К вопросу о взрыве сосредоточенного и цилиндрического зарядов в неограниченной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

---------------------------- © А.В. Дугарцыренов, Э.А. Дугарцыренова,

2005

УДК 622.233:622

А.В. Дугарцыренов, Э.А. Дугарцыренова

К ВОПРОСУ О ВЗРЫВЕ СОСРЕДОТОЧЕННОГО И ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗАРЯДОВ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ

~И~¥ ри оценке напряженного состояния АЛ твердой упругой среды при взрыве сосредоточенного и цилиндрического зарядов часто используют решение Ламе, полученное для случая статического нагружения сферической и цилиндрической полостей постоянным давлением [1]. В частности для сферической полости это решение имеет вид:

«Г = «о С -^1 ; °гг = - Ро С Г0

°вв=°„= 0,5Ро\ -

Ро(1 + v) ( П, r

2E

Ро(1 + v),(r0 E

(1)

где

Ро(1 + v) r0 = Ро(1 -v) r0

2 E 2(1 - 2v)pC\

Ро(1 + v)

и0гг =—------- - перемещение и радиальная

Е

деформация границы полости; Го иг - начальный и текущий радиусы полости; и,

Сгг > °вв > , игг, ивв , и^> - соответственно пе-

ремещение и компоненты тензоров напряжения и деформации, в точке г, р - давление на границе полости; р , V и Е - соответственно плотность, коэффициент Пуассона и модуль упругости среды; С - скорость распространения продольных волн в среде.

При взрыве заряда ВВ давление продуктов детонации уменьшается вследствие расширения полости за счет смещения ее границы и в состоянии равновесия достигает некоторого значения р < ро. Поэтому действительные

arr и ДефоРмаЦИй игг, ивв, uw бу-

дут меньше величин, полученных по формулам (1).

Учет снижения давления в зарядной полости проведем предварительно

для сферической полости. Введя сферические координаты с началом в центре полости, и

*

учитывая, что перемещение иг является только функцией от координаты r , имеем rot иг = 0 . [2]. Тогда

, * 1 d(r2ur)

div и = —---------— = const = 3a и

r r2 dr

b

ur = ar +—2

(2)

где а и Ь - некоторые постоянные, определяемые из граничных условий. Из условия ограниченности перемещения на бесконечности имеем а = 0 .

В момент окончания детонации давление взрывных газов равно Р0 . В результате адиабатического расширения вследствие смещения границы полости давление газов снижается до равновесной величины Р , которое находим из выражения:

Р = Ро

1

1+Z

Ъу

(3)

где у - показатель политропы взрывных газов,

£ = Ь / Го3 = «*о / го и «*о - относительное и действительное перемещения границы полости вдоль оси Г .

Параметр £ определим из условия на границе полости:

значения перемещения Ur, напряжении

rr

ио =

Рис. 1

1дт,(Г)(с^г<т,и„(Г),а1Г(п

Рис. 2

Цда (г), ои(Г),и№(Г),ав(Г)

1.5 2 2.5 3 3.5

Рис. 3

2 Е

агг =-р о---------------------= Ро

1 + V

1 \3у

(4)

V1 + ^/

Тогда выражение для перемещения запишется в виде

(5)

ыг 2 1

«г = =--~2

«о Ро(1 + V) г

где Г = г / го .

Напряжения в среде определяются соотношениями:

а„, = —2Е1^.(11 и

Ро Ро(1 + V) Vг

Рис. 4

игг (Г),и гг (Г), СТгг (Г), СТ гг (Г)

Рис. 5

(Г),и (да(Г)гСТ<да(Г),СТ(да(Г)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Рис. 6

Ро Ро(1 + V) Vг

Компоненты тензора деформации равны:

—* «ГГ

2£Е (1

Ро(1 + V) V Г

™гг о У о

«го "" Ко Ро(1 + V) V Г

{Е (11, <7.

где

«гг о = I «гг (о) = И„(о) = «„(о) = Ро^±+1 .

«гг =

Сравнение выражений (1), (6) и (7) показывает, что имеют место формальные равенства: и = ст , и = ст ; и = ст , м = ст . (8)

гг гг’ дд дд у гг гг’ дд дд V /

Определяя параметр ^ из трансцендентного уравнения (4) и подставляя его в

равенства (5), (6) и (7), находим перемещение и компоненты тензоров напряжения и деформации.

Расчеты проведены для взрыва заряда граммонита 79/21 (р0 = 6,8 • 109 Па, у = 2,8) в граните

( u* = .!>=.

ZE

1| v = 0,И; r

1

• = = ; uo r

Po ro(1~

v) _ —; u

Ur

U0,

Po(1 + v),

E;

Po

Po

Условие равновесия на границе полости имеет вид:

°rr = _ P

l E-Z »--------- = Po

Po(1 + v)

E = 6,6 •1010 Па). Тогда ^ = 0,043832 . Графики зависимостей (5), (6) и (7) даны на рис. 1,2 и 3 (сплошные линии). Там же представлены графики аналогичных величин для случая р0 = const (пунктирные линии), полученные по формулам (1). Как и следовало ожидать, перемещение, а также компоненты тензоров напряжения и деформации при учете расширения полости примерно на 30,1% меньше аналогичных величин, соответствующих постоянному давлению взрывных газов. Величина равновесного давления равна р = 4,742 • 109 Па, что составляет 69,7% от начального давления P0 .

Аналогично рассмотрен случай статического нагружения цилиндрической полости радиуса r0 в безграничной твердой среде постоянным давлением (р0 = const) и с учетом его изменения при деформации полости.

В этом случае также rot иг = 0 и ur = ar + b / r . Для р0 = const имеем

_• u,

U, = —

1 + v Тогда получим

EZ 1

Po(1 + v) Т

ZE

1

1+Z

ly

uT

U0rr

Po

r

Po(1 + v)

_ E-Z

Po(1 + v)

E-Z

Ро Ро(1 + ^

Для рассматриваемого случая также выполняются равенства, аналогичные (8):

м = ст , м = ст ; и = ст , и" = ст .

гг гг ’ дд д>д ’ гг гг5 д>д д>д

Соответствующие графики для взрыва граммонита 79/21 в граните представлены на рисунках 4,5 и 6.

Расчеты показывают, что величина равновесного давления равна р = 4,392 •Ш9 Па, что составляет 64,58% от начального давления ро . При этом, перемещение, компоненты тензоров напряжения и деформации при учете расширения цилиндрической полости примерно на 35,42% меньше аналогичных величин, соответствующих постоянному давлению взрывных газов.

----------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Lame. Leçons sur La Theorie ... de l’Elasticite, Paris. 1852.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика, т. 7. Теория упругости. 247 с.

U

?ч>

и

Коротко об авторах

Дугарцыренов Аркадий Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Физика горных пород»,

Дугарцыренова Эльвира Аркадьевна - аспирант кафедры «Разрушение горных пород взрывом» Московский государственный горный университет.

Т8