ky(t))-g(t,x(t)) dt = ] g'(t,x(t);y(t))dt

tok;o k to .

^ g(t,x(t)) - g(t, x(t) - x) < g'(t,x(t);x) < g(t,x(t) + x)) - g(t, x(t)) _ x e X ,, TT

Так как bV ' v " bV ' w y bV' v y bV ' w " bV' v " при xeX, то из d) леммы 2.2

! ^ y ^ J'(x;y) W,1([^,tl,X) c

или замечания 2.1 следует, что функционал J конечен и непрерывен в 1VL o' 1J' '. Если

dJ(x) = dJ'(x, o) dg(t,x(t)) =dg'(t,x(t);o), . , --

учесть, что v ' , то утверждение теоремы 3.1 следует из леммы 3.3.

Теорема доказана.

Отметим, что если g L х B -измеримый выпуклый интегрант на [t°'t1] х X и функ-ционал J конечен

x e w!([to,t,l,X), ,,

и непрерывен в точке 1 o 1 то теорема 2.1 также верна.

Теорема 3.2. Если g нормальный выпуклый интегрант на [t°'tl] х X (или g L х В -измеримый

- [t°,t,]хХч J xеW.l([t°,tl],X)

выпуклый интегрант на ° l ), выпуклый функционал J конечен и непрерывен в точке p ° l

cp([t°,tl],X) öw J(x) , x* = (a,v) е WIl([t°,tl],X)*

относительно топологии в p ° l , то W непусто и функционал p ° l

принадлежит 5wJ(x) тогда и только тогда, когда функционал x "абсолютно непрерывен" и

-Vt) е 5g(t,x(t)).

Доказательство. Непустота 5J(x) вытекает из предложения 4.2.3 [6, с.210]. Из теоремы 4.1.4 [6, с.206] следует, что J(x;x) конечен и непрерывен на cp([t°,tl],X). Поэтому по лемме 3.2 имеем, что

ЯТ,_Л_ЯТ,_Л • * т^ (y»=tJx(t)dq(t) .

5cJ(x) 5wJ(x). Из замечания 3.1 имеем, что если yq ^^, то t° , где q:[t°,tl]^X

абсолютно непрерывная функция и ;(,) е |^(,,х(,)). Тогда существует функционал х ^(х), где

х= (а^)е WP([t°'tl]'X) , а е X*, Ш(0 е Ьр'([,о,,1],Х ), такой, что ^ О при

х е WP([tо,tl],X)

Положив и(,) = ;(,1) ;(,) имеем

,1 ,1 ,1 Л (;(,), х(,)Ц = _Лх(,Ж,) = (и(,о),х(,о^ + Л(и(,),х

t,

Тогда ясно, что ш(,) = и(,), а = и(,о) и ш(,) = и(,) = _;(,). Теорема доказана. Отметим, что справедливость теоремы 3.1 следует также из теоремы 3.2.

Лемма 3.4. Если g нормальный выпуклый интегрант на Р0,1!]*Х, то функцио-нал

,1

-(х( •)) ^ахош,

и х<) е Wp([t0,t1],X) „

0 непрерывен в точке р относительно нормированной топологии

wp([t°,t1],X) , т хО)

пространства р , в том и только в том случае, когда функционал т непрерывен в точке 4'

относительно нормированной топологии пространства ^Р0,11]^ (Cp([t°,tl],X)).

Доказательство. Ясно, что если функционал т непрерывен в точке х() относительно

нормированной топологии пространства C([t°,tl],X), то функцио-нал т непрерывен в точке х()

Wp<[t0,t1],X)

относительно нормированной топологии пространства р 0 1 .

Пусть функционал т непрерывен в точке х<) относительно нормиро-ванной топологии пространства

W11([t°'t1]'X^ „ . , о-Г<х(0) ^0 , х* = (а,ш) е ^Ч^ДАХ)*

р 0 1 . Тогда из теоремы 3.1 следует, что и функционал 1 0 1

принадлежит 4 ' тогда и только тогда, когда функционал х "абсолютно непрерывен" и

¥(,) е ^g(t' х(,)). Поэтому , < ) ) , < „ ^< ) ^ при х е Х . Так как функционал т

хО) - WP([tо,tl],X)

непрерывен в точке относительно нормированной топологии пространства р 0 1 , то

8> 0 1(х(Л + хО))< Т(х0О)) +1 х(0 е ^1([,о,,1],Х) ||х(0|| <8 ___

существует 8>0 такое, что ^ при р , 11 11 . Пусть

еC([t0't1]'X) <| Wp([tо,tl],X) Са^Д^Х)) р> 1

V/ VI о ^ у , и ис 2. Так как множество р плотно в 41 0' у при ^ , то

хтО) е Wp([tо,tl],X) С^иХ)

существует последовательность р которая сходится к в ч- о> ' и

x

< 8 g(t, x(t) + xm (t)) - g(t, x(t)) > -VV(t), xm (t)) > -8|vj

I nrTfQ TTAÎÎ^Î^AÎ 1ТГП * /II

C . Тогда имеем, что 1 ' 11 "X при всех

ft , Üm g(t, x(t) + xm (t)) > g(t, x(t) + z(t))

m =^ • • •. По условию g(' ) пн. сн. функция. Поэтому . Так как

Y(t) • [to,ti] ^ X абсолютно непрерывная функция, то функция ^( ^ суммируема. Из леммы Фату

1 + J(X(-)) > lim J(x( ) + Xm (•)) > J(x(-) + z(-)) следует, что . Таким образом ( ( ) ( )) ограничен сверху в

г(.) е С([гп,М,х) 1кО||г - х(.) „

41 0' , 11 |1С 2 и следовательно, непрерывен в точке 4' относительно нормированной

топологии пространства С([г°,г1],х). Лемма доказана.

выпуклый интегран

Т(х( •)) =/£(г,х(г))ёг

Т7 g - [tn,t,] х X _ .

Если нормальный выпуклый интегрант на 0 1 , то из леммы 3.4 следует, что

intc dom J = intw dom J где .0

4. O субдифференцируемости терминального функционала

Пусть ф :X х X ^ R+o. Рассмотрим в пространстве W1([t°'t1],X) функционал вида J(x) =ф(x(to)'x(tl)) и определим условия при которых J!(x!) конечен.

t1

sup J(q(t),x (t)}dt < M я я „пст /-ft tl Y^ xt^'cft,,'.].^

Лемма 4.1. Если a1'a2 е X ; q() еL°([to't1],X ) и x(to)=a1.xCt1)=a2 , то существует элемент

x* е X* такой, что q(t) = x* при t е [t0't1]

a1 = a2 = 0

Доказательство. Предположим, что 1 2 ' т.е. выполняется неравенство

t1

sup J(q(t),x(t^dt <M. SUp tJ/q(t),^z(t)dt = 0

^Жд!^ z(. )sW11[t0 ,t1 ] t0X

x(t0)=0, x(t1)=0 Отсюда следует, что z(t°)=tl- z(t1)=0 при x е X. Поэтому t1

j(q(t),x)z (t)dt = 0

t0 при z(.) е w1[t0,t1], z(t0) = z(t1) =0. Ясно, что С^Л) ^ W1^]. Поэтому

t1 t1 t1

j(q(t),x)z (t)dt = 0 ^^ J<qCt),x)z (t)dt = -jA(qCt),x)zCt)dt = 0

t0 при z( ) е 0 ( 0' 1). Отсюда следует, что t0 t0 при

z(;) е Co (t0,t1). Тогда получим, что dt(q(t)'x) =0 п.в. tе['0''1] , где через df^q(t) x обозначена обобщенная производная функции (q(t)'x). Отсюда по теореме 4.4.1[10, c.244)] имеем, что (q(t),x) =const при x е X. Так

* "V* о(г) = х

как элементы х отделяют элементов пространства хж, то существует элемент х е х такой, что 44 у

при г е[го,г1].

Если х() е Wl1([tо,tl],X), х(г0) = а1, х(г1) = а2, то ясно, что

у(г) = х(г) — —^(а2 — а1) — а1 е \У1([го,г1],х), г1— го

x(t) = y(t) +-t—^ (a2 - a1) + a1,

WV11([to,t1]'X) = {z(.) е W11([to,t1],X): z(t|) = 0, z(t1) = 0}. ^ _ t1 -'о

J(q(t),x(t))dt = J(q(t),y(t))dt + ( , Jq(t)dt) < M

. Поэтому

то

t,

t1 - 'о to

j(q(t),y(t))dt < M- ( ,'jq(t)dt )

'o \'1 - 'o 'o /

у(.) е W,1(r^'^l,X) y(tn) = 0, y(t,) = 0. ~ при Jy/ ^ ^ , v 0J ' J v 1 Тогда имеем, что существует элемент x е X такой, что

q(t) = x* t е^Д,] и

' при L 0' 1J. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Если J(x) = ф(x(to)'x(tl)) и JV:> конечен, где x* е ^Фо'М'Х)*, x* = (a,q), то q(t) = b е X* и J*(x*) = ф*(a - b,b) .

Доказательство. Пусть (x(to),x(t1)) еXхX такая, что (P(x(t°)'x(t1)) <+o. По определению

t1

J*(x!) = sup {(a,x(to^ + J(q(t),x(t))dt-ф(x(to)'X(tl))} >

xеWl1[to,tll 'o

* Г*

ti

>( a,x(to)) -9(x(to),x(ti)) + sup J(q(t),x (t))dt

xeWi1([to,ti],X) to

x(to)=x(to), x(ti)=x(ti)

t1

sup J(q(t),xx(t))dt < + o.

Так как ( ) конечен, то отсюда вытекает, что x(to)x(to)' x(ti)x(ti) Поэтому из леммы

4.1 получим, что существует элемент b е X такой, что q(t) = b при 'е [to'tl]. Тогда имеем, что

J*(x!) = sup i(a,x(to)) + j(b,x(t))dt^x(to),x(tl))[ =

xеWl1[to'tll[ 'o J

= sup j(a,x(to)) + (b,jx(t)dt)-q^^U

xеW;[to'tllJ \ 'o / J

= sup {(a - b,x(to)) + (b,x(t!^^(x(to),x(tl))^* (a - b,b).

xеWl1[to'tl]

Лемма доказана.

* _

ф mfipTRPHHim тлгтитсттяст rhvнтттгст r X х X J(x) ^^^(t)' ^^(t 1 )) ^^^ (x)

Теорема 4.1. Если ^ собственная выпуклая функция в X х X, ( ) ( 0) ( х)) и ( ), где

то

x* e Wii([to,ti],X)*, x* = (a,q), то q(t) = b e X* и (a -b,b) e SvCx(to),x(ti))

_ * * / * _\

,, т х* едТ(х) Т(х) +т (х ) = (х ,х)

Доказательство. Так как 4 ' в том и только в том случае, когда х ' , то по

лемме 4.2 имеем, что

Ф(хао),ха1)) + Ф*(а—Ъ,Ъ) = (а,х(г0)) + ^Ъ,/х(г)Л^ п ф(х(го),х(г1)) + Ф* (а—Ъ,Ъ) = / (а—ь^),^)^)) _

Поэтому 0 1 х / V V ^ V ^ . Отсюда следует, что

(а—Ъ,Ъ) едФ(х(го),х(г1)) . Теорема доказана.

Wp([tо,tl],X). Теорема 4.1 верна также в пространстве р

5. Об обобщенной задаче Больца

Рассматривается задача минимизации функционала

ti

®o(x(0) = 9(x(to),x(ti)) + Jf(t,x(t),x (t))dt

(5.1)

в классе абсолютно непрерывных функций x:[to,ti] ^ X т.е. x() e Wi1([to,ti],X), где ф :X х X ^ R+"' f : [to,t1] х X х X ^ R + .

B дальнейшем в п. 5 будем предполагать, что f: [t°=У х (X х X) ^ R+■» нормальный выпуклый интегрант, ф XхX ^ R+„ выпуклая функция. Функция x() e W1 ([t°'t1],X) называется решением обобщенной задачи Больца (5.1), если l°o(x()) <+ю и справедливо неравенство °o(x()) a°o(x()) при x() e W11([to,t1],X). Рассмотрим функционал

t1

®(x,y) = ^x(to),x(t1)) + Jf(t,x(t),x (t) + y(t))dt,

to

h(y) = mf ®(x,y)

где y()eL1([to.t1].X). Положим xeW1([tc>,t1],X) . Из предложения 2.5 [11, c. 28] вытекает, что h

h(o) = iinf ®o(x) выпуклая функция и xeWi([tot1]X) .

inf ®o(x) 1

Лемма 5.1. Допустим, что xeWi([t°.t1].X) конечен и существуют x°(-) e W ([t°'t1]'X), число

supf(t,xo(t) + z,x o(t)) < r(t) s> o и суммируемая функция r() > , что <s в [ o' 1], а функция *P(x°( o)'-)

непрерывна в точке хо<,1). Тогда функция Ь субдифференцируема в нуле, т.е. задача (5.1) стабильна (см. [5, с.60]).

,1

Т(х) = Л£(1,хо(1) + х(1),хо(1))11

Доказательство. Так как 1о непрерывен в точке нуль в пространстве

^Ч^ДАХ) а, > 0 Ь, .Т(х) < Ь, _

1 0 1 , то существуют числа 1 и 1 такие, что 1 при

х е ) е ^Ч^Д^Х): ||2(,о)|| + Л||2(,)|* < а^

1о . Также из непрерывности ф(Xо(tо)•) получим, что существуют

а2 > 0 и Ь2 , что ф(хоОоХЬ) < Ь2 при ||Ь_ хоМ| < а2, Ь е Х .

г

а = т1"{а1,а2}, ху(г) = х0(,)- 1 у^^ Обозначив получим

Ь(у) = i"f Ф(х, у) < Ф(х , у) < Ь + Ь2

xeW11([t°,t1],X)

при уО) е Ll([tо'tl]'X), 1Н1 <а. Тогда из предложения 1.5.2[5, с.31] вытекает, что Ь субдифференцируема в точке нуль. Лемма доказана.

Пусть ^ алгебра борелевских подмножеств в [t°'tl]. Множество всех правильных мер ;: ^^ Х

обозначим через ^т([,0,,1],Х ) (см. [7, с.61]). Отметим, что всякая правильная мера ;: ^^Х

единственным образом разлагается в сумму: ;( ) = ш( ) + ф( ), где ш( ) - абсолютно непрерывная, а ф< ) -

у(Е) =

сингулярная относительно правильные меры (см. [7, с.63]). По определению Е , где

у(0 е Ь1([,о,,1],Х*). Положим ;(,) = ш(,).

№еХ иех* f0<t'X'и) = М{(и, у) + f<t'X'У)}

Пусть , . Положим уеХ . Из условия следует, что

х ^ £0(,,х, и) , ^ af10(t,x, и) = дхг10(,,х, и)

14' ' ' выпуклая функция. Для простоты далее положим х 1 V > > /.

Теорема 5.1. Для того, чтобы функция х(,) среди всех функций х( ) е Wl ([,0,,1],Х) минимизировала

функционал (5.1) достаточно, чтобы нашлись мера ;( ) е^гт([,0,,1],Х ^ функция ш( ) е ([,0,,1],Х ) и а, Ь е X*

векторы такие, что

1} ;<,) е Й^Дс,)^©+Ь) 2) Лас«)+Ь)=(шс;)+ьдт)+^твд)

ййч Л(у(,),;№)) ^х^)) + /(ш(,),х(ф, при х е Wl1([t°,tl],X)

3) (_а _ Ь,Ь) е9ф(х(,о),х(,1)) 4) ,о ,о ,

;о)

sup Л(у(,),^,)) = /(у(,),^,)),

5) уе<2 ;о ;о

, 11 п -

р = {у е Wl1([tо'tl]'X) : ТхСуО) = /f0(t'У(t)'у(,) + Ь^, < +.}

_ гингепопняя чят. мрпи ;

где 0 , я - сингулярная часть меры п, а если

- , mtrdomJ1 = т^-^от.!, 1Ч

выполнено условие леммы 5.1 и с 1 ™ 1, то соотношения 1)-5) и являются

необходимыми.

Доказательство. Достаточность. Из 1) следует, что

f0 (1, х, ш<1)+Ь) _ f0 (1, х(1), ш<1)+Ь) > (; С,), х _ х(,)> при х е Х. Отсюда, используя 2) имеем, что

л( ш(,)+Ь,х (,))л+^ (иод (,))й _}(ш(,)+Ь,х (,))й _ ^ авдд > 1^<;С1),хС1) _ х(ф,

при х( ) е Р . Из 3) следует, что

ф«^), x(t1)) - Ф(Щ0 ),x(t1)) > ((-a - b, b), (x(t0), x(t1)) - (x(t0), x(t1)))

при x( ) е W11([t0,t1],X). Поэтому

}(V(t) + b, x (t))dt + } f (t, x(t),x (t))dt - }(V(t) + b, x (t))dt - jf (t, x(t), x (t))dt + ф(x(tn ), x(t1)) -

t0 t0 t0 t0

- ф(X(tn ),x(t1)) > )(q (t),x(t) - x(t)}dt + ((-a - b,b),(x(t0 ),x(t1)) - (x(t0 ),x(t1)))

t0

при x( )е Q . Используя 4) из последного соотношения получим

J((x(t) -x(t)), q(dt)} + j(b,x(t))dt + Jf(t,x(t),x(t))dt- tj(b,x(t))dt - Jf(t,x(t),x(t))dt + фМУд^))-

9(x(t0),x(t1)) > i(q(t),x(t) -x(t))dt + ((-b,b),(x(t0),x(t1))-(x^),x(t1)))

при x( ) е Q . Поэтому

t1, . t1 t1 t1 J((x(t)-x(t)), q(dt)) + Jf(t,x(t),x(t))dt - Jf(t,x(t),x(t))dt + 9(x(t0),x(t1))-ф(X(tn),X(t 1)) > J<

Л <х(,) _ X(t))d;s(t) < 0

при ( ) р . Из 5) следует, что ,0 при ( ) р . Тогда получим, что

t1 t1 j f(t,x(t),x (t))dt -j tt

j f(t,x(t),x (t))dt -j f(t,x(t),x (t))dt + 9(x(t0),x(t1)) -ф^),^)) > 0

x(-) е Q

при v y .

jf0(t,x(t),y(t) + b)dt- j(y(t) + b,x(t))dt < jf(t,x(t),x(t))dt Так как t0 t0 t0 то имеем, что

, t1 {x(-) е W11([t0,t1],X) : jf(t,x(t),x(t))dt < +<x>} с Q

. Поэтому

t1 t1 .

Jf(t,x(t),x (t))dt -Jf(t,x(t),x (t))dt + 9(x(t0),x(t1))-VCx(t0),x(t1)) > 0

tt

при x() е W ([t0,t 1 ]'X). Достаточность теоремы 5.1 доказана.

Необходимость. Из леммы 5.1 вытекает, что h субдифференцируема в точке нуль.

с. 60, 62] вытекает, '

sup {-Ф (0,z)}

Поэтому из замечания 3.2.3 и из предложения 3.2.4 [5, с. 60, 62] вытекает, что решение х() задачи

inf^0(x):xеW1([t0,t 1 ],X} (-z(-)) zеL([M, Ч]^)

1 0V у nL ^ ^ ' и решение v задачи "([ 0' 1], ) связаны экстремальным

соотношением

ф^Д)+Ф*(0,-^) = 0 (52)

Ф^)^)) + Jf(t,x(t),x(t))dt + Ф (0,-z) = 0 Отсюда имеем t 0 . По определению

Ф*(0,-7) = sup j - j(z(t),y(t))dt - tjf(t, x(t),x(t) + y(t))dt -9(x(t0),x(t1 ))| =

xеW;([tn,tl],X),yеL1l([tn,tl],X)[ t0 t0 J

t,

I ^ ^ ^ I

= 8ир | — /(вд,ха)+у(г))л+ 1(га),ха))л — К(иа),ха)+у(г))Л —р^иха^и

xеWl1([tо,tl ],х)[ го го го ]

уе^а^уд)

г1 г1

= 8ир {/(ад,ха))л — ^оа,ха)дг))Л —^(их^))}.

xеWl1([tо,tl],X) го го (5 3)

т1(х) = Jf0(t,x(t),z(t))dt, т (х) = ф(х(г)х(г)) т т

Обозначим т2(х) = ф(х(1°),х(11)). Из (5.2), (5.3) вытекает, что т1 и т2

собственные функционалы. Из предложения 2.5 [11, с.28] следует, что х ^f (г,х,г(г)) выпуклая функция

^(г,у,7(г)) ьхв.

и аналогично теореме 8.1.4 или предложению 8.1.10 [6, с.345, 348] проверяется, что

„ ^(г,х0(г) + г,7(г))-(7(г),х0(г))+f(t,x0(t) + г,х0(г))- (г(г),х0(г)) + г(г) Ы-8

измерима. Так как 0 0 0 0 0 при в

[го,г1], то при условии теоремы 5.1 имеем, что функционал т1 непрерывен в точке х°(). По условию

1] , тп ттпц л^гтгптгшг трппрлт^Т ^ 1 ЦЛТРРЛТ чтп гЬл^тпгттцпття гг 1

•т7(хп(0)

^ конечен.

г1

_» _ ^(х(-)) =/ f0(t,x(t),Z(t))dt +ф(х(го),х(г1)) ,

Положив 7= (0,г('))е ЧФоЛЬх)*, го имеем, что ф (0,—г)=8 (г }.

Используя неравенство Юнга-Фенхелья получим

8* (7*) > ) ^©Д (фг — 8(х), 8(х) - 1 (7(г),х + Фо(х),

го го

8*(7*) > /^ДО)^ — 8(х) > —Фо(х).

то отсюда получим, что Поэтому из соотношения (5.2) вытекает, что

8*(г*) = 1(г(г),х— 8(х), 8(х) = /^(г)^)^ + Ф0(х).

Из второго соотношения имеем, что tJ1f0(t,Х(t),Z(t))dt — К(г,х(г),х (t))dt = /(г^х

Отсюда получим, что

f0

(г, х(г),7(г)) = ( 7(г),х (г))+f (г, х(г),х (г)).

8* (7*) = }(вд,х(г))аг—8(х) *

Из равенства вытекает, что ( ). Из теоремы 0.3.3[6, с.59] (теорема Моро-

Г, ^ Ч д8(х) = д^(х) + дт2(х) ~ „ г* е W11([tn,t1],XY',, 1 = 12

Рокафеллара) имеем, что 4 у 24 Л Тогда найдутся точки 1 / > где ' '

¡к ¡к ¡к ¡к _ л л _^ _ _ _ _ _

г = г, + г*, г, = (а,ш(-)), г* = Щ,Ъ) г, едт (х), г* едт(х) г, ед,,,т,(х) такие, что 1 2 1 4 2 4 ' ' и 1 14 2 24 '. Из 1 w ' следует , что

т1 (х=у) собственный функционал в С1([г°,г1],х). Так как т1(х) выпуклый функционал в С1([г°,г1],х) и

хп (•) т (х) тг г т (х) тг г т (х) = тг ш т (х) ^ 0. т-т

непрерывен в точке ок', то 14 ' непрерывен в и С ^^ w^w Поэтому

используя следствие 3.5, имеем с1т (х'у) = (х'у). Тогда из следствия 3.3 вытекает, что

д^(х) = дСт1(х) _ , г* е С1([г0,г1],х)* „ г* = г! г* ед^х)

w С 1 у. Поэтому существует функционал 4 0 такой, что 4 и 4 .

гг ,, о, г* е дСт 1 (х) 4(г) едг0(г,х(г),г(г))

По следствию 3.1 и замечанию 3.1 4 С 1 в том и только в том случае, когда

и уеО где 4 ( ) сингулярная часть меры 4( ). Ясно, что

8ир/(у(г),4,^)) = /(х(г),4,^)), _

где 4я() сингуля

(а,х(г0^ + |(ш(г),х (фг = "/(х(г),4^)>

(оДО)) = (а, у(0) + (d,Ъ) и

0

0

для любого x e WiWU^. поэтому Z(t) = V(t) + b a + d =

Так как z* e5J2(x), то из теоремы 4.1 следует, что z2 = (d'b), где b e X* и(d-b>b) e9;(X(to)'X(ti))'

где d = -a . Теорема доказана.

~ f:[tn,t,]x (X х X) ^ Я+ш „ ; :X х X ^ ,

Отметим, что если L o' 1J v ' нормальный интегрант и ^ +œ функция, то

достаточность теоремы 5.1 также верна.

Если функционал y ^f (t'y'z(t)) выпуклый нормальный интегрант, то из леммы 3.4 следует , что intC dom J1 = int W domJ1

ti n

J1(x) = Jfo(t,x(t),z(t))dt

Если функционал t0 удовлетворяет условиям леммы 2.2, то

intC dom J1 = intW domJ1

Ш e L [tn, t, ] fo (t, X2, Z(t)) - fo (t, x, z(t))| < X(t)|x2 - X1 f

1 o 1 такая, что

Если существует функция v ' п ^ и такая, что 1 1 при

x15 x2 e dom fto (•, z(t)) tq int C dom J1 = int W domJ1

intrdomJ1 = intwdomJ1 Отметим, что если Х = ^ , то из леммы 2.4 следует, что с 1 " 1.

Если при хо(,) = х(,) удовлетворяется условие теоремы 5.1, то из теоремы 3.2 следует,

что ;< ) абсолютно непрерывная мера. Тогда имеем

Л<х<1), = 1х<,Ж;<1)_;<,!)) = )_;<t°),x<t°^ + Л<;<,1)_;(,),х

Л(x(t),;(*)>=Мм)+л<ш(,),х(,))л . 1 ^

при 1 ([ ^ lJ, ). Так как ;о ;о при х е (110,11],Х), то отсюда

получим, что а = ;(,1) _;(,о) и ш(,) =_;(,1) _ ;(,) _ Поэтому ;(,) = _^(,) и ш(,о) = а ш(,1) = 0 .

х*(г) = у(,) + Ь а + Ь = х*(гА Ь = х*(г,). ^ , ,

Обозначив имеем, что 0 1 Поэтому используя из теорему 3.1 или

теорему 3.2 в доказательстве теоремы 5.1 имеем, что верно следующее следствие.

Следствие 5.1. Для того чтобы х(,), среди всех абсолютно непрерывных функций ^Х

* 1

минимизировала функционал (5.1) достаточно, чтобы нашлась функция х () е ^ ([,0,,1],Х) такая, что

1} _х*(,)еа^ДОд*©) 2) ^ВД^С,)) = (х м,)) + ^Щ,)) _* _* _ _

3) (_х (го), X (,1))еафСх(их(,1)),

а если при хо(,) =х(,) удовлетворяется условие леммы 5.1, то соотношения 1)-3) являются и необходимыми.

Доказательство. Достаточность теоремы непосредственно проверяется.

Необходимость. Необходимость следствия 5.1 следует из доказательства теоремы 5.1. Аналогично

^(,Д(,),ад) = (7(,)Д(,)) + ВД,),х (,)) г*е58(х) 5* = (05(0) доказательству теоремы 5.1 имеем, что х ' и 5 е^(х), где 5 (0'z()).

Из теоремы 0.3.3 [6, с.59] (теорема Моро-Рокафеллара) имеем, что ^8(х) =—1Сх) + Зт2<х). Тогда найдутся точки ^ е Wl1<[t0'tl]'X)*' где ; = 12,такие, что 2* = 21* + z2, = ^шОХ = <*,Ь) и z*e5J1(X), едТ2(х). Из

2 е ^ Т (х) _*_^

теоремы 3.1 следует, что 1 W 14 ' тогда и только тогда, когда = <аш) "абсолютно непрерывно" и

-y(t)e5fo(t,x(t),z(t)) t e[to,t1] „ , , 3WL(x) = 5CJ1(x) ^

при o 1 . Из следствия 3.3 вытекает, что W 1 C 1 . Поэтому

, z* e c1([to,t1],X)* „ Zj = zq z* e 5CJ1(x)

существует функционал q 1 o 1 такой, что 1 q и q C 1 , т.е.

t1 t1 (a,x(to^ + К y(t),X (t))dt = J(x(t),q(dt))

при x(0 e W11([to,t1],X). так как функционал =(a V e W1([to,UX)

го w

-J(y(t), x(t))dt = J(x(t), q(dt))

Ä we W?([^,t],X*) y(to) = a v(t1) = o ~

абсолютно непрерывен, то 1 o 1 , o и 1 . Тогда имеем, что

при x( ) e Wi([to't1]'X). Отсюда имеем, что q(^) = . Так как

г* едт(х) ,, г* = ^,Ъ) Ъ е X* (d — Ъ,Ъ) е дф(х(гп),х(г,)).

2 24 то из теоремы 4.1 следует, что 2 4 ' где Ъ е х и 4 ' ' ^ 4 ол у Из

_ _ ¡к

г = г* + г* г(г) = у(г) + Ъ, d = —а тт х (г) = у(г) + Ъ

равенства 1 2 имеем, что 4' тч' d а. Положив 4' тч' имеем, что

¡к _

х (го) = у(го) + Ъ = а + Ъ и х (г1) = у(го + Ъ = Ъ. Поэтому (—х (у,х (М)едфВД,^)). Из

— у(г)едГ0(г,х(г),г(г)) — х*(г)едГ0(г,х(г),х*(г)) ^

' у' 4 у'' следует, что ' у' у и ". Следствие доказано.

~ Г:[г0,г1]х(XхX) ^Я+ш Ф :ххX ^,

Отметим, что если о> ^ V ' нормальный интегрант и ^ функция, то

достаточность следствия 5.1 также верна.

Из следствия 5.1 следует, что верно следующее следствие 5.2.

Следствие 5.2. Для того чтобы х(г), среди всех абсолютно непрерывных функций х: [го,г1] ^ х

* 1

минимизировала функционал (5.1) достаточно, чтобы нашлась функция г ()е Wl([г°,г1],х) такая, что 1} (г (г), г (г))едВДг),х(г)) при ге[го,г1] , 2) (г (го),—г (г^едфадд^)),

а если при хо(г) =х(г) удовлетворяется условие леммы 5.1, то соотношения 1),2) являются и необходимыми.

тт тя — х * (г) е диадах *(г))

Доказательство. Из включения следует, что

Лг,х,х*(г))—г 0(г, х(г),х *(г)) >(— х * (г),х—х(г))

^ ^(г,х,и)-(о^) + 2)

при х е х. Так как х ' при w е х, то из соотношения ' следствие 5.1 имеем

(х*(г), +Г (г, х, w) —( х*(г),х (^—г (г, х(г),х (г)) > х *(г), х—х(г))

при х е X, w е х, т. е. (, , ) (, (), ()) \ (), ( V \ (), ( V при х е X, w е х. Поэтому

• А А • >к гк •

(—х (г),— х (г))6ВД(г),х(г)). Обозначив г*(г) = — х*(г) получим, что (г (г),г (г))еОДг),х(г)) при ^о^.

* * _ _

Из соотношения 3) следствия 5.1 следует, что (г (t°), г (г1))едф(х(го),х(г1)). Следствие доказано.

Замечание 5.1. При условиях теоремы 5.1, в теореме 5.1 абсолютно непрерывность меры

40 е Ггш([г0,г1],х*),

0' эквивалентна существованию решения задачи

(-0/

1} q(t)e 9f°(t,x(t),y(t)+b) 2) ^(tmvW+b)+tarn)+f(tmx(t))

ti ti

j(q(t),x(t))dt = (ä,x(to^ + KV(t),x(t))dt при x(-) e W/a^], X)

+ b) = [

tt

(-a - b,b) e99(x(to),x(ti))

3) (—а — Ъ,Ъ) е дф(х(1о),х(11)) 4) го

где у(0 е ь«,([го,г1],х*) , а, ЪеX*.

Так как X сеперабельное пространство, везде 4 Варга Дж °птимальн°е управление

интеграл понимается в смысле Бохнера. дифференциальными и функцио- нальными

Исползуя другое определение интеграла уравнениями. -М. : Наука, Х^И-ЫЪ с.

векторных функций (см.[15, с.89], [16, с.10]) 5. Экланд И., Тшш р. Выпуклый анализ и

полученные результаты можно обобщить и в том вариационные проблемы.- М.: М^ 1979.-400 с.

случае, когда X пространство Фреше. 6. Иоффе АД Тихомиров ВМ Теория

экстремальных задач.- М.: Наука, 1974.- 479с.

Список литературы 7. Иоффе АД Левин ВЛСубдифференциалы

1. Садыгов М.А. Свойства оптимальных выпуклых функций. // Труды Московского траекторий дифференциальных включений.-Канд. Математического ^ота- 1972,т.26, -с 3-7Ъ. диссертация. -Баку, 1983.-116с. 8. Толстоногов АА Дифференциальные

2. Садыгов М.А. Исследование негладких включ™ в банаховом простран- стве.-оптимизационных задач.- Баку, Элм, 2002.-125 с. Новосибирск: Наука, 1986.-296 с.

3. Садыгов М.А. Субдифференциал высшего 9. Федерер Г. Геометрическая те^м меры.-

порядка и оптимизация.- Deutschland, LAP « тт ^^^

LAMBERT Academic Publishing, 2014.-359 p. 10 Колмогоров А.Н., фомин С.В. Элементы

теории функции и функционального анализа. М. :

М.: Наука, 1987.-760 с.

10. Колмогоро теории функции и ф Наука, 1989.-623 с.

11. Обен Ж.П. Нелинейный анализ и его экономические приложения.- М.: Мир, 1988.- 264 с.

12. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.-М.: ИЛ, 1959.

13. Рокафеллар Р.Т. Интегралы, являющиеся выпуклыми функцоналами, II. В

кн. Математическая экономика. -М.: Мир, 1974.-246 с.

14. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ.- М.:Мир, 1988.- 510 с.

15. Рудин У. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1975.-443 с.

16. Бурбаки Н. Иитегрирование.- М.:Наука, 1970.-320 с.