Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса-Дарбу Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ахундов И.С

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ

УРАВНЕНИЕМ ГУРСА-ДАРБУ

Задача оптимального управления составляют один из обширных классов экстремальных задач и имеют важные прикладные значения. Математическая теория оптимального управления, основанная на принципе максимума Понтрягина, продолжает интенсивно развиваться. Развитие теории оптимального управления, включающая задачи, описываемыми дифференциальными включениями, сопровождается также более систематическим использованием понятий и методов функционального и негладкого анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления все чаще пользуются методами негладкого анализа вместо весьма «трудоемкого» детального специфического анализа.

В работе используя экстремальной задачи для двумерных дифференциальных включений типа Гурса-Дарбу изучены задача оптимального управления, описываемой уравнением Гурса-Дарбу. Экстремальные задачи для включения типа Гурса-Дарбу изучены в работах [1], [2].

§1. Экстремальная задача для двумерных дифференциальных включений

типа Гурса-Дарбу

Пусть а:[ 0,1 ]х[ 0,1 ]х RЗп ^ 2Я" причем а ( ) компактны при всех ,

М 0 с Я",ь1: [ 0,1 ]х Я" ^ 2Я" , Ь2: [ 0,1 ]хЯ" ^ 2^ . Через А" ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) обозначим множество всех двупеременных абсолютно непрерывных функций из [0,1 ]х[0,1 ] в Я" . Функция и (-)е А" ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) , удовлетворяющая включениям

и^ (t,s )е а (t,s,u (t,s) ,и( (t,s) ,и5 (t,s))

и( (t ,0 )е Ъх (t,u (t ,0)) ,и5 (0,5 )е Ъ 2 (и (0,5)), и (0,0 )е М 0 (1.1)

для почти всех t>sе[0Л] , называется решением задачи (1.1).

Пусть f: [ 0,1 ]х[ 0,1 ]х Я 4" ^ Я,ф Р [ 0,1 ]х Я 2п ^ Я,ф 2: [ 0,1 ]хЯ 2п ^ Я - измеримые

интегранты, ц : Я4п ^ Я . Решение включения (1.1), минимизирующее функционал

1 1 1

] (и ) = / / f (t,s,u (t,s) ,и{ (t,s) ,и(t,s), ии (t,s)) dtds + / ф 1 (t,u (t ,0) ,и{ (t ,0)) Л +

1 0 0 0 (1.2)

+ / ф 2 (5, и (0,5) ,ия (0,5)) ds + ц (и (0,0), и (1,0) ,и (0,1) ,и (1,1))

0

среди всех решений задачи (1.1) назовем оптимальным. Требуется найти необходимые условия оптимальности решения задачи (1.1), (1.2).

Положив

0, геа(м,х,у 1 ,у2) 0, у 1 еЪ 1 х)

, г £ а (¡,8,х,у 1 ,у 2), , у 1 £ Ъ1 (t,x), ¿ ¿

ак,з,х,у 1 ,у2)=¿{¿¿¿ а1 и,х,у 1 )=¿{¿¿¿

0, у2е Ь2(5,х) 0, х£М0 +<ю, у2гЬ2(5, х), хгМ

¿ ¿

,2 (5,х,у 2 )=¿{¿¿¿ о0 (х )=¿{¿¿¿ ¿ ¿

имеем, что задача (1.1), (1.2) эквивалентна следующей задаче:

оь

1 1

1

Ф0 (и )=J (и ) + / / о (t,s,u (t,s) ,и1 (t,s) ,и!_ (t,s) ,и5 (t,s)) dtds + J о1 (t,u (t ,0) ,и{ (t ,0)) Л+

0 0

+ / о2(s,u (0,s), и5(0,s)) ds+ о0(и (0,0)) ыёТ^аГмол])^

(1.3)

Обозначим /=/+о, Ф1 = ф 1 +о1, ф2 = Ф2 + о2, 9 = Я + Положим

/0 (t, s, у;у ) = М {(о|у )+/( ^ s, у, о): о £ R3п ),ф ? (г, у ¡V, ) = М {(о^ )+ ф 1 (г, у,о,): £ Я"), ф2(s,у ¡V2) = М {(о2| V2) + Ф 2(5,у ,о2):о2£Rn), где VеЯЗп , V!еRn, V2еRn .

Рассмотрим следующие теоремы 1.1-1.3 (см. [2]).

Теорема 1.1. Пусть/ ,ф 1 ,ф 2 выпуклые нормальные интегранты, Я -выпукло, отображения w ^а(),х ^Ь1(t,х),у ^Ь2(5,у) выпуклы и полунепрерывны сверху, отображения (На (М,^ ) , г^ Ь1(г,х)^^ ь2(s,y) измеримы, множество М0 выпукло. Для того, чтобы ф являлась точкой минимума функционала Ф0(и) на пространстве Л" ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) достаточно, а если а (г,5,х,у,!) непусто и компактно при t,s е[ 0,1 ], |х-и (t,s )|< е, у, I е Я"; Ь (t,х) не пусто и компактно при ге[0,1 ], |х-Ф(г,0)|<е 1, Ь2(5,у) не пусто и компактно при 5е[0,1 ]> Ь-"(05)|<е2> существуют число х и суммируемые функции А1 (г) и такие, что

||а( 1,5,1 )||<А-( 1 + И), ||Ь1 (г,х )||<X1 (г)(1 + |х|), ||Ь2(5,у )||<X2(5)•( 1 + |у |) при

I еЯЗп ,х,у еЯ" , существуют функции а (-)еЬ 1 [ 0,1 ]2, а 1 (•), а 2(-)е Ь1 [ 0,1 ] , числа

с>0, г>0

такие, что

5,М( 1,5)+у!

)№\>Р11 /^1

5,Ф( 0,5)+у,! ь

при уеЯ", |у |<г, IеЯЗп, 2Х,I2еЯ", функция Я( ф(0,0)

непрерывна в точке (м(1,0), и(0,1), м(1,1)) , то и необходимо, чтобы нашлись функции

Р!еЬ:([0,1 ]х[0,1 ]) , Р2еЬ"в([0,1 ]х[0,1 ]) , V(¿)еЛ"([0,1 ]х[0,1 ]) ,

где

V (1,5 )=V (г ,1.

для

г,5е[0,1 ], V1 (¿)е Ж"1 [0,1 ], V2(¿)е [0,1 ], такие, что удовлетворялись следующие соотношения

Vts(г,5)ей]°(г,5,й(м), Р1 (г,5),Р2(г,5), V(г,5)+/Р1 (г^^-

0

1 г 1

1.

-/Р! (г, V ) dv +/р2 (1,5 )dт -/р 2 (т,5) dг),

0 0 0

1

2. V(г,0)-V! (г)едф0(г, й(г,0)¡Vх(г)-/РР1 (г^)dv)

!

1

'2

3. vs( 0, s )-v2 (s )to ф 2 0,s );v2( s )-

2 ( U

( v ( 0,0 )-v 1 ( 0 )- v 2 ( 0 ),v 1 ( 1 )-v ( 1,0 ), v 2 ( 1 )-v ( 0,1 ),v ( 1,1 ))Gi ¿Gdq ( s( 0,0 ),s( 1,0 ), u ( 0,1 ), u ( 1,1 )),

Теорема 1.2. Пусть (г'5 а (¡'в,2 ) 'г ^ Ь 1 (г'х) '5 ^ Ь2 (5'х) измеримы,

М0' Ь1()'Ь2(5,х ) и а(г>5>2) непусты, компактны, существуют функции kl(■)еLl [0,1 ], k 2 (-)е L 1[ 0,1 ]

и число такие, что

Рх (а ( 1 'У 11) (а ( 2 'У 2'2 2 (1х 2-Х 1| + |У 2-У 11 + 12 2-2 Д

Рх (Ь 1 ( ¡'X 1 )Л (1'Х 2 ))< k! (/ )|х 2-X 1)' Рх (Ь 2 (5'У 1 )'Ь 2( 5'У 2 ))<2(5 Ь 2 — У 11 при 21 '22еЯЗП' х 1 'X2еЯ"' у 1 'У2еЯ". Кроме того, пусть существуют функции k3(-^„([0,1 ]х[0,1 ])' ^(-)еL„[0,1 ] k5(•)еL„[0,1 ] и число ^ такие, что

1) / (I' в'2 )-/ (I' в' 2 1 )|< £3 (I' 5 ))2 - 2 11

для ,

2) |ф 1 (I' х)-ф 1 (I' х 1 )|<£ 4 (г )|х-х 11 для х' х 1 е Я2п ,

3) |Ф 2(У )-ф2(У1 )|<k5(5)У-У11 для У'У]еЯ2п ,

4) д( V)-q ( ^ )|<£ 0| V - V 1 для V'V] еЯ 4п

и пусть отображения (г' • )^/( г'2 )'г ^ ф 1( t'x)' • ^ ф 2( в'У ) измеримы. Тогда, если ме А" ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) является решением задачи (1.1),(1.2), то существуют число т >0 и функции Р! ех""([ 0,1 ]х[ 0,1 ])' Р 2 е ¿"~([ 0,1 ]х[ 0,1 ])' V (-)еА" ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) , где

V(1,5) = V(г,1) для ^е[0,1 ]' V!(-)е Ж1Л"[0,1 ] , ^(-)еЖ1Д"[0,1 ] , такие, что

1 • 1 ' г

1) (V' • (г ' • )'-Р1 (г ' •)' -Р2 (г)'§ Р 1( г'V) dv-/Рх( г, V) dv+ §Р2 (т^) ёт - §Р2 (Т' •) ёт -

0 0 0 0

-V(г'5))е5(/(г'•' и(г'•)'мг(г'•)' м5(г'•)' м5 (I' •))+ту (г'•' м (г'•)'мг(I' •)' и5(I' •)' и• (I' •)))' 2)

1

((г,0)- V1 (г)' § Р1 (I' V)ёу- V1 (г))ед(ф 1 (I' м( г,0)' мг(г,0)) + т^1 (г ' и (г,0)' иг(г,0)))'

0

3)

1

( Vs (0,5 )' - V 2 (5 )' § Р2 ( Т' 5) ёт - V 2 (5 ))ед( ф 2 ( 5' и ( 0, 5 )' М^ ( 0,5 )) + т -д 2 (5' м( 0,5 )'US (0, 5 )))'

0

( V (0,0)-V! (0)- V 2 (0 ! (1)-V ( 1,0 2 (1)-V ( 0,1 ( 1,1

¿д(я (Ф( 0,0), Ф( 1,0 ), Ф(0,1),Ф( 1,1)) + тд0( Ф(0,0)))

при т > т 0 .

0, w еа (т, V,2), + ^ г а (т^,2)

Обозначим ¿

К ( Т, V, 2, ^ )= £ (2^ ) = ¿{¿¿¿

6 ^ ¿

Теорема 1.3. Пусть иеЛ"([0,1 ]х[0,1 ]) является решением задачи (13) и

_ "

удовлетворяются условия теоремы 1.2. Тогда существуют функции Р1 еЬ "([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) , Р2еь""([0,1 ]х[0,1 ]) , V(-,-)еЛ "([0,1 ]х[0,1 ]) , где у(1,5) = v(г,1) для V г,5е[0,1 ] такие, что:

1 5 1 г

1) vts (г, 5), -Р1 (г, 5), -Р 2 (г, 5), / Р1 (г, V) dv-/ Р1 (г^) dv+/ Р2 (т,5) dт - / Р 2 (т,5) dт -

0 0 0 0 -v (г, 5) )е5 ^ (г, 5, и (г ,5), и (г ,5) ,ф (г ,5))+N (и (г, 5), ф г (г, 5), ф 5 (г ,5), ф й (г ,5)),

гз

2) v(1,1 )ед£( ф( 1,1 )) . Отметим, что

n „а (ф (г ,5), ф г (г ,5) ,ф 5 (г ,5), ф (г ,5 ))=5 к (г ,5, ф (г,5) ,ф {(г,5) ,ф 5 (г, 5), ф (г,5))

§2. Линейная задача оптимального управления

Рассмотрим задачу

5(и ) =<с,2(1,1 )>^тт (2.1)

при условиях

25(г,5)=Л (г,5)2(г,5)+в(г,,?)21 (г,,?)+с(г,,?)25(г,5)+ Ь(г,5,и)

2 (0,5 )=а (5), 5 е[0,1 ] 2 (г ,0 )=в (г), г е[0,1 ] (2.2)

а (0)=в (0) , где и : [0,1 ]х[0,1 и измеримо а ('

абсолютно непрерывные функции;

и с Яг -компактное множество, отображение (г, 5 Л (г,5) , (г, 5 В (г,5) , (г, 5 С (г, 5) -непрерывные " х" мерные матричные функции; Ь :[ 0,1 ]х[0,1 ]хЯ2^Я", (г,5Ь (г,5, и)

измеримо при ие и ; отображение и ^ Ь (г,я,и) непрерывно, а множество Ь(г,5,и)

^ Г> "

выпукло и с е Я .

Функция 2(-)еЛ"([0,1 ]х[0,1 ]) , удовлетворяющая соотношениям (2.2) называется решением задачи (2.2).

Теорема 2.1. Для того, чтобы при введенных условиях в задаче (2.1), (2.2) ф( г,!5) являлась оптимальным управлением, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяло соотношению

где

11 1 1

у (г, 5 )= с+/ / Л ¿(т,у) у (т, V) dт dv + /В ¿(г, V) у (г, V) dv + / С1(т,5) у (Т,5 ^т .

5 г 5 г

Доказательство. Для доказательства теоремы используется из теоремы 1.1. Положим

а (г, 5,20,21,22 )=Л (г,а)20+В (г,)21+С (г,)22+ Ь (г, 5, и)

Тогда из теоремы 1.2.35 и 1.3.11 [4] следует, что у ^а(г,5,у) -выпуклое и полунепрерывное сверху отображение, (а (г,5,2 ) -измеримые отображение. Кроме того а(г'5'2) - компактное выпуклое множество.

Из теоремы 2.1 следует, что для того чтобы ф( ) являлась точкой минимума функционала (2.1) при условиях теоремы необходимо и достаточно, чтобы нашлись

функции Р1, Р2 £ Ь" ([ 0,1] х [ 0,1]), Л" ([ 0,1] X [ 0,1]), 5 )= V, г ,1) для г,5 е[ 0,1]

такие, что

1. vts(г,5)ебо°(г,5,ф(г,5), Р1 (г,5),Р2(г,5), V(г,5)+/Р!(г^)dv

0

1 г 1

-/ (г^ )dv +/Р2 (т, 5)dт-/Р1 (т, 5)dт),

0

2. Ю

г,5,ф(г,5); Р1 (м), Р2 (м и (г,5 )+/р1 (г, V) dv-/р1 [г^) dv+/р2 (т,5 )dт-/р2 (т, 5) dт

3. V(1,1 )=с ,

где

0, 2 еа (г,5, 20,21,22),

+<», противном случае . ¿

о (г, 5, 20,2 1,22,2 ^¿{¿¿6 ¿

По определению

Отсюда и из 1) имеем vts =Л 6(г,5)у (г,5)

где

(2.3)

у (г, 5)=V (г,5)+ / (г^ -/ Р1 (г, V )dv + / Р2 (т,5)dт - / Р2 (т,5)dт . (2.4)

0 0 0 0

Из (2.3) получим, что р(г,5)=-В¿()у(г,5), ?2(г,5)=-Сг()у(г,5) . Поэтому из (2.4)

вытекает, что

5 г 1

у (г, 5)=V (г,5)-/ В)у (г^ ^ -/ С'-(т^)у (т^)dт + / В)у (г^ ^ +

1 0 0 0 (2.5)

+ / С)у (т,5 ^т .

0

Тогда получим, что

5 1

у (1,5 )= V (1,5 )-/ В¿(1, V)у (1,V)dv + / В¿(1,V)у (1, V )dv ,

00 г 1

у (г ,1 )= V (г,1)-/ С1(т,1) у (т ,1 + / С1(т ,1) у (т,1)^ .

1

1

Так как

и

то имеем, что

Ясно, что

vs(t,s)=A '(t,s) f (t,s) , v (1,1 )=c, V (1,s)= V(t,1 )= c , 1 1

J vs(t,s)dt=J A 6(x,s) f (t,s)dt ,

1 1 11

J vs(1, v )dv -J vs(t,v)dv = J J A :(t, v) f (t,v )dt dv .

1 1

v (1,1)- v (1,s)-v (t,1)+ v (t,s)=J J A :(t,v) f (t,v)dt dv .

s t

Отсюда получаем, что

1 1

v(t,s)=-c+(v (1,s)+v (t,1 )) + J J A L(t,v) f (t,v)dt dv .

s t

Используя из (2.5) отсюда имеем

1 1

t,s)=-c + (v (1,s)+ v (t ,1 ))+J J A :(t,v) f (t, v )dt dv +

f (t,s )=-c + (v (1, s)+ v (t ,1 ))+J J A (T,v) f (t

s t

11 + J BL(t,v) f (t,v)dv + J CL(t,s)f (t,s)dt.

st

Так как v (1,s )= v (t ,1 )=c , то

11 1 1

f (t,s )= c+J J A L(t,v) f (t , v) dt dv +J B L(t,v) f (t,v) dv + J C:( t,s) f (t,s )dt .

st s t

Если ю1 = -В:(t,,s)ю3, ю2=-C:(t,,s)ю3 , то из (2.3) вытекает, что

s, z0, ю1: ю2, ю3)=< A (t, s)z0, ю3(t, s)>+ inf <b (t, s,u), ю3(t, s)>i i * Поэтому из соотношения 2) вытекает, что

:'->i. _ (2.6) Действительно, положив ю1(t,s) = P1(t,s), ю2(t,s) = P2(t,s) из 2) имеем

___ * ( t , ^^ )----( t , ^^ ) , ( t , ^^ ) --1 i n-- ■ -^ ( t

¿^ - ¿^ t ( t , ^^ ) , ^^^ : ( t , ^^ ) --- ( t , ^^ ) =- - ¿^ ^^ s (

-1--__—* ( t , ^^ ) — ( t , ^^ ) , ( t , ^^ ) --1--__^^ ( t , ^^

-1--= ( t , s ) ^ s ( t , s ) , --( t , s ) >--1--= b ( t , s

Отсюда следует справдивость соотношения (2.6). Теорема доказана.

Аналогичная методика применима и для общей линейной задачи оптимального управления описываемой уравнением Гурса-Дарбу.

§3. Нелинейный случай

Получим необходимые условия оптимальности в терминах Лагранжиана для оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями Гурса-Дарбу.

Пусть f: [0,1 ]2Х R 3nX Q ^ R, g: [0,1 ]2Х R3n ^R , {: Rn ^ R, ф р [0,1 ]^Rn,

ф 2:[0,1 Rn , где QсRm компактное множество, 8 нормальный интегрант, f -каратеодориевская функция.

Рассмотрим минимизации функционала:

1 1

J(u)= J J g(t,s,u (t,s),ut(t,s), us(t,s))dt ds + %(u (1,1 min (3.1)

0 0

на множество решений задачи

uts(t,s)=f (t,s, u(t,s), ut(t,s), us(t,s), v(t,s)) (3.2)

u ( t ,0 ) = ф J ( t), u ( 0,5 ) = ф 2 (s), ф J (0 ) = ф 2 (0), (3 .3)

где ф i ('),ф 2(-) -абсолютные непрерывные функции, v: [0,1 ]х[ 0,1 Q -измеримая функция.

Задача состоит в нахождении необходимых условий оптимальности решения задачи (3.1)-(3.3).

Исходная задача приводится к следующему эквивалентному виду:

1 1

J(u)=J J g(t,s,u (t,s),ut(t,s),us(t,s))dt ds + £(u (1,1 min (3.1')

0 0

на множество решений задачи

uts (t,s )e a (t,s,u (t,s) ,ut (t,s ),us (t,s)) (3.2')

ut (t ,0 ) = ф lt (t), us (0, s ) = ф 2s (s), ф 1 (0 ) = ф 2 ( 0 ) , ( 3.3')

где

a(t, i, i )=/|t,i, i, 5= f i, z,i|

IEQ

Далее, используя теоремы 1.2 и 1.3 получены необходимые условия оптимальности решения задачи (3.1)-(3.3).

Лемма 3.1. Если f(t's,l>v) Липшицевая по 1 с константой L функция, v^f(t,s,i,v) непрерывно, QсRm компактное множество, то

h (f (t, s, 11, Q), f (t, s, 12,Q))<L ||i 1 -12II (3.3)

при t,se[ 0,1 ], 112eR3n, где h - Хаусдорфово расстояние.

Доказательство. По определению Хаусдорфова расстояния имеем:

hf it.s, i1,Qlflt, s, Z2,Q))=max I mix min

max min Ih-^].

Рассмотрим первое выражение под знаком максимума:

^veo? ^ueQ ( *' s' 11, v ) f ( *' ^ ' ^ 2, u )M ,-.»«4

mmax mm.in | f ( t , s , i 1, v ) -f ( t , s , i 2 , u ) -l-f ( t , s , i 2 , v ) -f ( t , s , i 2, v ) | | <

v e Q u e Q I

(|f ( t, s , i 1 , v ) —f ( t, s , i 2 , v ) 11 -1— ILf ( t , s , i 2 , v ) —f ( t , s , i 2 , u )M L 1 I i 1 -i 2 П - V * '

v eQ ueQ 1 '

Аналогично и для второго выражения под знаком максимума получим

max min |f (t,s,i 2 ,v )-f (t,s,i 1 ,u )||<L ||i 1-12|| (3 5)

veQ ueQ

Используя (3.4), (3.5) получаем (3.3). Лемма доказана. Положим

у (t,s,i,w )=inf {Iu-w |: u ea( t,s,i)} , Jm(u )=J( u) —mF( u )>

где

1 1 1

F (u ) = J J W (t,s,u (t,s) ,ut (t,s) ,us (t,s) ,uts (t,s ))dtds - J |ф 1t (t)- ut (t ,0 )| dt —

0 0 0

1

— J |ф 2s(s)-us(0,s)|ds— |ф 1 (0)-u (0,0 )|.

0

Пусть X -банахово пространство, f: X ^ R ,f (x )| <+ , x eX . Положим (см.[5])

f (x ; v ) = lim lim

■f ( y + dw )-a i

i i i sup inf

где символ (y,a )ifx означает, что (y,a )Gepif,y ^ x,a ^f(x ) . Обозначим

i rT

5/(х ) = {х¿еX":/ (х ¡Vх¿, V> при VеХ) . Теорема 3.1. Пусть ФеЛ"([0,1 ]х[0,1 ]) является решением задачи (3.1)-(3.3) , функции (t,5Нg(t,s,2) и (^() измеримы, функция v^/(t,s,2,v) непрерывно существуют числа к0, к 1 и функция к (')е Ь ([ 0,1 ]х[ 0,1 ])

такие, что

1. Ig(t,s.z )-g(t,s,z 1 )|<k (t,s)\z-z 1 для z J,z GR3n ,

2. |f (t,s,z,v )-f (t,s,z J, v )|< k J |z-z j| для z, z jG R3n , v g Q ,

3. |£ ( и)-£ ( и 1 )|< к 01 и - и 1

для и и1еЯ

_ _ "

Тогда существуют т >0 и функции Р1' Р2 е L 0,1 ]х[ 0,1 ])

V (•' -)е А " ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) , где V( М ) = V(г ,1) для г' 5 е[ 0,1 ] такие, что

1 5 1 г

1) (vts(г'5)'-РР1 (г'5\-Р2(г'5)§ РР1 (г^С-§РР1 (I' V)сЬ + §Р2(т^)Ст- §Р2(т^)Ст-

-V ( г'5 ) )ед g ( г'5' и ( г'5 )' м г ( г '5 )' м5 ( I' 5 )) + т-д у ( г '5 ' и ( г '5 )' м г ( I' 5 )' и5 ( I' 5 ) 'иг5 ( I' 5 ))' 2) v(1,1 )ед£( м( 1,1)) .

Справедливость теоремы следует из теоремы 1.2 и леммы 3.1. Обозначим

Теорема 3.2. Пусть меА"([0,1 ]х[0,1 ]) является решением задачи (3.1)-(3.3), выполняется условие теоремы 3.1, Р( г'5 ) = {®(г'5)} и функция / (г'5'-'т) строго дифференцируема в окрестности точки (и(г'5 )'«г (г'5 )'Й 5 (г, 5)) при , которая

непрерывна по переменной (2'у ) в точке (м()' мг(г'5^^(г'5)'т(г'5)) .

Тогда существуют функции Р ^ Р2 е Ь " ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) , V (% -)е А" ([ 0,1 ]х[ 0,1 ]) , где

v(1,5) = v(г,1) для ()е[0,1 ] такие, что

1) (Vts(г'5)'-Р1 (I'5)'-Р2(I'5 ))едg(I'5' м( г^)' мг(I'5)' (г ' 5)) +

+(д (г' 5)/У (г' 5' и (г^)' м г(I' 5)' м5(г^)' т (г' 5))' д (г' 5)/У (г' 5' и (г' 5)' мг(г' 5)' м5(г' 5)'

Ш ( I' 5 ))' д (I' 5 )/У ( I' 5' м ( I' 5 )' м г ( I' 5 )' и5 ( I' 5 )' Ш (I' 5 )))

где

2) v (1,1 )ед £ ( м( 1,1)) ,

1 5 1 г

д(г^) = §РР1 (г'V)Л-§ _Р1 (I' V)сIV +§Р2(т^)Ст-§Р2( т^)Ст - V(г^)

Доказательство. По условию

! г)и)'м'с"г^''' р'''

где т() -измеримая функция. Обозначим

е! = (-1,0'...0)'...'еп = (0,0'...,0' -1 ) в ={уеЯ":|У|<1} . По определению

у ( г'5' У' У1' У 2' У 3 ) = inf ^ -У 3|: v е а ( г ' У ' У 1' У 2 )} = inf {/ (^ 5 У' У р У 2' °)-У 3|: ° Е 0} .

Поэтому по теореме 2.3.10 и теореме 2.8.2 [5] имеем, что

д у (,и (г ), и (г ), и (г ), иг (г

/1у(г, 5,2(г,5), о(г,5)) /1у1 (г, 5,2(г,5),о(г, 5)) /

(г,5,2 (г,я) ,о (г,я)) е

1

/"У (г, 5,2 (г, 5 ),о (г, 5)) ^ (г, 2 (г, 5 ),о (г,5)) ^ (г, 5,2 (г,5 ),о (г, 5)) е„

¿

гigh

¿ '

¿ ¿ ¿

¿с В-^

¿

где 2(г,5)=(ф( г, 5), г^(г,5),ф4(г,5)) . Ясно, что

(Е ( г,5: )/гу ( ^^ ( г,5:) ,о), Е (^ )/iy ( ^^ (^ ) ,о), i=1 i=1 '

"

Е аг (г, 5(г, 5,2 (г, 5) ,о) ,а 1 (г, 5),... ,а" (г, 5)): |( а 1 (г, 5),... ,а" (г, 5 ))|<1).

1=1 2

Тогда из соотношения 1) теоремы 3.1 вытекает, что

1 5 1 г

V5(г,5),-Р1 (г,5),-Р2(г,5),/Р1 (г,V)dv-/Р1 (г^)dv+/Р2(т,5)dт-/Р2(т,5)dт-V(г,5) е¿

1 0 0 0 0 !

¿ед g (г,5, ф( г, 5), Фг (г, 5) ,ф 5 (г, 5 ))+(Е а (г, 5)/у (г, 5,2 (г, 5), ® (г, 5)), Е я1 (г, 5)/у( г,5,2 (г, 5) (г, 5)),

i=1 i=1

"

Е (t, 5 )/1У,(t, 5,2 ( М (t, 5 )),а 1( ^ ),•••, а" (t, 5 )): |( а 1( t, 5 ),...,а" (t, 5 ))|<г

i=1 2

Обозначив Я() = (а 1(), ••• ,а"()) имеем, что

1 5 1 г

Я (г, 5 ) = / Р1 (t,v)dv — / (г, V)dv +/р2(т,5)dт-/Р2( т,5)dт - V (г, 5 ) . 0 0 0 0

Поэтому

т ду(г,5,2(г,5), (г,5))с(д(г,5)/у (г,5,2(г,5), о(г,5)), Я(г,5)/у (г,5,2(г,.5), ®(г,.5)), Я(г,5)/у2(г,5,2(м)(м)), я(м)): |Я(г,5)|<т). Тогда получим, что

(V 5 (г, 5 ),-Р1 (г, 5) ,-Р2 (г, 5 ))ед g (г,5, ф( г, 5), Фг (г, 5) ,ф 5 (г,5))+

+ {(я (г, 5 )/у (г, 5, 2 (г, 5 ),о (г, 5 )),я (г, 5 / 1 (г, 5,2 (г, 5 ),о (г, 5)),

Я(г, 5)/у2(г,5,2(г, 5),о(г, 5))):|Я(г, 5)|<т), 11 где Я (г, 5 )=/РР] (г, V) dv +/Р2 (т,5) dт - V (г, 5).

5 г

По соотношении 2) теоремы 3.1 v(1Д)ед£(ф( 1,1)) . Теорема доказана.

Из теоремы 3.2 вытекает, что если о( ) оптимальное управление, ф( ) оптимальное решение и выполняется условия теоремы 3.2, то существуют функции

Р Х,Р2 еL :([ 0,1 ]х[ 0,1 ]), V (.,•)€ Л" ([ 0,1 ]Х[ 0,1 ]) , где V () = V (t Д) для ()е[ 0,1] такие, что

1) (Vts(t,s), -Р1 (t,s), -Р2(t,s ))едg (t,s), йt(t,s),й5(t,s)) +

+ (q (t,s)/у (t,s, Я ( ^ 5) , Я t (t, 5), я 5 (t, 5) , е)( )) (t,s) /у (t)S)Я(^ 5), Я t (), Я 5 () ,а>( t,s )), q (t,s )/у2(t,s, я,(t,s),Я5(t,s), Я( t,s)),

2) V(1,1 )ед£( я( 1,1)),

1 5 1 I

где Я ( М )=/?!(t,v )dv- / Р 1( t,v)dv +/Р2 () dт- / Р2 (т,5) dт- V (t)S).

0 0 0 0

Положим

Н ( ,М 2 , у )=g ( 1, И 2 ) +< у ( м ),/( ,и 1 И 2 )>,

у ( t,s ) = £' ( я( 1,1 ) )+ / ( t, V, я( ^ V ) , я ( t, V ) , я5 ( t , V ) , й ( t , V ) 1

—I— / ^^ и ( т , 5 , й( т , 5 ) , Я 2> ( т , 5 ) , Я 5 ( т , 5 ) , гй ( т , 5 ) , ( т , 5 ) dг -+ t ^ 1 1

—I— / / ^^ и ( т, V, и ( т, V ) , Я ( т, V ) , Я 5 ( т, V ) , гй ( т , V ) , ( т , V ) dт dv .

5 t

(3.6)

Теорема 3.3. Пусть пары (я, где ЯбЛ"([0,1 ]х[0,1 ]) и г ()еQ измеримая функция, является решением задачи (3.1)-(3.3) и удовлетворяются условия теоремы 3.1. Если кроме того множество а (t's' и (t's), Я х (М), (^), Я ^(^ 5)) выпукло, ^ аь регулярно в точке (Я( t,s), я{(t,s), Я5(t,s), Я^(М)) , фунукция 2 ^g() строго дифференцируема в точке (Я (t's

), Я, ( ), Я, (t,s ))

функция строго

дифференцируема в точке я( 1,1) , функция у ^/ ( г1,5)) непрерывно

дифференцирума и у() решение задачи (3.6), то

Н (1,5, и (^ 5), Я 1( ^ 5), Й1( 1,5), г (1,5 ),¥ (I , 5 )) = тт Н (I , 5, и (1,5), я, (1,5), Я^ I , 5), А, у (1,5))

г ее ' .

Докозательство. Так как, ^ ак регулярно в точке

(и(t,s), и,(t,s), "а5(г,5),Яь(t,s)) , то по определению кgr а5 ( й( ), Я t ( ), Я 5 ( ), Я ^ ( Г, 5 )) = Tgras ( Я( Г, 5 ), Я t (), Й^ () , Я )) .

Ясно, что {(и (t,')>Яt(t,')> Я5(t,' ))}ха(t,', Я( М), Яt(t,'),Я5(t,' ))cgr . Поэтому по предложениям 7.6.1 и 7.1.5.[6] имеем, что

,„,„,2-Я 5)): г еа (ЦЯ( ^ 5 ),м, (^ 5 ),й 5 (^ 5 ))|с^

( Я( t)s Iм, (^ 5 ))us( t) 5 ),Я Й( ^ 5)).

Так как 2 ^(,)s)2) строго дифференцируема в точке (й( М), (М), ии5(t)s)) , то по соотношению 1) теоремы 1.3 имеем, что

1 5 t t

</Р1 (^ V ) dv - /РР1 (t)V ^ +/РР2 (т,5 )dт-/РР 2 (т,5) dт - V (t)S ) ,2 - и5 (t)S )> < 0 0 0 0 0

при 2еа(t)s),и (t)s),я((t)s), (t)S)) . Положив

1 5 1 t

у ( t)S) = -/ Р! (t)V)+ / Р1 (t)V)dv -/ Р2(т,5)^ + / РР2 (т,5)dт + V( t)S)

0 0 0 0

отсюда получим, что < у (г ),2-я,5(t)S)>>0 при 2еа(t)s),я(t)S),я,(t)s), я5(t)s)) . По условию

и { а ( t,s )=f (( t,s, и ( t,s ), и t ( t,s ), ( ) , # ( t, 5 ))

Поэтому

при 0 еб . Так как 8Г/( М))cgr () и ёг регулярно в точке

(и(г, 5), и((), их(г,5), иЙ()) (см [5]), то Kgrf (1,5,-,и( г,5 ))( и( г, 5 ) ,и г ( г, 5 ), и 5 (), и ^ ( ))с К%г и(М ) ,и г (М ) , и ^ (), и ^ ( ^ 5 )) .

Поэтому

к -г/(1,*,-.ж ))(и (г, 5) ,и г (г, 5), и (г, 5), иЙ (г, 5 ))з ^^ (и( г, 5), и( (г, 5), "и, (г, 5), (г,5)) .

Тогда по соотношению 1) теоремы 1.3 имеем, что

(V 5(г, 5),-Р1 (г,5),-Р2(г,5)у (г,5))е Vg(г,5, и( г, 5),и((г,5), и5(г, 5)) +

+К((г-5 -и(^))(и(г, 5),иг(г,5),и5(1,5),иЙ(г, 5))

(3.7)

Так как функция у ^/ ({,$,у,г'} ()) непрерывно дифферецируема, то из [6] , стр.402 вытекает, что ()еKgrf(( г,-,и(^))(и(), и(), и(), и&( ^)) в том и только в том случае, когда V = ^(t,s, и( М), и(t,s), Р(t,s),и(М))^ где геRЗп . Тогда из (3.7) вытекает, что

¿( V 5 (г, 5)- g и (г,и( г, 5 ), и г ( г, 5 ) ,и 5 (г, 5 )), - ( г, 5 ) - g ( г,и( г, 5 ), и ( г, 5 ), и 5 ( г, 5 )), -

—Р2 (г, 5 ) — g и ( г, я, и (г, ), и ( г, 5 ), и 5 ( г, 5 ))) , г >=< у (г, 5 ), / ( г, я, и ( г, 5 ), и г ( г, 5 ), и 5 ( г, 5 ) , и ( г, 5 ) ¿

Отсюда вытекает, что

(vte (г, 5)(г, 5)- р (г, 5 )) = ( gu (м,и( г, 5), и 1 (г, 5) ,и 4 (г, 5)), gUt (м,и( г, 5), и г (г, 5), и 4 (г, 5)),

gu (г,5,и(г,5), и(г,5), и5(г,5)) +<у(г,5), V/(г,5, и(г,5),иг(г,5),и5(г,5)(г,5)),

т.е.

V г ( г ' 5 ) == g и ( г , 5 , и( г , 5 ) _ и г ( г , 5 ) - и ^ ( г , 5 )) +--< гу ( г , .

--( г , 5 ) == g и г ( г ' 5 ' и( г , 5 ) , и г ( г , 5 ) , и 5 ( г , 5 )) +--< г^ ( г

- р2 ( г , 5 ) == g и5 ( г , 5 , и( г , 5 ) , и г ( г , 5 ) , и 5 ( г , 5 )) +--< г^ ( г

(3.8)

1 1 где у(г,5)=-/Р1 ()dv-/Р2(т,5)dт+V(г,5) .

5 г

Положив

Н (t,s,u,u1 ,и 2,0 , у )=g (г, и, и 1, и 2) +< у ( г, 5 ),/ (г, и, и 1, и 2,0

¿

из (3.8) получим, что

V г , 5 ) = ^^и ( г, 5, и( г, 5 ) , и г ( г, 5 ) , и ^ ( г, 5 ) , ,5 ) , у

— Р1 ( г, 5 ) = и г ( г, 5, и( г, 5 ) , иг ( г , 5 ) , и ^ ( г , 5 ) ,ги ( г , 5 ) ,

— Р2 ( г , 5 ) == Н^и 5 ( г, 5, и ( г , 5 ) , и г ( г , 5 ) , и ^ ( г , 5 ) , 0 ( г, 5 ) ,

Отсюда имеем, что

1

vs(1,5)- vs() = J Ни(1,5, и ( т^), и((т^), и5( т^ ), 0 ( т^),у (т ^ ))ёт .

г

Так как V(5 ) = V (г) , то

1 1

'(1,1)- V(1,5)- V(t,1) + V(t,s ) = / / ни(т,V,и( т,у), (т,у), й8(т,у), $ (, т, V),у ( т, V))dтdv .

5 t

Тогда

1 1

у (t,s)- V (1,1 ) = / / Ни (т, V, и ( т ),и( (т,у) ,и в (т ) ,д (т,у), у (т, V)) ётёу

/ t (3.9)

(t,V)¿V - I Р2()ёт.

I

Если функция £(и) строго дифференцируема в точке и( 1,1) , то по соотношению 2) теоремы 1.3 и соотношению (3.9) получим, что

у ( t , 5 ) = ( и( 1,1 ) )Ч | Ни ( t , V , и( t , V ) , и t ( t , V ) , и5 ( t , V ) ,и( t , V ) ,< 1

Ч— | ^^ и ( т , 5 , и ( т , 5 ) , и t ( т , 5 ) , и 5 ( т , 5 ) ( т , 5 ) , ( т, 5 ) ёт -Ч

t 5 1 1

—I— | | ^^ и ( т, V, и ( т , V ) , и t ( т , V ) , и 5 ( т , V ) ( т, V ) , гу ( т, V ) ётё^ .

5 t

Теорема доказана.

Литература

1. Садыгов М.А. Экстремальные задачи для негладких систем, Баку, 1996, 148с.

2. Садыгов М.А. Негладкий анализ и его приложения к экстремальный задаче для включения типа Гурса-Дарбу, Баку, Элм, 1999, 135с.

3. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979, 400с.

4. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д. и др. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж, 1986, 103с.

5. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988, 280с.

6. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М: Мир, 1988, 510с.

1