Обобщение задачи Ламе и его приложение к вопросам взрывного разрушения горных пород Текст научной статьи по специальности «Физика»

© А.В. Дугарцыренов, В.А. Белин, Г.М.Крюков, П.А. Вавер, 2009

УДК 622.02

А.В. Дугарцыренов, В.А. Белин, Г.М.Крюков,

П.А. Вавер

ОБОБЩЕНИЕ ЗАДА ЧИ ЛАМЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ВОПРОСАМ ВЗРЫВНОГО РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

Дано обобщение задачи Ламе, учитывающее снижение давления газов в полости за счет перемещения ее стенок, и получено её решение. Данное решение применено для определения напряженного состояния упругой среды при взрыве камуфлетного заряда Ключевые слова: перемещение, напряжение, деформации, упругая среда.

A. V. Dugartsirenov, V.A. Belin, G.M. Krukov, P.A Vaver

THE GENERALIZATION OF THE LAME’S EQUATION AND ITS APPLICATION IN ROCK BLASTING

The paper presents a generalization of the Lame’s equation that accounts for the decrease of gas pressure in a vesicle by the dislocation of its walls and proposes a solution of the equation. This solution has been applied to determine the stress state of an elastic medium near an exploding charge.

Key words: Moving, pressure, deformations, the elastic environment.

Лри оценке напряженного состояния твердой упругой среды со сферической или цилиндрической полостями, нагруженными по их границе давлением, часто используют статическое решение Ламе, полученное для случая постоянного давления р0 [1]. Например, это решение используется для оценки напряжений в

среде при взрыве в ней сосредоточенного и цилиндрического зарядов [2]. Однако при взрыве заряда ВВ давление продуктов детонации уменьшается вследствие расширения полости за счет перемещения ее границы и в состоянии равновесия достигает некоторого значения р0 < р0. Поэтому действительные значения перемещения

* ^ * * * 4 ^ * * * у —I

ur, напряжений и деформаций er,eew (обозначены сверху звездочкой)

будут меньше величин, полученных по формулам Ламе [3]. Учет снижения давления в зарядной полости проведем предварительно для сферической полости.

Рассмотрим неограниченную упругую изотропную среду со сферической полостью радиуса r0. Начало сферической системы координат совместим с центром полости.

Перемещение йг в условиях сферической симметрии направлено вдоль радиуса г и зависит только от радиальной координаты г точки:

ur=ur(r)--, (1)

Г

V

Здесь — - единичный вектор, направленный вдоль радиуса r. г

Тогда rotur =0 и уравнение равновесия 2(l-v)graddivu-(l-2v)rotrotu = 0

приводится к виду:

2 (1 - v)grad div йг = О <=> div йг = const = За,

где a - некоторая постоянная.

Далее

, _ 1 (и (г) и _ _ и

div ur = div —— г = — div г + г • graa — . r I r j r r

С учетом того, что

дх ду dz — + —+ —

йг dy dz

, _ йг йу & div г =------------h — Н----------= 3 и

Л 1 Ї Л 1 1 Л 1 г 1 , г

grad | ur — = ur • grad — + — grad ur = — ur • —---1— ur • —

rr J r rr r r r r r r r

находим

, _ и _

a/v m = 3 — + r

r

r

1 r I 1 , r

и. I —H—и ■ —

r2r

и и _ _ 1 , _ _

= 3 — —-r -r +--ur-r - г = r r r r

u u , , u 1 , . 1 d(r2u )

= 3-^ —^ + u'r = u'r+2 = —( u'rr2 + 2rur) = — ----------------r—

r r r r r dr

1 d(r2H ) „ 2 ,

« —----------------— = 3a « d(r ur) = 3ar dr «

r dr r

f F b

= 3a\r2dr « r2u = 3a-----------------+ b « u = ar + —.

J r Ъ r r2

г

3 г

Из условия ограниченности перемещения на бесконечности (при г ) находим, что а = 0. Тогда

иг = Ь. (2)

г

Поскольку перемещения точек среды происходят только вдоль радиуса, то полярные и азимутальные перемещения и их производные равны нулю, т.е.

й и д и

иф = 0, и= 0,—- = 0,—- = 0. (3)

9 - дф ду

Выразим компоненты деформации через компоненты перемещения иг, %, % и

их производные:

d u

s = —- ; r dr

1 d u ur ur

9 r Йф r r

(4)

(5) (6)

І Й и- \ ; иг иг

Є-=—---------т- + ~ с{8- +— = — .

г бш— й— г г г

По закону Гука радиальное напряжение в сферических координатах равно

аг=Хв + 2Єєг, (7)

где в = sr+st +s - объемное расширение; Я = 2vG

9 9 1-2v

- постоянная Ламе; v - коэф-

фициент Пуассона; G — ■

E

- модуль сдвига; Е - модуль упругости среды.

2(1 + г)

Представим радиальное напряжение как функцию перемещения:

<г = Лв + 20е = Л£ + £ + £ ) + 2в£ + 2^-1 + 20—т~ = (Л + 20)—<- + 2Л^ =

т £ £ 9 9 £ 1 дт т дт У ) дт т

.^L + 2G & + 2-^^ = 2G

1 -2v Idr 1 -2v r

1 - 2v

dr 1 - 2v r

,^i 1 -v ди 2v и,

— 2G\ + ■

1 - 2v dr 1 - 2v r

2 E

2G

1 - 2v

д и „и

(1 -v) -Ц- + 2v —

dr r

1 -2v 2(1 + v)

д и „и

(1 - v)—- + 2v —

d r r

(1 + v)(1 - 2v)

д и „и

(1-v)—- + 2v —

dr r

(8)

Дифференцируя (2) получим

д иг 2Ь

д т т3

Тогда выражение (8) с учетом (2) и (9) преобразуется к виду

(9)

E

(1 -v) I- ^1+2vb

(1 + v)(1 - 2v)

На границе полости имеем

I b I

2 E b

(1 + v) r

2E b

1 + v r„

(11)

где b /r03 — и0/r и и0 - соответственно относительное и действительное перемещения границы полости вдоль оси r.

Решим аналогичную задачу для упругой бесконечной среды с цилиндрической полостью. Перемещение йг в условиях цилиндрической полости также направлено вдоль радиуса г и зависит только от радиальной координаты г точки. Соответственно rot йг = 0 и уравнение равновесия принимает вид

2(1 — v)grad divu =0<^> divii = const = 2а . (12)

Проведя выкладки, аналогичные вышеприведенным, получим выражение для радиального напряжения на границе цилиндрической полости в состоянии равновесия

d

1 + v r

(13)

где d - постоянная.

В момент окончания детонации давление взрывных газов равно р0. В результате адиабатического расширения (теплообменом газа со средой можно пренебречь в силу того, что равновесие устанавливается за десятки мкс) вследствие смещения границы полости давление газов снижается до равновесной величины р*, которое на-

—

ходим из выражения (закона Пуассона, определяющего параметры идеального газа в адиабатических процессах):

- для сферической полости:

Р^ = р0 = Ро

*3

Г

V 'о У

= Ро

г

' г

3 к

ч] к

\3к

\3к

= Ро

V Го + ио

= Ро

1 + V го У

= Ро

(

V го + ио У

\3к

1 + V го У

= Ро

1

ч3к

1 + Ь / г]

для цилиндрической полости:

Ро = Ро

1

Л

2к

(14)

(15)

где к - показатель политропы взрывных газов.

Для малых деформаций в разложении в ряд изменения давления от относительного перемещения границы полости можно ограничиться линейным членом. Рассмотрение этого приближения будем вести одновременно для сферической и цилиндрической полостей. Тогда имеем:

- для сферической полости:

* *л о — 3к

Ро= Ро I1 + Ц1 ) = *

, , 3к 9к: | 2

1 — ]кц +| — + — |Ц +...

или

Ро* = Ро(1—3ке1)=Ро [1—3к •Ь / го3];

- для цилиндрической полости:

Р° = Ро (1 + е2 )— 2к = Ро [1 — 2к[ + (к + 2к 2 )Ц22 + ...] Р° = Ро(1 — 2к^) = Ро [1 — 2к • Л / Го ],

(16)

или

(17)

где ех = Ь / г03, е2 = Л / г02 - относительные радиальные перемещения границы полости. Условие равновесия на границе полости запишется в виде:

- для сферической полости:

а

2Е Ь

(

1+ У Г]

' = Ро

1 — 3к •-

для цилиндрической полости:

СТ° г=Г„ =— Ро

Е Л -•- = Ро

1 + ^ Г„

Ь = г

Отсюда находим Ро(1 + *)

Л = г2

'■ — 2к • 4'

Ро(1 + У)

(18)

(19)

(20)

2Е + 3кр0 (1 + у) Е + 2кр0 (1 + ^)

Соответственно перемещения, деформации, радиальное и полярное напряжения составят:

- для сферической полости:

г

О

1

1

г

о

и_ Ь _ Ро(1 + у)го 1 . г2 2Е + 3кр0 (1 + у) ^ г2 ’

_д и_ 2 Ь_ 2 р0 (1 + у) 1

г дг г3 2Е + 3кр0(1 + у) г3 ’

_ _ и _ Ь _ р0 (1 + у) 1

Ц Ц г гъ 2Е + 3кр0 (1 + у) г3 ’

_ _а__ 2Е Ь - __________________2Е_________________1_.

г .Ро Ро(1 + У г3 г 2Е + 3кро(1 + у) г3’

_ Е Ь _ _ Е________1.

У Ро Ро(1 + У г3 у 2Е + 3кро(1 + у) г3 ’

- для цилиндрической полости:

.._А _ Ро(1 + у)го 1.

и н ;

г Е + 2кр0 (1 + у) г _ д и _ Л _ р0 (1 + у) 1

г дг г2 Е + 2кр0 (1 + у) г 2 ’

_ _и _ Л _ р0(1 + у) 1

е<е-еч>- — - Е + 2кр0 (1 + у) ’ г7 ’

_ _ стг _ Е Л _ _ Е 1

г .Ро Ро(1 + У г2 г Е + 2кро(1 + у) г2 ’

- у _ Е Л _ _ Е 1

а=Р^' Ро(1 + у ' Т7 <2_ 2 + 2кро(1 + У ' г2' где г = г / г - относительная координата точки (г > г « г > 1).

Расчеты по полученным формулам проведены для взрыва заряда граммонита 79/21 в граните. Графики зависимостей перемещения (кривые 1 и 1'), радиального (кривые 2 и 2') и тангенциального (кривые 3 и 3') напряжений для сферической и цилиндрической полостей даны соответственно на рисунках 1 и 2 сплошными линиями, а графики тех же зависимостей, определенных без учета расширения полостей (по решению Ламе) - пунктирными линиями.

Расчеты показывают, что величины равновесного давления для сферической и цилиндрической полостей равны соответственно р = 4,45о47 • Ю9 Па и р* = 3,99о84• Ш9 Па, что составляет 65,45% и 58,69% от начального давления р0. При этом, перемещение, компоненты тензоров напряжения и деформации при учете расширения сферической и цилиндрической полостей соответственно примерно на 34,55% и 41,31% меньше аналогичных величин, соответствующих постоянному давлению взрывных газов.

Таким образом, при расчете напряженно-деформированного состояния среды со сферической и цилиндрической полостями, которые внезапно подвержены воздействию давления продуктов детонации взрывчатого вещества, применение соотношений Ламе может привести к значительным погрешностям.

Равновесные величины напряжений и деформаций являются асимптотическими значениями в соответствующих динамических задачах, что позволяет использовать их для оценки погрешности их решений.

(22)

(23)

(24)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

Рис. 1

Рис. 2 24

Учет расширения полости, проведенный по условиям равновесия (18) и (19), предполагает неразрушаемость среды при расширении. В действительности хрупкие среды разрушаются при относительно малых напряжениях, соответствующим небольшим деформациям. Радиус зоны регулируемого дробления при взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов определяется средней длиной радиальных трещин, образуемых за счет растягивающих напряжений в упругой среде (горной породе) [4].

Для оценки величины данного радиуса можно использовать статические формулы полярного напряжения. При этом радиус зоны регулируемого дробления считают равным радиусу точки в упругой ненарушенной среде, в которой величина полярного напряжения равна пределу прочности среды на растяжение арас [2]. Тогда,

используя уточненные формулы (23) и (28), получим для радиусов зоны регулируемого дробления соответственно для сосредоточенного и удлиненного зарядов выражения

Здесь предполагается, что величина р0 есть давление продуктов детонации взрывчатого вещества в точке Жуге.

1. G. Lame. Leçons sur La Theorie ... de l’Elasticite, Paris. 1852.

2. Крюков Г.М., Глазков Ю.В. Феноменологическая квазистатическо-волновая теория деформирования и разрушения материалов взрывом промышленных ВВ. Отдельные статьи ГИАБ. -2003. - №11. - 67 с.

3. Крюков Г.М., Дугарцыренова Э.А., Дугарцыренов А.В. Напряженное равновесное состояние среды с полостью с учетом ее расширения в линейном приближении. Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 14, вып. 1. - С. 1003-1004.

4. Механический эффект подземного взрыва / В.Н. Родионов, В.В. Адуш-кин, В.Н. Костю-ченко и др. - М. : Недра, 1971. М

— Коротко об авторах -----------------------------------------------------------

Дугарцыренов А.В. - доцент кафедры "Взрывное дело", fizika@rbcmail.ru,

Белин В.А. - профессор, доктор технических наук, кафедра "Взрывное дело", Крюков Г.М. - профессор, доктор технических наук, кафедра "Взрывное дело", Вавер П.А. - аспирантка кафедры "Взрывное дело",

Московский государственный горный университет,

Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru

Po

(29)

^ £l ’ ®pac

(30)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ