Пример редукции допустимой симлектической стуктуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В, Гохман

ПРИМЕР РЕДУКЦИИ ДОПУСТИМОЙ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

Рассматривается неголономное многообразие X", заданное вместе со своим оснащением Х"~т [1]. Ранее [2] авторы ввели понятие допустимой тензорной структуры и, в частности, допустимой симплектической

структуры. Обозначим через Г' (А'и), модуль тензорных полей

(допустимых тензорных полей) типа (/, х) на Хп. Имеет место естественное вложение ^(х™) с Р[(Хп).

Определение. Пусть т = 2к. Назовем дифференциальную допустимую 2-форму со е 1х™ | допустимой симплектической структурой на

неголономном многообразии X™, если

1) форма и замкнута;

2) ранг формы ш в каждой точке х е Хп равен т. Многообразие X" вместе с ю назовем неголономньш симплектиче-

ским многообразием Хорошо известно [3], что оснащение Х"~т

неголономного симплектического многообразия всегда инволютивно. Рассмотрим пространство

(к) - и (х:)\

На нем можно ввести структуру дифференцируемого многообразия. В качестве атласа, задающего структуру гладкого многообразия на | X™ ^ ,

рассмотрим атлас, состоящий из карт к таких, что к(ах) = /?а], где ахе{х")х, к(х) = ха, ра =а((еа(х)), еа - локальные допустимые базисные векторные поля. Отображение л:(X™ ) -+Хп, ставящее в соогветст-

■ *

вие каждой форме а е ( X™ | точку хеХп,- естественная проекция. Тогда л,: 7"Г (я"™ | 1 —> Т{Хп). Определим пространство Х2„"т следующим образом: Х2п"т - к,1 Определим далее на (я™) 1-форму X, полагая

= где , рг:Г(Хп)-> X™ - естественная про-

екция. Имеет место

ТЕОРЕМА 1. Форма dX допустима к неголономному многообразию Хп"'т тогда и только тогда, когда оснащение Х"~т инволютивно.

Будем полагать, что оснащение Хп~т является интегрируемой дифференциальной системой. Тогда в окрестности каждой точки хеХп найдется такая карта (и,Р = 1,...,«), что интегральные многообразия системы Х"п~т определяются равенствами л:1 = const,...,хт = const. Закон преобразования, связывающий две такие карты, имеет вид

ха' =х°'[ха),

хр' = хр'(ха,хр)

(a,b,c = l,...,m; p,q - т + 1,...,и).

В дальнейшем будем рассматривать атлас, состоящий из карт такого вида, которые называют адаптированными.

Дифференциальные формы dxa определяют локальное поле допустимых векторных полей ёа е F0' |X" j таких, что dxa{eb) = d^. При этом

выполняются равенства ёа=да- Грдр. Таким образом, адаптированная карта к\ х" j определяет на рг{к поле репера (еа,д и поле корепера ^dxa,Qp), где Qp = dxp + rpdxa.

В карге к форма X получает следующее координатное представление: Х = padxa. Ее дифференциал со = dX определяет на естественную допустимую симплектическую структуру: со = dpa л dxa.

Пусть й £f0'(J„) - векторное поле такое, что дриа = 0. Тогда имеет

место

ТЕОРЕМА 2. Существует и притом единственное векторное поле Е, на многообразия такое, что выполняются следующие условия:

1) 7сД = м , 2) 1^ = 0.

Пусть G - какая-либо группа диффеоморфизмов, действующая на многообразии Хп и сохраняющая систему [х™ ) . Тогда, как следует из

теоремы 2, эта группа порождает группу G симплектоморфизмов структуры со = г/Л.. Если поле Е, порождается однопараметрической подгруппой

32

этой группы, то легко проверить, что £ - гамильтоново векторное поле [2], гамильтониан которого определяется формулой

Я(а) = Х(^). О)

Из формулы (1) видно, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли группы С. Выполнение последнего условия позволяет ввести отображение момента [3]: Р:(X"| -> р' по формуле

Ра[а)= На(а), где а в р. Отображение момента мы будем использовать для осуществления процесса редукции допустимой симплектической структуры. В голономном случае задача редукции решена в [4]. Процесс редукции сводится к понижению размерности исходного симплектическо-го многообразия. Редукция возможна, если на симплектическом многообразии действует группа, сохраняющая симплектическую структуру. Теорема 2 позволяет обобщить результаты, полученные в [4], на неголоном-ный случай.

Покажем на примере как, используя отображение момента, можно провести редукцию симплектической структуры. Возьмем в качестве исходного многообразия трехмерное евклидово пространство Е3 с фиксированной декартовой системой координат. Полагаем, что

Х1={д,-х2д3>Э2), Х\={дъ),

О - группа вращений Е3 вокруг оси Ог. В Е группе б будет соответствовать поле й = -х2д{ + х[д2, а в (л"з | -поле £ = -х2д1 + х1д2 - Р2ох + Р\д2 ■ Согласно (1), получаем

н(ха,Ра) = -х2Р,+х]Р2.

Группа С будет действовать в пространстве £3 без неподвижных точек, если исключить из рассмотрения третью координатную ось. Поверхность уровня П : -х~Р\ + х]Р2 =с расслаивается на одномерные орбиты продолженной группы <5, образующие трехмерное многообразие Рс. Касательное пространство к Рс получается факторизацией касательного пространства к поверхности П по пространству В результате на многообразии возникает дифференциальная система размерности 2 с допустимой симплектической структурой.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

\. Вагнер В. В. Геометрия (л-1)-мерного неголономного многообразия в п -мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-воМоск. ун-та, 194!. Вып. 5. С. 173 -255.

2. Галаев С. В., 1 Ъхман А. В. Почти симплектичсские связности на неголономном многообразии // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 28-31.

3. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамиль-тоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995.

4. Marsden J., Weinstein А. Reduction of Symplectic Manipolds with Symmetry // Rep. Math. Phys. 1974. Vol. 5. P. 121 - 130.

УДК 517.51

E. В. Гудошникова

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ОПЕРАТОРОВ БАСКАКОВА*

При изучении свойств линейных положительных операторов помимо классических методов теории приближений используются и другие приемы. Например, многие линейные положительные операторы имеют естественную вероятностную интерпретацию и некоторые их свойства могут быть доказаны с применением теорем и методов теории вероятности. В. И. Волков ввел в рассмотрение достаточно широкий класс линейных положительных операторов, являющихся решением определенного дифференциального уравнения. Такой взгляд на операторы позволил доказать ряд аппроксимативных свойств для всего класса операторов на различных классах функций.

В работе 11] было показано, что собственные числа для операторов Бернштейна

k= О

имеют вид

[ 1, Jf = 0;

(«~1)...(И -J + 1)

( nj~] '\<j<n. Используя указанные собственные числа и соответствующие собственные функции, авторы работы [2] доказали, что для фиксированного п > 1, для /:[0;1]—>R последовательность операторов 11 - (1 - Sn)m сходится равномерно на [0;1] при т—»да к Ln(f;x) - полиному Лагранжа степени п по равноотстоящим узлам.

Ниже находятся собственные числа для последовательности линейных положительных операторов Баскакова:

А = 0 V * / (1 + х)

" Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060)

34