Напряженное состояние горной породы при деформации включений (зерен и полостей) Текст научной статьи по специальности «Физика»

-------------------------------------- © А. В. Дугарцыренов, 2006

УДК 622.233:622 А.В. Дугарцыренов

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГОРНОЙ ПОРОДЫ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ ВКЛЮЧЕНИЙ (ЗЕРЕН И ПОЛОСТЕЙ)

ТЪ обширном ряде приложений,

■Я-9 связанных с расчетом напряженного состояния упругой среды (матрицы) со сферической или цилиндрической полостями, подверженными действию постоянного давления, используется решение Ламе [1]. Однако давление на границе полости на практике обычно изменяется по мере расширения последней [2]. Учет такого расширения позволяет дать более корректное решение данной задачи. В общем случае рассматриваемую задачу можно представить, как полость в среде, находящуюся под действием газового, жидкого или твердого упругого включения (зерна). Тогда к этой задаче можно свести совместную деформацию зерна и матрицы при различного рода физических воздействиях (нагреве, магнитострикции, пьезоэффекте и др.) и оценить напряжения вблизи их контакта, взрыв заряда взрывчатого вещества (ВВ) в горной породе, разрушение горной породы при фазовых переходах жидких и твердых включений и т. д.

Общий подход к такой задаче заключается в отдельном рассмотрении деформации полости в матрице и возникающем при этом поле напряжений. Далее рассматривается деформация включения, обусловленная конкретными физическими явлениями. Поскольку здесь в силу симметрии имеет место только радиальная деформация, на последую-

щем этапе достаточно привести к одинаковой величине равновесные давления на контакте и радиусы включения и полости.

Пусть в упругой изотропной бесконечной среде (индекс «1») находится сферическое (индекс « $ ») или цилиндрическое (индекс « 5/ ») включение (индекс «2») с начальным радиусом г0. В результате внешнего воздействия (взрыва, нагрева, фазового перехода и др.) радиус включения и соответственно полости в матрице изменяются от г0 до равновесного значения г12. При этом на их границе действует давление р1;2. Напряженное состояние матрицы определяется выражениями [2]:

1 1

.г = Р1;2 —3 ’ °"$ .у = .у = Р1;2 2 —3 ,

1 . 1 .

Ъ.г р1;2 —2 ; .<р Р1;2 —2 ; а!1.2 0 .

(1)

где <уг , <уг и ау - соответственно радиальные, полярные и азимутальные напряжения; — = г / г1;2 (г > г1;2 — > 1) - от-

носительная координата точки среды.

Перемещение и1;2 границы сферической и цилиндрической полостей в матрице и контактное давление р12 можно

выразить единой формулой, записываемой в виде

Р1;2 (1 + )Г0 пЕ,

пЕ.,

-и

-1 12 (1 + ^1) —о 1:2’

где к, и Е1 - коэффициент Пуассона и модуль упругости среды; п = 2 и п = 1 соответственно в случае сферической и цилиндрической полостей. Перемещения точек матрицы находятся из выражений:

^ =1

—2 ; ив1 .г = и1;2 — •

Взаимосвязь равновесной координаты г12 границы полости и действующего на

нее давления р12 может быть выражена

для матрицы в виде

Р1;2 О + ^1 )

и$ .г и1;2 —2

(2)

Г1;2 = /1(Р1;2) = Го

1

пЕ1

= 01 (Г1;2) = I ^ - 1 1 + V I Го

«• Р1;2 =

(3)

Представим зависимость радиуса г21 включения от давления р21 на его

поверхность выражением Г2;1 = $2 (р2;1 ) р2;1 = 02 (Г2;1 ) .

Тогда, равновесие в системе «включение - среда» выполняется при условиях

р1;2 = р2;1 9,1(Г1;2) = 02 (—2;1 ); Г1;2 = Г2;1

$1 (р1;2) = $2 (р2;1 ) Г1;2 + и1;2 = ^2 — и2;1 >

(4)

где Я2 - радиус включения при р21 = 0 ;

2;1 - перемещение точек поверхности

включения при сжатии.

При известной функции $2(р21) или

д2(Г21) соотношения (1 - 4) позволяют

найти перемещения и напряжения в матрице. Рассмотрим применение данной схемы расчета на примере некоторых частных задач.

1. Включение - твердая среда с упругими постоянными V и Е2.

Равновесный радиус Г1;2 достигается

здесь с одной стороны в результате расширения полости в матрице от первоначального радиуса Г0 до равновесного Г12, с другой - вследствие сжатия включения от Я2 до Г21 (Г0 < Г21 < Я2).

Процесс деформирования считаем квазистатическим и адиабатическим. Тогда уравнение равновесия (4) с учетом (2) запишется в виде

Р1;2 0 + */1 )Г0

= Я 2 -

пЕ.,

Р12(1 + ту)(1 - 2 у) Я 2 Е

(5)

где т = 0 и т = 1 соответственно для шарового и цилиндрического включения.

Отсюда

р = пЕ1- (^2/ Г0 - 1) Г =

р 1;2 ,А \Гллг-» / - .и“1’ Г1;2

(1 + [ МЯ 2/ Г0 + 1 ]

(М + 1)Я 2

(6)

МЯ 2/ г0 +1

где М =

(1 + тг2)(\ -2у2) пЕ 1

В частном случае, для шарового включения находим

М =

1 - 2^ 2 Е,

1 +^1 Е 2

Р 1;2 =

2 Е,

1 - 2^ 1 +

_ ч Е2 2Е1

Г12 = . Я2+1+^

2 Е1

Р0, Па

Рис. 1

(7)

Величина Я 2 определяется из заданных физических воздействий на включение. Например, при тепловом расширении включения имеем

Я2 — Г0 = а2 (Т — Т) ■ Г0 ^ Я2 =

= Г) [1 +а2(Т - Т0)] ,

где а2 - коэффициент линейного теплового расширения включения; Т и Т0 -соответственно текущая и начальная температура включения.

Тогда, для шарового включения получим выражение, ранее рассмотренное, как частный случай [3]:

а2(Т - Т0)

Р 1;2

1 + V 1 - 2к

2Е,

+ [1 + ^(т - Т0)]

Напряжения в матрице определяются формулами (1) при подстановке в них давления р1;2 = р2;1. Уравнения (1) опре-

матрице вблизи включения. Напряжения во включении являются сжимающими и не зависят от координаты Г :

= &р=&р = -Р 1;2 . (8)

График зависимости контактного давления Р1;2 от текущей температуры

для магнетитового шарового включения в матрице из кварца (железистый кварцит) при тепловом воздействии на него дан на рис. 1. Характер изменения напряжений в матрице по мере удаления от контакта представлен на рис. 2. Напряжения имеют локальный характер -на расстоянии 3-х радиусов Г0 их величины практически равны нулю. Максимальные растягивающие напряжения ар

достигаются на контакте магнетит-кварц и превышают по величине предел прочности кварца на растяжение.

Рассмотрим ту же систему «магнетит-кварц», в которой деформация

деляют локальное поле напряжений в

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Г, м

0.003

Рис. 2

включения шарового включения (магнетита) вызвана магнитострикционным эффектом. Максимальное относительное удлинение включения при магнито-стрикции составляет ем « 40 ■ 10-6 [4].

Отсюда, при свободном расширении включения получим

К 2 - Г0 =£м

Г0 ^ К2 = Г0[1 + ^м ]

Подставляя полученные величины в выражение (6), находим в частности для шарового включения

Р1;2 =

1 + V, 1 - 2к,

- = 5,1406 -106

2Е1 Е 2

[1 + ем ]

Па; (9)

Расчет радиальных и полярных напряжений проводим по формулам (1) с

учетом (9). Согласно (9) контактное давление относительно мало, поэтому и напряжения должны быть небольшими, что и подтверждают графики на рис. 3.

Максимальные растягивающие (полярные) напряжения в матрице реализуются на контакте включения и матрицы и достигают величины 2,57 ■ 10 6 Па или 26,21 кгс/см 2, что существенно меньше (примерно в 8 раз) предела прочности сТр кварца на растяжение

(ср « 210-105 Па).

Приведенные примеры показывают, что использование эффекта магнитост-рикции для разупрочнения железистых кварцитов малоэффективно, в то же время разупрочнения можно достичь, применяя такие физические явления, которые приводят к нагреву

0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

Г, м

Рис. 3

включений в горной породе, например СВЧ нагрев.

2. Включение - газовая среда под давлением.

Газовое включение может иметь место, например, при взрыве заряда ВВ, заполняющего сферическую или цилиндрическую полость в горной породе (взрыв сосредоточенного или удлиненного зарядов ВВ). Пусть при взрыве в момент окончания детонации ВВ в полости радиуса Г0 в среде начальное

давление газов равно р0. Примем приближение совершенного газа. В результате адиабатического расширения (теплообменом газа со средой можно пренебречь в силу того, что равновесие устанавливается за десятки мкс) вследствие смещения границы полости давление газов снижается от р0. до равновесной величины Р1;2.(р1;2-< р0 ), которое

находим из выражения (закона Пуассона, определяющего параметры идеального газа в адиабатических процессах):

Р1;2^2 = Р¥1 » Р 1;2 =

= Ро

гп+1 V и

С \(п+1)/ ,

(10)

= Ро

Г

V и У

где у - показатель политропы взрывных газов.

Наряду с этим, равновесное значение контактного давления с заданным приближением может быть найдено из разложения

-(п+1)г

-Ро (1 + еГ

_1 -(п+1)ге+| (п±}УГ + (п±1£^

Р1;2

= ^ V - * )

(11)

где £= и^/ Г0 - относительное перемещение точек граничной поверхности.

г

Рис. 4

Рс

Условие равновесия принимает вид 3/

- (12)

Г Г ^ _0

V Г12 У

пЕ1є

1 + к

В линейном приближении имеем

Ро I1 - (п + 1)^Є =

пЕ1є 1 + к

■оє =

(13)

пЕ

Ро(п + 1)Г+- 1

1+^1

Определяя равновесный радиус полости г1;2 из трансцендентного уравнения (12) или (13) из равенств (2) и (1) можно найти равновесное давление рі:2 и компоненты тензоров напряжения с

учетом расширения полости. Например, из уравнения (13) находим

Г . (14)

М1;2 =

п Е

(п + 1)у + --------1

1+П Ро

Отсюда

1+-

(1 + У) Ро

пЕ^ + (п +1)(1 + ^Ро пЕ,

Р1;2 =

пЕ^ + (п +1)(1 + ^Ро

РопЕ1

пЕх + (п +1)(1 + ^)ГРо

(15)

о

М1;2 =

Рис. 5

Расчеты для газового включения, формируемого при взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов ВВ, проведены применительно к взрыву заряда граммонита 79/21 (ро = 6,8 • 1о9

Па, у = 2,8) в граните (у1 = о,22; Е1 = 6,6 • Ш1() Па). Графики зависимостей и (Г) = ыг (Г)/ ио (кривая 1), Ог (Г) = Ог (Г)/ Ро (кривая 2) и стр( Г) = <7р(Г)/ ро (кривая 3) для шарового и цилиндрического газового включения представлены соответственно на рис. 4 и 5 сплошными линиями, а графики тех же зависимостей, определенных без учета расширения полостей -пунктирными линиями.

Расчеты показывают, что величины равновесного давления для шарового и цилиндрического случая равны соответственно р12 = 3,8903-109 Па и

р12 = 3,53448-109 Па, что составляет

57,21 % и 51,98 % от соответствующего начального давления р0. При этом, величины перемещения и компонентов тензоров напряжений в точках среды при учете расширения сферической и цилиндрической полостей в граните соответственно примерно на 42,79 % и 48,02 % меньше аналогичных величин, соответствующих постоянному давлению взрывных газов.

Полученный результат показывает, что применение формул Ламе, не учи-

тывающих расширения включения, может привести к существенной погрешности.

Равновесные величины напряжений и деформаций являются асимптотическими значениями в соответствующих динамических задачах, что позволяет использовать их для оценки погрешности их решений.

Аналогичным образом могут быть проведены расчеты для других способов деформирования включения, если опре-

1. Lame G. Lecons sur La Theorie ... de l’Elasticite, Paris. 1852.

2. Крюков Г.М., Дугарцыренова Э.А., Ду-гарцыренов А.В. Напряженное равновесное состояние среды с полостью с учетом ее расширения в линейном приближении. - Обозрение прикл. и промышл. матем., 2005, т.12, вып. 4, с. 1003-1004.

делена зависимость радиуса от давления на поверхности при его сжатии (растяжении).

Представленный в работе общий подход к описанию напряженного состояния горной породы (среды) при деформации различного рода включений в ней позволяет объединить в единую схему разнородные задачи и дать сравнительный анализ эффективности частных способов разупрочнения.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Дугарцыренов А.В. Оценка напряже-

ний в матрице при деформации шарового включения. Горный информационно-

аналитический бюллетень, №8. - М.: Изд-во МГГУ. - 2006. - С. 38-42.

4. Сычев В.В. Сложные термодинамические системы. - М.: Наука, 1980. 208 с.

Коротко об авторах

Дугарцыренов Аркадий Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Физика горных пород», Московский государственный горный университет.

❖

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ ДИССЕРТАЦИИ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

XAflX^ XA^^ XAMA Сравнительный анализ закономерностей размещения месторождений железа Западной Африки (Западная Сахара, Мавритания), Кольского полуострова и Сибири 25.00.11 к.г.-мн.н.