CC BY
17
-------------------------------- © О. М. Гридин, А. В. Дугарцыренов,
2006
УДК 622.233:622
О.М. Гридин, А.В. Дугарцыренов
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ РАЗУПРОЧНЕНИИ РУД,
СОДЕРЖАЩИХ ПРОВОДЯЩИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ
Т/Г звестно применение высоко-
-ж-Ж частотных или импульсных электромагнитных полей для разупрочнения руд при выщелачивании упорного золота [1]. Несмотря на сравнительно большое количество экспериментальных данных, выполненные теоретические оценки весьма приближенны и неполны. В то же время имеется решение упругой задачи о напряженном состоянии среды при деформации шарового включения в ней, полученное в адиабатическом приближении [2].
Ниже предложена модель для оценки температуры разупрочнения руд упорного золота и соответствующей амплитуды напряженности электромагнитного поля и длительности обработки. Расчеты проведены для руд месторождения Му-рунтау, в которых основным вмещающим золото минералом является кварц (до 90 %). Содержание золота по массе 10-2 - 10-4 %, учитывая высокую плотность золота (19300 кг/м3 против 2648 кг/м3 для кварца), объемное содержание золота составляет на порядок меньшую величину 10-3 - 10-5 % или 10-5 - 10-7 в абсолютных долях. Поэтому примем модель руды в виде кварцевой матрицы с рассеянными в ней включениями золота. Возможен также случай, когда вкрапления золота заключены в зерна пирита или арсенопирита.
В руде преобладают весьма тонкие выделения золота в кварце, реже в трещинах и на поверхности сульфидов. На частицы золота размером 0,2-1,0 мм приходится до 59,5 %, размером 0,05-0,2 мм - 37 %, менее 0,05 мм - около 3,5 % его массы. Таким образом, около 97 % свободного золота в руде имеет крупность частиц более 0,05 мм, что определяет тонину помола рудной массы для обеспечения высокого извлечения золота.
Примем средний размер включения золота, равным 0,1 мм или 10-4 м.
Оценим глубину проникновения переменного электромагнитного поля в частицы золота. По Ландау [3] глубина проникновения д магнитного поля в проводящую частицу равна
д
с
2п
где с - скорость света, м/с; V - частота,
у -1-1
Гц; о - проводимость, ом м .
При подстановке с = 3108 м/с, V = 2,451012 Гц (стандартная частота для современных магнетронов), о = 4,4.107 ом-!м-1 (для золота) получим 5 = 1,15 см. при длине волны с/у = 1,2 см. Таким образом, размер частицы золота 5. Это
означает, что поле пронизывает всю частицу и вихревые токи, возникающие в частице в переменном поле, нагревают весь ее объем.
Кварц будем считать радиопрозрач-ным и пренебрежем его нагревом в СВЧ или импульсном поле и ограничимся нагревом включений вихревыми токами. Для определения напряжений в кварце при тепловом расширении включений золота рассмотрим модель сферического включения радиуса г0 в упругой матрице [2].
Пусть в результате внешних воздействий радиус включения увеличивается при свободном расширении до Я0
(рис. 1). В силу упругого противодействия матрицы равновесный радиус включения будет меньше и равен Я12 < Я0.
Равновесный радиус достигается с одной стороны в результате расширения сферической полости в матрице от первоначального радиуса г0 до равновесного (312, с другой стороны - вследствие всестороннего сжатия включения от Я0 до 2. Процесс расширения включения
считаем квазистатическим, а деформации изотропными и адиабатическими. Тогда с учетом перемещений при расширении полости в неограниченной среде и сжатии шара [2], получим
^1; 2 _ Г0 +1 и1 I _ ^1 ' Г0 ;
Щ1;2 — Щ 0 | и 2\ — ^2 ' Щ 0 и г0 + иі — «0 - и 2 » р
(1)
(2)
и| Р0(1 +^і)Г0 .1 и| Р0(1 - 2 ^)Я 0 .
I и1 _ Л Г- ; и 2 _
Сі -1 +
£ - 1 -
2 Е1
Рр(1 + у)г0 . 2Е1 ’
РрО -2У)Щ0 Е,
Е
Рис. 1
где и і , V, Е: (і — 1,2) - соответственно
перемещения, коэффициенты Пуассона и модули упругости (индекс 1 относится к матрице, 2 - к включению); и (2 -
упругие коэффициенты, учитывающие соответственно деформацию расширения полости в матрице и сжатия включения; р0 - давление на контакте включения и матрицы (на поверхности сферы радиуса ); Щ0 — Щ0/ Г,.
Радиальные, полярные и азимутальные напряжения в матрице определяются соответственно формулами для расширения сферической полости под действием давления р0 [2], которые с учетом величины «1;2 (Г > Щ1;2) приводятся к виду:
(3)
Уравнения (3) определяют локальное поле напряжений вблизи включения.
д7\к
Рис. 2
Напряжения во включении являются сжимающими и не зависят от координаты г :
аг = ^ = ^ = - Р0 .
Величина К0 находится из условия
свободного расширения включения, исходя из конкретных физических воздействий. При свободном тепловом расширении включения имеем
*0 - Г) = в2АТ ' Г0 « К0 = г0 (1 + в2АТ ) ,
(4)
где в2 - коэффициент линейного теплового расширения включения;
соответственно
ДТ — Т - Т0 , Т и Т,
текущая и начальная температура включения.
Выражение (2) с учетом (4) преобразуется к виду
в 2 ДТ
р0 (ДТ) — Т
+ '' + (1 + в2ДТ)
; (5)
2Е1 Е 2
Отсюда находим напряжения на границе «кварц - включение золота»:
аГ I г—Щ1 2 — -р0 (ДТ) ,
1 . (6)
®<р 1 г—Я12 — 1 Г—К1;2 — 2 Р0 (ДТ)
Зависимости напряжений аг | г,
1 2 и ^ 1 гЯ 2 на коНГаКГЄ вклю-
чения и матрицы от приращения температуры ДТ приведены на рис. 2. Там же даны горизонтальные прямые, соответствующие пределам прочности кварца на
сжатие (ос = 260 МПа), растяжение (ор = 21 МПа) и сдвиг (т = 103 МПа). Непосредственно видно, что контактные напряжения практически линейно зависят от температуры.
Представим зависимости (6) в явном виде:
. _ 1,363' 106 АТ
0г 1^ 2 _ 0,535 + 0,1477(1 +14,2' 10-6 АТ )
0<р I г_Иу2 _ °/ I г_К1;2
_| [Ёэл Н № + | ]ЁЭЛ (V ,
(7)
0,682' 106АТ
- 2 -Г к Ё2л + / Н2) (V _
где Ёэл и Н - векторы напряженностей электрического и магнитного полей.
Так как золото и кварц диамагнитны, то магнитострикционным членом уравнения ццоН2 можно пренебречь. Также можно пренебречь и электрострикцион-ным членом. Тогда, если учесть, что j = оБ, то
-|[ Ёэл ' Н ] (5 _| оЁ„2сМ
(8)
0,535 + 0,1477(1 +14,2 -10-6АТ)
Сопоставив эти формулы соответственно с пределами прочности на сжатие, растяжение и сдвиг для кварца (ос = 260 МПа, ор = 21 МПа, от = 103 МПа), находим
ог/ ос >1 при ДТ > 130,26 К оф/ ор >1 при ДТ > 10,5 К оф/ от >1 при ДТ > 51,6 К
Таким образом, теоретические оценки показывают, что при мгновенном нагреве включений на 10 - 130 К возможно появление трещин в кварцевой матрице. Если нагрев будет медленным, то вместо р2 в приведенных выше формулах необходимо подставить (р2 - Р1). Примем р2 = 14,210-6 К-1, р1 =11,310-6 К-
1 , тогда р2 - Р1 = 0,910-6 К-1, т.е.15,8 раз меньше. Соответственно, минимальное повышение температуры, при котором напряжения в кварце превысят предел прочности на разрыв, увеличится с 10,5 К до 166 К.
Оценим теперь возможность нагрева включений СВЧ или импульсным электромагнитным полем.
Согласно уравнению Умова - Пой-тинга
Левая часть представляет убыль плотности потока электромагнитной
энергии, правая часть - мощность, за-
траченную на нагрев объема вихревыми
1
токами .
В адиабатических условиях
_О ё2 (9)
(т с2 р2 эл ’ ^
где С2 и Р2 - соответственно теплоемкость и плотность включения ( С2 = 134 Дж/(кг' К), р2 = 19300 кг/м 3).
Подставляя данные для золота, находим
— _ 17 - Ёл2,
(т
Напряженность поля, необходимая для достижения данной разности температур в адиабатических условиях за время т равна
Ёэл _
срАТ /АТ
17?
от
(10)
2 дт
Так, для ДТ = 10,5 К и т = 1мс получим Еэл = 24,85 В/м.
В неадиабатических условиях необходимо учитывать затраты энергии
1 В предположении полного поглощения падающей волны частицей.
С учетом того, что СУ — 4п[(г0 + Сг)3 - г03]/ 3 —
— 4п (г03 + 3г02Сг +... - г03)/ 3 — 4п02Сг и
г - г0 — в2ДТ' Г «• Сг — г0в2ДТ
находим
У12
Арасш — | Р0 V )СУ —
У2
ДТ2
— | Р0(ДТ)' 4п3в2 С (ДТ),
(14)
на прогрев кварца за счет теплоотвода от включений золота. Схема теплового баланса для сферического включения в матрице вмещающей породы представлена на рисунке 3.
Энергетический баланс включения как незамкнутой термодинамической системы в соответствии с первым началом термодинамики и рис. 3 запишется как
ДО = ДИ +Лрасш +ДОпот , (11)
где ДО - поступление энергии от внешнего источника; ДИ - изменение внутренней энергии; Лрасш - работа по расширению включения; ДОпот - потери тепла из включения в матрицу.
При использовании в качестве источника энергии переменного электромагнитного поля имеем
ДО = оЕ 2эл У2Х, (12)
где У2 - объем включения2 ;
ДИ = р2с2У2ДТ2,3 (13)
В предположении независимости плотности поля и удельной электропроводности от времени и координаты.
3 В предположении независимости плотности и удельной теплоемкости включения от времени и координаты.
где
Рс(АТ) —
в2 ДТ
0("' ) 1 + у 1 -2у
Р2ДТ
2Е Е (1 +вДТ)
2Е Е , (15)
1 + V 1 - 2у2
2Е е2
В итоге получим
4ягЗс7 °2 /АТ" 42
храсш
А » 4^ г03 Е1 в2 (ДТ2)2 ч (16)
і 2 Е1 1 - 2^2
(1 +у)| 1 +-=^-----------2
Е2 1 + V
Потери тепла из включения в матрицу находим из выражения:
ДОпот — -4жЯ121,\д±
(17)
Для расчета градиента температуры в кварцевой матрице необходимо решить уравнение теплопроводности с граничными условиями
Т1 = Т2 (т)
при г ^ К12 +0 (Т2 = Т0 + ДТ2)
Т1 = Т0 при г —— да
571 ( д2Т 2 дТ
—^ — а \ —1 +--------------
дт 1 [ дТ2 г дг
(18)
г — Я о + 0
Общее решение данной задачи при известной функции Т2 (т) и подстановке Т=иг имеет вид [4]:
Ем ,в/м
2Гу] жат
і г■ jexp
(Г - Г ) 4 а1т
(19)
(г + г '- 2 R^
exp
2R1;2
г^ (г-^Цн/ац :exp(-^2)d^
4 а1т
&'+
і T2
(Г - «1;2)
4 а^и
Для оценки величины градиента температуры в первом приближении воспользуемся частным решением при Т2 = const
Рис. 4
^;2(Т2 - Т0 )
xefc
f Г - R1;2 ^
2-а
(20)
^ Г - Rj ;2 ^
2у[аГ
+ R1;2(T2 - То) _ _2_ е-^ . 1
г 4л 2лJaтTт
T _-RuT -То) дг г2
efc
dT1
"s7
I г_R1l:
_- (T2 - То)
1 1
+
R1;2 ^Ла^т
(l1)
Подставим (21), (16), (13), (13) в (11). Тогда
+ 3Е1^22(А72)2 (/ R.2)3 ' 2 E1 1 - 2у2
оЕзлт P2C2 AT2
(1 + V1 )І 1 +
E2 1 +V1
3X1AT2
R1;2
R1;2 ^Л’ат
Используя данные для золота и кварца ( а _ 3,57 -10-6 м 2/с, Л1 _ 7 Вт/(м - К)) и приняв г0 _ 0,0005 м и г0 « К 2, получим
Е2элт = 0,059-ДТ2 + 1,034'10-6ДТ22 +
+1,91 ДТ2т - 0,285 ДТ2т1/2. (23)
Для т _ 10-3 си т _ 1 с из выражения (23) соответственно имеем
Еэл (АТ2) _
_ 10^0,517АТ2 +10,34 - 10-6(АТ2)2
(24)
и
Ел(АТ2)_^ 1,683 АТ2 +1,034 -10-6(АТ2)2
(25)
В графическом виде зависимости Еэл (АТ), полученные по формулам (24) и (25), даны на рис. 4. Функция монотонно возрастает на всем промежутке изменения АТ2.
При ДТ2 = 10,5 К преобразуем (23) к виду
R
Е„,В/м
II < 10*5 К
Рис. 5
Еэ„ (г) = 20,045 +
0,617 - 2,993
т 4т
. (26)
Для некоторых значений т находим: т = 10-6 с - Еэл = 787,56 В/м; т = 10-3 с - Еэл = 27,05 В/м; т = 1 с - Еэл = 4,86 В/м; т = 100 с Еэл = 4,51 В/м. График зависимости Еэл т согласно (26) приведен на рисунке 5.
График зависимости Еэл(АТ ) при одновременном изменении времени и температуры нагрева представлен на рис. 6.
Таким образом, минимальная напряженность электромагнитного поля для обеспечения возможности разупрочнения кварцевой матрицы должна быть не менее 4,5 В/м. Для разупрочнения за время не более 1 мс напряженность поля должна быть не менее 23,3 В/м.
Интересно отметить, что отношение Лрасш/Д0 является фактически к. п. д. процесса. Оценки показывают, что при обработке в течение 10-6 - 10-3 с эта величина изменяется в пределах 0,05—
0,012 %. Наибольшее значение имеет 42
величина включения. При включениях менее 0,1 мм львиная доля энергии идет на потери в кварцевую матрицу. Примерно такой же КПД у разупрочнения в процессе нагрева всей массы руды, но его успех в значительной степени зависит от содержания металла и требует намного большего времени.
Поскольку данные оценки показывают, что затраты энергии на нагрев включения и его расширение пренебрежимо малы по сравнению с затратами энергии на нагрев кварцевой матрицы от включения, то целесообразно уточнить произведенные оценки, исключив некорректное предположение Т2 = const. Более точным будет решение тепловой задачи с непрерывным точечным источником тепла постоянной мощности4 в кварцевой матрице [4].
Согласно этому решению температура в кварцевой матрице
( \
Т.С
n
4na1r
• erfc
(27)
где п — приведенная мощность теплового источника п = К/р^.
В нашем случае
n = •
4пГо оЕЭ1 3Р1С1
(28)
Имеется более общее решение с изменяющимся во времени источником тепла, что больше подходит к процессу импульсной электромагнитной обработки. Но форма импульса, а соответственно, и аналитическое его выражение различны для каждой установки и задача в более точной постановке будет рассмотрена позднее.
Оценим температуру на границе г = г0.
2 ( .. \ - • вГІЄ
АТ _ = ■/°аЕэл
31
л/4а^
(29)
Подставляя исходные параметры веществ, получим АТ_г _ 5,24 • 10-3 Е„п2 х
хв/іє
1,34 • 10-
лТ
(30)
Оценка для 10"3 с и ДТ2 =
10,5 К приводит к значению Еэл = 55 В/м, что вдвое больше полученного выше 27 В/м. "
Если в качестве матрицы для включений золота принять пирит, то аналогичные выполненным выше расче- Рис■ 6 ты показывают, что предел прочности пирита на сжатие будет достигнут раньше достижения предела прочности кварца. Таким образом, при выполнении условий разрушения кварца будут выполнены и условия разрушения пирита.
Близость численных значений оценок параметров, выполненных по разным моделям, свидетельствует о возможности использования данных моделей для практических расчетов после сопоставления их с экспериментальными данными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Петров В.М. Разупрочнение горных пород полем СВЧ, Радиоэлектроника и телекоммуникации, 2002, №4 (22), С. 34-42. М.: Наука, 2003.
2. Дугарцыренов А.В. Оценка напряжений
при деформации шарового включения. Обо-
зрение прикладной м промышленной математики - 2006, т .13, вып.3.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.
4. Карлслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М., Наука,1964, с.243.
— Коротко об авторах
Дугарцыренов Аркадий Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Физика горных пород и процессов»,
Гридин О.М. -
Московский государственный горный университет.
