CC BY
7
Секция «Прикладная математика»
УДК 519.682
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ДЛЯ ФОРМАЛЬНЫХ ГРАММАТИК И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ
О. И. Егорушкин, И. В. Колбасина, К. В. Сафонов
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Исследуются системы полиномиальных уравнений над полукольцом (относительно символов с некоммутативным умножением и коммутативным сложением). Такие системы уравнений интерпретируются как грамматики формальных языков и решаются относительно нетерминальных символов в виде формальных степенных рядов, зависящих от терминальных символов. Рассматривается коммутативный образ системы уравнений в предположении, что символы являются переменными, принимающими значения из поля комплексных чисел. Доказывается обобщение теоремы о неявном отображении для полиномиальных грамматик: достаточным условием существования и единственности решения системы некоммутативных уравнений в виде формальных степенных рядов является максимальная величина ранга матрицы Якоби коммутативного образа этой системы.
Ключевые слова: некоммутативные переменные, полиномиальные уравнения, формальный степенной ряд, коммутативный образ.
A GENERALIZATION OF IMPLICIT MAPPING THEOREM TO FORMAL GRAMMARSAND ITS APPLICATION
O. I. Egorushkin, I. V. Kolbasina, K. V. Safonov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
Systems of polynomial equations over a semiring (with respect to symbols with a noncommutative multiplication and a commutative addition) are investigated. These systems of equations are interpreted as the grammars of formal languages, and are resolved with respect to the nonterminal symbols in the form of formal power series depending on the terminal symbols. The commutative image of the system of equations under the assumption that the symbols are variables taking values from the field of complex numbers is considered. A generalization of implicit mapping theorem for polynomial grammars is proved: a sufficient condition for the existence and the uniqueness of the solution of the noncommutative system of equations in the form of formal power series is the maximal rang of Jacoby matrix of the commutative image of this system.
Keywords: non-commutative variables, polynomial equations, formal power series, commutative image.
Системы символьных полиномиальных уравнений имеют многочисленные приложения в теории информации. В частности, они могут использоваться при разработке технологий космической связи.
Рассмотрим систему полиномиальных уравнений
Pj (z, x) = 0, j = 1,..., n, (1)
Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2019. Том 2
Pj(0,0) = 0,j = 1,...,n, которая решается относительно символов z = (z1v..,zn) в виде формальных степенных рядов (ФСР), зависящих от символов x = (x1,..., xm ) (см. [1-4]).
В приложениях z1,...,zn, x1,...,xm интерпретируют как алфавит, над которым определена некоммутативная операция умножения (конкатенации) и коммутативная операция формальной суммы, кроме того, определена коммутативная операция умножения на комплексные числа, и потому можно рассматривать символьные многочлены и ФСР с числовыми (комплексными) коэффициентами [1; 2]. При этом символы x1,..., xm, называются терминальными и образуют словарь (алфавит) данного языка, а символы z1,...,zn, называются нетерминальными и необходимы
для задания грамматических правил; мономы являются предложениями (словами) языка, а ФСР, который является решением системы (1), рассматривают как порождённый грамматикой формальный язык, представляющий собой формальную сумму всех «правильных» предложений [5].
Вопросы, связанные с решением символьных систем (1), изучены мало.
Целью данной работы является обобщение условия разрешимости системы (1) в терминах коммутативного образа этой системы, который получается в предположении, что все переменные, входящие в систему, принимают значения из поля комплексных чисел.
Наибольший интерес для приложений представляют условия, которые обеспечивают совместность системы некоммутативных символьных уравнений (1), а также единственность её решения. Такое условие было получено с помощью такого инструмента, как якобиан системы функций. Было доказано, что при ограничении к = n , неравенство нулю якобиана системы уравнений (4) в начале координат является соответствующим достаточным условием.
Рассмотрим произвольную полиномиальную грамматику (1) в случае, когда число уравнений произвольно и не связано с числом нетерминальных символов, что типично, например, для языков программирования.
Доказана следующая теорема.
Теорема. Если для некоммутативной символьной системы уравнений (1) ранг матрицы Яко-би в начале координат равен n, то система (1) имеет единственное решение в виде ФСР.
Библиографические ссылки
1. Сафонов К.В., Егорушкин О.И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского. Вестник Томского государственного университета. 2006. № 17. С. 63-67.
2. Safonov K.V. On conditions for the sum of a power series to be algebraic and rational. Mathematical Notes. 1987. 41(3). P. 185-189.
3. Safonov K.V. On Power Series of Algebraic and Rational functions in Cn. Journal of Math. Analysis and Applications. 2000. V. 243. Р. 261-277.
4. Egorushkin O.I., Kolbasina I.V., Safonov K.V. On Solvability of Systems of Symbolic Polynomial Equations. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2016. 9(2). P. 166-172.
5. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. Киев: Нау-кова думка. 1974. 328 с.
© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Сафонов К. В., 2019
