Динамические поля напряжений и де формаций при камуфлетном взрыве сосредоточенного и удлиненного Заря дов с учетом расширения взрывной полости Текст научной статьи по специальности «Физика»

------------------------------- © Г.М. Крюков, A.B. Дугарцыренов,

2007

УДК 622.235

Г.М. Крюков, А.В. Дугарцыренов

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ КАМУФЛЕТНОМ ВЗРЫВЕ СОСРЕДОТОЧЕННОГО И УДЛИНЕННОГО ЗАРЯДОВ С УЧЕТОМ РАСШИРЕНИЯ ВЗРЫВНОЙ ПОЛОСТИ

Динамическая задача о камуф-летном взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов взрывчатого вещества (ВВ) в большинстве работ сводится к модели соответственно сферической и цилиндрической полости в неограниченной среде, внезапно подверженной действию давления газообразных продуктов детонации ВВ. Для постоянного давления взрывных газов применительно к сферической полости она рассматривалась Дж. Шарпом [1]. В статике подобная задача была решена Ламе [2].

Следует отметить, что точное аналитическое решение задачи о взрыве цилиндрического заряда в упругой среде до настоящего времени не получено. Подобная задача, но при воздействиях специального вида на цилиндрическую полость в среде решена Селбергом Г. [3], однако ее применимость к взрыву удлиненного заряда затруднительна. В то же время для статического случая, являющегося предельным к динамическому воздействию, имеется решение, полученное Ламе [2]. Сложность решения указанной задачи обусловлена тем, что напряжения в среде при динамическом рассмотрении носят колебательный быстрозатухающий характер, определяемый в изображениях функциями

Бесселя и Макдональдса, обратное интегральное преобразование которых связано с контурным интегрированием, которое выполняется только в простейших случаях.

Такое положение вызвало большое число приближенных решений. Большинство из них связано с решением приближенных уравнений теории упругости и их адекватность реальному напряженному состоянию среды, формируемому в произвольный момент времени при взрыве удлиненного заряда весьма спорна. В последнее время получено относительно простое приближенное решение для случая действия на границу полости постоянного давления, существо которой сводится к замене периодической функции, определяющей колебательное движение среды, на монотонную функцию, сходящуюся на бесконечности к той же величине, что и периодическая [4,5]. При этом монотонная функция является решением дифференциального уравнения о генерации упругих волн сферическим и цилиндрическим излучателем.

Близость данного решения к точному с позиции сходимости подтверждена при сравнении с точным решением Лж. Шарпа [1] о нагружении сферической полости в упругой среде

и (Г)

0 2 4 6 8 10 12

Рис. 1

постоянным давлением. Максимальное расхождение приближенного и точного решений для зависимости относительного перемещения границы

полости и _ и /и и _ р0(1 + к)го от

1А — И / Ип, ип —

0 0 2Е

безразмерного времени Т _ С ^ / г0

не превышает 25 % (рис. 1) [4]. Здесь

г0 и и0 - соответственно радиус и

перемещение границы сферической полости, Е и V - модуль упругости и коэффициент Пуассона, Сх - скорость продольной волны в среде. Стабилизация величин перемещений

наступает примерно при I = 8 ^ 10 или в размерных единицах (Т _ 1 ^ ? _ 94,64 мкс) при t = 757,1 + 946,4 мкс, т.е. практически

мгновенно. Также показано [4,5], что в приближенном решении величины деформаций и напряжений стремятся при / к статическим значени-

ям, совпадающим с решением Ламе.

t

В действительности, вследствие расширения полости и постоянства массы продуктов детонации при ка-муфлетном взрыве имеет место снижение давления газов на ее стенки с течением времени. Как в статике, так и в динамике учет этого явления произведен только для случая сферической полости [6, 7]. Для взрыва удлиненного заряда приближенное решение получено только для постоянного давления взрывных газов [4, 5].

Под действием давления газов полость расширяется, что вызывает уменьшение давления на ее границу и с другой стороны, упругое сжатие среды и возрастание противодействия с ее стороны. Естественно, развитие деформаций и напряжений во времени при переменном давлении не будет соответствовать решению Шарпа, а равновесное давление и соответствующее перемещение при учете расширения полости должны быть мень-

ше значений, полученных в решении Ламе [8, 9].

Из этих общих рассуждений следует, что корректное решение задачи о взрыве в полости требует обязательного учета снижения давления продуктов детонации ВВ в процессе ее расширения.

2. Математическая модель Построение математической модели будем вести одновременно для сосредоточенного и удлиненного зарядов.

При камуфлетном взрыве сосредоточенного и удлиненного заряда ВВ (соответственно сферическая и цилиндрическая полость радиуса г0 в упругой среде под давлением продуктов детонации ВВ) в силу симметрии отлично от нуля только радиальное перемещение и, которое в акустическом приближении определяется дифференциальным уравнением [4,8]:

д и

1

-о’

(1)

°r = Р 0

- Au'

(2)

а с учетом расширения полости формулой

ог = Р •

- Au ’

(3)

где р0 - начальное давление продуктов детонации, Па; р - давление газов с учетом расширении полости; А - постоянный коэффициент; п - показатель, равный 2 для сосредоточенного заряда и 1 - для удлиненного.

Считая газ совершенным, для границы полости при её адиабатическом расширении в общем случае имеем

\ ( п+1)к

(

Р (t) = Ро

1

1 + и„ / Г

= Ро(1 + є)

-(n+1)k ’

(4)

показатель изоэнтропы; и0 - перемещение границы

д t рС1

где р - плотность среды, кг/м 3; Сх -скорость продольной волны, м/с; <Уг - напряжение в рассматриваемой точке с координатой г, Па.

Приближение (1) показывает, что напряжение в каждой точке связано со скоростью частицы прямой пропорциональностью с коэффициентом, равным 1/ рС1, соответствующим характеристическому импедансу. В заданной точке г напряжение <УГ представляет собой разность давления в этой точке с учетом геометрического расхождения и некоторой величины, пропорциональной текущему перемещению и. Для постоянного давления газов величина <УГ определяется выражением:

где к

В= ио/го;

полости.

Учитывая, что, є << 1 и пренебрегая в разложении (4) в ряд по степеням Є членами второго и более порядков малости, находим:

(1 + є)-(n+1)k «1 - (n + 1^є- (5)

Тогда

Р = Ро [1 - (n + 1)kє] •

(6)

Оценим погрешность линейного приближения адиабатического закона изменения давления для случая сосредоточенного заряда. В разложении функции p(t) мы ограничились только линейным членом. Используя остаточный член в форме Лагранжа, находим:

1^1 = —2 + 3*0(1 + ве) ~

[е = 0.01; к = 2,8 Следовательно, линейное приближение достаточно точно определяет закон изменения давления на границе полости. Графическая интерпретация

2

P (e)

Рис. 2

данного приближения представлена на рис. 2, откуда видно, что точная зависимость p(t) (кривая 3) при малых £ также близка к линейной.

Коэффициент A находим из граничного условия, соответствующего статическому состоянию в заданной точке. В этом случае имеем:

u I = u = Р o(1 + V) r0 ,

i^“’(r°/r)=1 0 nE + (n + 1)kp0(1 + v)

(7)

(8)

d t

где E - модуль упругости среды, Па; V - коэффициент Пуассона.

Объединяя (1), (3), (6), (7) и (8), находим

Отсюда имеем n E

A = аст = ■

а также д “ = 0 •

.. (9)

(1 + V) Го

Полученный результат показывает, что коэффициент A является статическим напряжением (7^ (противодавлением), соответствующим

перемещению u.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид

д u 1

Р о

1 - (n + 1)к-

д t pC х

nE ] (6)

---------u k (6)

(1 + V) Го

Ланное дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

д t pC1

- A-

1 - (n + 1)к- - u (г , t) = u 0

Р 0(1 + V) Го

nE + (n + 1)kp0(1 + v) v г

где

1

(1 - e -nkt ) (7)

E = 1 - 2v Cx.

Го

PC1 (1 -V) Го 1-V

Поскольку отсчет времени t начинается с момента прихода возмущения в точку г, то в общем случае при учете запаздывания волны и отсчете времени от момента нагружения полости, представим решение (7) в общем виде, зависящем от безразмерных координат:

------т и т р о(1 + v)

и (г ,т) = — = Нт)------------------ -------х

г0 пЕ + (п + 1)кр 0(1 + v)

11(1 - *ч'*2')

(8)

где - С1 , г ; к =

Т =—11----------+ 1 ’ к 2~

1 - 2v 1 - V

и

г=—; и (г, т) =—; н (т) - функ

г

и

о

ция Хевисайда.

Компонентами тензора деформации, отличными от нуля, являются: д и и

Г г = , Г р =

д г г

Отсюда, безразмерные радиальная и полярная деформации, отнесенная к относительному перемещению границы полости, выражается соотношениями:

=-

пР 0(1 + V)

1

пЕ + (п + 1)кр0(1 + V) г

— п+1

X

1 - * пк2т | 1 - ]_ 2^ . 7 1 -V

гр = -

Р о(1 + V)

пЕ + (п + 1)кр0(1 + V)

(9)

(10)

(1 - * - пк2Т) 77« + 1 V /

Компоненты тензора напряжений определяются выражениями:

(

°г =РС1

- Т1 • р

д и

V и

Л

удг 1-V гу

(11)

0 гп+1

1 -(1 - г )е

г ^ \

V д и + и

1 - V д г

V

п+1

1 -

V -

1 +------г

1 -V

(11*)

а также для осевого напряжения в случае удлиненного заряда соотношением

Ev (д и иЛ

(11**)

(1 + к)(1 - 2к)

V

д г г

__________Т • р • 1 •* 2 т

л ъ3 И0 — ^

1 - V г

или безразмерном виде:

г Т -1тт['-(•)*-‘2т]'

X

р 0

1 -| 1+

(12)

(12*)

— | - к, т

-• г е ’

1 -V

г, =Н=-^. т 3 • I • * -к--т. (I2* р 0

где т =

-Ч --

1 "3 -

1 - V г

пЕ

пЕ + (п + 1)кр0 (1 + у) Е ;

-----------------------ч

пЕ + (п +1) кр0(1 + V)

Е

Е + 2кр 0(1 + V)

3. Обсуждение особенностей напряженно-деформированного состояния среды при камуфлет-ном взрыве ВВ в сферической и цилиндрической полости.

Предварительно оценим погрешность акустического приближения для сферической полости, для которой известно точное решение Шарпа, в котором произведен учет расширения полости [6]. Сравнение этого решения

х

1

u(t )

t

Рис. З

єг ( t )

t

Рис. Б

єp(t )

t

єр(t )

t

Рис. 7

Or ( f )

-O.6

-0. 65 -O.7 -O.75 -O.8 -0.85

^ 4

! 1 \ \ —.

1 1

1 1

1 1

/ і

І 1 і

Рис. 9

Op(t )

2Í

Рис. 11

с акустическим приближением (формула (8)) для перемещения в случае взрыва заряда граммонита 79/21 (р0 = 6,8-109 Па) в граните (V = 0,22) в

графическом виде представлено на рис. 3. Непосредственно из данного рисунка видно, что решения совпадают в начальный момент времени и в статическом случае.

Аналогичные сравнения проведены для деформаций и напряжений (рис. 4-9). Для точек границы полости соответствующие графики даны на рис. 4, 6, 8 и 10, а для внутренних точек среды - на рис. 5, 7, 9 и 11. Все величины и зависимости на графиках представлены в безразмерных единицах.

Пунктирные линии на указанных рисунках соответствуют решению Шарпа с учетом расширения полости (решение 1), сплошные - представленному здесь решению на основе акустического приближения (решение

2). Как видно из рисунка стабилизация величин перемещения, деформаций и напряжений достигается при ~ = 8 -10 . При этом по мере удаления от границы полости величины перемещений достаточно резко уменьшаются.

Графики зависимости деформации £ (7) от времени даны на рис. 4, 5.

На границе полости (Г = 1) и внутренних точках значения функции £ (Т) в начальный момент времени

существенно различаются для решений 1 и 2. Однако статические значения величины £ (Т) , достигаемые

также при Т > 8 -10, совпадают. Что касается полярных деформаций, то здесь имеет место совпадение значений функции £р(Т) в решениях 1 и

2 как в начальный момент, так и при Т > 8 -10 , когда реализуется статический случай (рис. 6 и 7). Величина

г

этих деформаций, как на границе полости, так и во внутренних точках среды положительна и по мере удаления от границы быстро убывает.

Радиальные напряжения на границе полости по решению 1, как и ожидалось, в начальный момент равны Нг =-1 , далее они возрастают во

времени до значения примерно -0,58 и уменьшаются до статического значения, равного - 0,6545. Во внутренних точках они всюду отрицательны и имеют аналогичный характер развития во времени. Это говорит о сжимающем характере этих напряжений (рис. 8 и 9). Согласно решению 2 радиальные напряжения со временем монотонно возрастают и достигают статических значений примерно при Т = 10 -12 . Абсолютные значения радиальных напряжений достаточно быстро убывают по мере удаления рассматриваемой точки от границы полости. Известно, что при переходе к статическому случаю напряжения по Шарпу примерно в 1,53 раза превышают напряжения, полученные с учетом расширения полости [2].

Поведение относительного полярного напряжения по решениям 1 и 2 аналогично изменению радиального напряжения (рис. 12 и 13). Статические значения этих напряжений положительны, т.е. в статике имеют место растягивающие полярные напряжения. Особенностью изменения этих напряжений во времени является то, что в начальные моменты времени они носят сжимающий характер и только по прошествии некоторого времени становятся растягивающими. Это выполняется для границы полости и всех внутренних точек среды как по решению 1, так и решению 2.

Следовательно, в начале возмущения в любой точке среды имеет место всестороннее сжатие, при котором

горные породы не разрушаются. Процесс разрушения начинается, когда полярные напряжения в заданной точке станут растягивающими и достигнут предела прочности на растяжение. Это говорит о запаздывании разрушения.

Поскольку при разрушении горных пород равновесные параметры зон разрушения определяются напряжениями, формируемыми вблизи состояния стабилизации, то сравнение решений 1 и 2 показывает их полную идентичность. Расхождение между ними не превышает 25 % и имеет место в начале деформирования среды. Следовательно, приведенное акустическое приближение с достаточной точностью отражает развитие перемещений, деформаций и напряжений в среде во времени и может быть использовано для определения напряженно-деформированного состояния среды при взрыве удлиненного заряда.

Приведенные выше формулы при п = 1 определяют характеристики напряженного состояния среды при взрыве удлиненного заряда (цилиндрической полости, нагруженной по границе переменным давлением) с учетом расширения полости. Графики перемещений, деформаций и напряжений на границе полости и внутренних точках среды, полученные расчетом по вышеприведенным формулам для взрыва удлиненного заряда (тип ВВ -граммонит 79/21) приведены на рисунках 10-15.

Осевые напряжения г, в любой точке среды в статическом состоянии равны нулю (рис. 17). В момент прихода возмущения в заданную точку, осевые напряжения являются сжимающими (их величины отрицательны), далее они возрастают и в пределе стремятся к нулю. Начальное значение напряжений г увеличивается по мере удаления точки от границы полости.

u ( t )

t

Рис. 12

Є r ( t )

Єp(t )

t

Рис. 14

O r ( t )

Рис. 16

Oz ( T )

Ащг) Ааг(г)

Щг) ’ аг (г)

Рис. 1«

10

12

г

Таким образом, напряжения в породе в начальный момент прихода возмущения в заданную точку напряженное состояние в ней близко к все-сторонему сжатию. При дальнейшем развитии полярные напряжения приобретают характер растяжения и по достижении предела прочности породы на разрыв обусловливают образование радиальных трещин и зоны регулируемого дробления. Граница этой зоны определяется пределом прочности на разрыв и соответственно растягивающими полярными напряжениями. Удвоенный радиус зоны регулируемого дробления можно интерпретировать как расстояние между скважинами при массовом взрыве на карьерах [10].

При взрыве скважинного заряда важное значение имеет время достижения статического состояния в массиве (упругой среде), когда перемещения, деформации и напряжения не

изменяются во времени. Формально эти изменения существуют при сколь угодно большом времени, однако значения их колебаний настолько малы при г > 8 —10 , что не оказывают заметного влияния на процесс разрушения породы. В связи с этим целесообразно рассмотреть изменения величин разности соответствующих параметров при фиксированном времени для точного и приближенного решений в случае сферического заряда, отнесенных к значениям этих параметров в тот же момент времени. Для перемещения и радиального напряжения соответствующие формулы имеют вид:

А щ (7) _ щ (7) - щ *(Г) А а(7) _а(7)-а*(7) щ (7) щ (7) ’ а (7) а (7)

Здесь звездочкой отмечены параметры для приближенного решения. Графики изменения данных величин во времени в процентах представлены на рис. 18 (сплошная линия - перемещение, пунктирная - радиальное на-

пряжение). Приведенные графики показывают, что обе зависимости при Т > 8 —10 практически совпадают и стремятся к нулю, отклонения их друг от друга не превышают долей процента. Если быть точными, то относительное отклонение для перемещения при Т _ 10 составляет согласно расчетам 0,0033 %, а для радиального напряжения при том же времени - 0, 0024 %.

Следовательно, при Т _ 10 изменения параметров напряженного состояния практически равны нулю. В размерных единицах (г _ 1 о г _ 94,64 мкс) значение времени Т _ 10 соот-

1. Sharp J.A. The program of Elastic Waves by Explosive Pressure, Geophisics, 7 (1942), 144-154, 311-321.

2. Lame G. Leçons sur La Theorie ... de l’Elasticite, Paris. 1852.

3. Selberg H.L. Transient Compression Wave from Spherical and Cilindrical Cavities, Arkiv f. Fisik, 5, 7, (1952), 97-108.

4. Крюков Г.М., Глазков Ю.В. Феноменологическая квазистатическо-волновая теория деформирования и разрушения материалов взрывом промышленных ВВ. Отдельные статьи ГИАБ. - 2003. - №11. - 67 с.

- М.: Изд-во МГГУ.

5. Крюков Г.М., Белин В.А., Дугарцы-ренов А.В., Дугарцыренова Э.А., Цэдэнбат А. Поля напряжений и деформаций при взрывном воздействии удлиненного заряда на массив горных пород. Горный информационноаналитический бюллетень. Отдельный выпуск «Взрывное дело», №7, 2007, с. 273-282.

6. Крюков Г.М., Дугарцыренова Э.А., Дугарцыренов А.В. Напряженное равновесное состояние среды с полостью с учетом ее расширения в линейном приближе-

ветственно равно 946,4 мкс. За это время возмущение от границы полости распространяется (C1 = 5283 м/с)

на расстояние примерно 5 м, т.е. здесь влиянием истечения газов через устье скважины на снижение давления в ней можно пренебречь и считать взрыв камуфлетным. В то же время полученное расстояние примерно равно радиусу зоны регулируемого дробления, поэтому для определения этого радиуса вполне приемлемо статическое решение, в которое переходят приведенные формулы при t > 10.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

нии. Обозрение прикладной и промышленной математики.-2005.-Т. 14, вып. 1.-с. 1003-1004.

7. Дугарцыренов А. В. Особенности напряженного состояния упругой среды при взрыве. Обозрение прикладной и промышленной математики.-2005.-Т. 12, вып. 4.-с. 952-953.

8. Дугарцыренов А.В. Динамика на-

пряженно-деформированного состояния горных пород при камуфлетном взрыве сосредоточенного заряда. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 4,

2007, с. 166-179.

9. Дугарцыренов А.В., Дугарцыренова

Э.А. К вопросу о взрыве сосредоточенного и цилиндрического зарядов в неограниченной среде. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 4, 2003, с. 76-78.

10. Крюков Г. М. Модель взрывного рыхления горных пород на карьерах. Выход негабарита. Средний размер кусков породы в развале. Отдельные статьи ГИАБ. - 2005.

- №2. - 30 с. - М.: Изд-во МГГУ. ШИЗ

— Коротко об авторах-----------------------------------------------------

Крюков Г.М. - доктор технических наук, профессор,

Дугарцыренов А.В. - докторант кафедры «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф.. К.В. Халкечев.