Обобщение теоремы Нетер на случай неголономного многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

— 7i + 2izk

Это условие с uk(t) =----—, к = \,...,п, =... = кп = \/п в (1), (2) при-

п

ведёт к вычислению Ч'(О). Решаем задачу Коши для систем (1), (2), находим a(t), XF(/) и функцию Гамильтона Н{1,а,Ш,и), которая запишется в виде #(f,a, Ч^и) =-(1 - ' cos2ra< - (1 - (с + и + l)cosm.v. Элементарные вычисления показывают, что функция Н достигает максимума в точках ик. Это доказывает, что ик удовлетворяют принципу максимума.

Коль скоро функция Кп генерирует семейство решений систем (1), (2), удовлетворяющих условию трансверсальности с векторами (0,...,1,...,0) и (0,...,с,...,1), то в силу линейности функции Гамильтона и системы (2) относительно У, то же самое справедливо для выпуклой комбинации a(0,...,l,...,0) + (1 - а)(0,...,с,...,1), 0 < а < 1, что завершает доказательство теоремы 4.

СЛЕДСТВИЕ 5. Сечение гиперповерхности дУ2п+1 гиперплоскостью а2 =...-ап =... = а2„ = 0, 1та2я+1=0, проходящей через точку А2п+{, имеет семейство опорных прямых с нормалями (с,1).

Следствие 5 показывает, что в точке А2п+\ гиперповерхность дУ2п+\ не имеет нормали.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Schaeffer А. С., Spencer D. С. Coefficient regions for schlicht functions // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 1950. Vol. 35.

2. Duren P. Univalent functions. N.Y., Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1983.

382 p.

3. Захаров A. M., Прохоров Д. В. Седловые точки множества значений коэффициентов однолистных функций // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 33 - 36.

4. Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций//Мат. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659- 1677.

УДК 514.764

И. П. Иванченко

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ НЕТЕР НА СЛУЧАЙ НЕГОЛОНОМНОГО МНОГООБРАЗИЯ

Известно, что задание симплектической структуры на многообразии при помощи кососимметрической невырожденной замкнутой 2-формы позволяет установить взаимно однозначное соответствие между векторными полями и дифференциальными 1-формами. Однако представляет интерес и

случай вырожденной формы. Когда ограничение формы на неголономном многообразии даёт невырожденную форму, появляется возможность установить соответствие между допустимыми векторными полями и допустимыми 1-формами. Таким образом, можно обобщить на неголономный случай некоторые результаты геометрии симплектических многообразий.

Определение 1. Пусть Хп - и-мерное дифференцируемое многообразие класса С*, от-мерную дифференциальную систему X™, заданную на многообразии Х„, будем называть неголономным многообразием.

Предполагаем, что в каждой точке хеХп имеет место разложение в прямую сумму

Тх{Х„) = (Х:)х®( АГ). где ХЦ — (и - от)-мерная дифференциальная система, которую называют оснащением.

Определение 2. Дифференциальную форму X будем называть допустимой, если Х| „-.„ = 0. Векторное поле U будем называть допустимым,

п

если для любого х е Xп выполняется U(л) е X™ . Тензорное поле будем называть допустимым, если оно является линейной комбинацией тензорных произведений допустимых векторных полей и допустимых 1-форм.

Обозначим через F'(Xn) (F' (X™)) модуль тензорных полей (допустимых тензорных полей) типа (r,s) на X п. Имеет место естественное вложение F'f(X™)<=.F's(Xn).

Будем полагать, что оснащение X"~т является интефируемой дифференциальной системой. Тогда в окрестности каждой точки х е X„ найдется такая карта к(ха) (а,Р = 1,...,и), что интефальные многообразия системы Х"~т определяются равенствами х' = const,.,.,хт = const. Закон преобразования, связывающий две такие карты, имеет вид

х"' =ха\ха),

хр' =хр\х°,хр) (a,b,c = \,...,т\ p,q = m + \,...,n).

В дальЕ1ейшем будем рассматривать атлас, состоящий из карт такого вида, которые называют адаптированными.

Дифференциальные формы dxa определяют локальное поле допустимых векторных полей ёа е Fg(X") таких, что dxa (ёь) = Ьаь. При этом выполняются равенства ёа = да - Fpdр. Таким образом, адаптированная карта к(ха) определяет на р>\к поле репера (ёа,др) и поле корепера (dxa ,QP), где Вр = dxp + Fpdxa.

Всякая допустимая тензорная структура типа (с,л) имеет следующее координатное представление

Т = Т°] ?,ёа ®...®ё0 ®£&й] ®...®сЬсЬ'.

а| я,

Определение 3. Пусть т-2к. Назовем дифференциальную допустимую 2-форму юе/*2&(Лг^) допустимой симплектической структурой на неголономном многообразии X™, если

1) форма о замкнута;

2) ранг- формы со в каждой точке х е Хп равен т . Многообразие X" вместе с со назовём неголономным симплектическим

многообразием (X", со).

Векторному полю и на неголономном многообразии поставим в соответствие 1-форму X такую, что для любых векторных полей V е выполняется равенство Х(У) = т(и,У) в каждой точке.

Определение 4. Векторное поле С/ еРд^Х") назовём допустимой гамильтоновой системой, если соответствующая ему 1-форма X замкнута.

2. Рассмотрим пространство (X") = и (А!"™ )х На нём можно

хаХ„

ввести структуру дифференцируемого многообразия. В качестве атласа, задающего структуру гладкого многообразия на (X") , рассмотрим атлас, состоящий из карт к, таких, что к(ах) = (х",ра), где ах е(Х'")'х, к(х) = ха, р а = а х{ёа(х)). Отображение л: (X™ )* —» Хп, ставящее в соответствие каждой форме X е (X"') . точку х е Хп - естественная проекция. Тогда п.:г((Х™) Г(Хп). Определим пространство следующим

образом:

^п 'т = 71« ' (х: ).

Это пространство является неголономным многообразием по отношению к исходному многообразию (XПоля 8 р порождают оснащение Х"~+™. Определим допустимую 1 -форму X € /71°(х*+т) равенством

ка(и)=а(п,и).

В карте к форма X получает следующее координатное представление: X = ра(Ьса. Её дифференциал &~сГХ определяет на (А'™)*естественную допустимую симплектическую структуру, со = фд л <Ь:а .

ЛЕММА. Для любого векторного поля V е (х™ ) существует и при том единственное векторное поле Е, на многообразии (X™) , которое обладает следующими свойствами: 1) тиё, = С , 2) ¿¡X = 0.

61

На основании этой леммы докажем наш основной результат.

ТЕОРЕМА. Пусть В - допустимая гамильтонова система на (X™ )*, соответствующая замкнутой форме ß. Если векторное поле U 6 F¿ [X™ | такое, что соответствующее ему по лемме векторное поле ç удовлетворяет условию ß(^) = 0, то Х(^) - первый интеграл В.

Доказательство. Покажем, что Вх^ = 0.

0 = ßfe) = dk{B,ç) = |(ß,(4) - - ЦВ£] )=*

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев C.B., Гохман A.B. Гамильтонова система в неголономном случае. Саратов, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 26.03.99, № 928-В99.

2. Годбиион К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Наука, 1973.

УДК 517.95

М. Ю. Игнатьев

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОЕО УРАВНЕНИЯ МКДФ НА ПОЛУОСИ*

Рассмотрим смешанную задачу

д,+3д2дх+3(д,дх)д + дххх=0, х<0, Г>0, (1)

д(х,0) = д\х), (2)

<7(0,0 = ^(0,0 = 0 (3)

относительно неизвестной вещественной вектор-функции д(х,0 = = (г5,1(х,?),д,2(-1£'>0)7 Уравнение (1), представляющее собой векторный аналог классического уравнения МКдФ, имеет различные физические приложения, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы. Это уравнение допускает представление нулевой кривизны и, -Ух + [(/, V] = 0, где

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), гранта Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-007).