Экстремальная задача для дифференциальных включений в банаховом пространстве shape \* MERGEFORMAT Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ В БАНАХОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

Садыгов Мисраддин Аллахверди оглы

доктор физико-математических наук, профессор Бакинский Государственный Университет

АННОТАЦИЯ

В работе получены необходимые и достаточные условия экстремума для экстремальных задач дифференциальных включений в прос-транстве банаховозначных абсолютно непрерывных функций. Отметим, что минимизирующая функция в общем случае не является внутренней точкой области определения функционала или области определения дифференциаль-ного включения.

ABSTRACT

The necessary and sufficient conditions for an extremum are obtained for extremal problems of differential inclusions in the space of Banach-valued absolute continuous functions. Note that the minimizing function in the general case is not an internal point of the domain of definition of a functional or domain of definition of a differential inclusion.

Ключевые слова: необходимое условие, липшицевая функция, субдифференциал, включение.

Key words: necessary condition, Lipschitz function, subdifferential, inclusion.

1. Введение

В работе применяется единая методика исследования экстремальных задач для дифференциальных включений (см.[1]-[3]). Схема получения необходимых условий состоит из нескольких этапов. Сначала изучается непрерывная зависимость решения дифференциального включения от возмущения. Затем исследуется выпуклая вариационная задача, заданная в соответствующем пространстве. Изучаются субдифференциал интегрального и терминального функционала в пространстве абсолютно непрерывных функций. Хотя выпуклые вариационные задачи изучены разными авторами (см. [4]), но такие задачи не применимы к выпуклым экстремальным задачам для включений. Далее рассматривается выпуклая экстремальная задача для включений. Отметим, что минимизирующая функция в общем случае не является внутренней точкой области определения

функционала или области определения дифференциального включения.

Далее используя теоремы о непрерывной зависимости решения включений от возмущения, невыпуклая экстремальная задача для включений приведена к вариационной задаче и получено необходимое условие экстремума.

Работа является обобщением некоторых результатов работ автора в ([1], с.82-106, [2],а263-344), где получены необходимые и достаточные условия минимума для экстремальной задачи дифференциальных включе-ний в пространстве п — мерных абсолютно непрерывных функций. В данной работе получено необходимое и достаточное условие экстремума для дифференциальных включений в пространстве банаховозначных абсолютно непре-рывных функций. Работа является продолжением работы [5] автора.

2. О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ МИНИМУМА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

В п. 2 получены необходимые и достаточные условия минимума для дифферен-циальных включений, изучен также случай, когда оптимальное решение не является внутренним.

1) О зависимости решений дифференциальных включений от правой части

Пусть Х сеперабельное банахово пространство. Обозначим через сотр(Х) совокупность всех

непустых компактных подмножеств из Х с метрикой Хаусдорфа, т.е. если А'В е сотр(Х), то через

Рх(А'В) абозначим расстояние Хаусдорфа между А и В . Для простоты далее отрезок заменим

[0,Т]

через

Пусть а[0,Т]х Х ^ 2 , где T > 0, 2Х множество всех подмножеств Х' причем а(^х) компактны

t X

при всех 4 х .

Решением включения х ® е а(^называется абсолютно непрерывное отображение х: [0'Т] ^ Х

, х(-) е ^1([0'Т],ХК Х(0 е а^хЛ)) t е[0Д]

(т.е. 1 ) удовлетворяющее включение для почти всех .

Лемма 2.1. Пусть У()е^([0-Т]'Х) и а^х) в области tе[0'Т], Iх-^*Ь, удовлетворяют условиям:

\ a(t'X) a(t'X) t

а) 4 ' непустое компактное множество, 4 ' измеримо по 1,

. . k(t) px(a(t,x),a(t,x')) < k(t)||x - x'll

в) существует такая суммируемая функция w, что ^ 11 11

llx'- y(t)|| < b llx - y(t)|| < b p . „ ||y(0) - x0|| <5< b,

при 11 11 , 11 11 , где Kx - хаусдорфово расстояние. Пусть 11 011

d(y (t),a(t,y(t)) < p(t) p(t) \j \ ^ \ ,j \ // f\ j , где ' суммируема.

T x(t) x(t) e a(t,x(t)), x(0) = xn,

Тогда существует такое решение w задачи w v^v \ j что

||x(t) - y(t)|| < ад, ||x(t) - y(t)|| < k(t)^(t)+p(t) _

£(t) = 8em(t) + J em(t)-m(s)p(s)ds, m(t) = J k(s)ds, 0 0

t e[0,T] Ш) < b при таких L ' J, что ' .

Лемма доказывается аналогично доказательству теоремы 2.1.2 [6, c.41] , если привлечь леммы 2.1.4

[7, с.80] (см.[1], [8, c.100]).

с -> ! ?(T) < b

Если в лемме 2.1 выполняется неравенство ' , то легко проверяется, что

К) - y(-)|Wi1([0,T],X) < max ?(t) + T (k(t)^(t) + p(t))dt < (1 + em(T) + m(T)em(T)) + Tp(s)ds j

Лемма 2.2. Если - x0(t) решение задачи x(t) e a(t'x(t))' x(0) = x0 и a(t'x) в области t e[0,T], llx - x0(t)|| < b

11 0 11 , удовлетворяют условиям:

ч a(t,x) a(t,x) t

а) v ' непустое компактное множество, v ' измеримо по 1,

. , k(t) px (a(t,x),a(t,x')) < k(t)||x - x'll

в) существует такая суммируемая функция , что x при

llx'- x0(t)|| < b llx - x0(t)|| < b p ,

0 , 0 , где x - хаусдорфово расстояние.

rp a> 0 zs(t) z (t) e a(t, z(t)) + s(t), z(0) = x0

Тогда существуют такие a>0 и решение sW задачи w v' w' v/ 0, где

s(0 e ЗД0Д» Hs(0||Li <a, что ||zs(t)-x0(t)|| <b при t e [0,T] и "zs(0-0 при Ml ^ 0 .

Доказательство. Ясно, что Px(a(t,x) + s(t), a(t,x') + s(t))<k(t)llx-x1 при «x-y(t)l<b, I*'-y(4< b

d(xx0(t), a(t,x0(t)) + s(t)) < ||s(t)|| ^ „ , z (t)

и ^w v ^v // л 7ii . Поэтому по лемме 2.1 существует решение sW задачи

z (t) e a(t, z(t)) + s(t) z(0) = x0

, 0 такое, что

T

||x0(t) - zs(t)|| < Jem(t)-m(T^|s(x)dx < em(T)||s(0| 0

t

1еГ0Т1 m(t) = ^ ^^ О "»ГО

при [ , ], где 0 . Если определять а > 0 из неравенства e а - ь , то получим, что верна

первая часть утверждения леммы.

Из леммы 2.1 получим, что

т т t

||zs(•) - x0(.)||W1 < J|x0(t) - zs(t)|dt < J (k(t)Jem(t)-m(x)||s(T)||dT + 1 0 0 0

- ||s(t)||)dt < m(T)em(T)||s(0||L +1|s(0||L = ||s(^)||Ln (m(T)em(T) +1),

1К(0 - х0(0||">0 |^(.)|| ^ 0

т.е. 1 при 1 . Лемма доказана.

т -1 1 тт Р л R:Г0,T1 ^ 2E

Замечание 2.1. Пусть Е банахово пространство, [ , ] много-значное отображение.

Множество всех измеримых сечений обозначим . Счетное семейство =1 с ^ называется

ад

с1 и Sk(t) = R(t) t е[0т]

представлением Кастена для ( ), если к 1 при п.в. [ , ]. Многозначное отображение

L

Я: [0,Т] ^ 2е .

[ ' ] будем называть измеримым, если существует представление Кастена. Из определения

непосредственно следует, что объединение не более чем счетного семейства измеримых многозначных отображений измеримо и замыкание измеримых отображений измеримо.

Отметим, что имеют разные определения измеримости многозначного отображения. В теореме

ЯЛ)

1.5.6[9, с.65] (в теореме 1 [10, с.64]) доказано, что если ( ) непустое компактное (замкнутое) множество

при t е [0'Т], то они совпадают.

Далее измеримость многозачного отображения будем понимать в смысле Кастена.

Замечание 2.2. Если Х банахово пространство, а[0,Т]х Х ^ 2 собственное замкнутое выпуклое

отображение и образ ( ' ) имеет непустую внутренность и ( ' ) локально ограничено, то из

следствия 3.3.3 [11, с.136] следует, что а(:' ) локально липшицево на 1п:(1та (t' ).

2) О необходимых и достаточных условиях минимума для выпуклых дифференциальных включений

Пусть Х сеперабельное банахово пространство, ^:[0'Т] х Х х Х ^ Явыпуклый нормальный

Ф :Х х Х ^ Я,„ , Мг- V- 0[0Т] ^ 2Х

интегрант, ^ выпуклая функция, м с Х выпуклое множество, V 1«, нормальное

многозначное отображение, т.е. измеримое и замкнутозначное отображение и 0(:) выпуклое множество

: е[0,Т] а:[0,Т]хХ ^2Х Л : ^ [0,Т] ета:

при 1 ' J, отображение такое, что ь : измеримо на 1 ' , множество ь :

замкнуто и выпукло почти для всех : е [0'Т], причем а(:'х) компактны при всех х' Отсюда следует, что

юЛ'Х'г) „ [0,Т]х (Х х Х)

выпуклый нормальный интегрант на .

Отметим, что если отображение х ^ а(:'х) полунепрерывно сверху и а(:'х) замкнутое множество

при всех х, то из предложения 3.1.7[11, с. 116] следует, что отображение х^а(:,х) замкнуто, т.е.

множество замкнуто.

Рассмотрим минимизации функцинала

T

J(x) = ф(х(0), x(T)) + J f (t, x(t), x (t))dt 0

(2.1)

среди всех решений задачи

x(t) e a(t,x(t)), x(0) e M с X x(t) e Q(t) (2 2)

Решение задачи (2.2) , минимизирующее функционал (2.1) среди всех решений задачи (2.2) назовем оптимальным. Требуется найти необходимые и достаточные условия оптимальности решения задачи (2.1), (2.2). Поставленная задача эквивалентна следующей

T T xeW11([0,T],X)

®o(x) = J (f(t,x(t),x (t)) + ÖQ(t)(x(t))dt + ф(x(0),x(T)) + Jffl(t,x(t),x (t))dt + 5m(x(0)) ^ min,

0 0 (2.3)

Г 0, если z e a(t,x) Г 0: если (x,z) e grat Г 0: если x e M,

ra(t,x,z) = 1 , =1 , ч 8M(x) = 1

l+ro, если zg a(t,x) l + ro:если (x,z) g grat, + :если x g M

где ^ ^ 1

Рассмотрим функционал

T T

®(x, y) = J (f (t, x(t), x (t) + y(t)) + 8q(1) (x(t))dt + ф^(0), x(T)) + Jffl(t, x(t), x (t) + y(t))dt + 8m (x(0)),

0 0

h(y) = inf ®(x,y)

где y() e Li([0,T],X), a(t,x) компактны при всех t e[0>T]>x e X. Положим x^1^,«^) .

Из предложения 2.5 [12, c. 28] вытекает, что h выпуклая функция.

inf Ф0 (x)

Лемма 2.3. Если xeW/([0,T],X) конечен, :[0,T]x X х X ^ Rвыпуклый нормальный интегрант,

ф :X х X ^ R,„ , м Q [0T] ^ 2X

^ +ш выпуклая функция, м выпуклое множество, v L ' J нормальное многозначное

отображение и Q(t) непустое выпуклое множество при t e[0,T], ra(t'x'z) выпуклый нормальный

[0,T]x (XxX) Л t ^a(t,x) F> 0 x0(t)

интегрант на L J v ', отображение v ' измеримо, существуют ь >0 и решение 04'

x(t) e a(t,x(t)) x(0) = xn xn e M (x:||x0(t) - x\\ <s} с domat

задачи , 0 , где 0 , такие, что 0 t ,

(x:||xn(t) - x|| <s} с Q(t) a(t x) t e[0T] ||x - xn(t)|| <s

0 и непустое компактное множество при , 0 и

ж k(t) px(a(t,x),a(t,x')) < k(t)||x - x'|| llx'-x0(t)|| <s

существует такая суммируемая функция , что x при 0 ,

llx - x0(t)|| <s r() e L[0,T] c > 0 f(t,x0(t) + z, u) < r(t) + cllu||

11 0 11 , существует vy 1L ' J и число c >0 такие, что 0 11 11 при

z e X,||z|| <s, ue X t e[0,T] . Q(x0,0 x0(T) , h

11 11 , , функция 0'y непрерывна в точке uv ', то функция h

субдифференцируема в нуле, т.е. задача (2.3) стабильна (см. [4, с.60]).

T

S(x,y) = J(f(t,x(t),x(t) + y(t)) + 5Q(t)(x(t))dt x( e W1([0 T] X)

Доказательство. Обозначим 0 . Пусть () 1([ , ь ^

llx(0 -x0(OHwi <e , x(0) = x0(0) и y() e L1([0ST],X), lly()llL1 <e . Тогда

T T T

S(x, y) = J (f (t, x(t), x(t) + y(t)) + 5q(() (x(t))dt < J (r(t) + c||x(t) + y(t)||)dt < J (r(t) + c|x (t)|)dt + 2ce

0 0 0 ,

т е. S(x,y) < M при x() e W1([0,T],X), llx() - ^Ollw; <e , x(0) = x0(0) и y() e L1([0,T],X), Пу()1^1 <e

T

M = J(r(t) + dx0(t)|)dt + ^ Q(x •) x(T)

, где 0 . Так как функция 0, ) непрерывна в точке 0 ( ), то существуют

а, > 0 M, Ф(^,Ь) < M, ™ IIb - x0(T)|| <а1 а = тЫа,, s} п ,,

такие 1 и 1, что 0' ' 1 при 11 0 11 1. Обозначим 1 1 '. По лемме 2.2 для

а> 0 S> 0 Xy X(t) е a(t, x(t)) - y(t), x(0) = x0

а >0 существуют такие ° >0 и решение У задачи w v' w 0 при

у(-) е Ь1([0,Т],Х), ИНц - 8 К« - <а п

^ > " 1 , что удовлетворяется неравенство 1 . Поэтому

Ь(у) = inf Ф(х,у) - Ф(ху,у) - М + М1

х

при у( е Ь1([0,Т],Х), ^ ^ . Согласно предложению 1.2.5 [4, с.21], отсюда следует, что функционал Ь непрерывен в нуле. Тогда из предложения 1.5.2 [4, с.31] вытекает, что функ-ционал Ь субдифференцируем в нуле. Лемма доказана.

Пусть (Х0(),у0())е^1([0Д],Х)хЬ^ВД . Отметим, что если f :[0'Т]хХхХ^выпуклый

~ г(0 е Ь[0,Т] с > 0 ^,х0(0 + z, и) - r(t) + си||

нормальный интегрант, существует и ' J и число с >0 такие, что 11 11 при

Т

1 ^хахуам

z е X, И <8, DE X t е[0Д] , _ f(t,x0(t),y0(t))

и функция v ' '' сумми-руема, то функцинал

0

непрерывен в точке (x°( ),У°( )) относительно нормированной топологии пространства

T

WVrO Т1 Х^хL (ТО Т1 » m = X ftt ^f(t,x(t),y(t))dt

1([ , ] ) 1([ , ] ). В част-ности, если У0() 0(), то функцинал 0 непрерывен

(xn(-),xn(-)) ~ W1([0,T],X) х L1([0,T],X)

в точке v 0W 0У" относительно нормированной топологии пространства 1VL J' ' 1VL J .

Положив fi(t'x'y) = f(t'x'y) + SQ(t)(x) + ®(t,x,y), qh^xCD) = ф(x(0),x(T)) + 8m(x(0)) имеем, что задача (2.1), (2.2) эквивалентна задачу минимизации функционала

T xeWl([0,T],X)

J(x) = ф1(x(0),x(T)) + J f1(t, x(t),x(t))dt ^ min.

0

n wеX, иеX* fi0(t'z'u) = + fi(t'z'w)} w

Пусть ' . Положим weX . Из условия следует, что

z ^ f10(t,z, и) , ^ f (t, z, и) =azf10(t,z, и) D

1 v' ' ' выпуклая функция. Для простоты далее положим 1 v > > / z 1 v' ' /. Решение задачи

(2.1), (2.2) обозначим через x(t), т.е . J(x) <+" и J(x)< J(x) при x(0е W11([0,T],X). Аналогично теореме 5.1 [5] доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1. Для того, чтобы функция х(:) среди всех функций х( ) е^1([0'Т]'Х) минимизировала

^ /пч я Я(0 е &т([0Д]'Х* ), , ш(Л е ^([0,Т],Х*)

функционал (2.3) достаточно, чтобы нашлись мера J ' функция ' <юЧ1 ' J' '

и

a, b e X* векторы ' такие, что

1} q(t) eaf10(t,X(t),v(t)+b) 2) fi0(t,x(t),^(t) + b) = (v(t) + Ь,ад) + fi(t,x(t),x(t))

T T

3) (-a-b,b) ea*(X(0),X(T)) 4) Kx(t),q(dt^ = <a,x(0)> +^(t),x(t)>dt, x e Wi1(f0,T],X)

T T

sup К y(t),q,(dt)> =J( x(t),q,(dt^,

5) yeQ 0 0

T _

Q = {y e W/([0,T],X) : Ji(y) = Jf°(t,y(t),y(t) + b)dt < где 0 , qs - сингулярная часть меры q , а если

то л, t ^ I |a(t, x0(t))|| int r dom J, = int w domJ,

выполнено условие леммы 2.3 , функция 11 0W/n суммируема и C 1 W 1, то

соотношения 1)-5) и являются необходимыми.

Отметим, что если и( ) e ([0,T],X ), то из предложения 2.5 [12, c.28] следует, что y ^f1 (t'y'u(t)) выпуклый интегрант и аналогична теорему 8.1.4 или предложению 8.1.10 [13, c.348, c.345] проверяется,

что (t'y) ^ f1 (t'u(t)) L x В - измерима. По условию существует суммируемая функция k(t) такая, что Px(a(t,x),a(t,x'))<k(t)|x-x'|| ||x'-^Ц<8 ||x-x0(t)||<8 , _ t ЧИ^«)!

при 0 , 0 и функция 0 суммируема.

Поэтому "a(t'x0(t) + z)ll<lla(t>x0(t))ll + k(t)8 при INI<8. Тогда

fi0(t, xo(t) + z, o(t)) = inf {o(t),y) + f (t, xo(t) + z,y)} =

yeX

= inf {U(t), y + f (t, xo (t) + z, y) + 8q(() (xo (t) + z) + ffl(t, xo (t) + z, y)} <

< inf {||u(t)||||y|| + r(t) + C|y||} < r(t) + (I "(t)|| + c)(||a(t, xo (t))|| + k(t)s)

yea(t,xo(t)+z)

z <s при 11 11 .

Частный случай. Пусть X сеперабельное банахово пространство, f '[0, T] х X ^ Rвыпуклый

Ф 'X ^ Я+ш , M a : [0,T]хX ^2X

нормальный интегрант, ^ +ш выпуклая функция, M выпуклое множество, L J ,

отображение t ^ g at измеримо на [0'T], множество grat замкнуто и выпукло почти для всех t e [0, T]

и a(t,x) компактны при всех t e [0' 'T] x e X. Решение задачи

x (t) e a(t,x(t)), x(0) e M с X (24)

минимизирующее функционал

T

J(x) = ф(x(T)) + J f(t,x(t))dt

0 (2.5)

среди всех решений задачи (2.4) назовем оптимальным. Требуется найти необходимые и достаточные условия оптимальности решения задачи (2.4),(2.5). Поставленная задача экви-валентна следующей

T T xeW11([0,T],X)

®0(x) = J f (t, x(t))dt + ф(x(T)) + jro(t, x(t),x (t))dt + 5M(x(0)) ^ min,

0 0 (2.6)

Рассмотрим функционал

Т Т

Ф(х, у) = 1 г (:, х(:))<+ф(х(Т)) +1 х(:), х (:)+у(:))а:+5м(х(0)),

0 0

Ь(у) = inf Ф(Х'У)

где у(:) е Ь1([0,Т],Х)- Положим ^аьлШ . Из предложения 2.5 [12, с. 28] вытекает, что

Ь выпуклая функция.

Лемма 2.4. Если ю(:,х'2) выпуклый нормальный интегрант на [0'Т]х(ХхХ), отображения

: ^а(:,х) е> 0 хп е м хпП:) хх(:) е а^ха))

4' ' измеримо , существуют е > 0 и при некотором 0 решение 04' задачи 4 ' 4' ",

х(0) = х0 {х:||х0(:) - Х| <е} с <<ота: а(^х) : е[0,Т]

4 ' 0, такие, что 11 0 11 : и 4 ' ' непустое компактное множество при 1 ' J,

||х - х0(:)|| <е ка) рх(а(:,х)'а(:,х')) < к(:)||х - х'||

0 , существует такая суммируемая функция , что х при

||х'-х0(:)|| <е ||х - х0(:)|| <е Г:[0'Т] х Х ^ Я+ш „ „ ,

11 0 11 , 11 0 11 , 1 ' J +ш выпуклый нормальный интегрант, функционал

Т ,

^ (х) = 1 ^хда: Wl1([0'T]'X) ^ Я+

0

хо(0 Ф: Х ^ Я, непрерывен в точке 0ЧУ, выпуклая функция и

linf Ф0(х)

непрерывна в точке 0( ), хе^([0,Т],Х) конечна, то функция Ь субдифференцируема в нуле, т.е.

задача (2.6) стабильна.

Доказательство. Из непрерывности функционала ^(х) в точке х°( ) относительно нормированной

ЖЧ^П'М'Х) а, > 0 М ^(х) < м,

топологии пространства 141 0 и ' получим, что существуют 1 и 1 такие, что 1 при

И-х0(ОЬ <а1 л . „ х0(Т) а2> 0

1 . Аналогично, по непрерывности функций в точке 04 ', существуют числа 2 и

М ф(Ь)<М ™ |Ь-х0(Т) <а2 а = тт{а,,а,е} тт <-><-> а>0

2 такие, что ^ ' 2 при 1 04 1 2. Обозначим 1 1 2 ' . По лемме 2.2 для а>0

5> 0 ху ха) е а^х^)) - у(а х(0) = хп у() е Ь([0'Т]'Х),

существуют такие °>0 и решение у задачи 0 при у 141 ' "

||у(0|1 <5 ||ху(0- х0(о! 1 <а

1 , что удовлетворяется неравенство 1 . Имеем, что

Ь(у) = inf Ф(х, у) < Ф(ху' у) < М1 + М2

х

при у( ^е ^1([0,Т],Х), Ч ^ . Согласно предложению 1.2.5 [4, с.23], отсюда следует, что функционал Ь непрерывен в нуле. Тогда из предложения 1.5.2 [4, с.31] следует, что функционал Ь субдифференцируем в нуле. Лемма доказана.

Отметим, что в лемме 2.4 условию непрерывности функционала Т ,

^ (х()) = 1 : Wl1([0'T]'X) ^ Я+ш

0 в точке 0 ( ), можно заменить условием- существует

г()еЬ[0,Т] зир^х^) + г): геX, |Ы|<е}<г(0 :е[0,Т]

1 такая, что 0 при .

ra0(t,x,y* ) = min{^y* ,zj'z e a(t,x)} *

Положим " ' r 1 , где y e X

Отметим, что aSM(x(0)) = Nm(x(0)) , где Nm(x(0)) -нормальный конус к M в точке x(0). Кроме того

p e NM(x(0)) max{(p, x) ' x e M} = (p, x(0))

f mv wy в том и только в том случае, когда * ' > '.

Теорема 2.2. Пусть f [0,T] х X ^ Rнормальный интегрант, ф X ^ R+œ функция, M непустое

ro(t,x,z) „ [0,T] х (Xх X) TT с- , x(t)

множество, v ' нормальный интегрант на L ' J v '. Для того, чтобы функ-ция v J среди всех

решений задачи (2.4) минимизировала функционал (2.5) достаточно, чтобы нашлись мера

q(-) e frm([0,T],X*), . у(-) e Lœ([0,T],X*) a,b e X*

J' '' функция TV ' ' -1' ' и векторы ' такие, что

1} q(t)eS(f(t,x(t))+ffl°(t,x(t),^(t)+b)), 2) ®0(t,x(t),V(t) + b) = (v(t) + b,x(t^,

3) b e^(x(T)), 4) -a - b e 9ôM(x(0)),

^x(t),q(dt^ = (a,x(0^ +^V(t),x(t^dt при x e Wi1([0;T],X); 5) 0 0

T T

sup J(y(t), q,(dt)) = J(x(t), q,(dt^,

6) yeQ 0 0

T T

Q = {y e W11([0,T],X): J\(y) = Jf(t,y(t))dt +J®0(t,y(t),y(t) + b)dt < +»}, где 00 qs _ сингулярная часть меры q' а

xew/miix)°0(x) f : [0,T] x X ^ „ œ :X ^ Я+ш

если xeWi ([01] X) конечен, L ' J +œ выпуклый нормальный интегрант, T +œ

. M ra(t,x,z) „ [0, T] x (X x X)

выпуклая функция, M выпуклое множество, v ' выпуклый нормальный интегрант на L ' J v '

r t ^a(t,x) P> 0 xn e M xn(t)

, отображение v ' измеримо , существуют ь ^0 и при некотором 0 решение 04 ' задачи

x(t) ea(t,x(t)) x(0) = xn {x:||x0(t) - x\\ <s} с domat a(t,x)

w vîv//^ w 0, такие, что 11 0 11 t, v ' ' непустое компактное множество

t e [0,T] ||x - x0(t)|| <s k(t)

при , 11 11 , существует такая суммируемая функция w, что

Px(a(t,x),a(t,x'))<k(t)x-xi при ||x'-x0(t)||<в, ||x-x0(t)<в, функция t4la(t,x0(t))ll суммируема,

supf(t,x0(t) + z) < r(t)

r(-) e L[0,T] |W <s 0 t e[0,T] . œ(x)

существует w u ' 1 такая, что 11 11 < при L ' J, функция TV ' непрерывна в

xn(T) intrdomJ, = intwdomJ, 14 „ Ä

точке 0V ' и C 1 w 1, то соотношения 1)-6) являются и необходимыми.

Доказательство. Достаточность теоремы 2.2 непосредственно проверяется.

Необходимость. Из леммы 2.4 вытекает, что h субдифференцируема в точке нуль. Поэтому из

x(.)

замечания 3.2.3 и из предложения 3.2.4 [4, c.60, c.62] вытекает, что все решения w задачи

«

sup {-Ф (0,z)}

тДФп(x) : x e W,1(rö,Tl,X} (-z(-)) zeL ([ût]x*)

1 0W 1 ^^ ' j' и все решения v задачи "11 , -1, ) связаны экстремальным

соотношением

__а _

Ф(x,ö) + Ф (0,-z) = 0 (27)

Отсюда имеем

j f (t, x(t))dt + <(x(T)) + Jra(t, x(t), x(t))dt + 5M (x(0)) + Ф* (0,-z) = 0

По определению

Г тт t 1

Ф (0,-z) = sup j - i(Z(t),y(t))dt - jf(t,x(t))dt - ф(x(T)) - Jffl(t,x(t),x(t) + y(t))dt - 8m(x(0)) \ =

xeW]1([0,T],X) t 0 0 0 J

yeL11([0,T],X)

Г T тт T 1

= sup Г - j(z(t),x(t) + y(t^dt + Дz(t),x(t^dt - jf(t,x(t))dt - <p(x(T)) - jro(t,x(t),x(t) + y(t))dt - 8m(x(0) \ =

XeW?([0,T],X) t 0 0 0 0 J

yeL\([0,T],X)

ГТ T T

= sup Г j(z(t),x(t))dt - jf(t,x(t))dt - <(x(T)) - jro0(t,x(t),z(t))dt - 8m(x(0))

xeWj([0,T],X) lü

T T

J(x) = j f(t, x(t))dt + |ro°(t,x(t),Z(t))dt,

Обозначим 0 0 J2(x) =<(x(T)) + Sm(x(0))- из (2.7) следует, что

Jl и J2 собственные функционалы. По условию J2(x°()) конечен. Поэтому в частности отсюда получим,

т т

Jl(x0Ö) = Jf(t,x0(t))dt + K(t,x0(t),z(t))dt >

что 0 0

тт ~ ,- Г1, ,оп x ^ f(t,x) + ffl°(t,x,z(t)) ~

Из предложения 2.5 [12, c.28J следует, что v ' v v " выпуклый интегрант и

аналогична теорему 8.1.4 или предложению 8.1.10 [13, c.348, c.345] проверяется, что

(t,y) ^f(t,y) + ra0(t,y,z(t)) T у R - тт Л, k(t)

V'J/ v'j/ w/ L у B измерима. По условию существует суммируемая функция v ' такая,

0

0

что Рх(а(:'х),а(:,х'))<к(:)||х-х'|| при IIх'-х0(:^ <е , IIх-х0(:) <е и функция : ^11а(:'х0(:))

^ Ца^х^) + г)|| <1 |а(:,х0(:))|| + к(:)е |Ы| <е

суммируема. Поэтому 0 0 при . Так как

Г (:, х0 (:) + г) + ю° (:, х0 (:) + г, г(:)) = Г (:, х0 (:) + г) + М (ад, у) < г(:) +1 ^¡(Ца^, х0 (:))|| + к(:)е)

N1 <8 -> -> "(х(0) хп(•)

при , то при условии теоремы 2. 2 имеем, что 1 непрерывна в точке 0 .

Положив = (0'г())е ^ВД*,

Т Т

ад = 1 г (:, х(ш:+ф(х(т)) + ка^ф^ш:+5м(х(0) 0 0

Ф (0, г) = 8 (г . Используя неравенство Юнга-Фенхелья получим

8*(г*) > Т(г(:),хх- ад, 8(х) < ^(^х^л+Ф0®,

) > /(г(:),х (:))< - 8(х) > -Ф0®. то отсюда получим, что 0 Поэтому из соотношения (2.7) следует, что

8*(г*) = Т(г(:),х(:))<-8(х), 8(х) = Т(г(:),хх(:))< + Ф0®.

0 0 Из второго соотношения имеем

- *

имеем, что

Т Т Т. .

^(^х©^)^ - 1ет(:'х(:)'?х (0)< = Д гдад (тл.

0 0 0

Отсюда следует, что

ю0 (:, х(:)'г(:)) - х(:),х (:)) = ( г(:),х (:))

: е[0,Т] „ ю0(:'х(:)'г(:)) = (адд «) : е[0,Т] „

при . Поэтому при . Из равенства

8* (г*) = Т( г(:),хх (:))< - 8(х) _*

0 вытекает, что ( ). Из теоремы 0.3.3[13, с.59] имеем, что

58(х) = Ш1(х) + Ш2(х) ~ „ г* е W,1([0'T]'X)\ i = 1,2;

4 ' 14 ' 24 '. Тогда найдутся точки 1 141 ' J' ' ' ' ' такие, что

г = г* + z2' г* = (XУ0Х г2 = (<,Ь) и ZlедJl(x)' г2 еа12(х). Так как г! е^1(х) , то (х;у)

собственный функционал в С1([0,Т],Х). Используя следствию 2.5 [5] имеем, что с1с"1(х;у) = (х;у).

= ^^ 1 (х)

Тогда из следствия 3.3 [5] вытекает, что W 1(x) . Поэтому существует функционал

* 1 * * * __

zq е Ci([0,T],X) „ z, = z* z* eoCJ1(x) zq eoCJ1(x)

4 такой, что 4, и 4 . По следствию 3.1[5] 4 в том и только в

T T

q(t) ed(f(t,x(t)) + ю (t,x(t),z(t))) ye00 о 4<(0

том случае, когда ' v v ' v" v' v vи yeQ 0 0 где Hs v 7

сингулярная часть меры q( ^. Ясно, что

(0^)) = (а,у(0) + (<,Ь) и ^ + К^),х©>Л = Кх(^№>

любого х е ^«авд . Поэтому г(:) = ^(:) + Ь, а + < = 0

г-р г* еШ9(х)

Так как 2 2 , то и

(< -Ь,Ь) е ^(х^Ах^,)), < = -а -V ? ; ^ ^^ ^ где < а . Теорема доказана.

для

гр z* e3J9(x) ,, гг1 z* = (d,b) b е X*

Так как 2 2V то из теоремы 4.1 [5] следует, что 2 v ', где b еX и

С Л, (t,x) ^f(t,x) + ra0(t,x,z(t)) „ „

Если функционал v ' v ' v v " выпуклый нормальный интегрант , то из леммы 3.4

intr domJ = intw domJ, следует , что C 1 W 1.

Пусть выполняется условия теоремы 2.2 , a(t'x) непустое компактное множество при t e[0,T],

x е X ^ Ю е L[0,T] l|a(t,x)|| <A,(t)(1 + 1 У) t e [0, T] x e X ^

x e X и существует функция vy 1L ' J такая, что 11 11 11 11 при L ' J, x e X. Тогда

ro0(t,x,z(t)) = M (ад,y) < llz(t)l ^(t)(1 + Iixi) t e[0 T] „ x ^ra0(t x z(t))

yea(t x) t e [0,T], x e X. Поэтому x ^ (t'x'z(t)) непрерывная

ж r, (t,y) ^ f(t,y) + ra0(t,y,z(t)) ~ „

функция. Отсюда следует, что V'J/ \ и/ w/ выпуклый нормальный интегрант.

Если при x°(t) = x(t) удовлетворяется условие теоремы 2.2, то из теоремы 3.2[5] следует, что q() абсолютно непрерывная мера. Тогда имеем

T T T

Кx(t), q(dt)) = Jx(t)d(q(t) - q(T)) = (q(T) - q(0),x(0)) +J(q(T) - q(t),x(t))dt

0 0 0

T T

, J(x(t), q(dt)) = (a,x(0)) +J(y(t),x(t))dt ,

x e W/([0,T],X) ~ j\w, hv \> w/ nvw, W/ x e W1([0,T],X)

при 1 . Так как 0 0 при 1 , то отсюда

получим, что a = q(T) - q(0) и ^(t) = q(T) - q(t). Поэтому q(t) = "V(t) и ^(0) = a' V(T) = 0. Обозначив

y*(t) = y(t) + b ,, a + b = y*(0), b = y*(T).

из доказательства теоремы 2.2 имеем, что

Поэтому используя из теоремы 3. 1 [5] или теоремы 3.2[5] в доказательстве теоремы 2.2 имеем, что

верно следующее следствие.

Следствие 2.1. Пусть f [0'T] х X ^ R+<» нормальный интегрант, ф X ^R+œ функция, M

ro(t,x,z) „ [0,T] х (Xх X) л Л x(t)

множество, v ' нормальный интегрант на L ' J v '. Для того, чтобы траектория v J среди всех

решений задачи (2.4) минимизировала функционал (2.5) достаточно, чтобы нашлись функции y*(•) e W1([0,T],X*)

такие, что

0/+ -и\ -*/

1} - y*(t) eS(f(t,x(t)) + ®0(t,x(t),y*(t))), 2) ®0(t,x(t),y*(t)) = (y*(t),x(t)), 3) y*(T) e гадг)), 4) min^y*(0), x(0)) ' x(0) e M} = (y*(0), x(0))

x (t) = x(t)

а если при 0W v ' удовлетворяется условие теоремы 2.2, то соотношения 1)-4) являются также необходимыми.

Из следствие 2.1 следует, что верно следующее следствие 2.2.

Следствие 2.2. Пусть f [0,T] х X ^ Rнормальный интегрант, ф X ^R+œ функция, M

ro(t,x,z) „ [0,T]х(XхX) TT я x(t)

множество, нормальный интегрант на . Для того, чтобы траектория среди всех

решений задачи (2.4) минимизировала функционал (2.5) достаточно, чтобы нашлись функция y* (•) e W1([0,T],X*)

такая, что

1) (y (t),y (t)) e 9(f(t, x(t)) + ®(t,x(t),x(t))), 2) - y (T) e Эф^)), max{(y*(0), x(0)) ' x(0) e M} = (y*(0), x(0)j

3) ли

необходимыми.

а если при х0(:) х(:) удовлетворяется условие теоремы 2.2, то соотношения 1)-3) являются также

T T

Ii(xo) = Jf(t,x(t))dt (¡2(x(-)) = K(t,x(t),z(t))dt)

0 0

x(-)

Если функционал 0 0 непрерывен в точке ', то из теоремы

nr«i/- ттг^л ж xl = (a,,ш,)6w!([0,T],X)* (x, = (a2,ш2)ew!([0,T],X)*)

2.1[5] (или из теоремы 2.2[5]) следует, что функционал 1 v 1U ' J' ' V2 v 2'Y2/ 1U ' J' ' '

принадлежит ^wIl(x) wI,(x)) тогда и только тогда, когда функционал Xl (x2) "абсолютно

,, -ш (t) eSf(t,x(t)) (-ш (t) 6Ôto0(t,X(t),z(t))). тг лтзт «m

непрерывен" и T1W \ t^v > v. v >, \ >>> Поэтому из теоремы 0.3.3[13, c.59] и из

следствия 2.1 следует, что верно следующее следствие.

Следствие 2.3. Пусть f [0,T] х X ^ Rнормальный интегрант, ф X ^Rфункция, M

ro(t,x,z) „ Г0,Т]х(XхX) TT Ä X(t)

множество, v ' нормальный интегрант на L J v '. Для того, чтобы траектория v J среди всех

решений задачи (2.4) минимизировала функционал (2.5) достаточно, чтобы нашлись функции

Х*(•), у* (•) е Ш.ЧГОД^Х*)

1 такие, что

1} Х*©едю^х^ху'1'^)), 2) «А^Уа»

3) - у*© - Х*© е ^ (^ X(t)), 4) у*(Т) е дф(Х(Т)),

тт{(у*(0), х(0)):х(0) е М} = (у*(0),х(0))

а если при Xo(t) = x(t) удовлетворяется условие теоремы 2.2, то соотношения 1)-5) являются также необходимыми.

Замечание 2.3. Пусть в(х0®,в) = {хех:их--е} и а:[0'Т]хВ(х0©'е)^сотР(Х), где через

сотр(Х) обозначено множество всех непустых компактных подмножеств пространства Х- Если

л t ^ a(t, х) [0,Т] л х ^аа,х) В(х0а),е)

отображение измеримо на и отображение непрерывно в 0

относительно метрики Хаусдорфа, то используя теорему Скорца-Драгони[9] и из теоремы 1.3.11 [9, с.47] = и (х,а0,х))

имеем, что хех°(0+еВ измеримо на [ ' ]. Если х ^а( ,х) полунепрерывно сверху в

IIх Х0( Щ -8, то из теорем 1.2.29 и 1.3.11[9, с.32,47] имеем, что хех0а:)+ев замкнуто. Поэтому

в следствие 2.1 условие ^ ^^ измеримо на [0'Т] и множество ^^ замкнуто почти для всех t е[0,Т],

можно заменить условием отображение t ^a(t, x) измеримо на [0,Т] и x ^a(t,x) полунепрерывно

{x e X : llx - x0(t)|| <s}. сверху в 11 0 11

Пусть Q: [0, т] ^ 2 нормальное многозначное отображение, т.е. измеримое и замк-нутозначное

отображение, и Q(t) выпуклое множество при t e[0,T]. Отметим, что если Q[0,T] ^ 2 нормальное

Г0: если x e Q(t), SQ(t,x) = SQ(t)(x) = j + œ : если x ^ Q(t) многозначное отображение, то 1 нормальный интегрант (см. [13,

c.347]).

Рассмотрим минимизации функционала

т

J(x) =<(x(T)) + j f(t,x(t))dt

0 (2.8)

среди всех решений задачи

x(t) e a(t,x(t)), x(0) e M с X (2.9)

x(t) e Q(t) (2.10)

Положив ) (t, ) Q(t)( ) имеем, что задача (2.8)-(2.10) эквивалентна задаче минимизации функционала

т_

J(x) =<(x(T)) + j f(t,x(t))dt

0

среди всех решений задачи

x(t) e a(t, x(t)), x(0) e M с X

Поэтому из теоремы 2.2 имеем,что верно следующее следствие.

Следствие 2.4. Пусть f :[0,T] у X ^ R+œ нормальный интегрант, ф :X ^R+œ функция, M

ro(t,x,z) [0,T]у (Xу X) Q[0T] ^ 2X

множество, v ' нормальный интегрант на L ' J v ', v L ' J нормальное многозначное

x(t)

отображение. Для того, чтобы функция w среди всех решений задачи (2.9), (2.10) минимизировала

функционал (2.8) достаточно, чтобы нашлись мера q() e frm([0,T],X X функция e Lœ([0,T],X ) и

К V*

векторы a e такие, что

q(t) e 9(f(t,x(t))+ÔQ(t)(x(t))+®0(t,x(t),y(t)+b)), ra0(1,x(t),V(t) + b) = (v(t) + bj(t)),

1) 2)

3) b e 9<(x(T)), 4) -a - b e5SM(x(0)),

T T .TT

|(x(t),q(dt)) = (a,x(0)) +|(y(t),x(t))dt при x(-)e W1([0,T],X) supj(y(t), qs(dt)) =j(x(t), qs(dt)),

5) 0 0 ,6) yeG0 0

T T

G = {y e Wi1([0,T],X):Ji(y) =j(f(t,y(t)) + SQ(t)(y(t)))dt +|M0(t,y(t),V(t) + b)dt <+»}, где 0 0 qs - сингулярная часть

q, xew,ii(roT]X)Фo(X) f:[0,T]y X ^ R+œ

меры а если xevvi([° 1]>X) конечен, L ' 1 +œ выпуклый нормальный интегрант,

ф : X ^ R+œ выпуклая функция, M выпуклое множество, Q : [0, Т] ^ 2 нормальное многозначное

я Q(t) t e [0, T] ra(t, x, z)

отображение и J выпуклое множество при L ' J, v ' ' ' выпуклый нормальный интегрант на

[0, T] x (X x X) я t ^ a(t, x) x0 (t)

, отображение измеримо, существуют решение 0 задачи

x(t) e a(t, x(t)), x(0) = x0 x0 e M e> 0 {x:||x0(t) - xll <s} с domat

w w 0, где 0 и ь>0 такие, что 11 11 t,

{x:||xn(t) - x <s} с Q(t) a(t x) t e[0T] ||x - xn(t)|| <s

11 0 11 и v' ' непустое компактное множество при L ' J, 11 0 11 и

существует такая суммируемая функция k(t) , что

Px (a(t,x),a(t,x')) < k(t)||x - x'||

llx'- x0(t)|| <s llx - x0(t)|| <s , t |a(t,x0(t))|| r(-) e L,[0,T]

при 11 0 11 , 11 0 11 , функция 11 0W/" суммируема, существует vy u > j такая,

, sup{f(t,x0(t) + z) : z e X,||z|| <e} < r(t) t e[0,T] . œ(x)

что функция 0 при , функция непрерывна в точке

xn(T) intrdomJ, = intwdomJ, 14 „ Ä

0 и C 1 W 1 , то соотношения 1)-6) являются и необходимыми.

~ f : [0,T]x X ^ R domaf = X , X(t) X, (t)

Отметим, что если L ' 1 , 1 , существуют суммируемые функции v ' и 1 w

такие, что l|a(t,x^ <X(t)(1 + И) и |fM <X1(t)(1 + И) при x e X, то G = {y(.) e W/([0,T],X) : y(t) e Q(t)}.

Замечание 2.4. При условие следствия 2.4, абсолютно непрерывность меры q() e frm([0,T],X ) эквивалентно существованию решений задачи

-y(t) eö(f(t,x(t))+ÔQ(t)(x(t))+®0(t,x(t),^(t)+b)), ®0(t,x(t),^(t) + b) = (^(t) + bj(t)),

3) b e ap(x(T)), 4) -W(0) - b e S5m(x(0)), где y(T) = 0.

T-r -> ! TT Y^ Q:[0,T]^conv(X) U:[0,T]^conv(Y)

Пример 2.1. Пусть Y банахово пространство, ^ L ' J v / и vy измеримые

« F : [0 T] x Y ^ X conv(V)

многозначные отображения, , где совокупность всех непустых выпуклых

компактных подмножеств банахово пространства V, A(t)X ^X линейный оператор. Рассмотрим минимизации функционала

т

J(x) = ф(к(т)) +j f(t,x(t))dt

о

(2.11)

среди всех решений задачи

x(t) = A(t)x(t) + F(t, u(t)), x(0) eM с X, (2 12)

x(t) e Q(t), u(t) e U(t) (2.13)

T-r a(t, x) = A(t)x + F(t, U(t))

Положив v ' ' v' v ' , получим, что задача (2.11)- (2.13) является частным случаем

задачи (2.8)-(2.10). Поэтому из теоремы 2.2 можно получить необходимые и достаточные условия оптимальности решения задачи (2.11)- (2.13) (см. также [2]).

Обозначив а(:,х) А(:)х + Р(:,и(:)), рассмотрим минимизации функционала (2.11) среди всех решений задачи

х(0 е а(^ х(0), х(0) е М с X х(0 е 0(0

Г 0, г е а(^ х),

ю (:, х, г) = •!

т-т 1 + г а^х),

Положив ^ имеем, что поставленная задача эквивалентна следующей задаче

Т

"0 (х) = 5м(х(0))+ф(х(Т)) +1 х(:)) + 5о(:) (х(:)) + х(:), х (:)))<: ^ тГ

0 . (2.14)

на

Лемма 2.5. Если U:[0'T] ^ conv(Y) многозначное отображение, отображения t ^ U(t), t ^ A(t) F(t,y)

измери [0, T] x (X x X)

t ^ F(t, y) [0,T] л y ^ F(t, y) ra(t, x, z)

v'J' измеримы на L , отображение J непрерывно, то v ' нормальный интегрант

Доказательство. Из теоремы 1.5.13 [9, с.71] вытекает, что t ^ F(t,U(t)) измеримы на [0,T]. Так как a(t,x) = A(t)x + F(t,U(t)), то Srat = {(x,y) еXxX:y е A(t)x + F(t,U(t))}. покажем, что g^ замкнутое множество. Пусть (xn,zn) е grat и (xn,zn) ^(x,z). Ясно, что zn = A(t)xn +un, где un еF(t,U(t)).

Поэтому Un = zn A(t)xn ^ z A(t)x при n ^ +ад . Из теоремы 1.2.35[9, c.34] вытекает, что множество

F(t,U(t)) ^ F(t,U(t)) z - A(t)x = ие F(t,U(t))

v' v " компактно. Так как v' v " компактное множество, то имеем, что w v , т.е.

z = A(t)x + и ~ (x,z) е graf grat

. Отсюда вытекает, что t , т.е. t замкнутое множество.

ад

grat = U (x,A(t)x + F(t, U(t))) = clU (xI,A(t)xI + F(t,U(t))) „

Ясно, что xeX I=1 , где { 1 }i 1 счетное плотное в X

^ (x,,A(t)x, + F(t,U(t))

множество. Так как I I измеримое многозначное отображение, то аналогично

ад

U(xi,A(t)xi + F(t,U(t))) t ^ gra

предложению 8.1.2[13, c.339]) имеем, что I=1 измеримо. Тогда получим, что g 1

т-r ra(t,x,z) [0,T]x(XxX) ту

измеримо. Поэтому v' ' ' нормальный интегрант на L ' J v '. Лемма доказана.

Если множество F(t'U(t)) выпукло, то легко проверяется, что x ^ a(t,x) выпуклое отображение, т.е.

gra t -выпуклое множество.

Следствие 2.5. Пусть f:[0'T] x X ^ R+ад нормальный интегрант, ф :X ^R+ад функция, M

ro(t,x,z) [0,T] x (Xx X) Q [0T] ^ 2X

множество, v ' нормальный интегрант на L ' J v ', v L ' J нормальное многозначное

x(t)

отображение. Для того, чтобы функция v' среди всех решений задачи (2.12), (2.13) минимизировала функционал (2.11) достаточно, чтобы нашлись мера q()еfrm([0,T],X X функция е([0,T],X )

К V*

a'b е X такие, что

4(t) е 9(f(t,x(t))+SQ(t)(x(t))+ro0(t,x(t),y(t)+b)), ®0(t,x(t),V(t) + b) = (v(t) + b,S(t)),

1J

3) b едф^Т)), 4) -a -b еабм(х(0)),

t t T T

J(x(t),4(dt)) = (a,x(0)) +J(y(t),x(t))dt при x е W/([0,T],X) sup J(y(t),4,(dt)) =/(x(t),4s(dt)),

5) 0 0 ,6) yeG0 0

T T

G = {y е w1([0,T],X):J1(y) = J(f(t,y(t)) + SQ(t)(y(t)))dt + Jro°(t, y(t),y(t) + b)dt < +ад},

где 0 0 4s -сингулярная часть функции

4, InfJ0(x) f: [0,T] x X ^ Я+ад „ rn :X ^ Я+ад

м а если 0 v ' конечен, L ' 1 +ад выпуклый нормальный интегрант, ^ +ад выпуклая

функция, м выпуклое множество, ro(t,x,z) выпуклый нормальный интегрант на [0,T]x (X x X), Q(t)

t е [0, T] U: [0, T] ^ conv(Y) л

непустое выпуклое множество при , многозначное отображение,

отображения t ^ U(t), t ^ A(t) и t ^ F(t,y) измеримы на [0'T], отображение y ^ F(t,y) непрерывно,

F(t, U(t)) . t |F(t,U(t))|| t |A(t)|| [0,T]

выпуклое множество, функции и суммируемы в , существуют

и

ХпО) е> 0 {х: х0ф-Х -е} с Q(t) ,

решение 0У/ задачи (12),(13) и е>0 такие, что 1 0 1 , функция

суммируема в

r(t) = sup{f(t,x0(t) + x): x e X, У <e} [0,T] . m(x) xn(T)

i-i v у у и и „ l > j, функция ^ ' непрерывна в точке °v '

^^от^ = intwdomJ1 1Ч ^ Л

с 1 ™ 1, то соотношения 1)-6) являются и необходимыми.

Доказательство. Из теорем 1.2.35 , 1.3.11 и 1.5.18[9, с.34, 47, 77] следуют, что компактное

множество, отображения ^ a(t'x) измеримы, Х ^ a(t'x) выпуклые и полунепрерывные сверху отображения.

Гф Х, у) = х) + 8Q(t) (х) + ю (t' Х, у) Положив Q() , имеем, что

f 0 х, и) = М {( и, г) + f (t' х) + 8Q(t) (х) + юф х,г)} = f (t' х) + 8Q(t) (х) +

zеX

+ inf {(и, г) + юф х, г)} = f (t' х) + 8Q(t) (х) + ю0 (^ х, и).

геХ

Поэтому применяя теорему 2.2 имеем справедливость следствия 2.5. Следствие доказано. По определению

ю 0 х, и) = inf {и, г) + юф х,г)} = и, г): г е A(t)x + U(t)) } = = (и, Афх) + и, г) :г е F(t' U(t))}.

Поэтому из соотношения 1) следствия 2.5 вытекает, что

е 3(ВДф+80^)))+А*№(#) + Ь) _

Из соотношения 2) следствие 2.5 вытекает, что

(уф + Ь, АфХф) + иГ {(уф + Ь, г) : г е F(t' U(t)) } = ( уф + Ь, Хф)

Отсюда имеем, что

шГ{(у(t) + Ь, г): г е F(t' U(t))} = (у ф + Ь, Х(t) - АфХф}

Тогда по теореме 1.5.15[9, с.75] существует такая измеримая функция е ^^ такая, что Х(t) - АфХф = F(t'U(t)) Г У(0 + Ь,г): г е F(t'U(t))} = (у(t) + Ь'F(t'U(t)))

Поэтому . Так как

то из 4) имеем, что a Ь е ^м(Х(0)). Таким образом доказано следующее следствие. Следствие 2.6. Пусть Г[0,Т]х Х ^ "нормальный интегрант, ф :Х ^ ", м множество, нормальный интегрант на [0 Т] х (Х х Х), 0: [0, Т] ^ 2 многозначное нормальное отображение.

58М(Х(0)) = КМ(Х(0)) -a-Ь е КМ(Х(0))

М М , то из 4) имеем, что М

Следствие 2.6. Пусть Г[0,Т]х Х ^ "

ю(^Х,г) нормальный интегрант на [0-Т]х(ХхХ), 0:[0,Т] ^2Х

Для того, чтобы функция среди всех решений задачи (2.12), (2.13) минимизировала функционал

(2.11) достаточно, чтобы нашлись мера с()еfrm([0'T]'X )' функция у()е([0'T]'X ) и векторы

a'b е Х*

и

такие, что

q(t) ef(t,x(t))+NQ(t)(x(t)) + A*(t)(y(t) + b) inf{(y(t) + b,y):y e F(t,U(t))} = (y(t) + b,F(t,ü(t)))

3) be9^x(t)), ' 4) -a-beNm(X(0)), '

T(x(t),q(dt}) = (a,x(0)) +T(V(t),x(t^dt при x e W11([0,T],X) supj( У(t), qs(dt)) qs^^

5) 0 0 ,6) yeG0 0

О = {у е W11([0'T]'X):J1(y) =1 Г(1,у(1)) + 8Q(t)(y(t)))dt +К(1,у(1),у(1) + Ь)dt <+ад}, где 0 0 - сингулярная часть меры а

^ ^^^^^^^^^ UQPT1, q,

тО„(х) г :[0,Т]х Х ^ ^ „ ф :Х ^

если 04 ' конечен, выпуклый нормальный интегрант, ^ выпуклая

функция, М выпуклое множество, ю(^Х,г) выпуклый нормальный интегрант на [0,Т]х (ХхХ), Q(t)

непустое выпуклое множество при : е[0,Т], и:[0,Т] ^ соп\(У) многозначное отображение, отображения : ^ и(:), : ^ А(:) и : ^ ^(:,у) измеримы на [0,Т], отображение у ^ ^(:,у) непрерывно,

множество выпукло, функции и суммируемы в , существуют

хп0:) /т пч/т п\ е>0 {х:|х0(:)-х<е}с0(0 ,

решение 0У/ задачи (2.12),(2.13) и е>0 такие, что 1 0 1 , функция

г(0 = зирДО^ф + х):х е X, ||х <е} [0,Т] . Ф(х) х0(Т)

0 суммируема в , функция непрерывна в точке 0 и

с 1 ™ 1, то соотношения 1)-6) являются и необходимыми.

~ Г:[0,Т] х X ^ Я , М)

Отметим, что если , существуют суммируемые функции и 1 такие, что

при х е X то ® = {у( ) е

W11([0'T]'X):y(t)

е 0(:)}

Если ) абсолютно непрерывная мера, то

Т Т Т

К х(:),я(Л)) = I х(ОДд(:) - д(Т)) = (д(Т) - я(0),х(0^ + К я(Т) - я(:),х (ф:

0 0 0

при хе W11([0'T]'X). Отсюда получим, что а = Я(Т)-Я(0) и = ^(Т)-. Поэтому ^ = и

У(Т) = 0. Тогда соотношения 1)-4) следствия 2.6 эквивалентны следующим соотношениям

^ -V(t)ef(t,x(t))+NQ(t)(x(t))+Л*(t)(y(t)+b) inf{(y(t)+b),z):zeF(t,U(t))} = (y(t)+b,F(t,u(t)))

3) b e Эф^СГ)), ' 4) -V(0) - b e Nm(x(0)) , '

w(T) = 0 ^ s(t) = w(t) + b

где . Обозначив имеем, что

^ -S(t)eÖf(t,x(t)) + NQ(t)(x(t)) + A*(t)s(t) 2) inf{(s(t),z):z eF(t,U(t))} = {s(t),F(t,ü(t)))

3) s(T) e Эф^^)), ' 4) -s(0) e Nm(x(0)). '

3. Невыпуклый случай

Пусть X сеперабельное банахово пространство, f:[0,T] х X х X ^ Rнормальный интегрант, ф: X х X ^ Я+ш , м с X Q: [0, T] ^ 2X

t- +ш функция, м с X замкнутое множество, ^ L J нормаль-ное многозначное

отображение, т.е. измеримое и замкнутозначное отображение, отобра-жение a: [0'T] х X ^ 2 такое, что

t ^ graf [0,T] gra t e[0,T] ~ ro(t,x, z)

t измеримо на , множество t замкнуто при . Отсюда вытекает, что

[0,T1 х (X х X)

нормальный интегрант на .

Положим

y(t, x, z) = inf llu - zll, y0 (t, x) = inf llu- x|, q(x) = inflly - xll.

uea(t,xf ueQ(t) yeM

Рассмотрим среди всех решений задачи

x (t) e a(t, x(t)), x(0) e M, (31)

минимизации функционала

(3.2)

Т

"(х) = ф(х(0),х(Т)) +1 №х(:),х (:)) + ^хШ^ 0 .

Требуется найти необходимые условия оптимальности решения задачи (3.1), (3.2). тт о ! т-г а: [0,Т] хX ^2Х аЛ,х)

Лемма 3.1. Пусть , где 4 ' непустое замкнутое ограниченное множество при

: е [0,Т] ||х - х(:)|| <а и Рх(а(:,х),а(:,х1)) < к(:)||х - хЦ ||х - х(:)| <а ||х1 - х(:)|| < а где

к:[0,Т] . Тогда ' ,

х,у) - х^) < к(:)||х - хЦ +1|у - уЦ

при IIх - х(1)11- а, 11Х1- х(1)11 - а , у,У1 е Х .

Лемма 3.1 доказывается аналогично лемме 3.2.2[14, с. 93].

ю0а,х,у*) = шГ{/у *,у):у е a(t'Х)}' у* е Х* Положим где .

тг от-г a:r0'TlхХ ^2Х a(t'Х)

Лемма 3.2. Пусть , где непустое замкнутое ограниченное множество при

t е [0, Т] ||х - х(1)|| -а и Px(a(t'Х)'a(t'Хl)) - к(ф - хЦ ||х - ХфЦ -а ||х1 - ХфЦ -а где

к:[0,Т] ^. Тогда ' ,

|ю0ах,у*)-юЧ^у*)| - {ВДтяхф*!, ||у* |} + | |a(t'Х(t)) + ВДа}(||х - хЦ +|| у*- у*|)

при 1|х-Х(0||-а, ||х1 -ХфЦ-а , у*,у* еХ*.

Доказательство. По условию имеем

ю0а,х,у*) -ю0а,Х1,у*) = М{(у*,у) : у е a(t'Х)}-М{(у*,г) : г е a(t'Хl)} -

- М{{|у *: у е a(t' х)} - М-^у*, ^ : г е a(t' х) + кфЦх - х1 ||В} -

- М{^у*: у е a(t'Х)} - М{^у *: г е a(t'Х)} + 8ир{у *: г е кфЦх - х 1 ||В} -

- зир{(у* - у *,у) :у е ^х)} + зир{|у Ц|г||: г е кфЦх - х 1 ||В} - ||у* - у *||^х)! +1|у|кС1)|х - х 1 11 -

- ||у* - у **|(||a(t'Х(t))|| + аk(t)) + тях-Цу*),||у *|>к(1)|х - Х1 ||

при IIх-Х«11-а , 1К -х(1)||-а .

Аналогично получим, что

ю0 ^ х, у *) - ю0 а Х1, у*) = М{(у *, у) : у е a(t' х)} - М{(у*, г) : г е a(t' Х1)} > > М{(у *, у) : у е a(t' Х1) + к(ф - хЦВ} - М{(у*, г) : г е a(t' Х1)} >

> ш^у*, у) : г е Х1)} - м{(у*, г) : г е a(t' Х1)} + м{(у *, г) : г е к(ф - хЦв} >

> м{(у* - у*,г) : г е a(t'Хl)} - зир{||у*||||г||: г е кф||х - хЦв} > -у* - у*||^х^Ц -1|кС1)|х - хЦ >

> -у* -у*||(Ь^,Хф)|| + аk(t)) -тэхЦу*|, ||у*|^(ф - Х11|

при IIх-^И-а, ИХ1 -Х«1-а . Поэтому

|ю0(t' х,у*) - ю0(t' Х1,у*)| -1|у* - у*||Хф)|| + аk(t)) + тяхЦу^!,Цу*|}ВД||х - Х11|

при IIх-Х(0||-а, ||х1 -Х(0||-а .

Отсюда следует, что

|ю0(1,х,у*) -ю0(1,Х1,у1*)| - {||a(t'Х(t))|| + аk(t) + k(t)max{||y*||, ||у*||}}(||х - хЦ + ||у* - у*

||х-ХфЦ-а ||х1 -ХфЦ-а при 11 11 , 11 1 11 . Лемма доказана.

Легко проверяется, что если Х ^ a(t' х) выпуклое отображение, то (хг) ^ хг) выпуклая функция.

Рассмотрим задачу

T T xеWl1([°,T],X)

Ф, (x) = 9(x(0),x(T)) +J (f(t,x(t),x(t)) + V 0(t,x(t)))dt + v(4(x(0)) + Jy(t,x(t),x(t))dt) ^ mm.

0 0

Решение задачи (3.1), (3.2) обозначим через x(t) (ясно, что Ф(x) <+ад). Лемма 3.3. Пусть a(t'x) в области t е[0,Т], llx x(t)ll <а удовлетворяет условиям: а) a(t=x) непустое компактное множество и измеримо по t, в) существует такая суммируемая функция k(t), что

px(a(t,x),a(t,x1)) < k(t)||x - xj

при Hx - x(t)H <а, Ь - x(t)H <а. Кроме того пусть м и Q(t) непустые замкнутые множества, t ^ Q(t)

измеримое отображение, отображение t ^ f(t'x,y) измеримо, существуют сумми-руемая функция k1(t),

c>0 kn >0 а>0 числа c>0' 0 и а>0 такие, что

|f(t,x,y) - f(t,x1,y1) < k1(t)|x - xj + c||y - y1|, |q<u, z) - 9(u1,z1)| < k^fu - uj +1|z - z^|)

||x-x(t)||<а ||x1 -x(t)||<а y, y еX ||u-x(0)||<а ||u1 -x(0)||<а ||z-x(T)||<а ||z1 -x(T)||<а

rp x(-) , Ф (x(-)) D v> L(1 + em(T) + m(T)em(T))

Тогда v/ минимизирует функционал vV v/' на множестве D при v v 1 1, где

D = jx(-)еW/([0,T],X)^|x(-)-x(-)||W Л L = T(k1(t) + 1)dt + c + 2Ц, p>em(T)(2 + m(T))2, m(t) = Jk(s)ds

I 1 PJ 0 0 .

x(-) x (-) е D tmax^X(t) - X1(t)I < IlX(") - x(*W

Доказательство. Пусть w, 1W . Так как 1е[0 Т] , то

Т

| J(x(-)) - J(x1(-))| < J (k1 (t) + 1)||x(t) - x1 (t)|| + c||x(t) - x 1 (t)||)dt + k0 (||x(0) - x1 (0)|| x(T) - x1 (T)||) <

0

T T

< J (k1 (t) + 1)dt max ||x(t) - x1 (t)|| + c J ||x(t) - x 1 (t)||dt + ^ (||x(0) - x1 (0)|| +1|x(T) - ^ (T)||) <

0 ^[0,Т] 0 T

< (J (k1 (t) + 1)dt + c + 2k0 )||x(-) - x1 (0|| W.

0 1

T-r х(-) е D Ф (х(-)) <Ф (x(-)) xn е M

Пусть существует v/ такая, что и пусть точка 0 такая, что

q(x(0)) = х(0) - х0 „ р^) = ш^Дах^)), 5 = а(х(0)) _ ^ хп(0

0 . Положим . По лемме 3.1 существует решение 0

х„(О е а^х^)), х0(0) = х0 задачи 0 0 0 0 такое, что

||x0(-) - ~(-)||W1 <(1 + em(T) + m(T)em(T) ][я(х(0)) + Mt,x(t),x(t))dt).

1 0

Получим, что

Т Т

4(х(0)) + J v(t, x(t), х (t))dt =4(х(0)) - 4(x(0)) + J (y(t, x(t),5~ (t)) - y(t, x(t),x (t)))dt < 0 0

< I |x(0) - x(0)||+T (k(t)||x(t) - x(t)||+1 Iх (t) - x (t)||)dt < (1+T k(t)dt)|x(-) - x(0|| 1 < (1+T k(t)dt)

0 " 11 0 1 0

T T а

4(х(0)) + jV(t,x(t),x(t))dt < (1 + Jk(t)dt)-Отсюда следует, что 0 0 P. Поэтому

а

P'

N0(-) - x(-)||W1 <1 + em(T) + m(T)em(T) ]fo(x(0)) + T^(t,x(t),~? (t))dt) +||~(-) - x(-)|W <

1 0 1

<(1+em,TI+m(T)em(TI +m(T))em(T)(2: „(Т))2 + emrn^Trf < :

— __ __ т __ ^

.Л, m(T) ^ ,„0^ - J(x) + ЬХ - ХЬ - J(x) + Ч|(Х(0)) + / у(1, Х(1), Х(1)>Й) = Ф„ (Х) < J(Х).

Положим у> Ь(1+е +m(1)e ). Тогда 1 0

Полученное противоречие завершает доказательство леммы. Лемма доказана.

Т

е14^ + / к(^) а-а-а Так как 0 , то из доказательства леммы 3.3 следует, что

Т

q(X(0))em(t) +/ е^^^у^ХфДф^ -а-а

I e „.„,„.„,,„.„,,___________

n ß x(-) е D

0 ß при v' .

В п.3 используется из теории субдифференциала Кларка. Пусть f: X ^ R+», Х0 Edomf . Положим (см.[15, c.92])

f[1](x0;x) = lim lim sup inf f(y +tz)—:,

8^0 , x„ ZEX+8B t

(y,:)if 0 ti0

(y,:) i fX0 (y,:) e E(f) y ^ x0 f(x0)

где символ VJ 7 означает, что VJ'7 w, J 0, v 0/.

Отметим, что если f липшицева функция вблизи x°, то

ЯЧ, ч г f(y + Xx) - f(y) f[ ](x0;x) = lim sup-

y^x0 X

xi0

OCf(x0) = {x* e X* :f[1](x0;x) > (x*при x e X}

* T-*

OnI(xn)= {

Положим

O cf(t,x,y) = O cft(x,y)

Обозначим

ХП:)

Теорема 3.1. Пусть удовлетворяется условие леммы 3.3 и к' среди всех решений задачи (3.1)

х*() е ^Ч^ПХ*)

минимизирует функционал (3.2). Тогда существует функция () 1 ([ , ь ) такая, что

ц (х*(1),х*(1))еас(г(1,х(1),х(1)) + у0(1,х(1)) + (1,х(1),х(1))),

* *

2) (Х (0),-х (Т)) еа^^),^)) + У|(Х(0))),

где v> L(1 + em(T) + m(T)em(T)) .

Доказательство. В силу леммы 3.3 ®v(x) <®v(x) для x e D . Поэтому ®v(x x) > 0 при x e X. Положив f(t,x,y) = f(t,x,y) + y0(t,x) + vV(t,x,y) и Ф(ху) = Ф(ху) + vq(x) имеем, что

f (t, x1 ,У1) - f (t, x2 ,y 2) < (vk(t) + k1 (t) + 1)||x1 - x2 || + (v + c)|y1 - y2|,

|ф^1, U1) - 9(z2, U2) < (k0 + v)|z1 - z^| + k^|u1 - ^Ц

||x1 -x(t)|<a ||x2-x(t)|<a У1,У2 eX ||z1 -x(0^<a ||z2-x(0)|<a ||u1 -i(T^<a

||u2 -x(T^ <a c xn(•) e L1([0,T],X) (x„0)neN x(-) L1([0,T],X),

11 2 11 . Если nVy 1 vl ? y и последовательность v nV"neN сходится к w в 1VL ' J'

то из теоремы 1.4.18 и 1.4.31 [4, с.85, с.98] следует, что существует такая последовательность

{xm (•)} с {x„ (•)} (x„, (•))„ cN x(^)

тУ" 1 nV/J и V mV//meN почти всюду сходится к v/.

тт (ym(t))mcM x(t) (ym(t))mcN x(t) ^ 0

Пусть ^mW'meN сходится к w, почти всюду сходится к w и m , где

ym (•) e W1 ([0, T], X) Так как (f (t, (Ут (t), Ут (t)) + ^m №), x(t))) - f (t, Ут (t), Ут (t))) - (vk(t) + k^t) + 1)||x(t)| + (v + c)|x(t| < 0 то по теореме Фату (см.[16, с.97]) имеем

Ф (У +Х x) - Ф (У ) T , -

]imSup _viym-m-)-^^ < limsup JI^(f(t,(ym(t),ym(t)) + xm(x(t),x(t))) -

m^w 0

a -------1- j oi

X -Xm

- f (t, ym (t), ym (t)))dt + lim sup^ (ф((Уш (0), ym (T)) + (x(0),x(T))) - ф(ут (0), ym (T))) <

Xm

m^-да m

T _ _

< J lim sup^(f (t, (ym (t), Zm (t)) + Xm (x(t), X(t))) - f (t, y m (t), Zm (t)))dt +

0 m^-да m

+ lim sup^ (ф((Уш (0), Уш (T)) + ^m (x(0), x(T))) - (0), ym (T))).

X m

m^M m

Отсюда следует, что

Ф™ (x: x) = lim sup Ф (y + ^ Ф (y) < lim sup T}(f (t, (y(t),y(t)) + X(x(t), x(t))) -

y^x X y^x в W/ 0

- f (t, y(t),y(t)))dt + lim sup -X (ф((у(0),y(T)) + X(x(0), x(T))) - ф(у(0), y(T))) =

y ^ x В W/

Xi0

T _ _

= lim sup J£(f(t,(y(t),y(t)) + X(x(t),x(t))) - f(t,y(t),y(t)))dt +

y ^ x В C 0 y^x в L/

+ lim sup :/(9((y(0),y(T)) + X(x(0),x(T))) - ^(y(0),y(T))) <

y^ x В W/

T _ _

< J lim sup l(f(t,(y(t),z(t)) + X(x(t),x(t))) - f(t,y(t),z(t)))dt +

0y(t)^x(t)

z(t)^ x (t) )Л0

+ lim sup i(9((u, о) + X (x(0),x(T))) -9(y(0),y(T))) <

(u, o)^(x(0),x(T))

T_ _

< Jf[1](t, x(t),x(t);(x(t), x(t)))dt + ф[1](x(0),x(T);(x(0), x(T))) = Ф, (x).

0

z(t) = 0 , Ф. (x) W/([0,T],XW Ф. (x)

v y MHHHMH'iimvPT тутгетгапняи vv 7 r 1 \l ? J' / ргкп пппвяпитт. чтп пня vv 7

V

Ж ч

Поэтому () минимизирует функционал v ( ) в 1([ ' ]' ). Легко проверить, что для

также выполняются условия следствия 4.2[5]. Поэтому существует функция x ()е Wl([0'T],X ) такая, что выполнены соотношения 1) и 2) теоремы 3.1. Теорема доказана.

x(-)

Теорема 3.2. Пусть удовлетворяется условие леммы 3.3 и w среди всех решений задачи (3.1)

минимизирует функционал (3.2). Тогда существует функция x () е Wi([0'T],X ) такая, что

1} (x*(t),x*(t))eSc(f(t,x(t),x(t)) + ^0(t,x(t)))+ac®(t,x(t),x(t))),

* *

2) (x (0),-x (T)) 6ac(9(x(0),x(T)) + vq(x(0))) при v>L(1 + em(T) + m(T)em(T)) .

Доказательство. По определению

m/. • \ r v(t,(z, ю) + X(x1,y1)) -y(t,z, ю) (t,x(t),x(t);(x,y))= lim lim sup inf - ^-м"—' ' >

(z,ffl)^(x(t),x(t)) (xi,yi)e(x,y)+eB X

V(t,z,ffl)^0,

Di/ n v v II/ ч 1|ю-ull = min ||ra-o|| = w(t,z, ю).

B = {(x,y) e X x Y: (x,y) < 1} u e a(t,z) 11 11 oea(tz)11 11

где 11 11 . Пусть v' ' такое, что °ea(i,z)

Тогда ясно, что

||u - x (t)|| <||u - ю|| + ||ю - x (t)|| = v(t, z, ю) + ||ю- xx (t)|| ^ 0

y(t,z, ю) ^ 0, ю- x(t) ^ 0 т„ при . Кроме того

y(t,(z,ю) + X(x1,y1)) < y(t,(z,u) + X(x1,y1)) + ||ю - u|| = y(t,(z,u) + X(x1,y1)) + y(t,(z,ю)) Поэтому

vy[1](t,x(t),x(t);(x,y)) < lim lim sup inf vy(t,(z,u) + X(xi,yi)) <

8i0 (z,u)^(x(t),x(t)) (xi,yi)E(x,y)+8B X

uEa(t,z), Xi0

< lim lim sup inf m(Uz'u) + X(xi,yi)) = ю[1](t,x(t),x(t); (x,y)),

8i0 (z,u)^(x(t),x(t)) (xi,yi)E(x,y)+8B X

uEa(t,z), Xi0

т.е. ^Д^Д©;^- ^Х^ДШ^у» при tе[0'T]. Отсюда следует, что

уагуаХ(аХа)) сароЛДаХХа)) t е [0,Т] т-т . ,

стч > V // с V 5 V /5 V // при 1 ' J. Поэтому справедливость теоремы 3.2 вытекает из

теоремы 3.1.

ы а^аДа)^)) = К^дхахха)) t е [0,Т] N (аддф) „

Известно, что ё t при , где е t нормальный

конус к в точке (х(1),х(1)) в смысле Кларка (см.[15, с.54]) .

Отметим, что если М с Х замкнутое множество, ^ ^ ^ измеримо на [0, Т], множество t е [0 Т] d(t' х, г) = п ||(и, и) - (х, г)||, |(х) = ¿пГ ||у - х||

замкнуто при [ , ], то положив уеМ ограничение (3.1)

т

|(Х(0)) d(t'X(t)'X(t))dt = 0

можно написать в виде 0 . Поэтому если () минимизирует функционал (3.2) на

„ ,, г(1,х,у) ф(х,,х9) ,, ,,

множестве всех решений задачи (3.1) и и 1 2 удовлетворяет условие леммы 3.3, то по

теореме 6.1.1[15, с.210] сушествуют одновременно не равные нулю числа >0 и Х такие, что 0 еа сЕ^ОЛ, Х1),

х т

х(х(0, Х0, Х1) = Х0ф(х(0), х(т)) + хл(х(0)) + 1 (х0г(1, х(1), Хф) + Х0У0 (t' х(1)) + X1d(t' х(1), х(1)))11

где 0 .

с = {Х(0 е Wl1 ([0, Т], Х): ||х( ) - Х(0|| - ц}, 0 < ц < а

(в теореме 6.1.1 надо положить L(x(-), X0, Xi) = L(x x(-) e W1([0,T],X)

L(x(.),X0,Xi) = W) Xo, Xi) + kdc(x(-))). отсюда следует, что ^((ЖОЛЛ)^)) > 0 при

. Поэтому анологична теореме 3.1 можно показать, что верна следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть Г(1,х,у) и Ф(Х1,Х2) удовлетворяет условие леммы 3.3, М с Х замкнутое

t ^ [0, Т] ста. ! е[0'T] Q(t)

множество, ь t измеримо на 1 ' J, множество ь t замкнуто при 1 ' J, ^непустое

замкнутое множество, ^Q(t) измеримое отображение и х(1) среди всех решений задачи (3.1)

минимизирует функционал (3.2). Тогда существуют функция Х () е Wl ([0'T]'X ) и одновременно не

Х0 > 0 Х, равные нулю числа 0 и 1 такие, что

' ■ * / \ * /

1} (x (t),x (t))eOc(X0f(t,x(t),x(t)) + X0y0(t,x(t)) + M(t,x(t),x(t))) при [0,T],

2) (x*(0),-x*(T))e 0c(X09(x(0), x(T)) + Xiq(x(0))).

XO cd(t, x(t), x(t)) с Ngr (x(t),x(t)) X > 0 Отметим, что g t при X >0.

Пусть выполняется условие теоремы 3.1 и кроме того a(t,x) выпуклое множество при всех (t,x), Используя теорему двойственности (см. [17], с.276) для задачи о кратчайшем расстоянии имеем

y(t,x,z) = sup{y* - sup ^y* ,y^:||y*||< 1}.

,z) -

yEa(t,x)x

ro0(t, x,y*) = mf{(y*,y):y e a(t,x)} Положив имеем, что

уу(:,х,г) = 8ир{^у*+ ю0(:,х,-уу *): ||у*|| < 1}

V > Ь(1 + ет(Т) + т(Т)ет(Т)) ^ л а(:, х) , ,

при . Пусть отображение удовлетворяет условиям леммы 3.3.

Тогда Ца^ х)|| < i|a(t' х(0)|| + ВД||х - х(1)|| < ||a(t' х(1))|| + аВД при х е в(х(1), а), где

В(х(0;а) = {х е X: ||х - х^ < а}

11 11 . Поэтому по лемме 3.2 имеем, что

|ю 0 (:, х, у *)-юo(t'Xo'y0)| < ВДЦх-х01|тах(||у 01, ||у *||) + (Ца^,х(1))|| + + k(t)а )||у* - у0|| < (vk(t) +1|аа х(1))|| + аВД)(||х - х^| +1|у* - у01|)

у*,у*еуВ, х,хп е В(х(аа), В* ={у* е Х* : у* <~ Л

при ■> '-70 *' ' 0 ^ ^ где 11 11 Отсюда следует, что отображение

х^ю0а,х,у*) у* еВ тт В(хО),а) ,, k(t)

4' при * удовлетворяет условию Липшица в 4 4 у с коэффициентом у '.

Положим

дхю0ах(0-уу*) = Со{£, е X* : Зу* е В*, у* ^ у*, 3х1 е X, х1 ^ х(1), 3^ е ЗСю0^-vy*)' ^ .

Так как В* является компактным и секвенциально компактным метрическим простран-ством индуцированной слабой со звездой топологией в Х (см.[18, с.55]), то обозначив

пахсодс:))={у* е X* :||у*||< 1, с:)) = (у* Д(:))+ю0(t'X(t)'-y*)}

по теореме 2.8.2 [15, с.83] получим

у5еУСаахх(1)) с{ 15х^адах-уу^уухау*): це P[П(t'X(t)'X(1))]}

В«

РЮ^ДСахт)] с аЧДтДСО) ~

где 1 4 4 ' у множества вероятностных мер Радона, сосредоточенных на 4 4' 4 " . Так как ^Д^х(:)) = 0 т0 П(t'X(t)'X(:)) = {у* е В* : ю0с1,х(1),-у*) = (- у*,х(:))}

Из соотношения 1) теоремы 3.1 имеем (х*(1),х*(1)) е 5сСГС1,х(1),хх(:)) + У0(1,х(1)))+{ l5Xю0(t'X(t)'-vy*)'Vy*)ц(dy*): це Р[ПаДа)Д(:))]}

В*

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть выполняется условие теоремы 3.1 и кроме того а(:,х) выпуклое множество при всех (:,х). Тогда, если х(:) минимизирует (3.2) на множестве всех решений задачи (3.1), то существует

функция 1 такая, что

(х (1),х (:)) еасС^ДЮДС:)) + у0ах(Щ) + { |аXю0(t'X(t)-vy ),уу )ц^у ) : це Р[П(1,х(1),х(1))]}

1) В* ,

* *

2) (х (0),-х (Т)) е5с(фСхС0),х(Т)) +vq(X(0)))

при v> Ь(1 + ет(Т) + т(Т)ет(Т)) .

П ♦ ф $ __%

тл ЮД^х^Ху ) у ^Ю ЛхаХу ) , т-г

Из определения следует, что вогнутая функция. Покажем, что

* *

П0:,х0:),х00) т-г у * ,у * еП(t'X(t)'X00) а, > 0, а > 0, а,+а9 = 1 т

множество выпукло. Пусть 1 2 и 1 2 1 2 . Тогда имеем

(- а^* - а2у2, х(^ = а!®0 (^ х^),-у *) + а2ю0 (^ х^),-у 2) < ю0 (^ хф-а^* - а2у 2) < а1у1* - а2у 2, х(^

Отсюда вытекает, что

0 _ * * / * * • \ ю (t,x(t),-a1yj -a2У2) = \-a1y* -a2y2,x(t^^e a1y* +a2y*2 efi(t,x(t),x(t)).

* * _ *

Так как отображение y _ю (t,x(t),y ) удовлетворяет условию Липшица, то множество ^(t,x(t),x(t)) замкнуто. Если f(t,x,y) =f(t,x), то по теореме 1.6.13 [18, c.169] имеем, что x*(t) e vQ(t,x(t),x(t)). Поэтому »0(t,x(t),-x*(t)) = (- x*(t),x(t)) .

Следствие 3.1. Пусть выполняется условие теоремы 3.1, f(t,x,y) = f(t,x), 9(x,y)-ф(у) и кроме того а(^x) выпуклое множество при всех (t,x). Тогда, если x(t) минимизирует (3.2) на множестве решений

/-¡14 ж x^O e W1([0,T],X*)

задачи (3.1), то существует функция v' 1VL ' J' ' такая, что

ж г\ ж ж •

x (t) e 5c(f(t,x(t)) + y0(t,x(t))) + { i5xro0(t,x(t),-vy ))^(dy ): ^e P[Q(t,x(t),x(t))]}, 1) B*

га^ДаХ-/^ = (-x*(t),x(t)) з x*(0)ev5Cq(x(0))

4) -x*(T) e 5cФ(-(T)), где v > L(1 + em(T) + m(T)em(T)).

Рассмотрим другую методику решения невыпуклых задач для дифференциальных включений.

V ш: X_^ R

Лемма 3.4. Если X банахово пространство, функция ш: удовлетворяет локальному условию

Липшица в 8 окрестности точки x°, то для любого 8 > 0 существует такое a > 0, где 8 > a > 0, что

фД) = ^>0) + max (p,x-x,,) + 8x-^Ц + 8b(x„ a)(x) pe3cV(x0r ( 0, )

является внутренней выпуклой аппроксимацией [14, с.60] для y(x) в точке x0, т.е. ф(-o) = V(x0),

ф(x) > V(x) ддя всех x e X.

Доказательство. Пусть функция ш :X _R удовлетворяет локальному условию Липшица в 8

xn - т т 5rw(x) с LB x e B(xn,8) B* = {p e X* :||p||*< 1}

окрестности точки 0 с постоянной L. Тогда CTW * при v 0' ', где 11 "* .

Если x e B(Xo,8), то по теореме 2.3.7 [15, c.46] Лебурга существует такая точка u e (x,x0), что

y(x)-V(x0)e<ecV(u),x-x0>. По предложению 7.3.10 [11, c.411] отображение x _5cV(x)

полунепрерывно сверху в точке x0 относительно нормы в X . Поэтому для 8 > 0 существует a > 0 такое,

5rw(x) с 5rw(xn) + 8B x e B(xn, a) B* = {p e X* :||p|| < 1}

что 0J * при v 0' , где 11 "* . Тогда получим, что

y(x) -y(x0) e (5cy(x0) + 8B*,x - x0) x e B(xn, a) ~

^ \ ctv 0/ 0 при v 0 \ Отсюда следует, что

v(x) - y(x0) < sup (p,x - x^ < sup (p,x - x^ + sup(p,x - xj)

pee cy(x0)+8B, pee cy(x0) pe8B„

V(x)-V(x0) < sup (p,x - + 8||x - x01| при x e B(Xo,a). Тогда имеем pe5cv(x0) при x e B(Xo,a). Лемма

доказана.

Пусть выполняется условие леммы 3.3. Тогда из леммы 3.3 следует, что x() минимизирует функционал

t_

<bv (x()) = ^x(0),x(T)) + J f (t,x(t),x(t))dt

0

D = jx e W1 ([0,T], X): ||x(0-x(0||wi1 < aJ

, а |

( 11 Wl < р I V > Ь(1 + em(T) + m(T)em(T))

на множестве ^ к J при 4 4 ' ', где

Ф(Х1,Х2) = Ф(Х1,Х2) + vq(xl), Г ^^ = ^^ + у0(1,х) + vу(t'x'y). Применяя леммы 3.4 получим, что

, а(0 > 0 ап > 0 Х(-) ,

существует функция и число 0 такие, что минимизирует функционал

ФЕ (x(-)) = max (p,(x(0) - x(0),x(T) - x(T))) + J( max , /(p (t),p (t)),(x(t) - x(t),x(t) - 5(t))\ +

реЭсф(5(0),5(Т)Г ' 0 (p1 (t), P2 (О)еб^(t,x(t),x(t))\ 1 2 '

+ s||(x(t) - x(t), x(t) - x(t))||)dt + s||(x(0) - x(0),x(T) - x(T))||

при (x(0),x(T)) е B((X(0),X(T)),аo) , (x(t),x(t)) е B((x(t),xx(t)),а(t)), где v>L(1 + em(T) + m(T)em(T)) .

Предположим, что для 8 > 0 существует число а > 0 такое, что а(^ > при t е [0, Т]. Отметим,

8> 0 а > 0 dpf(t,x,y) ^rf(t,x(t),x(t)) + 8(B x B.)

что если для 8>0 существует число 8 такое, что с v ' с v > w/ v * */ при

(x, y) е B((x(t),x(t)),а8) а(t) = а8 ^ z(t) = x(t) - x(t) z(t) = 0

v , j / w w> ъ/, то можно положить v y 8. Обозначив w w w имеем, что v '

минимизирует функционал

T I \

Фъ (z(-)) = max (p,(z(0),z(T))) + J ( max , (p(t),^(t)),(z(t),z (t)) +

реЭсФ^Дт^ ' 0 (p^tXp^O^cfftiaXx (t))\ 1 2 '

+ 8 (z(t),z (t))||)dt + 8 (z(0),z(T))||

при (z(0),z(T)) е b((0,0),-0) , (z(t),z(t))е B((0,0),ae), где v>L(1 + em(T) + m(T)em(T)). Тогда получим, что z(t) = 0 минимизирует функционал

T

Фъ (z(-)) = max (p,(z(0),z(T))) + J ( max , (p(t),^(t)),(z(t),z (t)) +

pеЭcф(x(°),x(T)) ' 0 (p^tXp^O^cfftxCtXx (t))\ 1 2 '

||(z(t),z (t))||)dt + 8 (z(0),z(T))||

+8

при z(-) е Wi([0,T], X) = {x(-) е C([0,T],X): x(-) еLm ([0,T],X)}, где v > L(1 + em(T) + m(T)em(T)) .

Лемма 3.5. Пусть выполняется условие леммы 3.3 и для 8 > 0 существует число > 0 такое, что

аф >а8 t е[0,Т] ~ z(t) = 0 ,

v' 8 при L ' J. Тогда v ' минимизирует функционал

Ф^-)) = max (p,(z(0),z(T))) + К max , Up (t),p (t)),(z(t),z(t))\

pеЭcф(X(°),x(T)) ' 0 (^(.^^»еЭс^ДОХЭД)* 1 2 '

при z(-) е Wi([0,T],X), где v> L(1 + em(T) + m(T)em(T)).

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует x(-) е W«([0,T],X) такое, что ^(x(-)) < 0 = Ф0(0), то при достаточно малых 8 > 0 из определения Ф<=(z(-)) следует, что Ф8 (x(-)) < 0. По

условию z(t) = 0 минимизирует функционал Ф8 (z(-)) в W«([0,T],X) и Ф<=(z) = 0. Получим противоречие. Лемма доказана.

Так как ^ВД плотно в W1([0,T],X) и ^(z(-)) непрерывная функция в W1([0,T],X), то имеем,

что z(t) =0 минимизирует функционал Ф^(-)) в ^ВД, т.е. Фo(z(-))>Ф0(0) =0 при

z(-) е W1 ([0,T], X). Поэтому из следствия 4.2[5] имеем, что верно следующее следствие.

Следствие 3.2. Если выполняется условие леммы 3.3 и для 8 > 0 существует число а8 > 0 такое, что

a,(t) > а8 при t е[0,Т] и x(t) минимизирует функционал (3.2) на мно-жестве всех решений задачи (3.1),

то существует функция x () е W1 ([0,T],X ) такая, что

(x(t),x*(t)) еЭ c(f(t,x(t),x(t)) + ^0(t,x(t)) + W (t,x(t),x(t))),

2) (x*(0),-x*(T))еЭ^^Т)) + v4(x(0))), где v>L(1 + em(T) + m(T)em(T)). Рассмотрим среди всех решений задачи

x (t) е a(t,x(t)), x(0) е M, x(t) е Q(t) (33)

минимизации функционала

т

J(x)=ф(х(0),х(т))+1 ^хаххам

0 . (3.4)

у(^ х, г) = ¿Г ||и - г||, |(х) = ¿пГ ||у - X У0(1,х) = М ||и- х||

Пусть выполняется условие леммы 3.3. Положив ч^ах) уеМ , ^«о

ограничение (3.3) можно написать в виде

т

|(х(0)) + 1 (у(1,х(1),х(1)) + У0а,ха))^ = 0 0 ,

х() е Wl([0'T]'X)' ||х()-Х(0||-а ^ хт ^

где 1 11 11 . Пусть 4 ' минимизирует функционал (3.4) на множестве всех

решений задачи (3.3). Тогда если выполняется условие леммы 3.3 , то по теореме 6.1.1[15, с.210]

Хп > 0 Х 0 едгЬ(Х(0,Хп, Х )

сушествуют одновременно не равные нулю числа 0 и 1 такие, что с 0 1 , где

т

Ь(Х(0' Х0, Х1) = Х0Ф(Х(0), х(т)) + х1|(х(0)) +1 (х0г(1, х(1), х(1)) + ХМХ х(1), х(1)) + Х1У0 (t' х(1)))11

0 .

Отсюда следует, что L[1](cX(•)'Xo'Х1);х())>0 при х()еWl1([0'Г]'X). Поэтому анологична теореме 3.1 можно показать, что верна следующая теорема .

ХП:)

Теорема 3.5. Пусть удовлетворяется условие леммы 3.3 и к' среди всех решений задачи (3.3)

минимизирует функционал (3.4). Тогда существуют функция Х () е ^ ([0'Т]'Х ) и одновременно не

Хп > 0 Х, равные нулю числа 0 и 1 такие, что

' ■ * / \ * /

' '-;С(Х01(1,Х(1),Х(1)) + Х1У

1) (X (t),x (t))eSc(^of(t,x(t),x(t)) + XlV(t,X(t),X(t)) + XlVo(t,x(t))),

2) (x*(0),-x*(T)) б 9с(Хоф(Х(0), X(T)) + Xiq(X(0))).

Отметим, что теоремы 3.3 и 3.5 информативны лишь, когда Х0 ^ 0. Но используя [19] можно

гт Хп = 0 Хп = 1

улучшить этих теорем. Также можно считать, что 0 или 0 .

Аналогично можно получить необходимые и достаточные условия экстремума для экстремальных

задач дифференциальных включений в пространстве ' ]' ), 1 < р -+<х (см. [2], с.263-344).

Так как Х сеперабельное пространство, везде интеграл понимается в смысле Бохнера. Используя другое определение интеграла векторных функций (см.[20, с.89], [21, с.10]), полученные

результаты можно обобщить и в том случае, когда Х пространство Фреше.

Список литературы

1. Садыгов М.А. Свойства оптимальных траекторий дифференциальных включений.-Канд. диссертация. -Баку, 1983.-116с.

2. Садыгов М.А. Субдифференциал высшего порядка и оптимизация.- Deutschland: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2014.-359 p.

3. Садыгов М.А.Экстремальные задачи для включений в частных произ- водных. - Deutschland: LAMBERT Academic Publiashing, 2015.-390 p.

4. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.-400 с.

5. Садыгов М.А. Обобщенная задача Больца. // Eurasian scince journal.- 2020.- ( к печате).

6. Садыгов М.А. Негладкий анализ и его приложения к экстремальной задаче для включения типа Гурса-Дарбу. -Баку: Элм, 1999.-135 с.

7. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. -Новосибирск: Наука, 1986.- 296с.

8. Садыгов М.А. Исследование негладких оптимизационных задач. -Баку: Элм, 2002.-125 с.

9. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д. и др. Введение в терию многозначных отображений. -Воронеж, 1986.-103 с.

10. Иоффе А.Д., Левин В.Л.Субдифференциалы выпуклых функций. //Труды Математического общества, т.26, 1972. -с.3-73.

11. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. -М.:Мир, 1988.- 510 с.

12. Обен Ж.П. Нелинейный анализ и его экономические приложения.- М.: Мир, 1988.- 264 с.

13. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.- 479с.

14. Садыгов М.А. Экстремальные задачи для негладких систем.-Баку: Изд-во Азерб.Тех-кого Ун-та, 1996.-148 с.

15. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ.- М.:Наука, 1988.-280 с.

16. Федерер Г. Геометрическая теория меры. -М.: Наука, 1987.-760 с.

17. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.- М.: Наука,1979.-429 с.

18. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функцио- нальными уравнениями. -М. : Наука, 1977.-623 с.

19. Садыгов М.А.Необходимые условия минимума в анормальных задачах с

ограничениями. // Eurasian scince journal.- 2019.-5(62).- C.46-51.

20. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.-443 с.

21. Бурбаки Н. Иитегрирование.- М.:Наука, 1970.-320 с.

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦА

Садыгов Мисраддин Аллахверди оглы

доктор физико-математических наук, профессор Бакинский Государственный Университет

АННОТАЦИЯ

В работе получены необходимые и достаточные условия экстремума для обобщенной задачи Больца в пространстве банаховозначных абсолютно непрерывных функций. Изучаются субдифференциал интегрального и терминального функционала в пространстве банаховозначных абсолютно непрерывных функций. Отметим, что минимизирующая функция в общем случае не является внутренней точкой области определения функционала. ABSTRACT

In this paper, we obtain necessary and sufficient conditions for an extremum for the generalized Boltz problem in the space of Banach-valued absolutely continuous functions. We study the subdifferential of the integral and terminal functional in the space of Banach-valued absolute continuous functions. Note that the minimizing function in the general case is not an internal point of the domain of definition of a functional. Ключевые слова: необходимое условие, липшицевая функция, субдифференциал. Key words: necessary condition, Lipschitz function, subdifferential.

1. Введение является внутренней точкой области определения В работе исследуется выпуклая вариационная функционала.

задача, заданная в пространстве абсолютно Работа является обобщением некоторых

непрерывных функций. Изучаются субдиффе- результатов работ автора в ([1], [2, с.82-106], [3, ренциал интегрального и терминального c.263-344]), где получены необходимые и функционала в пространстве абсолютно достаточные условия минимума для обобщенной непрерывных функций. Хотя выпуклые задачи Больца в пространстве n - мерных вариационные задачи изучены разными авторами, абсолютно непрерывных функций. B данной работе но такие задачи не применимы к выпуклым получено необходимое и достаточное условие экстремальным задачам для включений. Отметим, экстремума для обобщенной задачи Больца в что минимизирующая функция в общем случае не пространстве банаховозначных абсолютно

непрерывных функций.

2. О непрерывности интегрального функционала

Пусть X сеперабельное банахово пространство, 1 < p . Через C([t0,t1],X), как обычно, будем

л ж ~ x:[t0,t,] ^ X „ ||x(-)|L = max{||x(t)||: t е^Д]}.

обозначать пространство непрерывных функций 0 1 с нормой с 0 1

Обозначим через Lp([t0,t1],X) множество (эквивалентных классов) таких измеримых функций

ч ,,p

Ц |x(t)||pdt <+да

x:[tn,t,] ^ X t„ 1 < p <<» esssup{|x(t)||: t s[t0,t1]} p = +ro , r.

1J , что 0 при ^ и W|1 L 0 1JJ при F (см. [4, c. 96]).

Символом Wp1[t0, t1],X) обозначается банахово пространство абсолютно непрерыв-ных функций из

[t0,t1] X Lp([t0,t1],X)

l ^ ^ в X первая производная по Фреше, которых принадлежит p , т.е. положим

Wp([t0,t1],X) = {x(-) е C([t0,t1],X):x(-) е Lp ([t0,t1],X)}. Обозначим X* = L(X,R), где L(X,R) -

банахово пространство линейных непрерывных функционалов заданных на X . Отметим, что при каждом

x*е X* x(-) е W^LX) (x* ,x(t))

x е X и из p следует абсолютная непрерывность числовой функции х ' на

[t0,t1^ Wp([t0,t1],X) 0 1 . Норма в p 0 1 может быть задана разными эквивалентными способами. Например